函数的极值及其求法重点课件

6.5 函数的极值及其求法函数的极值及其求法 由单调性的判定法则，结合函数的图形可知，由单调性的判定法则，结合函数的图形可知，曲线在升、降转折点处形成曲线在升、降转折点处形成“峰峰”、“谷谷”，函，函数在这些点处的函数值大于或小于两侧附近各点数在这些点处的函数值大于或小于两侧附近各点处的函数值。函数的这种性态以及这种点，无论处的函数值。函数的这种性态以及这种点，无论在理论上还是在实际应用上都具有重要的意义，在理论上还是在实际应用上都具有重要的意义，值得我们作一般性的讨论值得我们作一般性的讨论.6.5 函数的极值及其求法 由单调性的判定法则1一、函数极值的定义一、函数极值的定义一、函数极值的定义2定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极3二、函数极值的求法二、函数极值的求法定理定理1 1(必要条件必要条件)定义定义注意注意:例如例如,二、函数极值的求法定理1(必要条件)定义注意:例如,4注注这个结论又称为这个结论又称为Fermat定理定理如果一个可导函数在所论区间上没有驻点如果一个可导函数在所论区间上没有驻点 则此函数没有极值，此时导数不改变符号则此函数没有极值，此时导数不改变符号不可导点也可能是极值点不可导点也可能是极值点可疑极值点：可疑极值点：驻点、不可导点驻点、不可导点 可疑极值点是否是真正的极值点，还须进一步可疑极值点是否是真正的极值点，还须进一步判明。由单调性判定法则知，若可疑极值点的左、判明。由单调性判定法则知，若可疑极值点的左、右两侧邻近，导数分别保持一定的符号，则问题右两侧邻近，导数分别保持一定的符号，则问题即可得到解决。即可得到解决。注这个结论又称为Fermat定理如果一个可导函数在所论区5定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件)(是极值点情形是极值点情形)定理2(第一充分条件)(是极值点情形)6函数的极值及其求法重点课件7求极值的步骤求极值的步骤:(不是极值点情形不是极值点情形)求极值的步骤:(不是极值点情形)8例例1 1解解列表讨论列表讨论极大值极大值极小值极小值例1解列表讨论极大值极小值9图形如下图形如下图形如下10列表讨论如下：列表讨论如下：11定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件)证证定理3(第二充分条件)证12例例2 2解解图形如下图形如下例2解图形如下13注意注意:注意:14例例3 3解解注意注意:函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.例3解注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.15例例4证证（不易判明符号）（不易判明符号）而且是一个最大值点，而且是一个最大值点，例4证（不易判明符号）而且是一个最大值点，16例例5 设设f(x)连续，且连续，且f(a)是是f(x)的极值，问的极值，问f 2(a)是否是是否是 f 2(x)的极值的极值证证分两种情况讨论分两种情况讨论所以所以 f 2(a)是是 f 2(x)的极小值的极小值例5 设f(x)连续，且f(a)是f(x 17设设f(a)是是f(x)的极小值，且的极小值，且又又f(x)在在 x=a 处连续，且处连续，且f 2(a)是是 f 2(x)的极大值的极大值同理可讨论同理可讨论f(a)是是f(x)的极大值的情况的极大值的情况设f(a)是f(x)的极小值，且又f(x18例例6 假定假定f(x)在在x=x0处具有直到处具有直到n阶的连续导数，且阶的连续导数，且证明当证明当n为偶数时，为偶数时，f(x0)是是f(x)的极值的极值当当n为奇数时，为奇数时，f(x0)不是不是f(x)的极值的极值证证由由Taylor公式，得公式，得例6假定f(x)在x=x0处具有直到n阶的连续导数，且证明当19因此存在因此存在x0的一个小邻域，使在该邻域内的一个小邻域，使在该邻域内下面来考察两种情形下面来考察两种情形n为奇数，当为奇数，当x 渐增地经过渐增地经过x0时时变号变号不变号不变号变号变号不是极值不是极值因此存在x0的一个小邻域，使在该邻域内下面来考察两种情形n20n为偶数，当为偶数，当x 渐增地经过渐增地经过x0时时不变号不变号不变号不变号不变号不变号是极值是极值且当且当时时是极小值是极小值当当时时是极大值是极大值n为偶数，当x 渐增地经过x0时不变号不变号不变号是极值且21例例4 4 解解例4 解22例例5 5 解解例5 23函数最大值和最小值的一般求法：(一)y=f(x)xa,b(1)求出f(x)的导数f(x)；令f(x)=0，求出驻点；(2)求出驻点处的函数值以及端点处的函数值；(3)比较这些值的大小，其中最大的就是函数的 最大值，最小的就是最小值.三.函数的最值函数最大值和最小值的一般求法：(一)y=f(x)x24例题与练习解：(1).f(x)的定义域为(-，1 ，-8，1 (-，+1(2).(3).令f(x)=0，解之得驻点为(5).比较大小得，在-8，1上的最大值为 ，最小值为-5.(4).练习：求函数y=x2-4x+6在闭区间-3，10上的最大值 和最小值例题与练习解：(1).f(x)的定义域为(-，1 ，25函数的极值及其求法重点课件26函数的极值及其求法重点课件27 例9.求函数f(x)=x2-2x+6的最值.(1).f(x)的定义域为(-，+).解：(2).f(x)=2x-2=2(x-1)(3).令f(x)=0，解之得驻点为x=1.当x(-，1)时，f(x)0,单调递增.(二)若函数在一个开区间或无穷区间(-，+)内可导，且有唯一的极值点 .例9.求函数f(x)=x2-2x+6的最值.(1).f(x28 例10.在半径为R的半圆内作内接梯形，使其底为直径其他三边 为圆的弦，问应怎样设计，才能使梯形的面积最大？解：(三)：解决实际问题中的最大值问题的步骤：(1).根据题意建立函数关系式.(2).确定函数的定义域.(3).求函数f(x)在给定区域上的最大值或最小值.练习3.求半径为R的半圆的内接矩形的最大面积.例10.在半径为R的半圆内作内接梯形，使其底为直径其他29 例4.生产某种商品x个单位的利润是P(x)=5000+x-0.00001x2(元)问生产多少个单位时获得的利润最大？解：(1)函数关系式为P(x)=5000+x-0.00001x2 (x0).(2)P(x)=1-0.00002x(3)令P(x)=0得驻点x=5104 x=5104是唯一驻点，又利润最大值存在.练习：当生产5104个单位时获得的利润最大.例4.生产某种商品x个单位的利润是P(x)=500030函数的极值及其求法重点课件31函数的极值及其求法重点课件32函数的极值及其求法重点课件331）求出函数的定义域；2）求出函数f(x)的导数f(x)；3）令f(x)=0,解出方程f(x)=0的全部解，得到f(x)的 全部驻点。4）列表考察f(x)的符号，以确定该驻点是否为极值点，并由极值点求出函数的极值。求函数极值的步骤：1）求出函数的定义域；2）求出函数f(x)的导数f(x)；34极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小极大值可能小于极小值值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点.函数的极值必在函数的极值必在临界点临界点取得取得.判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于35小结与作业最值问题的两种类型：(1)求出给定解析式的导数f(x)；令f(x)=0，求出驻点；(2)求出驻点处的函数值以及端点处的函数值；(3)比较这些值的大小，其中最大的就是函数的 最大值，最小的就是最大值.1.已知函数解析式及闭区间求最值.2.实际问题求最值.(1)根据题意建立函数关系式y=f(x)；(2)根据实际问题确定函数的定义域；(3)求出函数y=f(x)的导数，令f(x)=0，求出驻点；若定义域为开区间且驻点只存一个，则由题意判定函数 存在最大或最小值，则该驻点所对应函数值就是所求.作业：P146:1,2,3,4,5.小结与作业最值问题的两种类型：(1)求出给定解析式的导数f36思考题思考题下命题正确吗？下命题正确吗？思考题下命题正确吗？37思考题解答思考题解答不正确不正确例例思考题解答不正确例38在在1和和1之间振荡之间振荡故命题不成立故命题不成立在1和1之间振荡故命题不成立39