玻色统计和费米统计课件

第九章第九章第九章第九章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计第九章第九章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计第九章玻色统计和费米统计第九章第九章第九章第九章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计9.1 9.1 热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式9.2 9.2 弱简并玻色气体和费米气体弱简并玻色气体和费米气体9.3 9.3 光子气体光子气体9.4 9.4 玻色玻色-爱因斯坦凝聚爱因斯坦凝聚9.5 9.5 金属中的自由电子气体金属中的自由电子气体9.1热力学量的统计表达式9.2弱简并玻色气体和费米第九章第九章第九章第九章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计 9.19.1热热力学量的力学量的力学量的力学量的统计统计表达式表达式表达式表达式 玻色分布玻色分布玻色分布玻色分布费米分布费米分布费米分布费米分布9.1.19.1.1玻色系玻色系玻色系玻色系统统把把,和和y看作由实验确定的参量看作由实验确定的参量.1、巨配分函数巨配分函数9.1热力学量的统计表达式玻色分布费米分布9.1第九章第九章第九章第九章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计取对数为取对数为对对 取偏导为取偏导为2、系、系统的平均的平均总粒子数粒子数取对数为对取偏导为2、系统的平均总粒子数第九章第九章第九章第九章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计3、系、系统的的内能内能4、广、广义作用力作用力重要特例重要特例（证明略）（证明略）（证明略）（证明略）3、系统的内能4、广义作用力重要特例（证明略）（证明第九章第九章第九章第九章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计5、系、系统的的熵统计表达式表达式由开系方程由开系方程1/T是是dS的的积分因子分因子配分函数配分函数 （，y）的全微分）的全微分为根据前面求出的已知量，可求得根据前面求出的已知量，可求得(拉氏乘法原理，加上一个为拉氏乘法原理，加上一个为0的项的项)5、系统的熵统计表达式由开系方程1/T是dS的积分因子第九章第九章第九章第九章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计上式指出上式指出 是是的积分因子。的积分因子。令令上式指出是的积分因子。令第九章第九章第九章第九章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计积分得分得系系统的的熵统计表达式表达式玻耳兹曼关系玻耳兹曼关系熵与微与微观状状态数的关系数的关系6、巨、巨热力学化学力学化学势巨巨热力力势J与巨配分函数的关系：与巨配分函数的关系：积分得系统的熵统计表达式玻耳兹曼关系熵与微观状态数的关系6第九章第九章第九章第九章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计9.1.29.1.2费米系统费米系统费米系统费米系统巨配分函数巨配分函数其对数为其对数为平均总粒子数平均总粒子数内能内能广义作用力广义作用力重要特例重要特例熵熵玻耳兹曼关系玻耳兹曼关系巨热力势巨热力势9.1.2费米系统巨配分函数其对数为平均总粒子数内能广义第九章第九章第九章第九章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计9.29.2弱弱弱弱简简并玻色气体和并玻色气体和并玻色气体和并玻色气体和费费米气体米气体米气体米气体 1 1、满足足经典极限条件的气体称典极限条件的气体称为非非简并性气体并性气体 2 2、需要用玻色分布或、需要用玻色分布或费米分布米分布讨论的气体称的气体称为简并性气体并性气体 其中又分其中又分为完全完全简并气体和弱并气体和弱简并气体并气体 、分子的能量、分子的能量9.2.2弱弱简并气体并气体（不考虑分子内部结构，只有平动自由度）（不考虑分子内部结构，只有平动自由度）9.2.1分分类9.2弱简并玻色气体和费米气体1、满足经典第九章第九章第九章第九章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计在体积在体积V内，在内，在 到到+d 的能量范围内，分子可能的的能量范围内，分子可能的微观状态数微观状态数 其中：其中：g由粒子可能具有自旋而引入的简并度由粒子可能具有自旋而引入的简并度、系、系统的的总分子数分子数代入代入、系、系统的内能的内能代入代入下面要确定式子中的拉氏乘子下面要确定式子中的拉氏乘子 2、微、微观状状态数数在体积V内，在到+d的能量范围内，分子第九章第九章第九章第九章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计系统的内能系统的内能系统的总分子数系统的总分子数引入引入变量变量变量变量x x=，且，且 =1/=1/kTkT，d dx x=d d ，两式被积函数的分母表示为两式被积函数的分母表示为代入代入保留展开的第一项相当于将费米分布近似为玻耳兹曼分布保留展开的第一项相当于将费米分布近似为玻耳兹曼分布现在保留两项，相当于弱简并的情形。现在保留两项，相当于弱简并的情形。系统的内能系统的总分子数引入变量x=，且=1/k第九章第九章第九章第九章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计系统的内能系统的内能系统的总分子数系统的总分子数两式相除两式相除系统的内能系统的总分子数两式相除第九章第九章第九章第九章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻耳兹曼分玻耳兹曼分布的内能布的内能微观粒子全同性原理引起的粒子微观粒子全同性原理引起的粒子统计关联所导致的统计关联所导致的附加内能附加内能在弱简并情形下附加内能的数值是小的。在弱简并情形下附加内能的数值是小的。费米气体的附加内能为正而玻色气体的附加内能为负。费米气体的附加内能为正而玻色气体的附加内能为负。指粒子的统计关联使费米粒子间出现等效的排斥作用，玻色指粒子的统计关联使费米粒子间出现等效的排斥作用，玻色粒子间则出现等效的吸引作用。粒子间则出现等效的吸引作用。玻耳兹曼分布的内能微观粒子全同性原理引起的粒子统计关联所导致第九章第九章第九章第九章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计 在第四章我们根据热力学理论论证过平衡辐射的内能在第四章我们根据热力学理论论证过平衡辐射的内能密度和内能密度的频率分布只与温度有关，并证明了内能密度密度和内能密度的频率分布只与温度有关，并证明了内能密度与绝对温度的四次方成正比。与绝对温度的四次方成正比。在第八章中又根据经典统计的能量均分定理讨论过这一问在第八章中又根据经典统计的能量均分定理讨论过这一问题，所得内能的频率分布在低频范围与实验符合，在高频范围题，所得内能的频率分布在低频范围与实验符合，在高频范围与实验不符合。更为严重的是，根据能量均分定理有限温度下与实验不符合。更为严重的是，根据能量均分定理有限温度下平衡辐射的内能和定容热容量是发散的，与实际不符。平衡辐射的内能和定容热容量是发散的，与实际不符。本节根据量子统计理论，从粒子观点研究平衡辐射问题。本节根据量子统计理论，从粒子观点研究平衡辐射问题。9.39.3光子气体光子气体光子气体光子气体根据粒子观点，可以把空窖的辐射场看作光子气体。根据粒子观点，可以把空窖的辐射场看作光子气体。模型：模型：在第四章我们根据热力学理论论证过平衡辐射的内能密第九章第九章第九章第九章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计光子的能量、动量关系：光子的能量、动量关系：具有一定的波矢具有一定的波矢k和圆频率和圆频率 的单色平面波与具有一系的光的单色平面波与具有一系的光子相应，动量子相应，动量p与波矢与波矢k，能量，能量 与圆频率与圆频率 之间遵从德布罗意关之间遵从德布罗意关系系9.3.1统计分布统计分布光子是玻色子，达到平衡后遵从玻色分布。光子是玻色子，达到平衡后遵从玻色分布。光子的能量、动量关系：具有一定的波矢k和圆频率第九章第九章第九章第九章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计光子气体的统计分布光子气体的统计分布由于窖壁不断由于窖壁不断发射和吸收光子，光子气体中光子数是不守射和吸收光子，光子气体中光子数是不守恒的。在恒的。在导出玻色分布出玻色分布时只存在只存在E是常数的条件而不存在是常数的条件而不存在N是常是常数的条件，因而只数的条件，因而只应引引进一个拉氏乘子一个拉氏乘子,令令。平衡状平衡状态下光子气体的化学下光子气体的化学势为零。零。体体积为V的空窖内的空窖内,在在p到到p+dp的的动量范量范围内，自由粒子可能内，自由粒子可能的量子的量子态数数为光子自旋有两个投影光子自旋有两个投影.光子气体的统计分布由于窖壁不断发射和吸收光子，光子气体中第九章第九章第九章第九章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计体积为体积为V的空窖内的空窖内,p到到p+dp的动量范围内，光子的量子态数的动量范围内，光子的量子态数(光子自旋有两个投影光子自旋有两个投影)体积为体积为V的空窖内，在的空窖内，在 到到+d 的圆频率范围内，光子的量子的圆频率范围内，光子的量子态数态数每个量子态上的平均光子数每个量子态上的平均光子数体积为V的空窖内,p到p+dp的动量范围内，光子第九章第九章第九章第九章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计9.3.2辐射场的内能辐射场的内能普朗克公式普朗克公式上式所给出的辐射场内能按频率的分布与实验结果完全符合。上式所给出的辐射场内能按频率的分布与实验结果完全符合。1、低、低频2、高、高频维恩公式维恩公式瑞利金斯公式瑞利金斯公式9.3.2辐射场的内能普朗克公式上式所给出的辐射场内能按频第九章第九章第九章第九章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计10-14Hz6543210MT=2000K实验曲线和普朗克公式实验曲线和普朗克公式维恩公式维恩公式瑞利瑞利金斯公式金斯公式 普朗克公式普朗克公式所给出的辐射场内能按频率的分布与实验结果所给出的辐射场内能按频率的分布与实验结果完全符合。完全符合。10-14Hz6MT=2000K实验曲线和普朗克公式维第九章第九章第九章第九章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计1896年得到的公式，表明年得到的公式，表明U随随 的增加而迅速的增加而迅速趋近于近于0温度温度为T时的平衡的平衡辐射中，高射中，高频光子几乎不存在此光子几乎不存在此时窖壁窖壁发射高射高频光子的概率是极小的。光子的概率是极小的。将普朗克公式将普朗克公式积分，得到空窖分，得到空窖辐射内能射内能引入引入变量量x=kT(kT/)dx=d 1896年得到的公式，表明U随的增加而迅速趋第九章第九章第九章第九章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计表明：平衡辐射的内能密度与绝对温度的四次方成正比表明：平衡辐射的内能密度与绝对温度的四次方成正比斯特藩玻耳兹曼公式斯特藩玻耳兹曼公式空窖辐射内能空窖辐射内能表明：平衡辐射的内能密度与绝对温度的四次方成正比斯特藩玻第九章第九章第九章第九章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计根据普朗克公式根据普朗克公式的变式的变式空窖辐射内能密度随空窖辐射内能密度随 的分布有一个极大值的分布有一个极大值 m m可以由可以由决定出来决定出来.其解为其解为上式可化为上式可化为 m与温度与温度T成正比这个结论称为成正比这个结论称为维恩位移定律维恩位移定律维恩位移定律维恩位移定律根据普朗克公式的变式空窖辐射内能密度随的分布有一个极大第九章第九章第九章第九章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计9.3.39.3.3光子气体的光子气体的光子气体的光子气体的热热力学函数力学函数力学函数力学函数1 1、巨配分函数、巨配分函数 取对数为取对数为令令(光子自旋有两个投影光子自旋有两个投影)体积为体积为V的空窖内，在的空窖内，在 到到+d 的圆频率范围内，光子的的圆频率范围内，光子的量子态数量子态数9.3.3光子气体的热力学函数1、巨配分函数取对第九章第九章第九章第九章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计引入引入变量变量变量变量x x=kTkT(kTkT/)dx x=d=d 引入变量x=kT(kT/)dx=d第九章第九章第九章第九章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计第九章第九章第九章第九章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计2、内能内能3、广、广义作用力作用力(光子气体的光子气体的压强压强)比较得比较得4、熵令令 光子气体的熵随光子气体的熵随T0而趋于而趋于0符合热力学第三定律的要求符合热力学第三定律的要求5、辐射通量密度射通量密度2、内能3、广义作用力(光子气体的压强)比较得4、熵令第九章第九章第九章第九章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计 9.49.4玻色玻色玻色玻色-爱爱因斯坦凝聚因斯坦凝聚因斯坦凝聚因斯坦凝聚本本节讨论简并理想玻色气体在并理想玻色气体在动量空量空间的凝聚的凝聚问题。考考虑由个全同，近独立的玻色子由个全同，近独立的玻色子组成的系成的系统，温度，温度为T，体，体积为V设粒子自旋粒子自旋为零，根据玻色分布，零，根据玻色分布，处在能在能级 l的粒子数的粒子数为从上式可看出，从上式可看出，这要求要求对所有能所有能级 l 均有均有以以 0 表粒子的最低能表粒子的最低能级，这个要求也可以表达个要求也可以表达为 显然，然，处在任一个能在任一个能级的粒子都不能取的粒子都不能取负值。说明：理想玻色气体的化学明：理想玻色气体的化学势必必须低于粒子最低能低于粒子最低能级的能量。的能量。9.4玻色-爱因斯坦凝聚本节讨论简并理想玻第九章第九章第九章第九章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计如果取最低能如果取最低能级为能量的零点即能量的零点即 0，则上式可以表上式可以表为化学化学势 由公式由公式 确定确定为温度温度T及粒子数密度及粒子数密度n=N/V的函数。的函数。在粒子数密度在粒子数密度n给定的情形下，温度越低由上式确定的定的情形下，温度越低由上式确定的 值必然越高。必然越高。如果将上式的求和用如果将上式的求和用积分代替，可将之表达分代替，可将之表达为其中用了其中用了态密度的公式密度的公式适用于适用于热力学极限或能力学极限或能级间距距远小于小于kT的情况的情况如果取最低能级为能量的零点即0，化学势由公式第九章第九章第九章第九章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计临界温度界温度TC由下式定出由下式定出利用积分利用积分因此因此对给定的粒子数密度定的粒子数密度n，临界温度界温度TC为化学化学势既随温度的降低而升高，当温度降到某一既随温度的降低而升高，当温度降到某一临界温度界温度TC时，将将趋于于-0。这时趋于。于。临界温度TC由下式定出利用积分因此对给定的粒子数密度n，临第九章第九章第九章第九章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计温度低于温度低于时会出会出现什么什么现象呢？象呢？温度越低温度越低时，化学式，化学式 越高，但在任何温度下越高，但在任何温度下 必是必是负的的化学化学势既随温度的降低而升高，既随温度的降低而升高，T TC时，仍仍趋于于-0。改写为改写为第一第一项：n0(T)是温度是温度为T时处在能在能级 的粒子数密度，的粒子数密度，第二第二项：处在激在激发能能级 的粒子数密度的粒子数密度n，将将积分代替求和分代替求和时所所产生的生的误差不可以忽略差不可以忽略时，温度低于时会出现什么现象呢？温度越低时，化学式越高，但第九章第九章第九章第九章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计计算第二项：计算第二项：利用积分利用积分处在激发能级处在激发能级 的粒子数密度的粒子数密度计算第二项：利用积分处在激发能级的粒子数密度第九章第九章第九章第九章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计温度温度为T时处在能在能级 0的粒子数密度的粒子数密度在在TC以下，以下，n0与与n具有相同的量具有相同的量级，n0随温度的随温度的变化如化如图所所示示表明：在表明：在T TC时宏宏观量量级的粒子在的粒子在能能级 0凝聚凝聚1.01.00.80.80.60.60.40.40.20.2n0/nT/TC0温度为T时处在能级0的粒子数密度在第九章第九章第九章第九章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计在绝对零度下，粒子尽可能占据能量最低的状态。在绝对零度下，粒子尽可能占据能量最低的状态。对于玻色粒子，一个个体量子态所能容纳的粒子数目不受对于玻色粒子，一个个体量子态所能容纳的粒子数目不受限制。绝对零度下，玻色粒子将全部处在限制。绝对零度下，玻色粒子将全部处在 0的最低能级。的最低能级。在在T TC时宏观量级的粒子在能级时宏观量级的粒子在能级 0凝聚。这一现象称为凝聚。这一现象称为玻色爱因斯坦凝聚玻色爱因斯坦凝聚玻色爱因斯坦凝聚玻色爱因斯坦凝聚，简称，简称玻色凝聚玻色凝聚玻色凝聚玻色凝聚。TC称为凝聚温度。凝聚称为凝聚温度。凝聚在在 0的粒子集合称为玻色凝聚体。的粒子集合称为玻色凝聚体。凝聚体不但能量为零；动量也为零，对压强没有贡献。由凝聚体不但能量为零；动量也为零，对压强没有贡献。由于凝聚体的的微观状态完全确定，熵也为零。于凝聚体的的微观状态完全确定，熵也为零。Ketterle在钠原子气中实在钠原子气中实现的现的BEC玻色玻色-爱因斯坦凝聚因斯坦凝聚仿真仿真在绝对零度下，粒子尽可能占据能量最低的状态。Kette第九章第九章第九章第九章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计在在T TC时，理想玻色气体的内能是处在能级时，理想玻色气体的内能是处在能级 0的粒子的粒子能量的统计平均值能量的统计平均值利用积分利用积分在TTC时，理想玻色气体的内能是处在能级0的粒子第九章第九章第九章第九章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计定容热容量为定容热容量为表明：在表明：在TT时，理想玻色，理想玻色气体的定容气体的定容热容量与容量与T3/2成正比。成正比。T=TC时，理想玻色气体的定，理想玻色气体的定容容热容量达到最大容量达到最大值1.925Nk.高温高温时，理想玻色气体的定，理想玻色气体的定容容热容量容量应趋于于经典典值3/2Nk.2.02.0C/NkT/TC1.01.03/2在在T=TC时的尖峰的尖峰处，理想玻色气体的定容，理想玻色气体的定容热容量容量连续。但理。但理想玻色气体的定容想玻色气体的定容热容量容量对T的偏的偏导数存在突数存在突变。定容热容量为表明：在TkT金属中自由金属中自由电子气体是高度子气体是高度简并的并的7.定义费米温度例如：铜的TF7.8104K.第九章第九章第九章第九章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计9.5.4 T T0K0K时电时电子的分布子的分布子的分布子的分布温度为温度为T时时,处在能量为处在能量为 的一个量子态上的平均粒子数的一个量子态上的平均粒子数:时时 时时1.1.用图形表示为用图形表示为用图形表示为用图形表示为 时时每一量子态上平均电子每一量子态上平均电子数大于数大于1/2每一量子态上平均电子每一量子态上平均电子数等于数等于1/2每一量子态上平均电子每一量子态上平均电子数小于数小于1/2函数按指数规律随函数按指数规律随 变变化，实际上只在化，实际上只在 附近数量级为附近数量级为kT的范围内，电子的分布与的范围内，电子的分布与T=0K时时的分布有差异的分布有差异 01f 1/29.5.4T0K时电子的分布温度为T时,处在能量为第九章第九章第九章第九章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计在在0K时，电子占据了从子占据了从0到到(0)的每的每一个量子一个量子态温度升高温度升高时，电子有可能子有可能跃迁到能量迁到能量较高的未被占据的状高的未被占据的状态去去但但处在低能在低能态的的电子要子要跃迁到能量迁到能量较高的未被占据的状高的未被占据的状态去，必去，必须吸取很大的吸取很大的能量，而能量，而这种可能性是很小的种可能性是很小的2.根据根据这一考一考虑可以粗略估可以粗略估计电子气体的子气体的热容量容量在在 附近，数量附近，数量级为kT的能量范的能量范围内的内的对热容量有容量有贡献的献的有效有效电子数子数 01f 1/2只在只在 附近数量附近数量级为kT的能量范的能量范围内内电子能子能够跃迁因此，迁因此，只在只在 附近，数量附近，数量级为kT的能量范的能量范围内的内的电子子对热容量有容量有贡献献在0K时，电子占据了从0到(0)的每一个量子态第九章第九章第九章第九章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计将能量均分定理将能量均分定理应用于有效用于有效电子，每一有效子，每一有效电子子对能量的能量的贡献献为3kT/2，则金属中自由金属中自由电子子对热容量的容量的贡献献为在室温范在室温范围金属中自由金属中自由电子子对热容量的容量的贡献献远小于小于经典理典理论的数的数值，与，与离子振离子振动的的热容量相比，容量相比，电子的子的热容量可以忽略不容量可以忽略不计电子数子数N满足足上式确定自由上式确定自由电子气体的化学子气体的化学势。9.5.5 电电子气体的子气体的子气体的子气体的热热容量容量容量容量将能量均分定理应用于有效电子，每一有效电子对能量的贡献为第九章第九章第九章第九章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计以上两式的以上两式的积分都可写成下述形式分都可写成下述形式其中其中分分别为和和，常数，常数电子气体的内能子气体的内能U为在右方第一在右方第一项令令以上两式的积分都可写成下述形式其中分别为第九章第九章第九章第九章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计可得可得在上式右方第二项中，已把积分上限都取作在上式右方第二项中，已把积分上限都取作。这是因为这是因为/kT，而且因为被积函数分母中的，而且因为被积函数分母中的ex因子使因子使对积分的贡献主要来自对积分的贡献主要来自x小的范围。小的范围。可以将被积函数的分子展开可以将被积函数的分子展开为为x的幂级数，只取到的幂级数，只取到x的一次项而得的一次项而得因此粒子数和内能可表为因此粒子数和内能可表为可得在上式右方第二项中，已把积分上限都取作。第九章第九章第九章第九章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计由上式得由上式得当当T0时，时，得得在第二项中用在第二项中用kT/(0)代替代替kT/而得而得 将上式代入内能表达式，将上式代入内能表达式，由上式得当T0时，得在第二项中用kT/(0)代替k第九章第九章第九章第九章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计并作相应的近似，可得并作相应的近似，可得 自由电子气体的内能自由电子气体的内能电子气体的定容热容量为电子气体的定容热容量为这结果与前面粗略分析的结果只有系数的差异。这结果与前面粗略分析的结果只有系数的差异。在常温范在常温范围电子的子的热容量容量远小于离子振小于离子振动的的热容量。但在容量。但在低温范低温范围，离子振，离子振动的的热容量按容量按T3随温度而减少；随温度而减少；电子容量与子容量与T成正比，减少比成正比，减少比较缓慢。慢。所以，在足所以，在足够低的温度下低的温度下电子的子的热容量就不能忽略。容量就不能忽略。并作相应的近似，可得自由电子气体的内能电子气体的定容热容量为第九章第九章第九章第九章 玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计结 束！结束！