平面图形的镶嵌设计的探究-北师大版课件

平面图形平面图形 的镶嵌设计的镶嵌设计 的探究的探究江西省乐平市第二中学江西省乐平市第二中学 骆文娟骆文娟 平面图形 1 用形状、大小完全相同的一种或几种用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接平面图形进行拼接,彼此之间不留空彼此之间不留空隙隙,不重叠地辅成一片不重叠地辅成一片,这称做平面图这称做平面图形的形的镶嵌镶嵌,又称平面图形又称平面图形的的密辅密辅.平面图形镶嵌的条件平面图形镶嵌的条件:每个拼接点处每个拼接点处,几个多边形的各内角之和为几个多边形的各内角之和为360,360,且且将相等的边重合将相等的边重合 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接,彼此2探究一探究一:任意三角形、四边形的镶嵌任意三角形、四边形的镶嵌探究二：用同一种正多边形的镶嵌探究二：用同一种正多边形的镶嵌探究三探究三:用边长相等的两种或三种不用边长相等的两种或三种不 同的正多边形的镶嵌同的正多边形的镶嵌探究四探究四:利用正三角形利用正三角形,正方形等构造正方形等构造 “基本单位基本单位”图案镶嵌平面图案镶嵌平面.探究五探究五:利用一些不同几何图形利用一些不同几何图形的组合镶嵌平面的组合镶嵌平面探究六探究六:用不规则的用不规则的“基本单位基本单位”图案镶嵌平面图案镶嵌平面.探究一:任意三角形、四边形的镶嵌探究二：用同一种正多边形的镶3探究一探究一:任意三角形、四边形的镶嵌任意三角形、四边形的镶嵌.1.1.任意一个三角形的三个不同的内角任意一个三角形的三个不同的内角拼在同一顶点处构成平角拼在同一顶点处构成平角,在三角形在三角形镶嵌的图案中镶嵌的图案中,每个拼接点处有每个拼接点处有6 6个角个角,可以组成两个三角形的内角和可以组成两个三角形的内角和,将相将相等的边拼接重合等的边拼接重合.三角形的密铺（请点击）三角形的密铺（请点击）探究一:任意三角形、四边形的镶嵌.4任意一个四边形的四个不同的任意一个四边形的四个不同的内角之和拼在同一顶点处构成内角之和拼在同一顶点处构成周周角，在四边形镶嵌的图案中，每个角，在四边形镶嵌的图案中，每个拼接点处有个角，恰好是一个拼接点处有个角，恰好是一个四个内角，将相等的边拼接重合个内角，将相等的边拼接重合.四边形的密铺四边形的密铺(请点击请点击)返回返回任意一个四边形的四个不同的返回5探究二：用同一种正多边形的镶嵌探究二：用同一种正多边形的镶嵌.问题问题1.1.(1)(1)从正三角形从正三角形,正方形正方形,正五边形正五边形,正六正六边形中选一种镶嵌平面边形中选一种镶嵌平面,哪几种正多哪几种正多边形能镶嵌平面边形能镶嵌平面?并说明了理由并说明了理由.分别分别画出它们镶嵌平面的几何图形画出它们镶嵌平面的几何图形.(2)(2)你还能找出其它一种不同的正多边你还能找出其它一种不同的正多边形镶嵌平面吗形镶嵌平面吗?并说明了理由并说明了理由.探究二：用同一种正多边形的镶嵌.6解解(1)(1)正三角形正三角形,正方形正方形,正六边形能镶正六边形能镶嵌平面嵌平面,正五边形不能镶嵌平面正五边形不能镶嵌平面.镶嵌镶嵌的平面图形的平面图形(如下图如下图).理由理由:正三角形正三角形,正方形正方形,正六边形的正六边形的内角分别是内角分别是6060、9090、120,120,都能都能被被360360整除整除,正五边形的内角正五边形的内角108,108,不能被不能被360360整除整除.(2)(2)不能不能.理由理由:其它正多边形的内角其它正多边形的内角都不能被都不能被360360整除整除.解(1)正三角形,正方形,正六边形能镶嵌平面,正五边形不能镶7平面图形的镶嵌设计的探究-北师大版课件8结论结论:(1)(1)用同一种正多边形用同一种正多边形 镶嵌的条件：镶嵌的条件：正正n n边形的内角能被边形的内角能被360360整除，整除，即即 整数时整数时,可以镶嵌可以镶嵌,否则不能否则不能.(2)(2)只有正三角形、正方形、正六边形只有正三角形、正方形、正六边形可以镶嵌平面可以镶嵌平面,其它的正多边形不能其它的正多边形不能镶嵌平面镶嵌平面正六边形的密铺正六边形的密铺(请点击请点击)正五边形的密铺正五边形的密铺(请点击请点击)360正多边形的内角正多边形的内角=返回返回结论:360正多边形的内角=返回9探究三探究三:用边长相等的两种或三种不同的正用边长相等的两种或三种不同的正多边形的镶嵌多边形的镶嵌.问题问题2:2:(1)(1)从边长相等的正三角形、正方从边长相等的正三角形、正方形、正六边形中选两种镶嵌平面形、正六边形中选两种镶嵌平面,探索这探索这两种不同的正多边形组合起来能镶嵌成两种不同的正多边形组合起来能镶嵌成几种不同的平面图形几种不同的平面图形?说明你的理由说明你的理由,并并画出对应的平面镶嵌图形画出对应的平面镶嵌图形.(2)(2)从边长相等的正三角形、正方形、正从边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形中选一种五边形、正六边形中选一种,再从其它正再从其它正多边形中选一种多边形中选一种,探索哪两种不同的正多探索哪两种不同的正多边形组合起来能镶嵌平面边形组合起来能镶嵌平面,请写出一种请写出一种.探究三:用边长相等的两种或三种不同的正多边形的镶嵌.10解解:(1):(1)分二种情况讨论分二种情况讨论:v用正三角形与正方形的组合镶嵌平面用正三角形与正方形的组合镶嵌平面.设在一个顶点周围有设在一个顶点周围有m m个正三角形的角个正三角形的角和和n n个正方形的角个正方形的角,则有则有 60m+90n=360,60m+90n=360,即即 2m+3n=12,2m+3n=12,这个方程的整数解只有这个方程的整数解只有:m=3,n=2.:m=3,n=2.因此一个顶点周围有因此一个顶点周围有3 3个正三角形的角个正三角形的角和和2 2个正方形的角个正方形的角,符合条件的图形有两符合条件的图形有两种种.(.(如下图如下图)解:(1)分二种情况讨论:11驶向胜利的彼岸驶向胜利的彼岸12v用正三角形和正六边形的组合镶嵌用正三角形和正六边形的组合镶嵌平面平面.同理可得：一个顶点周围有同理可得：一个顶点周围有4 4个正三个正三角形的角和角形的角和1 1个正六边形的角个正六边形的角,或者或者一个顶点周围有一个顶点周围有2 2个正三角形的角和个正三角形的角和2 2个正六边形的角个正六边形的角.符合条件的图形符合条件的图形有两种有两种(如下图如下图)用正三角形和正六边形的组合镶嵌平面.13(2)(2)正三角形和正十二边形的组合、正三角形和正十二边形的组合、正方形和正八边形的组合、正五正方形和正八边形的组合、正五边形和正十边形的组合边形和正十边形的组合.结论结论:用用两种不同的正多边形组合起来镶两种不同的正多边形组合起来镶嵌平面只有以上五种组合嵌平面只有以上五种组合.(2)正三角形和正十二边形的组合、正方形和正八边形的组合、正14问题问题3.(1).(1)若平面镶嵌图形的某个顶点若平面镶嵌图形的某个顶点处有三个不同的正多边形的角处有三个不同的正多边形的角,已知已知两个角分别是正三角形的角和正十两个角分别是正三角形的角和正十边形的角边形的角,那么第三个角所在的正多那么第三个角所在的正多边形边数是多少边形边数是多少?并说明理由并说明理由.(2).(2)你你能设计其它用三种不同的边长相等能设计其它用三种不同的边长相等的正多边形组合起来镶嵌平面的图的正多边形组合起来镶嵌平面的图形吗形吗?并画出对应的平面镶嵌图形并画出对应的平面镶嵌图形.问题3.(1)若平面镶嵌图形的某个顶点处有三个不同的正多边形15解:(1)15.:(1)15.理由:设第三角所在的正多边形边设第三角所在的正多边形边数为数为n.n.正十边形的内角为正十边形的内角为144,144,则则解得解得:n=15.:n=15.解:(1)15.16(2)(2)正六边形、正方形和正三角形的组正六边形、正方形和正三角形的组合或者正十二边形、正六边形和正方合或者正十二边形、正六边形和正方形的组合等形的组合等.(.(如下图如下图)(2)正六边形、正方形和正三角形的组合或者正十二边形、正六边17结论结论:镶嵌平面的几个正多边形的边长相等镶嵌平面的几个正多边形的边长相等,拼接点处的几个正多边形的内角之和是拼接点处的几个正多边形的内角之和是360,360,拼接后各正多边形的顶点及边都拼接后各正多边形的顶点及边都是公共顶点与公共边是公共顶点与公共边.探究四探究四:利用正三角形利用正三角形,正方形等构造正方形等构造“基基本单位本单位”图案镶嵌平面图案镶嵌平面.1.1.利用正三角形中心与三个顶点的连线构利用正三角形中心与三个顶点的连线构造造“基本单位基本单位”图案图案,通过对称拼接镶通过对称拼接镶嵌平面嵌平面,如下图如下图.返回返回结论:镶嵌平面的几个正多边形的边长相等,拼接点处的几个正多边18平面图形的镶嵌设计的探究-北师大版课件19 2.利用正方形构造利用正方形构造“基本单位基本单位”图案图案,通过通过4 4次旋转次旋转9090拼接成大的拼接成大的“基本单位基本单位”图案图案,再再通过平移拼接镶嵌平面通过平移拼接镶嵌平面.(.(如下图如下图)结论结论:正三角形正三角形,正方形等图形能镶嵌平面正方形等图形能镶嵌平面,利用它们构造利用它们构造“基本单位基本单位”图案图案,通过对称、通过对称、平移、旋转等拼接镶嵌平面平移、旋转等拼接镶嵌平面.返回返回 2.利用正方形构造“基本单位”图案,通过4次旋转90拼20探究五探究五:利用一些不同几何图形的组合镶嵌平面利用一些不同几何图形的组合镶嵌平面.(1)(1)丢勒的镶嵌图案丢勒的镶嵌图案.艺术家阿尔布雷希特艺术家阿尔布雷希特丢勒利用丢勒利用正五边形和菱形创作的镶嵌图案设计正五边形和菱形创作的镶嵌图案设计,它远溯至它远溯至1515世世纪纪.探究五:利用一些不同几何图形的组合镶嵌平面.21(2)(2)根据菱形的对角互补根据菱形的对角互补,在每个拼接在每个拼接点处有两个正方形和两个菱形点处有两个正方形和两个菱形(如下如下图图).).返回返回(2)根据菱形的对角互补,在每个拼接点处有两个正方形和两个22 探究六探究六:用不规则的用不规则的“基本单位基本单位”图案镶嵌平面图案镶嵌平面.构造不规则的构造不规则的“基本单位基本单位”图案图案,通过平移、旋转、对称等拼接镶通过平移、旋转、对称等拼接镶嵌平面嵌平面,形成美丽的图案形成美丽的图案,如下图如下图.探究六:用不规则的“基本单位”图案镶嵌平面.23平面图形的镶嵌设计的探究-北师大版课件24v荷兰画家荷兰画家M.C.M.C.埃舍尔给予他所镶埃舍尔给予他所镶嵌的对象以运动和生命嵌的对象以运动和生命,除了变除了变换平面以外，被镶嵌对象本身也换平面以外，被镶嵌对象本身也经受变换经受变换,对周期铺砌结构中的对周期铺砌结构中的平移、旋转和反射的概念运用的平移、旋转和反射的概念运用的很好很好,如变形如变形III III、圆与圆与极限极限IIIIII等等.荷兰画家M.C.埃舍尔给予他所镶嵌的对象以运动和生命,除了变25M.C.M.C.埃舍尔圆与极限埃舍尔圆与极限IIIIII美丽的图案美丽的图案(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)返回返回M.C.埃舍尔圆与极限III美丽的图案(1)(2)(261、聪明的人有长的耳朵和短的舌头。弗莱格 2、重复是学习之母。狄慈根 3、当你还不能对自己说今天学到了什么东西时，你就不要去睡觉。利希顿堡 4、人天天都学到一点东西，而往往所学到的是发现昨日学到的是错的。B.V 5、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。洛 克 6、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。阿卜日法拉兹 7、学习是劳动，是充满思想的劳动。乌申斯基 8、聪明出于勤奋，天才在于积累 华罗庚 9、好学而不勤问非真好学者。10、书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。11、人的大脑和肢体一样，多用则灵，不用则废 茅以升 12、你想成为幸福的人吗？但愿你首先学会吃得起苦 屠格涅夫 13、成功艰苦劳动正确方法少说空话 爱因斯坦 14、不经历风雨，怎能见彩虹 真心英雄 15、只有登上山顶，才能看到那边的风光。16只会幻想而不行动的人，永远也体会不到收获果实时的喜悦。17、勤奋是你生命的密码，能译出你一部壮丽的史诗。1 8成功，往往住在失败的隔壁！1 9 生命不是要超越别人，而是要超越自己2 0命运是那些懦弱和认命的人发明的！1人生最大的喜悦是每个人都说你做不到，你却完成它了！2世界上大部分的事情，都是觉得不太舒服的人做出来的3昨天是失效的支票，明天是未兑现的支票，今天才是现金4一直割舍不下一件事，永远成不了!5扫地，要连心地一起扫！6不为模糊不清的未来担忧，只为清清楚楚的现在努力7当你停止尝试时，就是失败的时候8心灵激情不在，就可能被打败9凡事不要说我不会或不可能，因为你根本还没有去做！0成功不是靠梦想和希望，而是靠努力和实践1只有在天空最暗的时候，才可以看到天上的星星2上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价3现在站在什么地方不重要，重要的是你往什么方向移动。4宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子5为成功找方法，不为失败找借口6不断反思自己的弱点，是让自己获得更好成功的优良习惯。7垃圾桶哲学：别人不要做的事，我拣来做！8不一定要做最大的，但要做最好的9死的方式由上帝决定，活的方式由自己决定！0成功是动词，不是名词！20、不要只会吃奶，要学会吃干粮，尤其是粗茶淡饭。1、聪明的人有长的耳朵和短的舌头。弗莱格 27