求矩阵的特征值与特征向量课件

第第5章章 求矩阵的特征值求矩阵的特征值 与特征向量与特征向量5.1 幂法幂法5.2 逆幂法逆幂法5.3 求实对称阵特征值的对分法求实对称阵特征值的对分法第5章 求矩阵的特征值 与特征1概述概述n矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量n特征值：特征值：n特征向量特征向量n特征多项式：特征多项式：概述矩阵的特征值与特征向量25.1 幂法幂法n5.1.1 幂法的基本思想幂法的基本思想n1.根据（根据（特征值特征值特征值特征值r r、特征向量、特征向量、特征向量、特征向量x x、方阵、方阵、方阵、方阵A A）满足关）满足关系式：系式：AxAx=rxrx，故任取非零初始向量，故任取非零初始向量x(0)，作迭，作迭代序列：代序列：n2.再根据再根据k增大时增大时 x(k)各分量的变化规律，求出各分量的变化规律，求出矩阵矩阵A的按模最大特征值与特征向量。的按模最大特征值与特征向量。5.1 幂法5.1.1 幂法的基本思想35.1 幂法幂法n例例1 对对A作迭代计算作迭代计算(P80页页)n考察迭代序列考察迭代序列x(k)的相邻向量的相应分量比值，可的相邻向量的相应分量比值，可见：随见：随k的增大而趋向于一个固定值。的增大而趋向于一个固定值。n(该值该值)=(矩阵矩阵A的按模最大特征值的按模最大特征值)5.1 幂法例1 对A作迭代计算(P80页)考察迭代序45.1.2 幂法的计算公式幂法的计算公式n幂法的要求：幂法的要求：n矩阵矩阵A有有完备的特征向量系，即完备的特征向量系，即完备的特征向量系，即完备的特征向量系，即A A有有有有n n个线性无关的个线性无关的个线性无关的个线性无关的特征向量特征向量特征向量特征向量。n幂法的功能：计算按模最大特征值和特征向量幂法的功能：计算按模最大特征值和特征向量特征值：特征值：特征向量：特征向量：5.1.2 幂法的计算公式幂法的要求：特征值：特征向量：55.1.2 幂法的计算公式幂法的计算公式n幂法计算公式的推导：幂法计算公式的推导：取初始非零向量取初始非零向量x(0)，且：，且：迭代公式：迭代公式：迭代公式：迭代公式：则有：则有：5.1.2 幂法的计算公式幂法计算公式的推导：取初始非零向65.1.2 幂法的计算公式幂法的计算公式n分三种情况讨论：分三种情况讨论：n(1)为实根，为实根，且且n(2)为实根，为实根，且且 及及 5.1.2 幂法的计算公式分三种情况讨论：(1)为75.1.2 幂法的计算公式幂法的计算公式n(3)复根复根n用最小二乘法求解方程组：用最小二乘法求解方程组：n再解一元二次方程：再解一元二次方程：5.1.2 幂法的计算公式(3)复根用最小二乘法求解方85.1.2 小结小结n n幂法的一般计算步骤幂法的一般计算步骤：n给出初值给出初值x(0)，按迭代公式计算：，按迭代公式计算：x(k+1)=Ax(k)n n根据迭代序列各分量的变化情况求根：根据迭代序列各分量的变化情况求根：根据迭代序列各分量的变化情况求根：根据迭代序列各分量的变化情况求根：n若各分量单调变化（相邻两个向量的各分量之比若各分量单调变化（相邻两个向量的各分量之比趋向于常数趋向于常数c），则按情况一处理。），则按情况一处理。n若奇序列、偶序列的各个分量比趋于常数，则按若奇序列、偶序列的各个分量比趋于常数，则按情况二处理。情况二处理。n若序列的各分量表现为其它情况，则结束。若序列的各分量表现为其它情况，则结束。5.1.2 小结幂法的一般计算步骤：95.1.3 幂法的实际计算公式幂法的实际计算公式n迭代条件：迭代条件：n计算结果：计算结果：5.1.3 幂法的实际计算公式迭代条件：计算结果：105.1.4 幂法的计算步骤、实例幂法的计算步骤、实例n幂法的收敛速度取决于比值幂法的收敛速度取决于比值:n称其为收敛因子，比值越小，收敛越快。称其为收敛因子，比值越小，收敛越快。n计算实例：计算实例：P85页页 例例25.1.4 幂法的计算步骤、实例幂法的收敛速度取决于比值:115.2 逆幂法逆幂法n作用：求矩阵作用：求矩阵A(A-1)的按模最小的按模最小(大大)特征值和特征值和特征向量特征向量n基本思想：基本思想：n1.设设A为非奇异方阵，特征值和特征向量为：为非奇异方阵，特征值和特征向量为：n2.则则A-1的特征值和特征向量为的特征值和特征向量为：n3.可见，可见，A-1的按模最大特征值的倒数即为矩阵的按模最大特征值的倒数即为矩阵A的按模最小特征值。的按模最小特征值。5.2 逆幂法作用：求矩阵A(A-1)的按模最小(大)特征125.2.1 逆幂法的计算公式逆幂法的计算公式n方法：作迭代方法：作迭代 或或 反迭代反迭代 n实际计算公式：实际计算公式：n(1)先对先对A作作LU分解；（分解；（LU分解的要点分解的要点:?）n(2)再解方程组：再解方程组：5.2.1 逆幂法的计算公式方法：作迭代 或 反迭代 135.2.1 逆幂法的计算公式逆幂法的计算公式5.2.1 逆幂法的计算公式145.2.1 逆幂法的计算公式逆幂法的计算公式n计算结果：计算结果：n迭代条件迭代条件:5.2.1 逆幂法的计算公式计算结果：迭代条件:155.2.2-3 逆幂法的计算步骤逆幂法的计算步骤/实例实例nP87页页 例例15.2.2-3 逆幂法的计算步骤/实例P87页 例116n n求求求求：在值：在值 附近的附近的A的特征值和特征向量？的特征值和特征向量？5.2.4 用逆幂法求用逆幂法求 附近的特征值附近的特征值n n问题问题问题问题：已知方阵：已知方阵A、给定值、给定值n分析：不妨设分析：不妨设 附近的特征值为附近的特征值为 ，则必有，则必有从而，原问题变成求从而，原问题变成求“按模最小特征值按模最小特征值”。n解法：解法：(1)构造矩阵构造矩阵(2)用逆幂法求用逆幂法求B的按模最小特征值的按模最小特征值求：在值 附近的A的特征值和特征向量？5.2.4 用175.2.5 用逆幂法求用逆幂法求 附近的特征值的附近的特征值的计算实例计算实例nP88页页 例例2n n本例的启示本例的启示：n本例所用的思想可以称为本例所用的思想可以称为“原点平移法原点平移法”。n n矩阵矩阵矩阵矩阵A A与与矩阵矩阵矩阵矩阵(A A-r r0 0I I)的特征值有以下关系：的特征值有以下关系：n n若若若若r ri i 是矩阵是矩阵是矩阵是矩阵A A的特征值，则的特征值，则的特征值，则的特征值，则(r ri i-r r0 0)就是就是就是就是(A A-r r0 0I I)的的的的特征值，而且相应的特征向量不变。特征值，而且相应的特征向量不变。特征值，而且相应的特征向量不变。特征值，而且相应的特征向量不变。n适当选取适当选取r0，使，使|r1-r0|ri-r0|，这样用幂，这样用幂法计算矩阵法计算矩阵(A-r0I I)的特征值收敛速度更快。的特征值收敛速度更快。5.2.5 用逆幂法求 附近的特征值的计算实例P8185.3 求实对称阵特征值的对分法求实对称阵特征值的对分法n5.3.1 求实对称三对角阵特征值的对分法求实对称三对角阵特征值的对分法1.1.实对称三对角阵的实对称三对角阵的实对称三对角阵的实对称三对角阵的SturmSturm序列序列序列序列 设实对称三对角阵设实对称三对角阵C，Sturm序列就是序列就是 的的的的i i阶主子式序列阶主子式序列阶主子式序列阶主子式序列，即，即C的特征多项式序列。的特征多项式序列。5.3 求实对称阵特征值的对分法5.3.1 求实对称三对195.3 求实对称阵特征值的对分法求实对称阵特征值的对分法SturmSturm序列的一些性质序列的一些性质序列的一些性质序列的一些性质：(1)仅有实根仅有实根(2)相邻项无公共零点相邻项无公共零点(3)pi(x)=0，则，则 pi-1(x)pi+1(x)0(4)pi(x)全是单根，且具有隔离作用全是单根，且具有隔离作用(5)左邻域同号，左邻域同号，右邻域同号右邻域同号5.3 求实对称阵特征值的对分法Sturm序列的一些性质：205.3 求实对称阵特征值的对分法求实对称阵特征值的对分法2.Sturm2.Sturm序列在某点的连号数序列在某点的连号数序列在某点的连号数序列在某点的连号数 (1)计算在点计算在点 处处Sturm序列的全部值；序列的全部值；(2)相邻两项若同号，则有相邻两项若同号，则有1个连号数；否则，个连号数；否则，无连号数。无连号数。注：注：注：注：p pi i(x x)=0=+0)=0=+0（即（即（即（即0 0的符号为正）的符号为正）的符号为正）的符号为正）(3)按顺序数完连号数，则得到按顺序数完连号数，则得到Sturm序列的总序列的总连号数，记为连号数，记为:5.3 求实对称阵特征值的对分法2.Sturm序列在某点215.3 求实对称阵特征值的对分法求实对称阵特征值的对分法3.Gerschgorin定理定理(圆盘定理圆盘定理)(1)GerschgorinGerschgorin盘盘盘盘(圆盘圆盘)对对n阶方阵阶方阵A，称，称Di为方阵为方阵A的第的第i个圆盘，其中个圆盘，其中:(2)GerschgorinGerschgorin定理定理定理定理(圆盘定理圆盘定理)对对n阶方阵阶方阵A，A的全部特征值均在区域的全部特征值均在区域D内内,其中其中:5.3 求实对称阵特征值的对分法3.Gerschgori225.3 求实对称阵特征值的对分法求实对称阵特征值的对分法(3)推论推论推论推论1 1：方阵：方阵A的最小和最大特征值满足的最小和最大特征值满足(4)推论推论推论推论2 2：对实对称三对角阵对实对称三对角阵对实对称三对角阵对实对称三对角阵C C，其特征值必属，其特征值必属于区间于区间m,M，其中：，其中：5.3 求实对称阵特征值的对分法(3)推论1：方阵A的最小235.3 求实对称阵特征值的对分法求实对称阵特征值的对分法4.4.求实对称三对角阵求实对称三对角阵求实对称三对角阵求实对称三对角阵C C特征值的对分法特征值的对分法特征值的对分法特征值的对分法(1)(1)求三对角阵求三对角阵求三对角阵求三对角阵C C在区间在区间在区间在区间a,ba,b上特征值的个数上特征值的个数上特征值的个数上特征值的个数n定理定理2 方阵方阵C在区间在区间a,+内特征值的个数内特征值的个数等于其等于其Sturm序列在点序列在点a处的总连号数。处的总连号数。*方阵方阵方阵方阵C C在区间在区间在区间在区间a,ba,b内特征值的个数内特征值的个数内特征值的个数内特征值的个数 =(=(点点点点a a处的总连号数处的总连号数处的总连号数处的总连号数)()(点点点点b b处的总连号数处的总连号数处的总连号数处的总连号数)P91页页 例例15.3 求实对称阵特征值的对分法4.求实对称三对角阵C特245.3 求实对称阵特征值的对分法求实对称阵特征值的对分法(2)(2)求三对角阵求三对角阵求三对角阵求三对角阵C C的全部特征值（对分法）的全部特征值（对分法）的全部特征值（对分法）的全部特征值（对分法）求三对角阵求三对角阵C的的Sturm序列序列;根据根据Gerschgorin定理确定矩阵定理确定矩阵C全部特征值的上界全部特征值的上界M和下界和下界m;对区间对区间m,M对分，取中点对分，取中点a=(m+M)/2，计，计算点算点a处的连号数，同时区间被对分处的连号数，同时区间被对分;对所得的各子区间继续对分和计算中点处的连号数，对所得的各子区间继续对分和计算中点处的连号数，直到每个小区间至多有一个特征值直到每个小区间至多有一个特征值;继续对有根区间对分，可求出满足精度的特征值。继续对有根区间对分，可求出满足精度的特征值。P92页页 例例25.3 求实对称阵特征值的对分法(2)求三对角阵C的全部特255.3.2 实对称阵的三对角化实对称阵的三对角化1.HouseholderHouseholder阵阵阵阵的的定义定义定义定义2.HH阵的几何意义阵的几何意义阵的几何意义阵的几何意义 Hx是是x关于超平面关于超平面H的像的像 (H反射反射/镜面反射镜面反射)5.3.2 实对称阵的三对角化1.Householder265.3.2 实对称阵的三对角化实对称阵的三对角化3.实对称阵实对称阵A的三对角化的三对角化 (作递推计算作递推计算作递推计算作递推计算)(1)令令A1=A，取向量，取向量b1=(A1的第的第1列列)(2)构造向量构造向量u1，使，使注：注：sgn(br+1)=1,-1，且与，且与br+1反号反号r=1:r=1:作第作第作第作第1 1次递推计算次递推计算次递推计算次递推计算5.3.2 实对称阵的三对角化3.实对称阵A的三对角化 275.3.2 实对称阵的三对角化实对称阵的三对角化(5)求得求得A2=H1A1H1(3)计算计算v1:(4)计算计算H1:令令令令r=2r=2，继续作递推计算，直到，继续作递推计算，直到，继续作递推计算，直到，继续作递推计算，直到r=n-2r=n-2所得所得所得所得A Ar+1r+1即为所求的三对角化方阵。即为所求的三对角化方阵。即为所求的三对角化方阵。即为所求的三对角化方阵。例例96页页 例例3作业：作业：P97页页 2，3，4题题5.3.2 实对称阵的三对角化(5)求得A2=H1A1H28