无穷小与无穷大汇编课件

宁波职业技术学院教学资源中心公共数学教研室宁波职业技术学院教学资源中心公共数学教研室应用数学应用数学无穷小与无穷大无穷小与无穷大极限的运算法则极限的运算法则Infinitesimal and InfinityInfinitesimal and InfinityRules of Computing LimitsRules of Computing Limits2024/6/12无穷小与无穷大极限的运算法则Infinitesimal a1Applied MathematicsApplied Mathematicsv无穷小（大）的概念和性质v极限的运算法则；v用极限的运算法则和无穷小的性质求一些函数的极限。知识目标知识目标:2024/6/12无穷小（大）的概念和性质知识目标:2023/8/92Applied MathematicsApplied Mathematics实例实例1在日常生活中，经常用樟脑丸来保护收藏的衣物，但我们发现随着时间推移，樟脑丸会变得越来越小，最后樟脑丸的质量将会如何变化？Infinitesimal and Infinity2024/6/12实例1在日常生活中，经常用樟脑丸来保护收藏的衣物，但我们发现3Applied MathematicsApplied Mathematics实例2Infinitesimal and Infinity将单摆离开铅直位置的偏度用角来度量，让单摆自己摆动，考虑机械摩擦力和空气阻力，在这个过程中，角的变化趋势如何？2024/6/12实例2Infinitesimal and Infinit4Applied MathematicsApplied Mathematics一、一、无穷小概念无穷小概念1.无穷小的定义无穷小的定义例例如果当 （或 ）时，函数f(x)的极限是零，那么称函数f(x)当 （或 ）时为无穷小。Infinitesimal and Infinity2024/6/12一、无穷小概念1.无穷小的定义例如果当 5Applied MathematicsApplied Mathematics例1 判断下列函数哪些是无穷小，哪些不是无穷小。0是当时为无穷小是当时不是无穷小Infinitesimal and Infinity2024/6/12例1 判断下列函数哪些是无穷小，哪些不是无穷小。0是当时6Applied MathematicsApplied Mathematics注意注意 无穷小量是以无穷小量是以0 0为极限的变量；讲为极限的变量；讲一个函数是无穷小量，必须一个函数是无穷小量，必须指出自变指出自变量的变化趋势量的变化趋势；无穷小量不一定是零，零作为函数来无穷小量不一定是零，零作为函数来 讲是无穷小量；讲是无穷小量；任何非零常数，不论其绝对值如何小，任何非零常数，不论其绝对值如何小，都不是无穷小量。因为非零常数的极限都不是无穷小量。因为非零常数的极限是其本身，并不是零。是其本身，并不是零。2024/6/12注意 无穷小量是以0为极限的变量；讲一个函数是无穷小量，必7Applied MathematicsApplied Mathematics2.无穷小性质无穷小性质（1）有限个有限个无穷小的代数无穷小的代数和与乘积和与乘积仍为无穷小。仍为无穷小。Infinitesimal and Infinity注意：注意：无限个无无限个无穷小量的和与小量的和与积不一定是不一定是无无穷小量。小量。例如：例如：2024/6/122.无穷小性质（1）有限个无穷小的代数和与乘积仍为无穷小。I8Applied MathematicsApplied Mathematics例例3 求极限求极限解解由性质（由性质（2）2024/6/12例3 求极限解由性质（2）2023/8/99Applied MathematicsApplied Mathematics例例4 求极限求极限解解由性质（由性质（2）Infinitesimal and Infinity2024/6/12例4 求极限解由性质（2）Infinitesim10Applied MathematicsApplied Mathematics练习：利用无穷小的性质,求下列函数的极限=0=0=0=0=0A B=02024/6/12练习：利用无穷小的性质,求下列函数的极限=0=0=0=0=11Applied MathematicsApplied Mathematics当时，都是无穷小，他们的积趋向于零的速度。仍为无穷小，那么它们的商是否也是无穷小呢？并通过列表观察例5：Infinitesimal and Infinity极限不同极限不同,反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不同程度不同.2024/6/12当时，都是无穷小，他们的积趋向于零的速度。仍为无穷小，那么12Applied MathematicsApplied Mathematics3、无穷小的比较、无穷小的比较定义设和是同一变化过程中的两个无穷小，即lim=0和lim=0()如果，那么称是的高阶无穷小()如果，那么称是的低阶无穷小()如果，那么称是的同阶无穷小特别是当c=1时，即当时，则称与是等价无穷小,记作：Infinitesimal and Infinity2024/6/123、无穷小的比较定义设和是同一变化过程中的两个无穷小，13Applied MathematicsApplied Mathematics例如，例如，2024/6/12例如，2023/8/914Applied MathematicsApplied Mathematics等价无穷小替代等价无穷小替代1、若极限 ,称(x）与(x)等价.2、常见的几个等价无穷小(很重要很重要)2024/6/12等价无穷小替代1、若极限 15Applied MathematicsApplied Mathematics定理定理(等价无穷量替换定理等价无穷量替换定理)意义：意义：在求函数极限时，分子、分母、中的因式可以用它们在求函数极限时，分子、分母、中的因式可以用它们的简单的等价量来替换，以便进行化简。但替换以后的函数的简单的等价量来替换，以便进行化简。但替换以后的函数极限要存在或为无穷大。极限要存在或为无穷大。无穷小等价代换定理无穷小等价代换定理常用于计算常用于计算 型的极限型的极限2024/6/12定理(等价无穷量替换定理)意义：在求函数极限时，分子、分母、16Applied MathematicsApplied Mathematics例例 求求解解例例 求求解解2024/6/12例 求解例 求解2023/8/917Applied MathematicsApplied Mathematics2024/6/122023/8/918Applied MathematicsApplied Mathematics例例解解解：解：求例例：2024/6/12例解解：求例：2023/8/919Applied MathematicsApplied Mathematics例例解解解解错错注意：注意：分子、分母中进行分子、分母中进行加、加、减减的项不能替换，应分解因的项不能替换，应分解因式，用因式来替换式，用因式来替换,然后再对然后再对提出的无穷小因子进行代换，提出的无穷小因子进行代换，否则不能直接代换否则不能直接代换.2024/6/12例解解错注意：分子、分母中进行加、减的项不能替换，应分解因式20 连续两次使用等价无穷小替代连续两次使用等价无穷小替代.等价无穷小替代等价无穷小替代例：例：解解：2024/6/12 连续两次使用等价无穷小替代.等价无穷小替代例：解：2021Applied MathematicsApplied Mathematics2024/6/122023/8/922Applied MathematicsApplied Mathematics训练：训练：2024/6/12训练：2023/8/923Applied MathematicsApplied Mathematics 二、无穷大的概念二、无穷大的概念记作记作 如如 称称是当是当称称是当是当称称是当是当如果当 （或 ）时，函数f(x)的绝对值无限增大，那么称函数f(x)当 （或 ）时为无穷大。定义:简言之简言之，极限为，极限为 无穷无穷 的量叫做无穷大量的量叫做无穷大量.2024/6/12 二、无穷大的概念记作 如 称是当称是当称是当如果当 24Applied MathematicsApplied Mathematics 注意！注意！Infinitesimal and Infinity(3)2024/6/12 注意！Infinitesimal and Infi25Applied MathematicsApplied Mathematics(1)有限个无穷大量之积是无穷大量有限个无穷大量之积是无穷大量;(2)有界变量与无穷大量之和是无穷大量有界变量与无穷大量之和是无穷大量.定理：有界量与无穷大量的乘积有界量与无穷大量的乘积是否一定为无穷大量？是否一定为无穷大量？考察考察 无穷大量与有界量之积不一定是无穷大量无穷大量与有界量之积不一定是无穷大量.2024/6/12(1)有限个无穷大量之积是无穷大量;(2)有界变量与无穷26Applied MathematicsApplied Mathematics三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系例例Infinitesimal and Infinity无穷小与无穷大互为无穷小与无穷大互为“倒数倒数”.2024/6/12三、无穷小与无穷大的关系例Infinitesimal an27Applied MathematicsApplied Mathematics渐近线渐近线曲线上的动点曲线上的动点P P沿曲线无限远离坐标原点时，沿曲线无限远离坐标原点时，它到某定直线的距离趋于它到某定直线的距离趋于0 0，则此直线称为该，则此直线称为该曲线的曲线的渐近线渐近线。其分类为：其分类为：1.1.垂垂直渐近线直渐近线2024/6/12渐近线曲线上的动点P沿曲线无限远离坐标原点时，它到某定直线的28Applied MathematicsApplied Mathematics例如例如有铅直渐近线两条有铅直渐近线两条:2024/6/12例如有铅直渐近线两条:2023/8/929Applied MathematicsApplied Mathematics2.2.水平渐近线水平渐近线例如例如有水平渐近线两条有水平渐近线两条:2024/6/122.水平渐近线例如有水平渐近线两条:2023/8/930Applied MathematicsApplied Mathematics3.3.斜渐近线斜渐近线斜渐近线求法斜渐近线求法:2024/6/123.斜渐近线斜渐近线求法:2023/8/931Applied MathematicsApplied Mathematics例例解解2024/6/12例解2023/8/932Applied MathematicsApplied Mathematics例例1 求下列函数曲线的渐近线：求下列函数曲线的渐近线：解解(1)直线直线 x=1是曲线的垂直渐近线是曲线的垂直渐近线.直线直线 y=0是曲线的水平渐近线是曲线的水平渐近线.直线直线 y=0是曲线的水平渐近线是曲线的水平渐近线.(2)(3)y=x 是斜渐近线是斜渐近线.直线直线 x=1,x=-1是垂直渐近线是垂直渐近线.2024/6/12例1 求下列函数曲线的渐近线：解(1)直线 x=1是曲33Applied MathematicsApplied Mathematics2024/6/122023/8/934Applied MathematicsApplied Mathematics总总 结结v无穷小（大）的概念及注意点v无穷小的性质v无穷小的比较v极限的四则运算法则及运用2024/6/12总 结无穷小（大）的概念及注意点2023/8/935