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第三章第三章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用 第第 一一 节节 中值定理中值定理一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理几何解释几何解释:证证讨论：讨论：不妨设不妨设因而因而下证：下证：且且则有则有得得则有则有得得（1）（2）证毕。证毕。注意注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其其结论可能不成立结论可能不成立.下面举例说明。下面举例说明。不满足条件不满足条件(1).不满足条件（不满足条件（2）不不满足条件（满足条件（3）例例1 1证证由零点定理得：由零点定理得：矛盾矛盾!注：注：二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理几何解释几何解释:分析分析:弦弦AB方程为方程为作辅助函数作辅助函数证证由由已知得：已知得：且且即即根据罗尔定理，得：根据罗尔定理，得：使得使得即即即即证证毕。毕。拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注：注：从而从而记记则则这样，拉格郎日公式可表示为这样，拉格郎日公式可表示为此式称为此式称为有限增量公式有限增量公式.注注:拉格朗日公式精确地表达了函数在一个拉格朗日公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系数之间的关系.推推 论论证（证（1）解解定理定理证证证毕证毕例例3 3证证即即例例4 4证证三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理证证作辅助函数作辅助函数即即即即证毕。证毕。注注注注 从从几何上看，几何上看，柯西中值定理就是拉格郎日中值定理的参数形式。柯西中值定理就是拉格郎日中值定理的参数形式。即即:拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式例例5 5分析分析:证证即即即即即即证毕证毕例例6 6证证分析分析:结论可变形为结论可变形为四、小结四、小结Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系之间的关系:注意定理成立的条件；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.P134习题习题3-1,2,5,8,11,12，14.作业作业f i n
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