专题测试练习题 正余弦定理及其应用

专题07 正余弦定理及其应用【自主热身,归纳总结】 1、在ABC中,设a,b,c分别为角A,B,C的对边,若a5,A,cosB,c_.【答案】： 7【解析】：因为cosB,所以B(0,),从而sinB,所以sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB,又由正弦定理得,即,解得c7. 2、在ABC中,已知AB1,AC,B45,则BC的长为_【答案】： 【解析】：在ABC中,已知c1,b,B45,由余弦定理b2a2c22accosB,得a2a10.因为a0,所以a,即BC. 已知两条边以及一个角,研究第三边的问题的本质是三边一角,所以应用余弦定理是最直接的方法,它要比应用正弦定理来得方便、快捷 3、 在中,若,则的值为 【答案】【解析】由正弦定理得,不妨设则由余弦定理得.【课本探源】（必修5第26页第10题）在三角形中,若则角等于 4、在锐角ABC中,若ABC的面积为,则的长是 【答案】、 【解析】： 因为,由,解得,因为是在锐角中,所以（或求出锐角,再求）,在锐角中,由余弦定理得：,所以,即.5、在中,已知,且的面积为,则边长为 【答案】：76、在ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若bsinAsinBacos2B2c,则的值为_【答案】：. 2【解析】：由正弦定理得,sinBsinAsinBsinAcos2B2sinC,即sinA(sin2Bcos2B)2sinC,即sinA2sinC,再由正弦定理得,2.7、在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则 .【答案】：4【思路分析】本题第一步应将的条件化成正余弦的等式；第二步由于本题求是的三角形边长,所以将三角函数值等式转化为边长的等式；第三步：再结合解方程组即可.【解析】：解法一：由可得：,即,所以有,即由正、余弦定理可得：,即,又所以,即.解法二：也可在, 用余弦定理可得,解得,下同解法一.8、 在ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.已知ac2b,sinBsinC,则cosA_.【答案】【解析】：由sinBsinC得bc.又因为ac2b,所以ac,因此cosA9、设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,则cosA_【答案】、 10、设的内角,的对边分别是,且满足,则 【答案】;. 4 解法1（正弦定理） 根据正弦定理可得,即,又因为所以又因为,所以所以,则解法2（射影定理） 因为及可得,注意到,两式相除可得,再由正弦定理可得解后反思：解三角形问题中若等式既有三角函数又有边,则可以考虑利用正弦定理或余弦定理转化为只含有边或只含有三角函数的等式处理.解法2则利用了三角形中的射影定理（教材必修5p17练习5）结合条件整体处理.11、在ABC中,BC=,AC=1,以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点,C、D两点在直线AB的两侧）当变化时,线段CD长的最大值为 【答案】3思路分析 要求的长,只需将表示为的函数形式,然后应用三角函数知识来求它的最大值则可,因此在中应用余弦定理可得,再在中分别应用正弦定理、余弦定理得及,故,由此可得结果【解析】：在中,由正弦定理得,由余弦定理得在中,由余弦定理得,故,即【问题探究,变式训练】例1、.如图,在ABC中,D是BC上的一点已知B60,AD2,AC,DC,则AB_. 【答案】【解析】：在ACD中,因为AD2,AC,DC,所以cosADC,从而ADC135,所以ADB45.在ADB中,所以AB 【变式1】、如图,在ABC中,AB3,AC2,BC4,点D在边BC上,BAD45,则tanCAD的值为_【答案】【解析】： 从构造角的角度观察分析,可以从差的角度(CADA45),也可以从和的角度(ACAD45),所以只需从余弦定理入手求出A的正切值,问题就迎刃而解了解法1 在ABC中,AB3,AC2,BC4,由余弦定理可得cosA,所以tanA,于是tanCADtan(A45).解法2 由解法1得tanA.由tan(45CAD)得,即,解得tanCAD.【变式2】、ABCD(第15题)如图,在中,已知点在边上,（1）求的值；（2）求的长【解析】：（1）在中,所以同理可得, 所以【变式3】、如图,在梯形ABCD中,已知ADBC,AD1,BD2,CAD,tanADC2.(1) 求CD的长；(2) 求BCD的面积【解析】： (1)因为tanADC2,且ADC(0,),所以sinADC,cosADC.所以sinACDsin sin sinADCcoscosADCsin ,(6分)在ADC中,由正弦定理得CD(2) 因为ADBC, 所以cosBCDcosADC,sinBCDsinADC在BDC中,由余弦定理得BD2BC2CD22BCCDcosBCD,得BC22BC350,解得BC7, (12分)所以SBCDBCCDsinBCD77.【变式4】、如图,在四边形ABCD中,已知AB13,AC10,AD5,CD,50.(1) 求cosBAC的值；(2) 求sinCAD的值；(3) 求BAD的面积 【解析】： (1) 因为cosBAC,所以cosBAC.(2) 在ADC中,AC10,AD5,CD.由余弦定理,得cosCAD.因为CAD(0,),所以sinCAD.(3) 由(1)知,cosBAC.因为BAC(0,),所以sinBAC.从而sinBADsin(BACCAD) sinBACcosCADcosBACsinCAD .所以SBADABADsinBAD135 28.【关联1】、中,点在边上,且,:k:,则实数k的取值范围为 【答案】：(,)【解析】：解法一：因为DC2BD,所以有,即,所以有,又ABADAC3k1,可设,所以,即,所以.【关联2】、 在ABC中,已知AC3,A45,点D满足2,且AD,则BC的长为_ 【答案】3 【解析】： 由2可得点D为线段CB上靠近点B的一个三等分点,作CEAB,DFAB,在RtACE中先求出AECE,再在RtBCE中根据求出DF,进而求出AF,EF,FB,然后根据勾股定理或余弦定理求BC的长度即可如图,过点C作CEAB,DFAB,垂足分别为E,F.在RtACE中,因为AC3,A45,所以AECE.因为2,所以,从而DFCE.在RtADF中,AD,所以AF ,EFAFAE.因为2,所以,从而BFEF,BEBFEF.解法1 在RtBCE中,BC3.解法2 所以AB3,所以在ABC中,由余弦定理得BC2AC2AB22ACABcosBAC,所以BC29182339,所以BC3.【关联3】、. 在ABC中,D为边AC上一点,ABAC6,AD4,若ABC的外心恰在线段BD上,则BC_.【答案】3【解析】： 本题要求BC的长,关键是要求出BAC,找出线段的比例关系,建立方程,从而求出BC的长解法2 如图2,设BAC2,外接圆的半径为R,由SABOSADOSABD,得6Rsin4Rsin64sin2,化简得24cos5R.在RtAFO中,Rcos3,联立解得R,cos,所以sin,所以BC2BE2ABsin123.图1图2图3解法3 如图3,延长AO交BC于点E,过点D作BC的垂线,垂足为F,则,.又DFAE,则,所以.设OEx,则AE5x,所以OBOA4x,所以BEx.又因为25x215x236,所以x3,所以BC2BE3.例2、 在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a23b23c22bcsinA,则C_.【答案】. 【解析】：因为a23b23c22bcsinAb2c22bccosA,所以sinAcosA2sin.又22(当且仅当bc时取等号),2sin2当且仅当A时取等号,故2sin2,所以bc,A,故C.解后反思 本题中对所得条件“sinAcosA”出现无法转化的现象这里需要借助三角函数有界性以及基本不等式得到两个方程求出b,c,A.【变式1】、 在ABC中,已知AB,C,则的最大值为_【答案】：. 【解析】：因为AB,C,设角A,B,C所对的边为a,b,c,所以由余弦定理得3a2b22abcosa2b2abab,当且仅当ab时等号成立,又abcosCab,所以当ab时,()max.【变式2】、 在ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2b22c28,则ABC面积的最大值为_【答案】： 【解析】：思路分析1 注意到a2b22c28中a,b是对称的,因此,将三角形的面积表示为SabsinC,利用余弦定理将ab表示为C的形式,进而转化为三角函数来求它的最值思路分析2 将c看作定值,这样,满足条件的三角形就有无数个,从而来研究点C所满足的条件,为此,建立直角坐标系,从而根据条件a2b22c28得到点C的轨迹方程,进而来求出边AB上的高的所满足的条件解法1 因为cosC,所以ab,从而SabsinC.设t,则3t2sinC2tcosC2sin(C),其中tant,故3t2,解得t,所以Smax,当且仅当ab且tanC时,等号成立解法2 以AB所在的直线为x轴,它的垂直平分线为y轴,建立如图所示的直角坐标系,则A,B,C(x,y),则由a2b22c28得2y22y22c28,即x2y24,即点C在圆x2y24上,所以Sr,当且仅当c2时取等号,故Smax.解法3 设ADm,BDn,CDh,由a2b22c28,得m2h2n2h22(mn)28(mn)22h22(mn)2(mn)22h22(mn)h,当且仅当hmn时取等号,所以S(mn)h,所以面积的最大值为.解法4 由余弦定理a2b2c22abcosC,结合a2b22c28,得83c22abcosC,由三角形面积公式得4S2absinC,两式平方相加得,(83c2)216S24a2b2(a2b2)2(82c2)2,即16S2c2(165c2),所以S2,所以S,当且仅当ab,c2时取等号,所以面积的最大值为.解后反思 解法1是从将面积表示为角C的形式来加以思考的,而解法2则是将面积表示为边c的形式来加以思考的这两种解法都基于一点,即等式a2b22c28中的a,b是对称关系解法2则是从运动变化的角度来加以思考的,这体现了三角函数与【解析】几何之间的千丝万镂的关系解法1是一种常规的想法,是必须要认真体会的,而解法2就需要学生能充分地认识知识与知识之间的联系本题对学生的知识的应用要求、思考问题、分析问题、解决问题的能力要求都比较高【关联】、如图,某生态园将三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树,已知角A为120,AB,AC的长度均大于200 m,现在边界AP,AQ处建围墙,在PQ处围竹篱笆(1) 若围墙AP,AQ的总长度为200 m,如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？(2) 已知AP段围墙高1 m,AQ段围墙高1.5 m,造价均为每平方米100元若围围墙用了20 000元,问如何围可使竹篱笆用料最省？【解析】：(1) 设APx m,AQy m,则xy200,x0,y0.APQ的面积Sxysin120xy.因为xy210 000,当且仅当xy100时取等号所以当APAQ100 m时,可使三角形地块APQ的面积最大(2) 由题意得100(1x1.5y)20 000,即x1.5y200在APQ中,PQ2x2y22xycos120x2y2xy.即PQ2(2001.5y)2y2(2001.5y)yy2400y40 000,其中0y0.(5分)所以cosC,(6分)所以C.(7分)(2) 因为ABC的面积为2,所以absinC2,所以ab.(8分)由(1)知C,所以sinC,所以ab8.(9分)又因为b2a,解得a2,b4,所以c2a2b22abcosC224222428,(13分)所以c2.(14分) 对于三角函数问题,在解题中要注意解题的规范性、严谨性,否则,就会因为解题不规范而导致失分一般地,要注意以下几个方面：一是在应用三角公式时,要注意展示公式的过程；二是在等式两边同除以一个代数式时,要注意判断它是否为0；三是在研究角的关系时,要注意角的范围【变式1】、在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cosA,tan(BA).(1) 求tanB的值；(2) 若c13,求ABC的面积【解析】：(1) 在ABC中,由cosA,得A为锐角,所以sinA,所以tanA,所以tanBtan(BA)A3.(2) 在ABC中,由tanB3,得sinB,cosB.(8分)所以sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB.由正弦定理,得b15,所以ABC的面积SbcsinA151378.【变式2】、在ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且tanB2,tanC3.(1) 求角A的大小；(2) 若c3,求b的长【解析】： (1) 因为tanB2,tanC3,ABC,所以tanAtan(BC)tan(BC)1.又A(0,),所以A.(2) 因为tanB2,且sin2Bcos2B1,又B(0,),所以sinB.同理可得sinC. 由正弦定理,得b2.【变式3】、在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,(abc)(abc)ab.(1) 求角C的大小；(2) 若c2acosB,b2,求ABC的面积【解析】(1) 在ABC中,由(abc)(abc)ab,得,即cosC因为0C,所以C.(2) 解法1 因为c2acosB,由正弦定理,得sinC2sinAcosB因为ABC,所以sinCsin(AB),所以sin(AB)2sinAcosB,即sinAcosBcosAsinB0,即sin(AB)0,又AB0,所以c2.解后反思 在ABC中,结论cacosBbcosA称为“一般三角形射影定理”其几何意义(也是记忆方法)是：三角形一边的长度等于另两边在这条边上的射影之和【关联2】、在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知c2,C. (1) 若ABC的面积等于,求a,b；(2) 若sin Csin(BA)2sin 2A,求ABC的面积. 【解析】 (1) 由余弦定理及已知条件得a2b2ab4又因为ABC的面积等于,所以absinC,得ab4.联立方程组解得a2,b2.【关联3】、在斜三角形ABC中,tanAtanBtanAtanB1.(1) 求C的值；(2) 若A15,AB,求ABC的周长【解析】 (1) 解法1 因为tanAtanBtanAtanB1,即tanAtanB1tanAtanB,因为在斜三角形ABC中,1tanAtanB0,所以tan(AB)1,即tan(180C)1,即tanC1,因为0C180,所以C135.解法2 由tanAtanBtanAtanB1得1,化简得sinAcosBsinBcosAsinAsinBcosAcosB,即sin(AB)cos(AB),所以sinCcosC,因为斜三角形ABC,所以C,=(2) 在ABC中,A15,C135,则B180AC30.由正弦定理得2,故BC2sin152sin(4530)2(sin45cos30cos45sin30),CA2sin301.所以ABC的周长为ABBCCA1.易错警示 第1问中容易在两个地方不规范而导致失分,一是不说明1tanAtanB0而扣分；二是由tanC1,不说明角度范围而扣分例4、已知ABC的面积为S,且S.(1) 求sinA；(2) 若|3,|2,求sinB.【解析】： (1) 设ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c.因为ABC的面积为S,且S,所以bccosAbcsinA,所以sinAcosA,所以A为锐角,且sin2Acos2Asin2Asin2Asin2A1,所以sinA.(2) 因为|c3,|a2,由正弦定理得,即,所以sinC.又因为ca,所以C为锐角,所以C,所以sinBsinsinAcoscosAsin(12分). 在求三角函数值或角的大小时,要特别注意角的范围,除已知条件中给出的限制条件外,还要注意所给的三角函数值对角的范围的限制另外,要注意边的大小关系对角的范围的限制如本题(1)中求sinA和(2)中求C.【变式1】、在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sinAcos21,D为BC上一点,且. (1) 求sinA的值；(2) 若a4,b5,求AD的长【解析】 (1) 因为sinAcos21,所以sinA1,即2sinAcosA1,所以(2sinA1)2cos2A,即5sin2A4sinA0.因为A(0,),所以sinA0,所以sinA,cosA.(2) 在ABC中,a2b2c22bccosA,所以3225c225c,即c26c70,解得c7因为,所以2c2b2bccosA257525,所以AD5【变式2】、在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bcosCccosB2acosA.(1) 求角A的大小；(2) 若,求ABC的面积【解析】1) 解法1 在ABC中,由正弦定理及bcosCccosB2acosA,得sinBcosCsinCcosB2sinAcosA,即sinA2sinAcosA,因为A(0,),所以sinA0,所以cosA,所以A.解法2 在ABC中,由余弦定理及bcosCccosB2acosA,得bc2a,所以a2b2c2bc,所以cosA,因为A(0,),所以A.(2) 由cbcosA,得bc2,所以ABC的面积为SbcsinA2sin60.【变式3】、已知向量m(cosA,sinA),n(cosB,sinB),mncos2C,其中A,B,C为ABC的内角(1) 求角C的大小；(2) 若AB6,且18,求AC,BC的长【解析】(1) 因为mncosAcosBsinAsinBcos(AB)cosC,所以cosCcos2C,即2cos2CcosC10故cosC或cosC1(舍)又0C0,A(0,),所以A,sinA.(10分)因为sinAsinB,所以ab,从而AB,B为锐角,cosB.(12分)所以cosCcos(AB)cosAcosBsinAsinB.(14分)【关联1】、已知ABC的面积为S,且|22S.(1) 求B的大小；(2) 若S,且|1,试求ABC最长边的长度设角A,B,C所对的边分别是a,b,c.因为|22S,所以a2bacosCabsinC,(2分)所以abcosCbsinC.由正弦定理得sinAsinBcosCsinBsinC.(4分)在ABC中,sinAsin(BC),sinC0,B(0,),(6分)所以sinBcosCcosBsinCsinBcosCsinbsinC,所以cosBsinCsinBsinC,所以cosBsinB,tanB1,(8分)所以B.(9分)(2) 因为b1,B,S,所以acsinB.(10分)由余弦定理得1a2c22ac.(11分)解得a1,c或a,c1.(13分)所以最长边的长度为.(14分)【关联2】、在ABC中,已知9,16.求：(1) AB的值；(2) 的值 【解析】(1) 解法1 因为9,16,所以91625,即()25,亦即225,故AB5.解法2 设A,B,C的对边依次为a,b,c.则由条件得bccosA9,accosB16.两式相加得c(bcosAacosB)91625,即c225,故ABc5. (7分)解法3 设A,B,C的对边依次为a,b,c.则由条件得bccosA9,accosB16.由余弦定理得(b2c2a2)9,(c2a2b2)16.两式相加得c225,故ABc5.(2) .由正弦定理得.