二项式定理课件

二项式定理课件1.3.1 1.3.1 二项式定理二项式定理1.3.1 二项式定理 1.1.在在n=1,2,3n=1,2,3时，写出并研究时，写出并研究(a+b)(a+b)n n的展开式的展开式.(a+b)(a+b)1 1=,(a+b)(a+b)2 2=,(a+b)(a+b)3 3=,a+ba2+2ab+b2a3+3a2b+3ab2+b3结合左边的次数分析：结合左边的次数分析：展开式中的项数、次数展开式中的项数、次数(a(a、b b各自次数）各自次数）每一项的系数规律每一项的系数规律提出问题提出问题：次数次数:各项的次数等于二项式的次数各项的次数等于二项式的次数项数项数:次数次数+1+1 1.在n=1,2,3时，写出并研究(a+b)n的展开式(a+b)2(a+b)(a+b)展开后其项的形式为：展开后其项的形式为：a2，ab，b2 这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑考虑b对对(a+b)(a+b)2 2展开式的分析展开式的分析每个都不取每个都不取b的情况有的情况有1种，即种，即 ,则则a2前的系前的系数为数为恰有恰有1个取个取b的情况有的情况有 种，则种，则ab前的系数为前的系数为恰有恰有2个取个取b的情况有的情况有 种，则种，则b2前的系数为前的系数为(a+b)2 =a2+2ab+b2 a2+ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+a2b+ab2+b3(a+b)2(a+b)(a+b)展开后其项的形式为：2.在在n=4时，猜测时，猜测(a+b)的展开式的展开式.4(a+b)4(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)？问题：问题：1)(a+b)4展开后各项形式分别是什么？展开后各项形式分别是什么？2)各项前的系数代表着什么？各项前的系数代表着什么？3)你能分析说明各项前的系数吗？你能分析说明各项前的系数吗？a4 a3b a2b2 ab3 b4各项前的系数各项前的系数 代表着这些项在展开式中出现代表着这些项在展开式中出现的次数的次数2.在n=4时，猜测(a+b)的展开式.4(a+b)43)你能分析说明各项前的系数吗？你能分析说明各项前的系数吗？a4 a3b a2b2 ab3 b4每个都不取每个都不取b的情况有的情况有1种，即种，即 则则a4前的系前的系数为数为恰有恰有1个取个取b的情况有的情况有 种，则种，则a3b前的系数为前的系数为恰有恰有2个取个取b的情况有的情况有 种，则种，则a2b2前的系数为前的系数为恰有恰有3个取个取b的情况有的情况有 种，则种，则ab3前的系数为前的系数为恰有恰有4个取个取b的情况有的情况有 种，则种，则b4前的系数为前的系数为则则(a+b)4 a4 a3b a2b2 ab3 b43)你能分析说明各项前的系数吗？a4 a3b a4 a3b a2b2 ab3 b4都都不不取取b取取一一个个b 取取两两个个b 取取三三个个b 取取四四个个b 项项系数系数C40C41C42C43C44(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)4=C4a4+C4a3b+C4a2b2+C4ab3+C4b401234结果：结果：a4 a3b a2b2 发现规律：发现规律：对于对于(a+b)n=的展开式中的展开式中an-rbr的系数是在的系数是在n个括号中，恰有个括号中，恰有r个个括号中取括号中取b(其余括号中取其余括号中取a)的组合数的组合数 .那么，那么，我们能不能写出我们能不能写出(a+b)n的展开式？的展开式？将将(a+b)n展开展开的结果的结果又又是是怎怎样样呢？呢？归纳提高归纳提高(a+b)n=发现规律：对于(a+b)n=的展开式中an-rbr的系数是在一般地，对于一般地，对于n N*有有二项式定理二项式定理 这个公式表示的定理叫做这个公式表示的定理叫做二项式定理二项式定理，公式，公式右边的多项式叫做右边的多项式叫做(a+b)n的的 ，其中其中 （r=0,1,2,n）叫做）叫做 ，叫做二项展开式的叫做二项展开式的通项通项，用，用 Tr+1 表示，该项是指展开式的第表示，该项是指展开式的第 项，展开式共有项，展开式共有_个项个项.展开式展开式二项式系数二项式系数r+1n+1一般地，对于n N*有二项式定理 2.系数规律：系数规律：3.指数规律：指数规律：（1）各项的次数均为各项的次数均为n；（2）字母字母a按降幂排列按降幂排列,次数由次数由n递减到递减到0 字母字母b按升幂排列按升幂排列,次数由次数由0递增到递增到n1.项数规律：项数规律：展开式共有展开式共有n+1个项个项二项式定理二项式定理 2.系数规律：3.指数规律：（1）各项的次数均为n；1.项数二项式定理二项式定理 4.二项式系数可写成组合数的形式二项式系数可写成组合数的形式,组合数的下标组合数的下标为二项式的次数为二项式的次数,组合数的上标由组合数的上标由0 0递增到递增到n n5.展开式中的第展开式中的第 r+1 r+1 项，即通项项，即通项 T Tr+1r+1=_=_；6.二项式系数二项式系数为为 _；项的系数为项的系数为 二项式系数与数字系数的积二项式系数与数字系数的积二项式定理 4.二项式系数可写成组合数的形式,组合数的下标为课堂练习课堂练习课堂练习解解:（1）例例1.用二项式定理展开下列各式：用二项式定理展开下列各式：解:（1）例1.用二项式定理展开下列各式：例例2、求（求（x+a)12的展开式中的倒数第的展开式中的倒数第4项项解解:解解:第四项系数为第四项系数为280.例2、求（x+a)12的展开式中的倒数第4项解:解:第四项系课堂小结课堂小结1.二项式定理二项式定理2.二项式系数及项的系数二项式系数及项的系数 ；二项式系数与数字系数的积二项式系数与数字系数的积3.通项公式通项公式课堂小结1.二项式定理例例4.求近似值（精确到求近似值（精确到0.001）（1）(1.002)6；（；（2）(0.997)3（3）今天星期三，再过）今天星期三，再过22001天是星几？天是星几？分析：（分析：（1）(1.002)6=（1+0.002)6 （2）(0.997)3=(1-0.003)3 （3）22001=（7+1）667类似这样的近似计算转化为二项式定理类似这样的近似计算转化为二项式定理求展开式，按精确度展开到一定项求展开式，按精确度展开到一定项.例4.求近似值（精确到0.001）（1）(1.002)6 例例5 5 求求 展开式中的有理项展开式中的有理项解:令令原式的有理项为原式的有理项为:例5 求 展开式中的有理项解:令原式的112x112x例例7 7 计算并求值计算并求值解解(1):(1):将原式变形将原式变形例7 计算并求值解(1):将原式变形例例7 7 计算并求值计算并求值解解:(2):(2)原式原式例7 计算并求值解:(2)原式例例8:8:求求 的展开式中的展开式中 项的系数项的系数.解解的通项是的通项是的通项是的通项是的通项是的通项是例8:求 由题意知解得所以所以 的系数为的系数为:注意：注意：对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两个通对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两个通项之积比较方便运算项之积比较方便运算由题意知解得所以 的系数为:注意：例例9 9192除以除以100的余数是的余数是由此可见，除后两项外均能被由此可见，除后两项外均能被100整除整除所以 9192除以100的余数是81例9 9192除以100的余数是由此可见，除整除性问题，余数问题，主要根据二项式整除性问题，余数问题，主要根据二项式定理的特点，进行添项或减项，凑成能整定理的特点，进行添项或减项，凑成能整除的结构，展开后观察前几项或后几项除的结构，展开后观察前几项或后几项,再再分析整除性或余数。这是解此类问题的最分析整除性或余数。这是解此类问题的最常用技巧。余数要为正整数常用技巧。余数要为正整数，整除性问题，余数问题，主要根据二项式定理的特点，进行添项或减1、已知、已知 的展开式中的展开式中x3的系数的系数 为为 ，则常数，则常数a的值是的值是_ 2、在、在(1-x3)(1+x)10的展开式中的展开式中x5的系数是（）的系数是（）A.-297 B.-252 C.297 D.2073、(x+y+z)9中含中含x4y2z3的项的系数是的项的系数是_课堂练习课堂练习4 4、已知、已知(1+)n展开式中含展开式中含x x-2-2的项的系数为的项的系数为1212，求，求n.n.5 5、已知（、已知（10+x10+xlgxlgx）5 5的展开式中第的展开式中第4 4项为项为10106 6，求，求x x的值的值.1、已知 6、若若 展开式中前三项系数成等差展开式中前三项系数成等差 数列，求数列，求（1）展开式中含）展开式中含x的一次幂的项；的一次幂的项；（2）展开式中所有展开式中所有x 的有理项；的有理项；6、若 特别地特别地:1、把、把b用用-b代替代替 (a-b)n=Cnan-Cnan-1b+(-1)rCnan-rbr +(-1)nCnbn01rn对定理的再认识对定理的再认识2、令、令a=1，b=x特别地:1、把b用-b代替 (a-b)n=Cnan-C