常用小波的分类剖析课件

常用小波的分类常用小波的分类2024/6/142基本内容n n1.1.小波的分类小波的分类n n2 2.常用的基本小波常用的基本小波 n n3.3.正交小波正交小波n n4.4.双正交小波双正交小波2024/6/1431.1.小波的分类小波的分类n第一类第一类:是所谓地是所谓地“经典小波经典小波”，在，在MATLABMATLAB中又称作中又称作“原始小波原始小波”。n第二类：是第二类：是DaubecheisDaubecheis构造的正交构造的正交小波小波n第三类：是由第三类：是由CohenCohen，DaubechiesDaubechies构构造的双正交小波造的双正交小波2024/6/1442.常用的基本小波常用的基本小波uHaarHaar小波小波 HaarHaar小波来自于数学家小波来自于数学家HaarHaar于于19101910年提出的年提出的HaarHaar正交函数集，其定义是：正交函数集，其定义是：其波形如图所示。其波形如图所示。的傅里叶变换是：的傅里叶变换是：2024/6/1452.常用的基本小波常用的基本小波 Harr小波小波(a)，(b)，(c)2024/6/1462.常用的基本小波常用的基本小波HaarHaar小波的优点小波的优点 Haar小波在小波在时域是域是紧支撑的，即其非零区支撑的，即其非零区间为（0，1）Haar小波属正交小波。若取小波属正交小波。若取 ，那么，那么HaarHaar波是波是对称的。系称的。系统的的单位冲位冲击响响应若具有若具有对称性，称性，则该系系统具有具有线性相位，性相位，这对于去除相位失真是非常有于去除相位失真是非常有利的。利的。HaarHaar小波是目前唯一一个既具有小波是目前唯一一个既具有对称性又是有限称性又是有限支撑的正交小波；支撑的正交小波；Haar小波小波仅取取1和和1，计算算简单。2024/6/1472.常用的基本小波常用的基本小波HaarHaar小波缺点小波缺点 HaarHaar小波是不连续小波，由于小波是不连续小波，由于 ，因此处，因此处 只有一阶零点只有一阶零点 ，这就，这就使得使得HaarHaar小波在实际的信号分析与处理小波在实际的信号分析与处理中受到了限制。中受到了限制。2024/6/1482.常用的基本小波常用的基本小波uMorletMorlet小波小波 MorletMorlet小波定小波定义为 其傅里叶其傅里叶变换 它是一个具有高斯包它是一个具有高斯包络的的单频率复正弦函数。考率复正弦函数。考虑到到待分析的信号一般是待分析的信号一般是实信号。信号。MorletMorlet小波不是正交的，也不是双正交的，可用小波不是正交的，也不是双正交的，可用于于连续小波小波变换。但。但该小波是小波是对称的，是称的，是应用用较为广广泛的一种小波。泛的一种小波。2024/6/1492.常用的基本小波常用的基本小波MATLAB中将中将MorletMorlet小波定义小波定义改造为：改造为：并取并取 该小波不是紧支撑的，理论上讲该小波不是紧支撑的，理论上讲t可取可取但是当但是当 ，或再取更大的值时，或再取更大的值时，和和 在时域和频域都具有很好的集中，如图所示。在时域和频域都具有很好的集中，如图所示。2024/6/14102.常用的基本小波常用的基本小波 MorletMorlet小波，小波，(a)(a)时域波形，时域波形，(b)(b)频谱频谱2024/6/14112.常用的基本小波常用的基本小波uMexican hatMexican hatMexican hatMexican hat小波小波小波小波 该小波的中文名字为该小波的中文名字为“墨西哥草帽墨西哥草帽”小波，又称小波，又称MarrMarr小波。它定义为小波。它定义为:式中式中 ，其傅里叶变换为，其傅里叶变换为 该小波是由一高斯函数的二阶导数所得到的该小波是由一高斯函数的二阶导数所得到的,其波形其波形和其频谱如图所示。和其频谱如图所示。2024/6/14122.常用的基本小波常用的基本小波 墨西哥草帽小波，墨西哥草帽小波，(a)(a)时域波形，时域波形，(b)(b)频谱频谱2024/6/1413 2.常用的基本小波常用的基本小波uMexican hat小波不是紧支撑的，不是小波不是紧支撑的，不是正交的，也不是双正交的，但它是对称正交的，也不是双正交的，但它是对称的，可用于连续小波变换。由于该小波的，可用于连续小波变换。由于该小波在在 处有二阶零点，因此它满足容处有二阶零点，因此它满足容许条件，且该小波比较接近人眼视觉的许条件，且该小波比较接近人眼视觉的空间响应特征空间响应特征2024/6/14142.常用的基本小波常用的基本小波uGaussianGaussianGaussianGaussian小波小波小波小波 高斯小波是由一基本高斯函数分别求导而得到高斯小波是由一基本高斯函数分别求导而得到的，定义为：的，定义为：，式中定标常数是保证式中定标常数是保证 。该小波不是正交的，也不是双正交的，也不是紧该小波不是正交的，也不是双正交的，也不是紧支撑的。当支撑的。当k k取偶数时取偶数时 正对称，当正对称，当k k取奇数时，取奇数时，反对称。下图中给出了反对称。下图中给出了k=4k=4时的时的 的时域波形及对的时域波形及对应的频谱。应的频谱。2024/6/14152.常用的基本小波常用的基本小波 高斯小波，取高斯小波，取k=4,(a)k=4,(a)时域波形，时域波形，(b)(b)频谱频谱2024/6/1416 3.正交小波正交小波n目前提出的正交小波大致可分为四种，目前提出的正交小波大致可分为四种，即即DaubechiesDaubechies小波小波，对称小波对称小波，CoifletsCoiflets小波小波和和MeyerMeyer小波小波。这些正交小。这些正交小波和前面所讨论的波和前面所讨论的“经典小波经典小波”不同，不同，它们一般不能由一个简洁的表达式给出它们一般不能由一个简洁的表达式给出 ，而是通过一个叫做，而是通过一个叫做“尺度函数尺度函数”的的 的加权组合来产生的。的加权组合来产生的。2024/6/14173.正交小波正交小波uDaubechiesDaubechiesDaubechiesDaubechies小波小波小波小波 DaubechiesDaubechies小波简称小波简称dbdb小波小波。它是由法国女学者。它是由法国女学者Ingrid DauechiesIngrid Dauechies于于9090年代初提出并构造。年代初提出并构造。DaubechiesDaubechies对小波变换的理论做出了突出的贡献，对小波变换的理论做出了突出的贡献，特别是在尺度特别是在尺度a a取取2 2的整数次幂时的小波理论及正交的整数次幂时的小波理论及正交小波的构造方面进行了深入的研究，其代表作小波的构造方面进行了深入的研究，其代表作Ten Lectures on WaveletTen Lectures on Wavelet（小波十讲）（小波十讲）2024/6/14183.正交小波正交小波dbNdbN中的表示中的表示dbdb小波的阶次，小波的阶次，。当时，。当时，db1db1即即是是HaarHaar小波。因此，前述的小波。因此，前述的HaarHaar小波应归于小波应归于“正交小正交小波波”类。类。DaubechiesDaubechies计算出了计算出了 时的时的 及及 。dbdb小波是正交小波，也是双正交小波，并是紧支撑的。小波是正交小波，也是双正交小波，并是紧支撑的。的支撑范围在的支撑范围在 ，的支撑范围在的支撑范围在 。小波。小波 具有具有N N阶消失矩，阶消失矩，在在 处具有处具有N N阶零点。但阶零点。但dbdb小波是非对称的，其相应的滤小波是非对称的，其相应的滤波器组属共轭正交镜像滤波器组（波器组属共轭正交镜像滤波器组（CQMFBCQMFB）。）。2024/6/14193.正交小波正交小波dbN小波 2024/6/14203.正交小波正交小波 表表 7-1 Daubechies小波滤波器系数（低通滤波器）小波滤波器系数（低通滤波器）2024/6/14213.正交小波正交小波u对称小波对称小波对称小波对称小波 对称小波简记为对称小波简记为symNsymN，N=2,3,N=2,3,8,8，它是，它是dbdb小波的小波的改进，也是由改进，也是由DaubechiesDaubechies提出并构造的。它除了有提出并构造的。它除了有dbdb小波的特点外，主要是小波的特点外，主要是 是接近对称的，因此，是接近对称的，因此，所用的滤波器可接近于线性相位。下图中是所用的滤波器可接近于线性相位。下图中是N N4 4时时的对称小波。的对称小波。2024/6/14223.正交小波正交小波 N4时的对称小波，时的对称小波，(a)，(b)2024/6/14233.正交小波正交小波uCoifletsCoifletsCoifletsCoiflets小波小波小波小波 该小波简记为该小波简记为coifNcoifN，N=1,2,N=1,2,5,5。在。在dbdb小波中，小波中，DaubechiesDaubechies小波仅考虑了使小波函数小波仅考虑了使小波函数 具有消失具有消失矩（矩（N N阶），而没考虑尺度函数阶），而没考虑尺度函数 。coifNcoifN是紧支撑正交、双正交小波，支撑范围为是紧支撑正交、双正交小波，支撑范围为 ，也是接近对称的。，也是接近对称的。的消失矩是的消失矩是2N2N，的消失矩是的消失矩是2N2N1 1。2024/6/14243.正交小波正交小波 Coiflets Coiflets小波，小波，(a)(a)，(b)(b)2024/6/14253.正交小波正交小波uMeyerMeyer小波小波 MeyerMeyer小波简记为小波简记为meyrmeyr，它是由，它是由MeyerMeyer于于19861986年提年提出的。该小波无时域表达式，它是由一对共轭正交镜出的。该小波无时域表达式，它是由一对共轭正交镜像滤波器组的频谱来定义的。像滤波器组的频谱来定义的。MeyerMeyer小波是正交、双正交的，但不是有限支撑小波是正交、双正交的，但不是有限支撑的，但其有效的支撑范围在的，但其有效的支撑范围在 8 8，88之间。该小波是之间。该小波是对称的，且有着非常好的规则性。对称的，且有着非常好的规则性。2024/6/14263.正交小波正交小波 Meyer小波，小波，(a)，(b)2024/6/14273 3双正交小波双正交小波 由于离散小波变换最后是由两通道滤波器组来实现。由于离散小波变换最后是由两通道滤波器组来实现。因此，正交小波条件下的因此，正交小波条件下的 ，和和 与与 都不具有线性相位（都不具有线性相位（HaarHaar小波除外）。小波除外）。DaubechiesDaubechies和和CohenCohen提出并构造了双正交小波，提出并构造了双正交小波，其目的是在放宽小波正交性的条件下得到线性相位其目的是在放宽小波正交性的条件下得到线性相位的小波及相应的滤波器组。的小波及相应的滤波器组。2024/6/14283 3双正交小波双正交小波双正交滤波器组简称双正交滤波器组简称biorNr,NdbiorNr,Nd，其中，其中NrNr是低通是低通重建滤波器的阶次，重建滤波器的阶次，NdNd是低通分解滤波器的阶次。在是低通分解滤波器的阶次。在MATLABMATLAB中，中，NrNr和和NdNd的可能组合是：的可能组合是：Nr=1,Nd=1,3,5Nr=1,Nd=1,3,5 Nr=2,Nr=2,Nd=2,4,6,8 Nd=2,4,6,8 Nr=3,Nd=1,3,5,7,9 Nr=3,Nd=1,3,5,7,9 Nr=4,Nd=4 Nr=4,Nd=4 Nr=5,Nd=5 Nr=5,Nd=5 Nr=6,Nd=8 Nr=6,Nd=82024/6/14293 3双正交小波双正交小波u这一类小波不是正交的，但它们是双正交的，是紧支撑的，更主要的是它们是对称的，因此具有线性相位。分解小波 的消失矩为Nr-1。下图给出的bior3.7的分解小波、尺度函数及重建小波和尺度函数。2024/6/14303 3双正交小波双正交小波 双正交小波双正交小波bior3.7 bior3.7 (a)(a)分解尺度函数分解尺度函数 ，(b)(b)分解小波分解小波 ，(c)(c)重建尺度函数重建尺度函数 ，(d)(d)重建小波重建小波n谢谢！2024/6/1431