材料力学之弯曲应力ppt课件

(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)Chapter5 Stresses in beamsMechanics of Materials Chapter5 Stresses in beams材料力材料力 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)回顾与比较内力内力应力应力FAyFSM目录回顾与比较内力应力回顾与比较内力应力FAyFSM 目录目录 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)51 引言引言 (Introduction)52 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力 (Normal stresses in pure beams)53 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力(Normal stresses in transverse bending )54 梁的切应力及强度条件梁的切应力及强度条件(Shear stresses in beams and strength condition)第五章第五章第五章第五章 弯曲应力弯曲应力弯曲应力弯曲应力 (Stresses in beams)(Stresses in beams)55 提高梁强度的主要措施提高梁强度的主要措施（Measures to strengthen the strength of beams)51 引言引言 (Introduction)第五章第五章 弯弯 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)mmF FS SM一一一一、弯曲构件横截面上的应力弯曲构件横截面上的应力弯曲构件横截面上的应力弯曲构件横截面上的应力 (Stresses in flexural members)(Stresses in flexural members)当梁上有横向外力作用时当梁上有横向外力作用时当梁上有横向外力作用时当梁上有横向外力作用时,一般情况下一般情况下一般情况下一般情况下,梁的横截面上既又弯矩梁的横截面上既又弯矩梁的横截面上既又弯矩梁的横截面上既又弯矩MM,又有剪力又有剪力又有剪力又有剪力F FS S .51 引言引言 (Introduction)mmF FS S mmM 弯矩弯矩弯矩弯矩MM 正应力正应力正应力正应力 只有与正应力有关的法向内力元素只有与正应力有关的法向内力元素只有与正应力有关的法向内力元素只有与正应力有关的法向内力元素 d dF FN N=d dA A 才能合成弯矩才能合成弯矩才能合成弯矩才能合成弯矩剪力剪力剪力剪力F FS S 切应力切应力切应力切应力 内力内力内力内力只有与切应力有关的切向内力元素只有与切应力有关的切向内力元素只有与切应力有关的切向内力元素只有与切应力有关的切向内力元素 d dF FS S=d dA A 才能合成才能合成才能合成才能合成剪力剪力剪力剪力所以所以所以所以,在梁的横截面上一般既有在梁的横截面上一般既有在梁的横截面上一般既有在梁的横截面上一般既有正应力正应力正应力正应力(Normal stresses)(Normal stresses),又有又有又有又有切应力切应力切应力切应力(Shear stresses)(Shear stresses)mmFSM一、弯曲构件横截面上的应力当梁上有横向外力作用时一、弯曲构件横截面上的应力当梁上有横向外力作用时,(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)简支梁简支梁简支梁简支梁CDCD段任一横截面上段任一横截面上段任一横截面上段任一横截面上,剪力等剪力等剪力等剪力等于零于零于零于零,而弯矩为常量而弯矩为常量而弯矩为常量而弯矩为常量,所以该段梁的弯所以该段梁的弯所以该段梁的弯所以该段梁的弯曲就是曲就是曲就是曲就是纯弯曲纯弯曲纯弯曲纯弯曲(Pure bending).(Pure bending).若梁在某段内各横截面的弯矩若梁在某段内各横截面的弯矩若梁在某段内各横截面的弯矩若梁在某段内各横截面的弯矩为常量为常量为常量为常量,剪力为零剪力为零剪力为零剪力为零,则该段梁的弯曲就则该段梁的弯曲就则该段梁的弯曲就则该段梁的弯曲就称为称为称为称为纯弯曲纯弯曲纯弯曲纯弯曲(Pure bending)(Pure bending).二、纯弯曲二、纯弯曲二、纯弯曲二、纯弯曲（Pure bending)Pure bending)FFaaCD+FF+F.a图图 5-1AB 简支梁简支梁CD段任一横截面上段任一横截面上,剪力等于零剪力等于零,而弯矩为常量而弯矩为常量 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)三、分析方法三、分析方法三、分析方法三、分析方法 (Analysis method)(Analysis method)对称弯曲时横截面对称弯曲时横截面对称弯曲时横截面对称弯曲时横截面 纯弯曲梁纯弯曲梁纯弯曲梁纯弯曲梁(横截面上只有横截面上只有横截面上只有横截面上只有MM而无而无而无而无F FS S的情况的情况的情况的情况)对称弯曲时横截面对称弯曲时横截面对称弯曲时横截面对称弯曲时横截面 横力横力横力横力 弯曲弯曲弯曲弯曲(横截面上既有横截面上既有横截面上既有横截面上既有F FS S又有又有又有又有MM的情况的情况的情况的情况)RAF1F2RB 从简单到复杂，即从对称纯从简单到复杂，即从对称纯弯曲、到一般横力弯曲、再到弯曲、到一般横力弯曲、再到组合变形进行研究。组合变形进行研究。连续体的连续体的超静定超静定问题，综合问题，综合几何几何、物理物理和和静力学静力学三方面进三方面进行研究。行研究。三、分析方法三、分析方法 (Analysis method)对称弯曲时对称弯曲时 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)deformationdeformationgeometricgeometricrelationshiprelationship Examine the deformationExamine the deformation，then propose the hypothesisthen propose the hypothesis Distribution regularity Distribution regularity of deformationof deformationDistribution regularity Distribution regularity of stressof stressEstablish the formulaEstablish the formula变形几何关系变形几何关系变形几何关系变形几何关系物理关系物理关系物理关系物理关系静力关系静力关系静力关系静力关系 观察变形，观察变形，观察变形，观察变形，提出假设提出假设提出假设提出假设变形的分布规律变形的分布规律变形的分布规律变形的分布规律应力的分布规律应力的分布规律应力的分布规律应力的分布规律建立公式建立公式建立公式建立公式physicalphysicalrelationshiprelationshipstaticstaticrelationshiprelationship 52 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力 (Normal stresses in pure beams)deformationExamine the deforma (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)一、实验一、实验一、实验一、实验（ExperimentExperiment）1 1 1 1、变形现象、变形现象、变形现象、变形现象（Deformation phenomenon)Deformation phenomenon)纵向线纵向线纵向线纵向线且靠近顶端的纵向线缩短，且靠近顶端的纵向线缩短，且靠近顶端的纵向线缩短，且靠近顶端的纵向线缩短，靠近底端的纵向线段伸长靠近底端的纵向线段伸长靠近底端的纵向线段伸长靠近底端的纵向线段伸长相对转过了一个角度相对转过了一个角度相对转过了一个角度相对转过了一个角度,仍与变形后的纵向弧线垂直仍与变形后的纵向弧线垂直仍与变形后的纵向弧线垂直仍与变形后的纵向弧线垂直各横向线仍保持为直线，各横向线仍保持为直线，各横向线仍保持为直线，各横向线仍保持为直线，各纵向线段弯成弧线，各纵向线段弯成弧线，各纵向线段弯成弧线，各纵向线段弯成弧线，横向线横向线横向线横向线一、实验（一、实验（Experiment）1、变形现象（、变形现象（Deform (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)2 2 2 2、提出假设、提出假设、提出假设、提出假设(Assumptions(Assumptions）(a)(a)(a)(a)平面假设平面假设平面假设平面假设 变形前为平面的横截面变形变形前为平面的横截面变形变形前为平面的横截面变形变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线(b)(b)(b)(b)单向受力假设单向受力假设单向受力假设单向受力假设 纵向纤维间无正应力纵向纤维间无正应力纵向纤维间无正应力纵向纤维间无正应力,只受单向拉压只受单向拉压只受单向拉压只受单向拉压推论：推论：推论：推论：必有一层变形前后长度不变的纤维必有一层变形前后长度不变的纤维必有一层变形前后长度不变的纤维必有一层变形前后长度不变的纤维中性层中性层中性层中性层（Neutral surfaceNeutral surface）中性轴中性轴中性轴中性轴 横截面对称轴横截面对称轴横截面对称轴横截面对称轴中性轴中性轴横截面对称轴横截面对称轴横截面对称轴横截面对称轴 中性层中性层中性层中性层2、提出假设、提出假设(Assumptions）平面假设）平面假设 变形前为变形前为 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)观察变形观察变形观察变形观察变形提出假设提出假设提出假设提出假设变形的分布规律变形的分布规律变形的分布规律变形的分布规律变形几何关系变形几何关系变形几何关系变形几何关系物理关系物理关系物理关系物理关系静力关系静力关系静力关系静力关系应力的分布规律应力的分布规律应力的分布规律应力的分布规律建立公式建立公式建立公式建立公式实实实实 验验验验平面假设平面假设平面假设平面假设单向受力假设单向受力假设单向受力假设单向受力假设中性层、中性轴中性层、中性轴中性层、中性轴中性层、中性轴观察变形变形的分布规律变形几何关系物理关系静力关系应力的分布观察变形变形的分布规律变形几何关系物理关系静力关系应力的分布 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)dx图（图（图（图（b b）yzxo应变分布规律应变分布规律应变分布规律应变分布规律 ：直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比图（图（图（图（a a）dx二、变形几何关系二、变形几何关系二、变形几何关系二、变形几何关系（Deformation geometric relation Deformation geometric relation）图（图（图（图（c c）yzyxoobbybboodx图（图（b）yzxo应变分布规律应变分布规律：直梁纯弯曲时纵向纤维的应：直梁纯弯曲时纵向纤维的应 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)三、物理关系三、物理关系三、物理关系三、物理关系(Physical relationship)Physical relationship)所以所以所以所以Hookes LawHookes LawMyzOx 直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比离成正比离成正比离成正比应力分布规律：应力分布规律：应力分布规律：应力分布规律：?待解决问题待解决问题待解决问题待解决问题中性轴的位置中性轴的位置中性轴的位置中性轴的位置中性层的曲率半径中性层的曲率半径中性层的曲率半径中性层的曲率半径?三、物理关系三、物理关系(Physical relationship)所所 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)观察变形观察变形观察变形观察变形提出假设提出假设提出假设提出假设变形的分布规律变形的分布规律变形的分布规律变形的分布规律变形几何关系变形几何关系变形几何关系变形几何关系物理关系物理关系物理关系物理关系静力关系静力关系静力关系静力关系应力的分布规律应力的分布规律应力的分布规律应力的分布规律建立公式建立公式建立公式建立公式实实实实 验验验验平面假设平面假设平面假设平面假设单向受力假设单向受力假设单向受力假设单向受力假设中性层、中性轴中性层、中性轴中性层、中性轴中性层、中性轴观察变形变形的分布规律变形几何关系物理关系静力关系应力的分布观察变形变形的分布规律变形几何关系物理关系静力关系应力的分布 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)yzxOMd dA AzyddA A四、静力关系四、静力关系四、静力关系四、静力关系(Static relationship(Static relationship）横截面上内力系为横截面上内力系为横截面上内力系为横截面上内力系为垂直于垂直于垂直于垂直于横截面的空间平行力系横截面的空间平行力系横截面的空间平行力系横截面的空间平行力系这一力系简化，得到三个内力分量这一力系简化，得到三个内力分量这一力系简化，得到三个内力分量这一力系简化，得到三个内力分量中性层的曲率半径中性层的曲率半径中性层的曲率半径中性层的曲率半径 中性轴的位置中性轴的位置中性轴的位置中性轴的位置待解决问题待解决问题待解决问题待解决问题FNMzMy内力与外力相平衡可得内力与外力相平衡可得内力与外力相平衡可得内力与外力相平衡可得(1)(1)(2)(2)(3)(3)yzxOMdAzydA四、静力关系四、静力关系(Static rel (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)将应力表达式代入将应力表达式代入将应力表达式代入将应力表达式代入(1)(1)(1)(1)式，得式，得式，得式，得将应力表达式代入将应力表达式代入将应力表达式代入将应力表达式代入(2)(2)(2)(2)式，得式，得式，得式，得将应力表达式代入将应力表达式代入将应力表达式代入将应力表达式代入(3)(3)(3)(3)式，得式，得式，得式，得中性轴通过横截面形心中性轴通过横截面形心中性轴通过横截面形心中性轴通过横截面形心自然满足自然满足自然满足自然满足将应力表达式代入将应力表达式代入(1)式，得将应力表达式代入式，得将应力表达式代入(2)式，得将应式，得将应 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)观察变形观察变形观察变形观察变形提出假设提出假设提出假设提出假设变形的分布规律变形的分布规律变形的分布规律变形的分布规律变形几何关系变形几何关系变形几何关系变形几何关系物理关系物理关系物理关系物理关系静力关系静力关系静力关系静力关系应力的分布规律应力的分布规律应力的分布规律应力的分布规律建立公式建立公式建立公式建立公式实实实实 验验验验平面假设平面假设平面假设平面假设单向受力假设单向受力假设单向受力假设单向受力假设中性层、中性轴中性层、中性轴中性层、中性轴中性层、中性轴中性轴过横截面形心中性轴过横截面形心中性轴过横截面形心中性轴过横截面形心EIEIz z称为抗弯刚度称为抗弯刚度称为抗弯刚度称为抗弯刚度 (Flexural rigidity)(Flexural rigidity)观察变形变形的分布规律变形几何关系物理关系静力关系应力的分布观察变形变形的分布规律变形几何关系物理关系静力关系应力的分布 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)纯弯曲时横截面上正应力的计算公式纯弯曲时横截面上正应力的计算公式纯弯曲时横截面上正应力的计算公式纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:MM为梁横截面上的弯矩为梁横截面上的弯矩为梁横截面上的弯矩为梁横截面上的弯矩y y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离为梁横截面上任意一点到中性轴的距离为梁横截面上任意一点到中性轴的距离为梁横截面上任意一点到中性轴的距离I Iz z为梁横截面对中性轴的惯性矩为梁横截面对中性轴的惯性矩为梁横截面对中性轴的惯性矩为梁横截面对中性轴的惯性矩讨论讨论(1)(1)应用公式时应用公式时应用公式时应用公式时,一般将一般将一般将一般将 MM，y y 以绝对值代入以绝对值代入以绝对值代入以绝对值代入.根据梁变形的情根据梁变形的情根据梁变形的情根据梁变形的情况直接判断况直接判断况直接判断况直接判断 的正负号的正负号的正负号的正负号.以中性轴为界，梁变形后凸出边的应以中性轴为界，梁变形后凸出边的应以中性轴为界，梁变形后凸出边的应以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力力为拉应力力为拉应力力为拉应力(为正号为正号为正号为正号).).凹入边的应力为压应力凹入边的应力为压应力凹入边的应力为压应力凹入边的应力为压应力(为负号为负号为负号为负号).).(2)(2)最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处则公式改写为则公式改写为则公式改写为则公式改写为引用记号引用记号引用记号引用记号抗弯截面系数抗弯截面系数抗弯截面系数抗弯截面系数纯弯曲时横截面上正应力的计算公式纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:M为梁横截面上的弯矩为梁横截面上的弯矩y为梁为梁 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)（1 1）当）当）当）当 中性轴为对称轴时中性轴为对称轴时中性轴为对称轴时中性轴为对称轴时矩形截面矩形截面矩形截面矩形截面实心圆截面实心圆截面实心圆截面实心圆截面空心圆截面空心圆截面空心圆截面空心圆截面bhzyzdyzDdy（1）当）当 中性轴为对称轴时矩形截面实心圆截面空心圆截面中性轴为对称轴时矩形截面实心圆截面空心圆截面bhz (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)zy（2 2）对于中性轴不是对称轴的横截面）对于中性轴不是对称轴的横截面）对于中性轴不是对称轴的横截面）对于中性轴不是对称轴的横截面M应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离 和和和和 直接代入公式直接代入公式直接代入公式直接代入公式求得相应的最大正应力求得相应的最大正应力求得相应的最大正应力求得相应的最大正应力zy（2）对于中性轴不是对称轴的横截面）对于中性轴不是对称轴的横截面M应分别以横截面上受拉应分别以横截面上受拉 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)l 梁变形与受力假设：梁变形与受力假设：平面假设，单向受力假设。平面假设，单向受力假设。l 正应力公式：正应力公式：l 最大正应力最大正应力上次课回顾上次课回顾 梁变形与受力假设：平面假设，单向受力假设。梁变形与受力假设：平面假设，单向受力假设。正应力公式：正应力公式：(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)当梁上有横向力作用时当梁上有横向力作用时当梁上有横向力作用时当梁上有横向力作用时,横截面上既又横截面上既又横截面上既又横截面上既又 弯矩又有剪力弯矩又有剪力弯矩又有剪力弯矩又有剪力.梁在此梁在此梁在此梁在此种情况下的弯曲称为种情况下的弯曲称为种情况下的弯曲称为种情况下的弯曲称为横力弯曲横力弯曲横力弯曲横力弯曲(Nonuniform bending)(Nonuniform bending)53 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力(Normal stresses of the beam in nonuniform bending)Normal stresses of the beam in nonuniform bending)一、横力弯曲一、横力弯曲一、横力弯曲一、横力弯曲(Nonuniform bending)(Nonuniform bending)等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为当梁上有横向力作用时当梁上有横向力作用时,横截面上既又横截面上既又 弯矩又有剪力弯矩又有剪力.梁在此种情梁在此种情 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)二、公式的应用范围二、公式的应用范围二、公式的应用范围二、公式的应用范围 (The applicable range of the flexure formula)(The applicable range of the flexure formula)1 1 1 1、在弹性范围内在弹性范围内在弹性范围内在弹性范围内(All stresses in the beam are below the proportional limit)(All stresses in the beam are below the proportional limit)2 2 2 2、对称弯曲、对称弯曲、对称弯曲、对称弯曲（Plane bendingPlane bending）3 3 3 3、直梁、直梁、直梁、直梁（Straight beamsStraight beams）三、强度条件三、强度条件三、强度条件三、强度条件（Strength condition)Strength condition)：梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力1 1 1 1、数学表达式、数学表达式、数学表达式、数学表达式（Mathematical formula)Mathematical formula)二、公式的应用范围二、公式的应用范围1、在弹性范围内在弹性范围内2、对称弯曲（、对称弯曲（Plane (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)2 2 2 2、强度条件的应用、强度条件的应用、强度条件的应用、强度条件的应用(Application of strength condition)(Application of strength condition)(2)(2)(2)(2)设计截面设计截面设计截面设计截面(3)(3)(3)(3)确定许可载荷确定许可载荷确定许可载荷确定许可载荷(1)(1)(1)(1)强度校核强度校核强度校核强度校核对于铸铁等对于铸铁等对于铸铁等对于铸铁等 脆性材料脆性材料脆性材料脆性材料 (Brittle materials)Brittle materials)制成的梁制成的梁制成的梁制成的梁,由于材料的由于材料的由于材料的由于材料的且梁横截面的且梁横截面的且梁横截面的且梁横截面的中性轴中性轴中性轴中性轴 (Neutral axis)(Neutral axis)一般也不是对称轴一般也不是对称轴一般也不是对称轴一般也不是对称轴,所以梁的所以梁的所以梁的所以梁的(两者有时并不发生在同一横截面上两者有时并不发生在同一横截面上两者有时并不发生在同一横截面上两者有时并不发生在同一横截面上)要求分别不超过材料的要求分别不超过材料的要求分别不超过材料的要求分别不超过材料的许用拉应力许用拉应力许用拉应力许用拉应力(Allowable tensile stress)(Allowable tensile stress)和和和和许用压应力许用压应力许用压应力许用压应力 (Allowable compressive stress)(Allowable compressive stress)2、强度条件的应用、强度条件的应用(Application of stren (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)例题例题例题例题1 1 螺栓压板夹紧装置如图所示螺栓压板夹紧装置如图所示螺栓压板夹紧装置如图所示螺栓压板夹紧装置如图所示.已知板长已知板长已知板长已知板长3 3a a150mm150mm，压板，压板，压板，压板材料的弯曲许用应力材料的弯曲许用应力材料的弯曲许用应力材料的弯曲许用应力 140MP.140MP.试计算压板传给工件的最大允试计算压板传给工件的最大允试计算压板传给工件的最大允试计算压板传给工件的最大允许压紧力许压紧力许压紧力许压紧力F F.ACBFa2a20 30 14FRAFRB+Fa解解解解 (1)(1)作出弯矩图的作出弯矩图的作出弯矩图的作出弯矩图的最大弯矩为最大弯矩为最大弯矩为最大弯矩为FaFa(2)(2)求惯性矩，抗弯求惯性矩，抗弯求惯性矩，抗弯求惯性矩，抗弯截面系数截面系数截面系数截面系数(3)(3)求许可载荷求许可载荷求许可载荷求许可载荷例题例题1 螺栓压板夹紧装置如图所示螺栓压板夹紧装置如图所示.已知板长已知板长3a150mm (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)80y1y22020120z例题例题例题例题2 T2 T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示.铸铁的抗拉铸铁的抗拉铸铁的抗拉铸铁的抗拉许用应力为许用应力为许用应力为许用应力为 t t=30MPa,=30MPa,抗压许用应力为抗压许用应力为抗压许用应力为抗压许用应力为 c c=160MPa.=160MPa.已知截已知截已知截已知截面对形心轴面对形心轴面对形心轴面对形心轴Z Z的惯性矩为的惯性矩为的惯性矩为的惯性矩为 I Iz z =763cm=763cm4 4,y y1 1 =52mm,=52mm,校核梁的强度校核梁的强度校核梁的强度校核梁的强度.F1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m80y1y22020120z例题例题2 T形截面铸铁梁的荷载形截面铸铁梁的荷载 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)RARBF1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m-+4kN2.5kN解解解解最大正弯矩在截面最大正弯矩在截面最大正弯矩在截面最大正弯矩在截面C C上上上上最大负弯矩在截面最大负弯矩在截面最大负弯矩在截面最大负弯矩在截面B B上上上上 B B截面截面截面截面C C截面截面截面截面80y1y22020120zRARBF1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m-+4k (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)例题例题例题例题3 3 由由由由 n n 片薄片组成的梁片薄片组成的梁片薄片组成的梁片薄片组成的梁zbFlh当每片间的磨擦力甚小时当每片间的磨擦力甚小时当每片间的磨擦力甚小时当每片间的磨擦力甚小时,每一每一每一每一薄片就独立弯曲薄片就独立弯曲薄片就独立弯曲薄片就独立弯曲每一薄片中的最大正应力等于每一薄片中的最大正应力等于每一薄片中的最大正应力等于每一薄片中的最大正应力等于近似地认为每片上承担的外力等于近似地认为每片上承担的外力等于近似地认为每片上承担的外力等于近似地认为每片上承担的外力等于zbFlh若用刚度足够的螺栓将薄片联紧若用刚度足够的螺栓将薄片联紧若用刚度足够的螺栓将薄片联紧若用刚度足够的螺栓将薄片联紧,杆就会象整体梁一样弯曲杆就会象整体梁一样弯曲杆就会象整体梁一样弯曲杆就会象整体梁一样弯曲最大正应力等于最大正应力等于最大正应力等于最大正应力等于例题例题3 由由 n 片薄片组成的梁片薄片组成的梁zbFlh当每片间的磨擦力当每片间的磨擦力 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)引言：切应力问题的提出引言：切应力问题的提出19世纪，铁路开始发展，人们很不理解，枕木为世纪，铁路开始发展，人们很不理解，枕木为什么沿纵向中截面开裂？什么沿纵向中截面开裂？D.J Jourawski(18211891)是俄国桥梁与铁路是俄国桥梁与铁路工程师，发展了现在广泛应用的梁的剪切近似理论工程师，发展了现在广泛应用的梁的剪切近似理论引言：切应力问题的提出引言：切应力问题的提出19世纪，铁路开始发展，人们很不理解，世纪，铁路开始发展，人们很不理解，(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)一、梁横截面上的切应力一、梁横截面上的切应力一、梁横截面上的切应力一、梁横截面上的切应力1 1 1 1、矩形截面梁、矩形截面梁、矩形截面梁、矩形截面梁(Beam of(Beam of rectangular cross section)rectangular cross section)54 弯曲切应力及强度条件弯曲切应力及强度条件 (Shear stresses in beams and strength condition)(1)(1)两个假设两个假设两个假设两个假设(Two(Two assumptions)assumptions)(a)(a)(a)(a)切应力与剪力平行切应力与剪力平行切应力与剪力平行切应力与剪力平行(b)(b)(b)(b)切应力沿截面宽度均匀分布切应力沿截面宽度均匀分布切应力沿截面宽度均匀分布切应力沿截面宽度均匀分布(即矩中性轴等距离处剪应力相等即矩中性轴等距离处剪应力相等即矩中性轴等距离处剪应力相等即矩中性轴等距离处剪应力相等)q(x)F1F2思考思考:能否假设能否假设 (y)沿截沿截面高度均匀分布面高度均匀分布?一、梁横截面上的切应力一、梁横截面上的切应力1、矩形截面梁、矩形截面梁(Beam of rec (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)mnnmxyzobdxmmhn(2)(2)分析方法分析方法分析方法分析方法(Analysis method)(Analysis method)(a)(a)用横截面用横截面用横截面用横截面mm-mm,n n-n n从梁中截从梁中截从梁中截从梁中截取取取取d dx x一段一段一段一段.两横截面上的弯矩不两横截面上的弯矩不两横截面上的弯矩不两横截面上的弯矩不等等等等.所以两截面同一所以两截面同一所以两截面同一所以两截面同一y y处的正应力处的正应力处的正应力处的正应力也不等也不等也不等也不等.(b)(b)假想地从梁段上截出体积元假想地从梁段上截出体积元假想地从梁段上截出体积元假想地从梁段上截出体积元素素素素mBmB1 1在两端面在两端面在两端面在两端面mAmA1 1,nBnB1 1上两个上两个上两个上两个法向内力不等法向内力不等法向内力不等法向内力不等.ABB1A1mnxzyyq(x)F1F2mmnnxdxyABA1B1FN2FN1mnnmxyzobdxmmhn(2)分析方法分析方法(Analy (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)mnnmxyzoyABA1B1bdxmmhn(c)(c)在纵截面上必有沿在纵截面上必有沿在纵截面上必有沿在纵截面上必有沿 x x 方向的切向内力方向的切向内力方向的切向内力方向的切向内力d dF Fs s.故在此面上就有切故在此面上就有切故在此面上就有切故在此面上就有切应力应力应力应力()ABB1A1mnxzyymFN1FN2dFS根据假设根据假设根据假设根据假设 横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相等横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相等横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相等横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相等.各点各点各点各点的切应力方向均与截面侧边平行的切应力方向均与截面侧边平行的切应力方向均与截面侧边平行的切应力方向均与截面侧边平行.取分离体的平衡即可求出取分离体的平衡即可求出取分离体的平衡即可求出取分离体的平衡即可求出.mnnmxyzoyABA1B1bdxmmhn(c)(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)ABB1A1mnxzyymFN1FN2dFS(3)(3)公式推导公式推导公式推导公式推导(Derivation of the formula)(Derivation of the formula)假设假设假设假设mm-mm,n n-n n上的弯矩为上的弯矩为上的弯矩为上的弯矩为MM和和和和MM+d+dMM.两截面上距中性轴两截面上距中性轴两截面上距中性轴两截面上距中性轴 y y1 1 处的处的处的处的正应力为正应力为正应力为正应力为 1 1 和和和和 2 2.A A*为距中性轴为为距中性轴为为距中性轴为为距中性轴为y y的横线以下部分的横线以下部分的横线以下部分的横线以下部分的横截面面积的横截面面积的横截面面积的横截面面积式中：式中：式中：式中：为面积为面积为面积为面积A A*对中性轴的静矩对中性轴的静矩对中性轴的静矩对中性轴的静矩.ABB1A1mnxzyymFN1FN2dFS(3)公式推公式推 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)化简后得化简后得化简后得化简后得由平衡方程由平衡方程由平衡方程由平衡方程A*ABB1A1mnxzyymFN1FN2dFS化简后得由平衡方程化简后得由平衡方程A*ABB1A1mnxzyymFN1FN (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)b矩型截面的宽度矩型截面的宽度矩型截面的宽度矩型截面的宽度yz整个横截面对中性轴的惯性矩整个横截面对中性轴的惯性矩整个横截面对中性轴的惯性矩整个横截面对中性轴的惯性矩距中性轴为距中性轴为距中性轴为距中性轴为y y的横线以下部分横截面面积对中性轴的静的横线以下部分横截面面积对中性轴的静的横线以下部分横截面面积对中性轴的静的横线以下部分横截面面积对中性轴的静矩矩矩矩(4)(4)剪应力沿截面高度的变化规律剪应力沿截面高度的变化规律剪应力沿截面高度的变化规律剪应力沿截面高度的变化规律(The shear-stress distribution on the rectangular cross section)(The shear-stress distribution on the rectangular cross section)沿截面高度的变化由静矩沿截面高度的变化由静矩沿截面高度的变化由静矩沿截面高度的变化由静矩 与与与与y y之间的关系确定之间的关系确定之间的关系确定之间的关系确定b矩型截面的宽度矩型截面的宽度yz整个横截面对中性轴的惯性矩距中性轴为整个横截面对中性轴的惯性矩距中性轴为y的的 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)y1nBmAxyzOyA1B1m1可见可见可见可见,剪应力沿剪应力沿剪应力沿剪应力沿 截面高度按抛物线规律变化截面高度按抛物线规律变化截面高度按抛物线规律变化截面高度按抛物线规律变化.z maxmaxy y=h h/2(/2(即在横截面上距中性轴最远处即在横截面上距中性轴最远处即在横截面上距中性轴最远处即在横截面上距中性轴最远处)=0=0y=y=0(0(即在中性轴上各点处即在中性轴上各点处即在中性轴上各点处即在中性轴上各点处),),剪应力达到最大值剪应力达到最大值剪应力达到最大值剪应力达到最大值式中式中式中式中,A=bhA=bh,为矩形截面的面积为矩形截面的面积为矩形截面的面积为矩形截面的面积.y1nBmAxyzOyA1B1m1可见可见,剪应力沿剪应力沿 截面高度按截面高度按 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)二、工字形截面梁二、工字形截面梁y 所求应力的点到中性轴的距离。所求应力的点到中性轴的距离。研究方法与矩形截面同，切应力的计算公式亦为研究方法与矩形截面同，切应力的计算公式亦为HoyBxbzhb b 腹板的厚度腹板的厚度Ozydxy 距中性轴为距中性轴为y的横线以下部分的的横线以下部分的横截面面积横截面面积A*对中性轴的静矩。对中性轴的静矩。腹板腹板翼缘翼缘二、工字形截面梁二、工字形截面梁y 所求应力的点到中性轴的距离。研究方法所求应力的点到中性轴的距离。研究方法 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)y=0y=h/2认为在腹板上切应力大致均匀分布。认为在腹板上切应力大致均匀分布。minmin maxmaxo zy maxmaxHBbh腹板上的总剪力为：腹板上的总剪力为：横截面上剪力横截面上剪力F Fs s的绝大部分为腹板所的绝大部分为腹板所承担，这样腹板内的切应力近似为承担，这样腹板内的切应力近似为y=0y=h/2认为在腹板上切应力大致均匀分布。认为在腹板上切应力大致均匀分布。min (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)在翼缘上，有平行于在翼缘上，有平行于 的切应力分量，分布情况较复杂，但数量很小，的切应力分量，分布情况较复杂，但数量很小，并无实际意义，可忽略不计。并无实际意义，可忽略不计。l在翼缘上，还有垂直于在翼缘上，还有垂直于 方向的切应力分量，它与腹板上的切应力比较，方向的切应力分量，它与腹板上的切应力比较，一般来说也是次要的。一般来说也是次要的。l腹板上的切应力沿腹板高度按二次腹板上的切应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化抛物线规律变化.最大切应力也在中性轴上最大切应力也在中性轴上.这也是整这也是整个横截面上的最大切应力个横截面上的最大切应力.llo zy maxmaxHBbh minmin maxmax腹板负担截面上的绝大部分剪力，翼缘负担截面上的大部腹板负担截面上的绝大部分剪力，翼缘负担截面上的大部分弯矩。分弯矩。l在翼缘上，有平行于在翼缘上，有平行于 的切应力分量，分布情况较复杂，但的切应力分量，分布情况较复杂，但 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)ydzo假设假设(a)(a)沿宽度沿宽度kk上各点处的切应力均汇交于上各点处的切应力均汇交于o点。点。(b)(b)各点处切应力沿各点处切应力沿y方向的分量沿宽度相等。方向的分量沿宽度相等。在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切.三、圆截面梁三、圆截面梁最大切应力发生在最大切应力发生在中性轴上中性轴上式中式中式中式中为圆截面的面积为圆截面的面积ydzo假设假设(a)沿宽度沿宽度kk上各点处的切应力均汇交于上各点处的切应力均汇交于o (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)四、四、圆环形截面梁圆环形截面梁图示为一段薄壁环形截面梁图示为一段薄壁环形截面梁.环壁厚度为环壁厚度为 ，环的平均半径为，环的平均半径为r r0 0,由于由于 r r0 0 故可假设故可假设(a)(a)横截面上切应力的大小沿壁厚无变化横截面上切应力的大小沿壁厚无变化.(b)(b)切应力的方向与圆周相切切应力的方向与圆周相切.zyr0式中式中式中式中 A A=2=2 r r0 0 为环形截面的面积为环形截面的面积为环形截面的面积为环形截面的面积横截面上最大的切应力发生中性轴上，其值为横截面上最大的切应力发生中性轴上，其值为四、四、圆环形截面梁图示为一段薄壁环形截面梁圆环形截面梁图示为一段薄壁环形截面梁.环壁厚度为环壁厚度为，(Stresses in Beams)(Stresses in Beams)五、强度条件五、强度条件1.1.对称弯曲正应力公式对称弯曲正应力公式梁应力公式回顾梁应力公式回顾2.2.矩形截面梁的弯曲切应力矩形截面梁的弯曲切应力五、强度条件五、强度条件1.对称弯曲正应力公式梁应力公式回顾对称弯曲正应力公式梁应力公式回顾2.矩形截面矩形截面 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)当当 l h 时，时，max max横截面上各点假设：横截面上各点假设：/侧边侧边，或，或t/t/剪力剪力 t t 沿截面宽度方向沿截面宽度方向均匀分布均匀分布 h h/b b值对解的影响：值对解的影响：F h/b越大，解越精确。越大，解越精确。(h/b2时，时，足够精确足够精确)弯曲正应力与弯曲切弯曲正应力与弯曲切 应力比较应力比较当当 l h 时，时，smax tmax横截面上各点假横截面上各点假 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)梁的强度条件梁的强度条件 弯曲正应力强度条件：弯曲正应力强度条件：弯曲切应力强度条件：弯曲切应力强度条件：需要校核切应力的几种特殊情况需要校核切应力的几种特殊情况需要校核切应力的几种特殊情况需要校核切应力的几种特殊情况（1 1 1 1）梁的跨度较短）梁的跨度较短）梁的跨度较短）梁的跨度较短,M M M M 较小较小较小较小,而而而而F F F FS S S S较大时较大时较大时较大时,要校核切应力要校核切应力要校核切应力要校核切应力.（2 2 2 2）铆接或焊接的组合截面）铆接或焊接的组合截面）铆接或焊接的组合截面）铆接或焊接的组合截面,其腹板的厚度与高度比小于型钢其腹板的厚度与高度比小于型钢其腹板的厚度与高度比小于型钢其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时的相应比值时的相应比值时的相应比值时,要校核剪应力要校核剪应力要校核剪应力要校核剪应力.（3 3 3 3）各向异性材料各向异性材料各向异性材料各向异性材料(如木材如木材如木材如木材)的抗剪能力较差；以及焊接、铆接的抗剪能力较差；以及焊接、铆接的抗剪能力较差；以及焊接、铆接的抗剪能力较差；以及焊接、铆接或胶合而成的梁，对焊缝、铆钉、胶合面，需要或胶合而成的梁，对焊缝、铆钉、胶合面，需要或胶合而成的梁，对焊缝、铆钉、胶合面，需要或胶合而成的梁，对焊缝、铆钉、胶合面，需要校核剪应力校核剪应力校核剪应力校核剪应力.梁的强度条件梁的强度条件 弯曲正应力强度条件：弯曲正应力强度条件：弯曲切应力强度条件：需要弯曲切应力强度条件：需要 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)F例题例题例题例题4 4 一简易起重设备如图所示一简易起重设备如图所示一简易起重设备如图所示一简易起重设备如图所示.起起起起重量重量重量重量(包含电葫芦自重包含电葫芦自重包含电葫芦自重包含电葫芦自重)F F=30 kN.=30 kN.跨跨跨跨长长长长l l=5 m.=5 m.吊车大梁吊车大梁吊车大梁吊车大梁ABAB由由由由20a20a工字钢工字钢工字钢工字钢制成制成制成制成.其许用弯曲正应力其许用弯曲正应力其许用弯曲正应力其许用弯曲正应力 =170MPa,=170MPa,许用弯曲剪应力许用弯曲剪应力许用弯曲剪应力许用弯曲剪应力 =100MPa=100MPa，试，试，试，试校核梁的强度校核梁的强度校核梁的强度校核梁的强度.+37.5kNm5mAB2.5mFC解：此吊车梁可简化为简支梁解：此吊车梁可简化为简支梁解：此吊车梁可简化为简支梁解：此吊车梁可简化为简支梁力力力力 F F 在梁中间位置时有最大正应力在梁中间位置时有最大正应力在梁中间位置时有最大正应力在梁中间位置时有最大正应力 .(a)(a)正应力强度校核正应力强度校核正应力强度校核正应力强度校核 由型钢表查得由型钢表查得由型钢表查得由型钢表查得20a20a工字钢的工字钢的工字钢的工字钢的所以梁的最大正应力为所以梁的最大正应力为所以梁的最大正应力为所以梁的最大正应力为F例题例题4 一简易起重设备如图所示一简易起重设备如图所示.起重量起重量(包含电葫芦自包含电葫芦自 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)+FSmax5mABFC(b)(b)切应力强度校核切应力强度校核切应力强度校核切应力强度校核在计算最大剪应力时在计算最大剪应力时在计算最大剪应力时在计算最大剪应力时,应取荷载应取荷载应取荷载应取荷载F F在紧靠任一支座例如支座在紧靠任一支座例如支座在紧靠任一支座例如支座在紧靠任一支座例如支座A A处所示处所示处所示处所示,因为此时该支座的支反力最大因为此时该支座的支反力最大因为此时该支座的支反力最大因为此时该支座的支反力最大,而梁的最大切应力也就最大而梁的最大切应力也就最大而梁的最大切应力也就最大而梁的最大切应力也就最大.查型钢表中查型钢表中查型钢表中查型钢表中,20a,20a号工字钢号工字钢号工字钢号工字钢,有有有有d d=7mm=7mm据此校核梁的剪应力强度据此校核梁的剪应力强度据此校核梁的剪应力强度据此校核梁的剪应力强度以上两方面的强度条件都满以上两方面的强度条件都满以上两方面的强度条件都满以上两方面的强度条件都满足足足足,所以此梁是安全的所以此梁是安全的所以此梁是安全的所以此梁是安全的.+FSmax5mABFC(b)切应力强度校核在计算最大剪应力切应力强度校核在计算最大剪应力 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)解解解解 (1)(1)计算支反力做内力图计算支反力做内力图计算支反力做内力图计算支反力做内力图.qBACDElFFaaRARB8kN210kN208kN41.8kNm41.8kNm45kNm例题例题例题例题5 5 简支梁简支梁简支梁简支梁ABAB如图所示如图所示如图所示如图所示.l l2m,2m,a a0.2m.0.2m.梁上的载荷为梁上的载荷为梁上的载荷为梁上的载荷为q q10kN/m,10kN/m,F F200kN.200kN.材料的许用应力为材料的许用应力为材料的许用应力为材料的许用应力为 =160MPa,=160MPa,100MPa,100MPa,试选择工字钢型号试选择工字钢型号试选择工字钢型号试选择工字钢型号.(2)(2)根据最大弯矩选择工字钢型号根据最大弯矩选择工字钢型号根据最大弯矩选择工字钢型号根据最大弯矩选择工字钢型号查型钢表查型钢表查型钢表查型钢表,选用选用选用选用22a22a工字钢工字钢工字钢工字钢,其其其其WWz z309cm309cm3 3解解 (1)计算支反力做内力图计算支反力做内力图.qBACDElFFaaRA (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)（3 3）校核梁的切应力）校核梁的切应力）校核梁的切应力）校核梁的切应力腹板厚度腹板厚度腹板厚度腹板厚度 d d=0.75cm=0.75cm，由剪力图知最大剪力为，由剪力图知最大剪力为，由剪力图知最大剪力为，由剪力图知最大剪力为210kN210kN查表得查表得查表得查表得 maxmax超过超过超过超过 很多，应重新选择更大的界面很多，应重新选择更大的界面很多，应重新选择更大的界面很多，应重新选择更大的界面.现已现已现已现已25b25b工字钢进行试算工字钢进行试算工字钢进行试算工字钢进行试算查表得查表得查表得查表得d d=1cm=1cm所以应选用型号为所以应选用型号为所以应选用型号为所以应选用型号为25b25b的工字钢的工字钢的工字钢的工字钢.（3）校核梁的切应力腹板厚度）校核梁的切应力腹板厚度 d=0.75cm，由剪力图知最，由剪力图知最 (Stresses in Beams)(Stresses in Beams)例题例题例题例题6 6 对于图中的吊