第3章多自由度系统的振动ppt课件

第三章第三章 多自由度系统的振多自由度系统的振动动主要内容：v多自由度系统动力学方程的建立；v多自由度系统的固有频率和模态；v频率方程的零根和重根情形；v多自由度系统的响应。第三章 多自由度系统的振动主要内容：kcm建模方法1：将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼。要求：对轿车的上下振动进行动力学建模。例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之间的相互影响优点：模型简单分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合。引言kcm建模方法1：将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性k2c2m车车m人人k1c1建模方法2：车、人的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼。优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合缺点：没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响k2c2m车m人k1c1建模方法2：车、人的质量分别考虑，并m人人k1c1k2c2mk3c3k2c2k3c3m车车m轮轮m轮轮建模方法3：车、人、车轮的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼优点：分别考虑了人与车、车与车轮、车轮与地面之间的相互耦合，模型较为精确问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？m人k1c1k2c2mk3c3k2c2k3c3m车m轮m轮建3.1 多自由度系统运动微分方程一、动静法 与单自由度系统类似，我们仍然可以用牛顿第二定律或者达朗贝尔原理，建立各质点的动力平衡方程，先看下面的例子。例1：试建立下图所示弹簧质量系统的动力学方程。1、刚度法 3.1 多自由度系统运动微分方程一、动静法 与单自解：分别取出二个质点的受力图，如下图根据达朗贝尔原理，有把两个方程并到一起，写成矩阵形式有解：分别取出二个质点的受力图，如下图根据达朗贝尔原理，有把两例2：以静力平衡位置为基准，建立图示系统的运动微分方程。例2：以静力平衡位置为基准，建立图示系统的运动微分方程。于是得运动微分方程即写成矩阵形式刚度系数可用结构力学方法求得，注意其物理意义。于是得运动微分方程即写成矩阵形式刚度系数可用结构力学方法求得2、柔度法 对某些系统，其刚度矩阵的元素可能不太容易求得，而其柔度系数相对来说比较容易求得，而刚度系数和柔度系数之间具有一定的关系，这时我们可以用柔度法求解。柔度法的思想是将惯性力作为一种外力，将系统在任何时刻的位移都看作是由外力和惯性力共同产生的，于是我们可以想办法求系统的位移，得到位移方程。例1：图示两自由度简支梁，不计梁的质量，试建立其动力学方程。已知梁的弯曲刚度为2、柔度法 对某些系统，其刚度矩阵的元素可能不太容易柔度系数，其物理意义为：对系统的第j个广义坐标方向施加一个单位力时，在第i个广义坐标方向产生的位移。解：用柔度法利用材料力学公式或结构力学图乘法有动力学方程为柔度系数，其物理意义为：对系统的第j个广义坐标方向施加一个单例2：试建立图示结构的运动方程。解：取图示的位移为未知量用柔度法其中写成矩阵形式，有例2：试建立图示结构的运动方程。解：取图示的位移为未知量用二、Lagrange方程方法 将平衡位置取作广义坐标的零值，则广义坐标也表示系统相对平衡位置的偏移。当系统在平衡位置附近作微振动时，广义坐标及其导数均为小量。设势能V在平衡位置处也取零值，将V在平衡位置附近展成泰勒级数，只保留广义坐标的二级微量，导出：显然有 只讨论系统的稳定平衡状态时，势能在平衡位置处取孤立极小值，则势能表达式为广义坐标的正定二次型。设系统受定常约束，其动能T为广义速度的二次齐次函数二、Lagrange方程方法 将平衡位置取作 除非广义速度全部为零，动能均应为正实数，因此动能表达式为广义速度的正定二次型。动能和势能还可以写成如下的矩阵形式显然，质量矩阵为对称正定方阵，以后可以知道，刚度矩阵为对称的半正定矩阵。拉格朗日函数设为与广义坐标对应的非保守力则有拉格朗日方程将动能和势能代入，导出多自由度系统的动力方程 除非广义速度全部为零，动能均应为正实数，因此动能表达例1：试用拉格朗日方程建立下图所示系统的动力学方程。解：系统的动能和势能为代入Lagrange方程得例1：试用拉格朗日方程建立下图所示系统的动力学方程。解：系统例2：试用拉格朗日方程建立下图所示系统的动力学方程。解：选图示的广义坐标代入拉格朗日方程，注意此时没有非保守力，得微小振动线性化即例2：试用拉格朗日方程建立下图所示系统的动力学方程。解：选图例3：图示的多刚性杆悬挂系统作微幅摆动，试建立其运动微分方程组。解：选图示的广义坐标代入拉格朗日方程，得将其线性化后为即例3：图示的多刚性杆悬挂系统作微幅摆动，试建立其运动微分方程例4：建立图示汽车底盘模型的动力学方程，假设车身的刚性杆AB长为l，质量为m，绕质心的转动惯量为J。解：选图示的广义坐标代入拉格朗日方程，得例4：建立图示汽车底盘模型的动力学方程，假设车身的刚性杆AB讨论：、参考点为杆的质心，令则：2、参考点特殊位置，设则：可见动力方程组的形式与广义坐标的选取有着密切的关系。思考：两个矩阵的非主对角元素为零意味着什么？讨论：、参考点为杆的质心，令则：2、参考点特殊位置，设则：三、耦合与坐标变换矩阵中非零的非对角元素称为耦合项质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合以两自由度系统为例不存在惯性耦合存在惯性耦合三、耦合与坐标变换矩阵中非零的非对角元素称为耦合项质量矩阵中如果系统仅在第一个坐标上产生加速度可见，不出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度只在该坐标上引起惯性力；而出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度还会在别的坐标上引起惯性力。同样道理，不出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移只在该坐标上引起弹性恢复力；出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移还会在别的坐标上引起弹性恢复力。耦合的表现形式取决于坐标的选择。如果系统仅在第一个坐标上产生加速度可见，不出现惯性耦合时，一问：能否找到这样一种坐标使得系统的运动微分方程既不出现惯性耦合，也不出现弹性耦合？即：若能够，则有：方程解耦，变成了两个单自由度问题。使系统运动微分方程的全部耦合项全部解耦的坐标称为主坐标。问：能否找到这样一种坐标使得系统的运动微分方程既不出现惯性耦结论：假设对同一个系统所选择的两种不同的坐标X 和Y 有如下的变换关系：其中T 是非奇异矩阵，如果在坐标X下系统的运动微分方程为：那么在坐标Y 下的运动微分方程为：如果恰巧Y 是主坐标：对角阵这样的T 是否存在？如何寻找？结论：假设对同一个系统所选择的两种不同的坐标X 和Y 有如下四、影响系数法和系统的特性矩阵一般说来，一个多自由度系统的动力平衡方程均可写成如下的形式写成矩阵形式 刚度形式或者柔度形式令动力方程中Q=0，得到保守系统自由振动的动力学方程。其中 矩阵称作系统的动力矩阵，D不是对称矩阵。或式中四、影响系数法和系统的特性矩阵一般说来，一个多自由度系统的动上式中 广义坐标列阵 质量矩阵(Mass Matrix)刚度矩阵(Stiffness Matrix)柔度矩阵(Flexibility Matrix)动力学方程有明确的物理意义，既弹性恢复力 ，惯性力与非保守力Q保持平衡 考虑静变形的特殊情况，令：使系统仅产生时，沿坐标施加的外力 考虑特殊情况，：使系统仅产生时，沿坐标施加的外力 上式中 广义坐标列阵 质量矩阵(Mass Matrix)刚在中令：在系统中仅令时，沿方向产生的位移。在明白这些元素的物理意义之后，有时我们可以先写出动力方程的形式，然后想法求其中的这些元素，这种方法也称作是影响系数法。比如此例，先只考虑静态，令得令有于是得到刚度矩阵在中令：在系统中仅令时，沿方向产生的位移。在明白这些只考虑动态，令令得质量矩阵因为此时故有动力学平衡方程即只考虑动态，令令得质量矩阵因为此时故有动力学平衡方程即例1：图示两自由度系统，不计弹簧和摆长的质量，试建立下图所示混合摆的动力学方程。解：选定图示的广义坐标先求刚度系数令例1：图示两自由度系统，不计弹簧和摆长的质量，试建立下图所示令求质量系数令令求质量系数令令运动微分方程为令运动微分方程为求：系统的运动学方程 例2：每杆质量m，杆长度l，水平弹簧刚度k，弹簧距离固定端 a。kaO1O2解：以为坐标令：令：则需要在两杆上施加力矩分别对两杆 O1、O2 求矩：aO1O2求：系统的运动学方程 例2：每杆质量m，杆长度l，水平弹簧刚令：则需要在两杆上施加力矩分别对两杆 O1、O2 求矩：aO1O2刚度矩阵：令：则需要在两杆上施加力矩aO1O2k令：则需要在两杆上施加力矩分别对两杆 O1、O2 求矩：aO则需要在两杆上施加力矩令：质量矩阵：aO1O2k运动学方程：则需要在两杆上施加力矩令：质量矩阵：aO1O2k运动学方程：例3：m1m2例3：m1m2解：设水平、竖向位移为x、y，分别向右、向下为正。例4：试分别用求柔度系数法和刚度系数法建立图示结构的运动方程。各杆长度为l，抗弯刚度为EI。1FIxFIy+Py(t)Px(t)mPx(t)Py(t)用柔度法整理得到以矩阵方程表示的动力学方程1解：设水平、竖向位移为x、y，分别向右、向下为正。例4：试分刚度法f fIxIxf fexexP Px xf fIyIyf feyeyP Py y取质量为隔离体，受力图如右图其中的刚度系数可类似位移法求得1 11 1MM1 1MM2 2MM3 3MM4 4注：求刚度系数还是柔度系数，取决于结构的刚度系数和柔度系数哪个更便于求解。刚度法fIxfexPxfIyfeyPy 取质量为隔离体，受力图特性矩阵的性质对称性反力互等定理位移互等定理反力互等定理正定性等号仅在时成立正定等号在 不全为零时也能成立半正定动能势能势能还可以用外力功代替等号仅在时成立正定特性矩阵的性质对称性反力互等定理位移互等定理反力互等定理正定