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近世代数近世代数 第三章第三章 环与域环与域 1 环的定义与性质环的定义与性质 5/6/2024近世代数 第三章 环与域 8/1/2023一、环的定义一、环的定义定定义1 1 设是一个非空集合是一个非空集合.上定上定义了两个代数运算了两个代数运算“+”“+”与与“.”“.”关于加法构成一个交关于加法构成一个交换群（加群）；群（加群）；(3)(3)乘法乘法对加法两个分配律成立：加法两个分配律成立：则称称为环,或或简称称为环.(分分别称称为加法与乘法加法与乘法),),并且并且满足足如果在如果在(1)(1)(2)(2)乘法乘法结合律成立：合律成立：5/6/2024一、环的定义定义1 设是一个非空集合.上定义了两个代数运说明：说明：是一个交是一个交换群群.其加法其加法单位元常用位元常用0 0表示表示,称称为环的零元的零元.设的加法逆元称的加法逆元称为的的负元元.的零元与的零元与的每个元素的的每个元素的负元都是元都是,记作作唯一的唯一的.5/6/2024说明：是一个交换群.其加法单位元常用0表示,称为环的零元.定定义2 2 如果如果环的乘法的乘法还满足交足交换律律,为交交换环.中存在元素中存在元素,使得使得则称称为有有单位元的位元的环,并称并称为的的定定义3 3 如果如果环单位元位元.则称则称 5/6/2024定义2 如果环的乘法还满足交换律,为交换环.中存在元素,使例例 1整数集关于数的加法与乘法整数集关于数的加法与乘法构成有单位元的交换环构成有单位元的交换环.这个环的零元是数这个环的零元是数0,单位元是数单位元是数1.这个环称为这个环称为整数环整数环.同样同样,有理数集有理数集,实数集实数集,复数集关复数集关于数的加法与乘法构成有单位元于数的加法与乘法构成有单位元的交换环的交换环 5/6/2024例 1整数集关于数的加法与乘法构成有单位元的交换环.这个环的定理定理1设设是一个环是一个环,如果如果有单位元有单位元,则则单位元是唯一的单位元是唯一的.的单位元常记作的单位元常记作.5/6/2024定理1设是一个环,如果有单位元,则单位元是唯一的.的单位元常二、环的性质二、环的性质性性质1.1.规定减法定减法:，则有移有移项法法则:5/6/2024二、环的性质性质1.规定减法:，则有移项法则:8/1/性性质2.2.规定倍数定倍数:设 ,规定定 则有倍数法有倍数法则:对任意任意 5/6/2024性质2.规定倍数:设,规定 则有倍数法则:对任意性性质3.3.设为环,则对,有有 5/6/2024性质3.设为环,则对,有 8/1/2023性性质4.4.规定方定方幂:设 ,规定定,则有下列指数法有下列指数法则:注意注意:如果如果环不是交不是交换环,则等式等式一般不成立一般不成立.5/6/2024性质4.规定方幂:设,规定,则有下列指数法则:注意性性质5.5.广广义分配律分配律:设 ,则 5/6/2024性质5.广义分配律:设,则 8/1/2023三、子环三、子环定定义4 4 若若环的的非空子集非空子集关于关于环的加法与乘法也做成的加法与乘法也做成环，称，称为的子的子环定理定理2 2 ，记作作例例 2 2 5/6/2024三、子环定义4 若环的非空子集关于环的加法与乘法也做成环，例例 3数域数域上的全体上的全体阶方方阵的集合的集合关于矩关于矩阵的加法与乘法的加法与乘法上的上的它的零元它的零元为零矩零矩阵,单位元位元为单位矩位矩阵.构成构成环.这个个环称称为数域数域阶阶全阵环全阵环.当当时,这是一个非交是一个非交换环,5/6/2024例 3数域上的全体阶方阵的集合关于矩阵的加法与乘法上的它的零例例 4 证明证明数集数集关于数的加法与乘法构成有关于数的加法与乘法构成有单位元位元的交换环的交换环.为非平方整数非平方整数,则关于数的加法与乘法都构成有关于数的加法与乘法都构成有单位元的交位元的交换环.这个个环称称为高斯整高斯整环.类似地可似地可证,如果如果 5/6/2024例 4 证明数集关于数的加法与乘法构成有单位元的交换环.为非四、特殊类型的环四、特殊类型的环1.1.无零因子无零因子环为环,为的非零元素的非零元素.，使，使，则称称的一个左零因子；的一个左零因子；，使，使，则称称的一个右零因子的一个右零因子.定定义 5 5 设如果存在非零元如果存在非零元为如果存在非零元如果存在非零元为左零因子与右零因子左零因子与右零因子统称称为零因子零因子.不是左零因子也不是右零因子的元素，不是左零因子也不是右零因子的元素，叫做正叫做正则元元.5/6/2024四、特殊类型的环1.无零因子环为环,为的非零元素.，使，则例例5 5设都是都是的非零元的非零元,而而,所以所以分分别为的左右零因子的左右零因子.5/6/2024例5设都是的非零元,而,所以分别为的左右零因子.8/1/2定义定义 6 6 一个没有零因子的环称为无零因子环一个没有零因子的环称为无零因子环.定理定理 3 3 无零因子无零因子环中中,关于乘法关于乘法,如果如果或或,则两个两个消去律成立消去律成立.即即设 5/6/2024定义 6 一个没有零因子的环称为无零因子环.定理 3 2.2.整环整环定定义 7 7 一个交一个交换的的,有有单位元位元且且的无零因子的无零因子环称称为整整环.例例 6 6 整数整数环,高斯整高斯整环 而偶数而偶数环为都是整都是整环,无零因子无零因子环.5/6/20242.整环定义 7 一个交换的,有单位元且的无零因子环称为整3.3.除环和域除环和域定定义 8 8 设为有有单位元位元的的环,如果存在如果存在,使得使得,则称称为的可逆元的可逆元,并称并称为的逆元的逆元.可逆可逆,则的逆元唯一的逆元唯一,且且的逆元也可逆的逆元也可逆.可逆元可逆元的唯一的的唯一的,且且若若逆元逆元记作作 5/6/20243.除环和域定义 8 设为有单位元的环,如果存在,使得,例例 7的可逆元的可逆元仅有有1,-1;1,-1;由于没有由于没有单位元位元,所以它没有可逆元所以它没有可逆元.可逆当且可逆当且仅当当例例 9 9 试求高斯整求高斯整环 例例 8 8 解解的可逆元的可逆元.5/6/2024例 7的可逆元仅有1,-1;由于没有单位元,所以它没有可逆定义定义9 9设是有是有单位元的位元的环,且且.如果如果中每个非零元都可逆中每个非零元都可逆,则称称为除除环.交交换的除的除环称称为域域.例例 10 10 都是域都是域.5/6/2024定义9设是有单位元的环,且.如果中每个非零元都可逆,则称为除例例 11为域域.是有是有单位元的交位元的交换环.的每个非零元都可逆的每个非零元都可逆.证明明证明明 可可证下证下证,5/6/2024例 11为域.是有单位元的交换环.的每个非零元都可逆.证明域的除法域的除法设为域域,则对任意的任意的,有有，记作作由此可定由此可定义域域的的 除法除法:设,规定定,称称为以以除除的商的商.5/6/2024域的除法设为域,则对任意的,有，记作由此可定义域的除法且有下列运算法且有下列运算法则:5/6/2024且有下列运算法则:8/1/2023作业：作业：证明：若明：若为无平方因子的整数无平方因子的整数,则为域域.5/6/2024作业：证明：若为无平方因子的整数,则为域.8/1/202
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