资源描述
近世代数近世代数第二章第二章 群论群论 9 群同态、同构群同态、同构 5/6/2024近世代数第二章 群论 8/1/2023一、定义一、定义1 1若存在群若存在群到到群群的的同同态满射射，则称称群群与与群群同同态；若存在群若存在群到到群群的的同构映射同构映射，则称称群群与与群群同构同构.假定假定是集合是集合到到的一个的一个满射，射，称，称为在在之下的象；之下的象；，称，称为在在之下的逆象之下的逆象.为 5/6/2024一、定义1若存在群到群的同态满射，则称群与群同态；若存在群二、群同态性质二、群同态性质群群与与同同态，是是到到的同的同态满射，射，则(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)定理定理1 1(6)(6)是循是循环群，群，则也是循也是循环群群.5/6/2024二、群同态性质群与同态，是到的同态满射，则(1)(2)(3)定理定理2两个代数系统两个代数系统同态，同态，与与若若是群，是群，则则也是群也是群.证明：证明：，是群，有结合律，则是群，有结合律，则也有结合律；也有结合律；是同态满射，有是同态满射，有是是的左单位元；的左单位元；是是的左逆元的左逆元也是群也是群.5/6/2024定理2两个代数系统同态，与若是群，则也是群.证明：，是群，有例例1 证明证明关于关于做成群做成群.证明：取证明：取是是到到的同态满射，的同态满射，而而是群，是群，因此因此是群是群.5/6/2024例1 证明关于做成群.证明：取是到的同态满射，而是群，因此是例例2是是到到的同态满射，的同态满射，全体正负奇数全体正负奇数，代数运算均为数的普通乘法代数运算均为数的普通乘法正奇数正奇数1负奇数负奇数-1是群，是群，而而不是群不是群.5/6/2024例2是到的同态满射，全体正负奇数，代数运算均为数的普通乘三、同态核三、同态核思考思考题1 1：，那么，那么例例1 1 与与 同同态 5/6/2024三、同态核思考题1：，那么例1 与 同态 8/1/2定义定义3设是群是群到群到群的同的同态映射映射,是是的的单位元位元.称称在在中的所有中的所有的的核核,记作作逆象逆象组成的集合成的集合为同同态映射映射例例3是是到到的同态映射的同态映射全体偶数全体偶数 5/6/2024定义3设是群到群的同态映射,是的单位元.称在中的所有的核,引理引理1若若是是群群到到群群的同的同态映射映射是是单射射，则证明：明：而而是是单射射若若，则是是单射射.5/6/2024引理1若是群到群的同态映射是单射，则证明：而是单射若，则是单引理引理2若若是是群群到到群群的同的同态满射射，则证明：明：5/6/2024引理2若是群到群的同态满射，则证明：8/1/2023四、群同态基本定理四、群同态基本定理 定理定理3 3 群群同它的每个商群同它的每个商群定定义4 4 称群称群到商群到商群的同的同态满射射为的自然同的自然同态.同同态.到到注：注：5/6/2024四、群同态基本定理 定理3 群同它的每个商群定义4 称定理定理4（群同态基本定理）（群同态基本定理）群群与与同同态，是是到到满射，射，则的同的同态证明：明：取取 5/6/2024定理4（群同态基本定理）群与同态，是到满射，则的同态证明：说明：说明：定理定理3 3说明任何群都同它的商群同明任何群都同它的商群同态；同另一个群同另一个群同同态，在同构意在同构意义下是下是的一个商群的一个商群.定理定理4 4说明一个群明一个群则这个群个群因此，在因此，在同构意同构意义下下，定理，定理3 3与定理与定理4 4的意的意思思是：是：每个群能而且只能同它的商群同每个群能而且只能同它的商群同态.5/6/2024说明：定理3说明任何群都同它的商群同态；同另一个群同态，在同推推论1 1：设与与是有限群，且是有限群，且，则推推论2 2：循循环群的商群也是循群的商群也是循环群群.整除整除 5/6/2024推论1：设与是有限群，且，则推论2：循环群的商群也是循环群五、群的同构定理五、群的同构定理定理定理5 5 设是群是群到群到群的同的同态满射射，则，又，又证明：证明：取取 5/6/2024五、群的同构定理定理5 设是群到群的同态满射，则，又证明：取例例4 4，则证明：明：5/6/2024例4，则证明：8/1/2023
展开阅读全文