不定积分-课件

不定积分一、一、原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念F(x)为为 f(x)的一个原函数的一个原函数.。（内容提要）（内容提要）不定积分一、原函数与不定积分的概念F(x)为 f(x1不定积分一、原函数与不定积分的概念F(x)为 f(x二、二、基本积分公式基本积分公式。二、基本积分公式。2二、基本积分公式。二、基本积分公式。2。3。3。4。4三、三、常见凑微分常见凑微分。三、常见凑微分。5三、常见凑微分。三、常见凑微分。5一般地：一般地：。一般地：。6一般地：。一般地：。6四、第二类换元法四、第二类换元法令令1.被积函数含被积函数含令令。四、第二类换元法令1.被积函数含令。7四、第二类换元法令1.被积函数含令。四、第二类换元法令12.被积函数含被积函数含令令令令令令先配方，再作适当变换先配方，再作适当变换(有时用倒代换有时用倒代换简单）。简单）。2.被积函数含令令令先配方，再作适当变换(有时用倒代换简82.被积函数含令令令先配方，再作适当变换(有时用倒代换简五、有理函数真分式的积分五、有理函数真分式的积分:分母在实数范围内因式分解若分母含因式若分母含既约因式，则对应的部分因式为，则对应的部分因式为。五、有理函数真分式的积分:分母在实数范围内因式分解若分母含因9五、有理函数真分式的积分:分母在实数范围内因式分解若分母含因六.分部积分公式分部积分公式注：下列题型用分部积分法；。六.分部积分公式注：下列题型用分部积分法；。10六.分部积分公式注：下列题型用分部积分法；。六不定积分（典型例题）（典型例题）不定积分（典型例题）11不定积分（典型例题）不定积分（典型例题）11例1，求解：一、由 求例1，求解：一、由 求12例1，求解：一、由 求例1，求解：例2在上定义，在内可导，在内定义且可导，时，求，的表达式.解:时，时，例2在上定义，在内可导，在内定义且可导，时，求，的表达式.解13例2在上定义，在内可导，在内定义且可导，时，求，的表达式.解例2在上定义，在内可导，在内定义且可导，时，求，的表达式。答案：例2在上定义，在内可导，在内定义且可导，时，求，的表达式。答14例2在上定义，在内可导，在内定义且可导，时，求，的表达式。答例3分段函数不定积分的求法：(1)各段分别积分，常数用不同 C1，C2 等表示；(2)根据原函数应该在分段点连续确定 C1、C2 的关系，用同一个常数 C 表示。二、分段函数求不定积分：例3分段函数不定积分的求法：(1)各段分别积分，常数用不同15例3分段函数不定积分的求法：(1)各段分别积分，常数用不同例3解:例3解:16例3解:例3解:16在 连续，在 连续，在 连续，在 连续，17在 连续，在 连续，在 连续，自学解由 处连续，得：自学解由 处连续，得：18自学解由 处连续，得：自学解由 例4定义在 R 上，求。在 连续 解：例4定义在 R 上，求。在 连续 解：19例4定义在 R 上，求。在 连续 解：例4定义在 R三、有理函数的积分：例5的结果中，求常数a，b 的值，使不含反正切函数；不含对数函数；仅含有理函数。三、有理函数的积分：例5的结果中，求常数a，b 的值，使不20三、有理函数的积分：例5的结果中，求常数a，b 的值，使不例5求 a,b,使不含反正切函数；不含反正切函数解：例5求 a,b,使不含反正切函数；不含反正切函数解：21例5求 a,b,使不含反正切函数；不含反正切函数解：例5求 a,b,使不含反正切函数；不含反正切函数b 任意例5求 a,b,使不含反正切函数；不含反正切函数b 22例5求 a,b,使不含反正切函数；不含反正切函数b 例5的结果中，求常数a，b 的值，使不含反正切函数；不含对数函数；仅含有理函数。不含对数函数；仅含有理函数解：例5的结果中，求常数a，b 的值，使不含反正切函数；不23例5的结果中，求常数a，b 的值，使不含反正切函数；不四、凑微分法：例6求原式=解：四、凑微分法：例6求原式=解：24四、凑微分法：例6求原式=解：四、凑微分法：例6求原式=解：时，原式=时，原式=时，原式=时，原式=25时，原式=时，原式=时，原式=时，原式=25例7解求例7解求26例7解求例7解求26例8求解：例8求解：27例8求解：例8求解：27例9求解1例9求解128例9求解1例9求解128例9求解2烦！例9求解2烦！29例9求解2烦！例9求解2烦！29例10（自学）解例10（自学）解30例10（自学）解例10（自学）解30五、分部积分法分部积分法（被积函数是两类不同函数的乘积）例11原式=解：五、分部积分法（被积函数是两类不同函数的乘积）例11原式=解31五、分部积分法（被积函数是两类不同函数的乘积）例11原式=解例12原式=解：例12原式=解：32例12原式=解：例12原式=解：32例13，求解：例13，求解：33例13，求解：例13，求解：33例14递推公式解：例14递推公式解：34例14递推公式解：例14递推公式解：34六：三角代换 例15原式解：六：三角代换 例15原式解：35六：三角代换 例15原式解：六：三角代换 例15原式例16原式解：例16原式解：36例16原式解：例16原式解：36七、倒代换：例17分母含x的因子，分母x的最高次幂m与分子x的最高次幂n满足：原式解：七、倒代换：例17分母含x的因子，原式解：37七、倒代换：例17分母含x的因子，原式解：七、倒代换：例17例18原式解：例18原式解：38例18原式解：例18原式解：38不定积分-课件39不定积分-课件39八、型（m，n为正负整数）化为 m，n中至少一个奇数：m，n均为偶数：降次m，n均为负偶数（负奇数）：化为或或八、型（m，n为正负整数）化为 m，n中至少一个奇数：40八、型（m，n为正负整数）化为 m，n中至少一个奇数：化为m，n中至少一个奇数：或例19答案：解：化为m，n中至少一个奇数：或例19答案：解：41化为m，n中至少一个奇数：或例19答案：解：化为m，n中 m，n均为偶数：降次例20原式积化和差公式：解：m，n均为偶数：降次例20原式积化和差公式：解：42 m，n均为偶数：降次例20原式积化和差公式：解：m，m，n均为负偶数（负奇数）：化为或例21解：m，n均为负偶数（负奇数）：化为或例21解：43m，n均为负偶数（负奇数）：化为或例21解：m，n均为负九、型（a，b，p，q为常数）解题方法：求待定常数A，B，使分母分母九、型（a，b，p，q为常数）解题方法：求待定常数A，B，使44九、型（a，b，p，q为常数）解题方法：求待定常数A，B，使例22原式=解：例22原式=解：45例22原式=解：例22原式=解：45例23（课外练习）例23（课外练习）46例23（课外练习）例23（课外练习）46十、两项都难积分例24一项用分部积分，产生另一项的相反项解：十、两项都难积分例24一项用分部积分，产生另一项的相反项解：47十、两项都难积分例24一项用分部积分，产生另一项的相反项解：例25解：例25解：48例25解：例25解：48例26解：例26解：49例26解：例26解：49十一、含抽象函数的积分含抽象函数的积分例27设的原函数是，求或解：十一、含抽象函数的积分例27设的原函数是，求或解：50十一、含抽象函数的积分例27设的原函数是，求或解：十一、含例28求原式=解：例28求原式=解：51例28求原式=解：例28求原式=解：51例28求原式=另解例28求原式=另解52例28求原式=另解例28求原式=另解52化为参数方程十二、化为参数方程十二、53化为参数方程十二、化为参数方程十二、53例29，其中解题思路：把积分中变量 x、y 换为参变量 t把转化为解令：则：例29，其中解题思路：把积分中变量 x、y 换为参变量 t54例29，其中解题思路：把积分中变量 x、y 换为参变量 t不定积分一、一、原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念F(x)为为 f(x)的一个原函数的一个原函数.。（内容提要）（内容提要）不定积分一、原函数与不定积分的概念F(x)为 f(x55不定积分一、原函数与不定积分的概念F(x)为 f(x二、二、基本积分公式基本积分公式。二、基本积分公式。56二、基本积分公式。二、基本积分公式。56。57。57。58。58三、三、常见凑微分常见凑微分。三、常见凑微分。59三、常见凑微分。三、常见凑微分。59一般地：一般地：。一般地：。60一般地：。一般地：。60四、第二类换元法四、第二类换元法令令1.被积函数含被积函数含令令。四、第二类换元法令1.被积函数含令。61四、第二类换元法令1.被积函数含令。四、第二类换元法令12.被积函数含被积函数含令令令令令令先配方，再作适当变换先配方，再作适当变换(有时用倒代换有时用倒代换简单）。简单）。2.被积函数含令令令先配方，再作适当变换(有时用倒代换简622.被积函数含令令令先配方，再作适当变换(有时用倒代换简五、有理函数真分式的积分五、有理函数真分式的积分:分母在实数范围内因式分解若分母含因式若分母含既约因式，则对应的部分因式为，则对应的部分因式为。五、有理函数真分式的积分:分母在实数范围内因式分解若分母含因63五、有理函数真分式的积分:分母在实数范围内因式分解若分母含因六.分部积分公式分部积分公式注：下列题型用分部积分法；。六.分部积分公式注：下列题型用分部积分法；。64六.分部积分公式注：下列题型用分部积分法；。六不定积分（典型例题）（典型例题）不定积分（典型例题）65不定积分（典型例题）不定积分（典型例题）65例1，求解：一、由 求例1，求解：一、由 求66例1，求解：一、由 求例1，求解：例2在上定义，在内可导，在内定义且可导，时，求，的表达式.解:时，时，例2在上定义，在内可导，在内定义且可导，时，求，的表达式.解67例2在上定义，在内可导，在内定义且可导，时，求，的表达式.解例2在上定义，在内可导，在内定义且可导，时，求，的表达式。答案：例2在上定义，在内可导，在内定义且可导，时，求，的表达式。答68例2在上定义，在内可导，在内定义且可导，时，求，的表达式。答例3分段函数不定积分的求法：(1)各段分别积分，常数用不同 C1，C2 等表示；(2)根据原函数应该在分段点连续确定 C1、C2 的关系，用同一个常数 C 表示。二、分段函数求不定积分：例3分段函数不定积分的求法：(1)各段分别积分，常数用不同69例3分段函数不定积分的求法：(1)各段分别积分，常数用不同例3解:例3解:70例3解:例3解:70在 连续，在 连续，在 连续，在 连续，71在 连续，在 连续，在 连续，自学解由 处连续，得：自学解由 处连续，得：72自学解由 处连续，得：自学解由 例4定义在 R 上，求。在 连续 解：例4定义在 R 上，求。在 连续 解：73例4定义在 R 上，求。在 连续 解：例4定义在 R三、有理函数的积分：例5的结果中，求常数a，b 的值，使不含反正切函数；不含对数函数；仅含有理函数。三、有理函数的积分：例5的结果中，求常数a，b 的值，使不74三、有理函数的积分：例5的结果中，求常数a，b 的值，使不例5求 a,b,使不含反正切函数；不含反正切函数解：例5求 a,b,使不含反正切函数；不含反正切函数解：75例5求 a,b,使不含反正切函数；不含反正切函数解：例5求 a,b,使不含反正切函数；不含反正切函数b 任意例5求 a,b,使不含反正切函数；不含反正切函数b 76例5求 a,b,使不含反正切函数；不含反正切函数b 例5的结果中，求常数a，b 的值，使不含反正切函数；不含对数函数；仅含有理函数。不含对数函数；仅含有理函数解：例5的结果中，求常数a，b 的值，使不含反正切函数；不77例5的结果中，求常数a，b 的值，使不含反正切函数；不四、凑微分法：例6求原式=解：四、凑微分法：例6求原式=解：78四、凑微分法：例6求原式=解：四、凑微分法：例6求原式=解：时，原式=时，原式=时，原式=时，原式=79时，原式=时，原式=时，原式=时，原式=79例7解求例7解求80例7解求例7解求80例8求解：例8求解：81例8求解：例8求解：81例9求解1例9求解182例9求解1例9求解182例9求解2烦！例9求解2烦！83例9求解2烦！例9求解2烦！83例10（自学）解例10（自学）解84例10（自学）解例10（自学）解84五、分部积分法分部积分法（被积函数是两类不同函数的乘积）例11原式=解：五、分部积分法（被积函数是两类不同函数的乘积）例11原式=解85五、分部积分法（被积函数是两类不同函数的乘积）例11原式=解例12原式=解：例12原式=解：86例12原式=解：例12原式=解：86例13，求解：例13，求解：87例13，求解：例13，求解：87例14递推公式解：例14递推公式解：88例14递推公式解：例14递推公式解：88六：三角代换 例15原式解：六：三角代换 例15原式解：89六：三角代换 例15原式解：六：三角代换 例15原式例16原式解：例16原式解：90例16原式解：例16原式解：90七、倒代换：例17分母含x的因子，分母x的最高次幂m与分子x的最高次幂n满足：原式解：七、倒代换：例17分母含x的因子，原式解：91七、倒代换：例17分母含x的因子，原式解：七、倒代换：例17例18原式解：例18原式解：92例18原式解：例18原式解：92不定积分-课件93不定积分-课件93八、型（m，n为正负整数）化为 m，n中至少一个奇数：m，n均为偶数：降次m，n均为负偶数（负奇数）：化为或或八、型（m，n为正负整数）化为 m，n中至少一个奇数：94八、型（m，n为正负整数）化为 m，n中至少一个奇数：化为m，n中至少一个奇数：或例19答案：解：化为m，n中至少一个奇数：或例19答案：解：95化为m，n中至少一个奇数：或例19答案：解：化为m，n中 m，n均为偶数：降次例20原式积化和差公式：解：m，n均为偶数：降次例20原式积化和差公式：解：96 m，n均为偶数：降次例20原式积化和差公式：解：m，m，n均为负偶数（负奇数）：化为或例21解：m，n均为负偶数（负奇数）：化为或例21解：97m，n均为负偶数（负奇数）：化为或例21解：m，n均为负九、型（a，b，p，q为常数）解题方法：求待定常数A，B，使分母分母九、型（a，b，p，q为常数）解题方法：求待定常数A，B，使98九、型（a，b，p，q为常数）解题方法：求待定常数A，B，使例22原式=解：例22原式=解：99例22原式=解：例22原式=解：99例23（课外练习）例23（课外练习）100例23（课外练习）例23（课外练习）100十、两项都难积分例24一项用分部积分，产生另一项的相反项解：十、两项都难积分例24一项用分部积分，产生另一项的相反项解：101十、两项都难积分例24一项用分部积分，产生另一项的相反项解：例25解：例25解：102例25解：例25解：102例26解：例26解：103例26解：例26解：103十一、含抽象函数的积分含抽象函数的积分例27设的原函数是，求或解：十一、含抽象函数的积分例27设的原函数是，求或解：104十一、含抽象函数的积分例27设的原函数是，求或解：十一、含例28求原式=解：例28求原式=解：105例28求原式=解：例28求原式=解：105例28求原式=另解例28求原式=另解106例28求原式=另解例28求原式=另解106化为参数方程十二、化为参数方程十二、107化为参数方程十二、化为参数方程十二、107例29，其中解题思路：把积分中变量 x、y 换为参变量 t把转化为解令：则：例29，其中解题思路：把积分中变量 x、y 换为参变量 t108例29，其中解题思路：把积分中变量 x、y 换为参变量 t