二维随机变量函数的分布课件

概率统计（ZYH）本本节节讨讨论论如如何何由由已已知知的的二二维维随随机机变变量量(X,Y)的的分布去求它的函数分布去求它的函数 Zg(X,Y)的分布的分布 设设(X,Y)是是分分布布已已知知的的二二维维随随机机变变量量,g(x,y)是是二二元元连连续续函函数数,那那么么Zg(X,Y)就就是是一一个个一一维维随随机机变变量量.按定义按定义,随机变量随机变量 Zg(X,Y)的分布函数应为的分布函数应为 4.2 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布 本节讨论如何由已知的二维随机变量(X,Y)的 本节讨论如何由已知的二维随机变量(X,Y)的概率统计（ZYH）例例1 设设(X,Y)的分布律的分布律 Y X 1 0 10 0.1 0.2 0.21 0.1 0.1 0.3如右如右,求求X+Y,max(X,Y)与与min(X,Y)的分布律的分布律.解解由由(X,Y)的分布律可列对应表如下的分布律可列对应表如下:pi j 0.1 0.2 0.2 0.1 0.1 0.3(X,Y)(0,-1)(0,0)(0,1)(1,-1)(1,0)(1,1)X+Y -1 0 1 0 1 2max(X,Y)0 0 1 1 1 1min(X,Y)-1 0 0 -1 0 1例1设(X,Y)的分布律 Y 1 例1设(X,Y)的分布律 Y 1 概率统计（ZYH）分布律分布律pi j 0.1 0.2 0.2 0.1 0.1 0.3(X,Y)(0,-1)(0,0)(0,1)(1,-1)(1,0)(1,1)X+Y -1 0 1 0 1 2max(X,Y)0 0 1 1 1 1min(X,Y)-1 0 0 -1 0 1将函数的所有可能取值重排并概率即可得将函数的所有可能取值重排并概率即可得分布律pi j 0.1 0.2 分布律pi j 0.1 0.2 概率统计（ZYH）设两个独立的随机变量设两个独立的随机变量X 与与Y 的分布律为的分布律为求随机变量求随机变量 Z=X+Y 的分布律的分布律.因因X与与Y 独立独立,所以所以解解例例2所求分布律：所求分布律：设两个独立的随机变量X 与Y 的分布律为求随机变量 Z=X+设两个独立的随机变量X 与Y 的分布律为求随机变量 Z=X+概率统计（ZYH）1)Z=X+Y 的分布的分布故故连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布 1)Z=X+Y 的分布故连续型随机变量函数的分布 1)Z=X+Y 的分布故连续型随机变量函数的分布 1概率统计（ZYH）当当 X,Y 独立时独立时,卷积公式卷积公式 例例3 设设X和和Y是两个相互独立的随机变量是两个相互独立的随机变量,分布分布密度分别为密度分别为和和求其和求其和 ZXY 的分布密度的分布密度 当 X,Y 独立时,卷积公式 例3 设X和Y是 当 X,Y 独立时,卷积公式 例3 设X和Y是概率统计（ZYH）解解和和由由卷积公式卷积公式知知,ZXY的分布密度为的分布密度为 解和由卷积公式知,ZXY的分布密度为 解和由卷积公式知,ZXY的分布密度为 解和由卷积公式概率统计（ZYH）定理定理1则则Z=X+Y亦服从正态分布亦服从正态分布,且且且相互独立且相互独立,证证由由卷积公式卷积公式知知,ZXY 的分布密度为的分布密度为 很繁的过很繁的过程程定理1则Z=X+Y亦服从正态分布,且且相互独立,证由卷积定理1则Z=X+Y亦服从正态分布,且且相互独立,证由卷积概率统计（ZYH）故令故令 故令 故令 故令 概率统计（ZYH）定理定理2(独立正态分布的线性组合定理）独立正态分布的线性组合定理）利用本定理和上节定理利用本定理和上节定理1,不难得到更一般的不难得到更一般的定理2(独立正态分布的线性组合定理）利用本定理和上节定理定理2(独立正态分布的线性组合定理）利用本定理和上节定理概率统计（ZYH）2)最大值与最小值的分布最大值与最小值的分布则有则有2)最大值与最小值的分布则有2)最大值与最小值的分布则有2)最大值与最小值的分布则有概率统计（ZYH）结论结论推广推广结论推广结论推广结论推广概率统计（ZYH）例例4例4 例4例4概率统计（ZYH）()串联情况串联情况解解()串联情况解()串联情况解()串联情况解概率统计（ZYH）()并联情况并联情况()并联情况()并联情况()并联情况概率统计（ZYH）()备用情况备用情况()备用情况()备用情况()备用情况概率统计（ZYH）本本节节讨讨论论如如何何由由已已知知的的二二维维随随机机变变量量(X,Y)的的分布去求它的函数分布去求它的函数 Zg(X,Y)的分布的分布 设设(X,Y)是是分分布布已已知知的的二二维维随随机机变变量量,g(x,y)是是二二元元连连续续函函数数,那那么么Zg(X,Y)就就是是一一个个一一维维随随机机变变量量.按定义按定义,随机变量随机变量 Zg(X,Y)的分布函数应为的分布函数应为 4.2 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布 本节讨论如何由已知的二维随机变量(X,Y)的 本节讨论如何由已知的二维随机变量(X,Y)的概率统计（ZYH）例例1 设设(X,Y)的分布律的分布律 Y X 1 0 10 0.1 0.2 0.21 0.1 0.1 0.3如右如右,求求X+Y,max(X,Y)与与min(X,Y)的分布律的分布律.解解由由(X,Y)的分布律可列对应表如下的分布律可列对应表如下:pi j 0.1 0.2 0.2 0.1 0.1 0.3(X,Y)(0,-1)(0,0)(0,1)(1,-1)(1,0)(1,1)X+Y -1 0 1 0 1 2max(X,Y)0 0 1 1 1 1min(X,Y)-1 0 0 -1 0 1例1设(X,Y)的分布律 Y 1 例1设(X,Y)的分布律 Y 1 概率统计（ZYH）分布律分布律pi j 0.1 0.2 0.2 0.1 0.1 0.3(X,Y)(0,-1)(0,0)(0,1)(1,-1)(1,0)(1,1)X+Y -1 0 1 0 1 2max(X,Y)0 0 1 1 1 1min(X,Y)-1 0 0 -1 0 1将函数的所有可能取值重排并概率即可得将函数的所有可能取值重排并概率即可得分布律pi j 0.1 0.2 分布律pi j 0.1 0.2 概率统计（ZYH）设两个独立的随机变量设两个独立的随机变量X 与与Y 的分布律为的分布律为求随机变量求随机变量 Z=X+Y 的分布律的分布律.因因X与与Y 独立独立,所以所以解解例例2所求分布律：所求分布律：设两个独立的随机变量X 与Y 的分布律为求随机变量 Z=X+设两个独立的随机变量X 与Y 的分布律为求随机变量 Z=X+概率统计（ZYH）1)Z=X+Y 的分布的分布故故连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布 1)Z=X+Y 的分布故连续型随机变量函数的分布 1)Z=X+Y 的分布故连续型随机变量函数的分布 1概率统计（ZYH）当当 X,Y 独立时独立时,卷积公式卷积公式 例例3 设设X和和Y是两个相互独立的随机变量是两个相互独立的随机变量,分布分布密度分别为密度分别为和和求其和求其和 ZXY 的分布密度的分布密度 当 X,Y 独立时,卷积公式 例3 设X和Y是 当 X,Y 独立时,卷积公式 例3 设X和Y是概率统计（ZYH）解解和和由由卷积公式卷积公式知知,ZXY的分布密度为的分布密度为 解和由卷积公式知,ZXY的分布密度为 解和由卷积公式知,ZXY的分布密度为 解和由卷积公式概率统计（ZYH）定理定理1则则Z=X+Y亦服从正态分布亦服从正态分布,且且且相互独立且相互独立,证证由由卷积公式卷积公式知知,ZXY 的分布密度为的分布密度为 很繁的过很繁的过程程定理1则Z=X+Y亦服从正态分布,且且相互独立,证由卷积定理1则Z=X+Y亦服从正态分布,且且相互独立,证由卷积概率统计（ZYH）故令故令 故令 故令 故令 概率统计（ZYH）定理定理2(独立正态分布的线性组合定理）独立正态分布的线性组合定理）利用本定理和上节定理利用本定理和上节定理1,不难得到更一般的不难得到更一般的定理2(独立正态分布的线性组合定理）利用本定理和上节定理定理2(独立正态分布的线性组合定理）利用本定理和上节定理概率统计（ZYH）2)最大值与最小值的分布最大值与最小值的分布则有则有2)最大值与最小值的分布则有2)最大值与最小值的分布则有2)最大值与最小值的分布则有概率统计（ZYH）结论结论推广推广结论推广结论推广结论推广概率统计（ZYH）例例4例4 例4例4概率统计（ZYH）()串联情况串联情况解解()串联情况解()串联情况解()串联情况解概率统计（ZYH）()并联情况并联情况()并联情况()并联情况()并联情况概率统计（ZYH）()备用情况备用情况()备用情况()备用情况()备用情况