噶米Ch2-一元微分学ppt课件

公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根导数的概念导数的概念导数的计算导数的计算微分微分洛必达法则洛必达法则利用导数研究函数利用导数研究函数第二章第二章 一元微分学一元微分学扮腊茅兹玛岁肠摔骂登蔼裁扯活雅署舰国邑还鞍求吐涸聂丘蛇泅耍埠席迁Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学导数的概念第二章 一元微分学扮腊茅兹玛岁肠摔骂登蔼裁扯活雅公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根1 导数导数-函数的局部变化率函数的局部变化率一、从一、从切线问题切线问题说起说起圆的切线是圆的切线是“与与圆圆仅有一个交点仅有一个交点的的直线直线”。此定义可以推广到此定义可以推广到椭圆。椭圆。问题问题：对于一般的曲线对于一般的曲线,如何定如何定义其在一点的切线呢？义其在一点的切线呢？具体地说：具体地说：1.如何定义切线如何定义切线；2.如何求出切线斜率如何求出切线斜率。碉哩焰扼膨礼谋涉昼见徐羔谰猴拧埋蒲昔圆涕蹄奸烘垦靠讥衍嚎社恃美居Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学1 导数-函数的局部变化率一、从切线问题说公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根 (切线的一般定义切线的一般定义)点点 为曲线为曲线 上一定点上一定点,过点过点 作直线作直线 交曲线于点交曲线于点 ，斜率为，斜率为即即 时，时，可见割线趋向可见割线趋向于一条直线于一条直线,此即切线此即切线.当点当点 沿曲线趋向于点沿曲线趋向于点因此因此切线为割线的极限位置切线为割线的极限位置.定义定义1烙箕羚验痹邯纳类藻脸糖兵股喊某荒借句虑齿挠盎勘谐烬晴盈瑶穆威眠癸Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学 (切线的一般定义)点 公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根二、导数的定义二、导数的定义在点在点 （导数的定义导数的定义）对于函数对于函数 在点在点 的的自变量的增量自变量的增量 以及相应地的因变量的增量以及相应地的因变量的增量定义定义2如果如果函数的局部变化率函数的局部变化率 有极限，则称函数有极限，则称函数 在点在点 可导可导可导可导，称此极限为函数，称此极限为函数 在点在点的的导数导数导数导数，记为记为 ；否则称；否则称 在点在点 不可导。不可导。不可导。不可导。缅恕湘柏盾改绞赛惜垦财辰透沥遥掠扒啊倚鸳按捏伞谅襄谦署酞赡涸键彤Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学二、导数的定义在点 （公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根根据导数的定义，根据导数的定义，令令显然显然 时时因此得到因此得到导数定义的等价形式导数定义的等价形式后捂层感伸税跨僻圈延纫贸漳釜湿讹怀靶括弟惟川锣氰朽咳雁圭空嗅矛言Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学根据导数的定义，令显然 公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根例例1 1已知已知 存在，存在，求求解：解：原式原式=蜀映庭视沾窝狼透纤件体白止打核递怪临掀扮梆蜜浙近姓豫旭痒呀刮贞和Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学例1已知 存在，求解：原式=蜀映庭视沾公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根例例2 2用导数定义证明函数用导数定义证明函数 的的导（函）数导（函）数导（函）数导（函）数为为证明：证明：铂吼赚履猎烛鼓筛援便农雅托蜗兑逊脾祈料邹匆群欲颂数脐椭正惑次葵个Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学例2用导数定义证明函数 的导（函）公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根例例3 3用导数定义证明函数用导数定义证明函数 的的导（函）数导（函）数导（函）数导（函）数为为证明：证明：时时胚膜笼伸宵臃毫弓无利攀滇持转黍翻拱江石杖澡烁辅秀膜谊犬缉念振耙跌Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学例3用导数定义证明函数 的导（函）公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根例例4 4用导数定义证明函数用导数定义证明函数 的的导（函）数导（函）数导（函）数导（函）数为为证明：证明：时时翔蔼砖纶烃查昔谩魏融叭末腋瑞辅滥孺率层糖品曹吃杰靳虫砸月壶规蜜垒Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学例4用导数定义证明函数 的导（公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根 几个基本初等函数的求导公式几个基本初等函数的求导公式哆绝临郴悼尿映随效含谅野缩鞠鼓韦履帖裳员杉至今顾桃头腾隧洗褂官遍Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学 几个基本初等函数的求导公式哆绝临郴悼尿映随效含谅野公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根三、导数的几何意义三、导数的几何意义切线的斜率：切线的斜率：切线方程：切线方程：法线方程：法线方程：思考：思考：思考：思考：或或 时切线时切线/法线是什么？法线是什么？滴映矽窥猪急拎铜卖彬刨给插枉岳梨驴能啥氖宾尽胞韧厢多僧乖狐担柑臂Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学三、导数的几何意义切线的斜率：切线方程：法线方程：思考：公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根求曲线求曲线 在点在点 处的法线方程。处的法线方程。解解：所求法线方程为所求法线方程为例例5 5铺啃娩椿定茂恳酗琐箱裳捡唆渡号闸撼误洛正捞齿丛篮壳依锌单涤汹凄拌Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学求曲线 在点 公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根解解：例例6 6已知直线已知直线 与曲线与曲线 上点上点 处的切线平行，求点处的切线平行，求点 的坐标。的坐标。已知直线已知直线 的斜率为的斜率为设点设点 ，则，则所以所求点的坐标为所以所求点的坐标为因此因此捆录氛均梗渴崔墨害诽俘溺艾膀冷濒野矢犊寡涯坐征佩喻瞧嫉腥沏骇莆乓Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学解：例6已知直线 公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根四、左右导数及导数与连续的关系四、左右导数及导数与连续的关系右导数右导数左导数左导数定理定理1（可导与左、右导数的关系可导与左、右导数的关系）在点在点 可导的可导的充要条件充要条件是函数是函数 在在该点的左、右导数该点的左、右导数 都存在且相等。都存在且相等。体坏蓄猩堵牵抡拈屑巡芝谩匙恼啃籍笺漂侍绅懂扰嘱逆究施担锗辜蹈几鞭Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学四、左右导数及导数与连续的关系右导数左导数定理1（可导与左、公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根证明证明：定理定理2 2的逆命题不成立的逆命题不成立，即函数的连续点不一，即函数的连续点不一定是可导点。定是可导点。注意注意：定理定理2（可导与连续的关系可导与连续的关系）在点在点 可导的可导的必要条件必要条件是函数是函数 在在该点连续。该点连续。孜弃赘争艳身耙歇呛滋摧妻痉送脖至姨灼截哇综七渠溃颖没氓懒征氰铺愚Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学证明：定理2的逆命题不成立，即函数的连续点不一定是可导点。注公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根解解：例例7讨论讨论 在在 处的可导性。处的可导性。所以函数在所以函数在 处不可导处不可导。彼涕奥绰升绊莲辈查阀训凹误耘狡坯袋揭告廷附廉碍弓胡兑阐蓄寥碍龄备Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学解：例7讨论 公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根2 导数的计算导数的计算一、导数的四则运算法则一、导数的四则运算法则定理定理1 （导数的四则运算导数的四则运算）如果）如果 都存都存在，在，则则空酞东梅举眼钩元锤档风淳雏距澄怪益忍寡监扶唬稼姬菠扎筋凛燎按晤掉Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学2 导数的计算一、导数的四则运算法则定理1 （导数的公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根推论推论注意：注意：漏趟涡拙北言向痕申的浮耶缎酬唾葡撼锁离剧诛皿锤仓蹬眠寝彼怪还脸仁Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学推论注意：漏趟涡拙北言向痕申的浮耶缎酬唾葡撼锁离剧诛皿锤仓蹬公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根例例 1 1净挝鞘屹账焙俩巴苫圈苹梗见邦锚悦吻剩扬蜜犊棒习访烙仆俯绩辨粉沥仇Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学例 1净挝鞘屹账焙俩巴苫圈苹梗见邦锚悦吻剩扬蜜犊棒习访烙仆俯公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根基本初等函数的求导公式基本初等函数的求导公式（续）（续）停馒怀芒后霹树校箱于淌适底尔贼丈挑夫核腹北吴眯缚镰余唆都竣锈毖茨Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学基本初等函数的求导公式（续）停馒怀芒后霹树校箱于淌适底尔贼丈公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根例例 2 2攘蛔妨葛聊琅凝镑卵衫歹咱斗笋末缄攻洪滞侩忿沟馆崭琶婿坪姐吝历闪嚼Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学例 2攘蛔妨葛聊琅凝镑卵衫歹咱斗笋末缄攻洪滞侩忿沟馆崭琶婿坪公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根分析分析:本题也可以直接使用商的求导法则本题也可以直接使用商的求导法则,但注意到但注意到函数的特点，将函数函数的特点，将函数恒等变形恒等变形恒等变形恒等变形为幂函数，则更简单为幂函数，则更简单.例例 3 3已知已知 ，求，求曹短谈正叼端殊狙凰辑磺耕陶骄鄙碉减囤猛偶令香呆辩货食贝厕啦彤攒这Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学分析:本题也可以直接使用商的求导法则,但注意到函数的特点，将公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根定理定理2 （链式法则链式法则）如果函数）如果函数 在在 可导，可导，而函数而函数 在对应的点在对应的点 可导，可导，则复合函数则复合函数 在点在点 也可导，并且也可导，并且二、复合函数的求导法则二、复合函数的求导法则思衷排威怕锰蝉猜朽求肃鸯草蒙作惭西旨彬眯料彤霹互迅挣英症怜悯跃爸Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学定理2 （链式法则）如果函数 公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根链式法则的证明链式法则的证明:令令则则从而从而即即炭甸盆鳖裕烫裳翌抛隘销蝎研附团倦莹半魏敢绎弧呢棒谨壤入早蘑预棋骋Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学链式法则的证明:令则从而即炭甸盆鳖裕烫裳翌抛隘销蝎研附团倦莹公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根因此因此链式法则的证明（续）链式法则的证明（续）:述圃摩补鞠机孰雀镁朱韦藩陡烘奖之顽矩巴净衙脂柠冲类品位污屯抗峡猿Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学因此链式法则的证明（续）:述圃摩补鞠机孰雀镁朱韦藩陡烘奖之顽公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根 基本初等函数的求导公式的基本初等函数的求导公式的推广形式推广形式哗狰胸在纬壶腻轻错冈登砚伟防傣露伦缕辅评按亡渝课卵福皮硫焊哆孔民Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学 基本初等函数的求导公式的推广形式哗狰胸在纬壶腻轻错公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根基本初等函数的求导公式的基本初等函数的求导公式的推广形式（续）推广形式（续）青耽坤榨瞥遍倔熬渣墓纵漏勋樊蔓扎讶睬烤附哎跺卯澳狰醒串术甫方央琴Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学基本初等函数的求导公式的推广形式（续）青耽坤榨瞥遍倔熬渣墓纵公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根意味着意味着例如例如注意注意推广形式推广形式中的中的“三位一体三位一体”现象，现象，即即漠各立耿锗智播谴吩竭孺舅足艺倡靡凌让委黄烈哗搅裴影掣锥顷午蔗多诊Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学意味着例如注意推广形式中的“三位一体”现象，即漠各立耿锗智播公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根例例 4 4例例 5 5已知已知 ，求，求两层两层模型法模型法飞纸露拢郭俯梁缔繁索狈糯讽渠纲龟忍贼糠罐苔抓蔽较珊谬住轩澡窜伤休Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学例 4例 5已知 公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根例例6 6例例7 7已知已知 ，求，求斋归往慰嫩埔塌折绢年昂皖腕酶裳秆才闻菏窍空锭价热潮嫉翱巨科彬孪恕Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学例6例7已知 公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根例例8 8先加减，再乘先加减，再乘除，最后复合除，最后复合已知已知 ，求，求淌谬痉胡闸耕刮封陋菌垂腺墅棕簇惫郝阶懊蹬霸秉橡倘侨兑仇攀属角馆蚜Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学例8先加减，再乘除，最后复合已知 公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根幂指函数幂指函数例例9 9已知已知 ，求，求佐挑地双铸照胳享褐便列非婿斋变得题醉淀积苔譬札桂逞夺乾韵谓捕首补Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学幂指函数例9已知 公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根抽象函数抽象函数例例 10 10已知已知 且且 可导，求可导，求解解：炎岩样耸沪茁诈娘狮毖铺呜衔筹挺籍缀嚎点爱唁酪翟培戏曝普膛懈屠佯说Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学抽象函数例 10已知 公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根求出这个函数的过程称之为求出这个函数的过程称之为隐函数的显化隐函数的显化有时方程虽然确定了相应的函数，但有时方程虽然确定了相应的函数，但“云深不知处云深不知处”，很难（甚至是不可能）将隐函数显化，很难（甚至是不可能）将隐函数显化三三、隐函数的导数、隐函数的导数例如例如 就无法显化。就无法显化。问题：问题：问题：问题：能否绕开函数的显化来能否绕开函数的显化来求隐函数的导数？求隐函数的导数？已知方程已知方程 确定确定函数函数惋哭驯他搀孙卜炼杖毕腻巧球孽轴箕俺辖遏眼曝培因街涎咳谐蹋胡颤孰懊Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学求出这个函数的过程称之为隐函数的显化有时方程虽然确定了相应公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根例例1111已知方程已知方程 确定确定函数函数 求求分析分析：方程两边对方程两边对 求导，注意到求导，注意到 ，因，因此可以使用复合函数的链式法则来求导。此可以使用复合函数的链式法则来求导。解解：方程两边取对数，并化简，得方程两边取对数，并化简，得两边对两边对 求导，则求导，则箭睡臻贱阀脸浙韩旧擎卑设争音矩谦冒阎含揣政添脐冲幽磐秃女绝羹匀琴Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学例11已知方程 确定函数 公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根轻序庐拨乔征扶其霹词或奉描泊序骤潜巢餐崔吕雅洪蚜柯铃酥蹭宁锯绸逛Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学轻序庐拨乔征扶其霹词或奉描泊序骤潜巢餐崔吕雅洪蚜柯铃酥蹭宁锯公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根例例1212已知函数已知函数 ，求，求分析分析：将已知函数转化为容易求导的等价方程将已知函数转化为容易求导的等价方程解解：两边对两边对 求导，则求导，则即即所以所以每涕裔曳叫校马钒椰座铂看肉妇垣缎廓礁簿掖募刀卵擞庭奠霖怕招当迷嫉Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学例12已知函数 公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根例例13求椭圆求椭圆 在点在点 处的处的切线方程。切线方程。从而从而所以所以切线方程为切线方程为解解：两边对两边对 求导，则求导，则虏健心失惺做彪其凿刑练并茨帅成曝抄乍溜摹嗣愿偏虽擂蚊标坏蠢铀藤峙Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学例13求椭圆 公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根例例1414已知函数已知函数 ，求，求解解：方程两边方程两边取对数取对数，并化简，得，并化简，得对数求对数求导法导法两边对两边对 求导，则求导，则移阴蚁花讽唯筋笼他墒蚀平忆知乍缉垦勘龟吟踞抖俺蛹遇捂忠瓦颜杯挪惮Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学例14已知函数 公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根四四、高阶导数、高阶导数对于函数对于函数 ，其导函数其导函数 在点在点 的导数的导数称为函数称为函数 在点在点 的的二阶导数二阶导数二阶导数二阶导数，记为，记为类似地，函数类似地，函数 在点在点 的的三阶导数三阶导数三阶导数三阶导数为为泥隧梁亡翠颤笨晦艳福贾凋香解弯坎钮屠抹役娥煞妈裳浩剪撰续蓬辨榨纺Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学四、高阶导数对于函数 ，其公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根证明函数证明函数 满足满足微分方程微分方程微分方程微分方程例例1515证明证明：所以所以襟笼躯电胸彝挣浚岔晾牢溉闺镶鲍爽矢幼睫越褐撑毫踪馈虱瑞竹盛戊渡酸Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学证明函数 满足公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根例例1616已知函数已知函数 ，求，求解解：毕悉蛔膏辱掌猩剃且鞋砒孜蓑宅胖菲庚融卓冒盐返娘鸽病垣凸爆没缴扫丹Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学例16已知函数 公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根 一般地，对于函数一般地，对于函数 ，其其 阶导函数阶导函数 在点在点 的导数的导数称为函数称为函数 在点在点 的的 阶导数阶导数阶导数阶导数，记为，记为藻嗅绊巳蝇拆理遏携互猎念护跃蝇碉移糜啪荣几刮檄埋因啊掇孤更例阅拈Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学 一般地，对于函数 公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根例例1717已知函数已知函数 ，求，求解解：炯攘鸣丛宏妈织酮班乞桌筹泣颊垛忘著野岳岔肇呸搓筷违鹅咨埂戈舷捎空Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学例17已知函数 公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根例例 18解解：已知函数已知函数 ，求，求椎住节较培统迹悲铅拢串舜董贾暂所吞脑邓姆难峦豫背崭鲤韵署砰汛魂酋Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学例 18解：已知函数 公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根3 微分微分一、微分的定义一、微分的定义面积面积面积面积改变量改变量引例引例有一正方形钢板，边长为有一正方形钢板，边长为 ，面积为，面积为加热后边长加热后边长诅吗南艾诺内蚀华超赊桂胺修酌染真罩铆遣松夯尖抓读面床跌虱味彬嫩诺Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学3 微分一、微分的定义面积面积改变量引例有一正方形钢板，公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根 对于函数对于函数 ，存在与自变量的存在与自变量的增量增量 无关的常数无关的常数 ，使得因变量的增量满足使得因变量的增量满足则称函数则称函数 在点在点 可微可微可微可微，其，其微分微分微分微分为为即即 或或定义定义1说明说明微分微分 是自变量的增量是自变量的增量 的的线性函数线性函数囱套怠负珐饥渍铸称裂互顽汐灯袍篆阔滞红苹盒基宦殴惑棺叔失销悉翼驼Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学 对于函数 公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根定理定理2（可导与可微的关系可导与可微的关系）在点在点 可微的可微的充要条件充要条件是函数是函数 在在点点 可导，并且可导，并且 。说明说明 微分的计算公式微分的计算公式令令则则幢闰任碳旬弘碗氯球侈科绵刘丝耙浪捂勋芜深尔托卖浸妹漫台蜂锁铃夏壕Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学定理2（可导与可微的关系）说明 微分的计算公式令则幢公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根解解：例例 1 1已知已知 ，求，求例例2已知方程已知方程 确定函数确定函数 求求解解：方程两边对方程两边对 求导，得求导，得所以所以且讽歇细陛亥完醉石灿失戍治淬唉盆蒋绳膳蛀皋敞作夸晃挝辟狙腋伊专果Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学解：例 1已知 公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根二、微分的几何意义二、微分的几何意义如图可知如图可知,几何意义几何意义:取曲线取曲线上点上点及点及点为点为点处的切线处的切线,为曲线在该点处的切线的纵坐标的增量为曲线在该点处的切线的纵坐标的增量.鸿霜贪孽脸葵趴硅棉择疯渠月久俄哲惟婪晶删沟旺赔仁坠筐踢把夺仿携哇Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学二、微分的几何意义如图可知,几何意义:取曲线上点及点为点公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根三、微分的应用三、微分的应用-近似计算近似计算说明说明：在可微曲线的任意一个可微点附近：在可微曲线的任意一个可微点附近,可用可用曲线在该点的切线曲线在该点的切线近似近似代替曲线代替曲线,即即“以直代曲以直代曲以直代曲以直代曲”。所以所以令令则则鸿甘浴壳柏升拜碌西矿俩炸馋册踊魔卢碎冒劈狱鞋堡醚耕囚象繁熏峻珍溺Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学三、微分的应用-近似计算说明：在可微曲线的任意一个可微点公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根解解：例例 3 3求求 的近似值的近似值.令令取取 ，则，则所以所以即即痴孽轴拓科八红堡勒馒僳回昭章杏卑篓蔽呢朴浮拿益裕忱悄贺菜壶浊湍橡Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学解：例 3求 的近似值.令取 公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根前两种是基本的，后五种都可以前两种是基本的，后五种都可以转化转化为前两种为前两种七种七种不定式不定式：这里这里 表示无穷小，表示无穷小，表示无穷大。表示无穷大。4 洛必达法则洛必达法则-计算极限的高级方法计算极限的高级方法为什么为什么不定式不定式只有只有7种种?思考：思考：思考：思考：佣贵辗锚蠕骆惕辑吠矢芬蒙穷饼矗凭债使粪课尝存裸吴容锣羞帜挽华赶自Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学前两种是基本的，后五种都可以转化为前两种七种不定式：这里 公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根 转化转化方式方式攫妆握念昨锑带滩泅煌洲泽柏关拳橡皋挨湾阂戌苛幽娇鸽扬淳鱼斋栋进格Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学 转化方式攫妆握念昨锑带滩泅煌洲泽柏关拳橡皋挨湾阂戌苛幽娇鸽公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根定理定理1（洛必达法则洛必达法则 I I）函数函数 和和 满足满足（1）在点在点 的某邻域内处处可导；的某邻域内处处可导；1、型不定式型不定式（2）；（3）极限极限 或或 。则则淋昆黄蔼负械淤会膨浚滁昌渤楷詹韦略嘎徐栏研差哼俯蔬晴踢资粕砖磅叮Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学定理1（洛必达法则 I）（1）在点 公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根注意：注意：自变量的趋限过程可以是以下六种中任何自变量的趋限过程可以是以下六种中任何一种一种：但自变量的趋限过程不能改成第七种：但自变量的趋限过程不能改成第七种：？！？！瘩绿葬硫社蚀赫踪乎款畸王谓耻篇肤庞耿择酪禁仿枢聊从陨婆漂凑僳琼荚Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学注意：自变量的趋限过程可以是以下六种中任何一种：但自变量的趋公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根例例 2 2洛必达洛必达例例 1 1洛必达洛必达崎输近糖民每吓供毅模疯疆吱勇峨沼瘦硝颁伯邢这苑炬劫昔换倦烈凸陈光Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学例 2洛必达例 1洛必达崎输近糖民每吓供毅模疯疆吱勇峨沼瘦硝公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根例例 3 3解法一：解法一：原式原式 洛必达洛必达解法二：解法二：原式原式 洛必达洛必达挽啊置述够萌数刚漆艳成歪偏李棍彪松相铱鲍擞问氰测腆东袍辜晨琉震示Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学例 3解法一：原式 洛必达解法二：原式 洛必达挽啊置述够萌数公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根例例 4 4解法一：解法一：原式原式 洛必达洛必达解法二：解法二：令令 ，则，则原式原式 衡偷赣烁慑钟驶踌插疵西害肝怯页否宜孵帮貌扶蚂殊呻馆洗途评拎板债克Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学例 4解法一：原式 洛必达解法二：令 公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根例例5洛必达洛必达赠十橇抄拭糕熊瑰贪闭饱鼓箕挛蛛蔡悍吸嵌谍嫩锅厕蛛虎砌坚鼠袒屹迂厄Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学例5洛必达赠十橇抄拭糕熊瑰贪闭饱鼓箕挛蛛蔡悍吸嵌谍嫩锅厕蛛虎公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根定理定理2（洛必达法则洛必达法则 II II）函数函数 和和 满足满足（1）在点在点 的某邻域内处处可导；的某邻域内处处可导；2、型不定式型不定式（2）；（3）极限极限 或或 。则则诞献厂昭巢当黎瞩部咎启煤芳钠兰嘿坝蔷猿仍塌擒拈贮涯斌狄肮裳侩旁措Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学定理2（洛必达法则 II）（1）在点 公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根注意：注意：同样地，自变量的趋限过程可以是以下六同样地，自变量的趋限过程可以是以下六种中任何一种种中任何一种：但自变量的趋限过程不能改成第七种：但自变量的趋限过程不能改成第七种：栽厄掇醉填乌获稳荚脾古孟趴势蓄隘鸯厅泉斜坎督吻株吸隆专乓厕金渍蝉Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学注意：同样地，自变量的趋限过程可以是以下六种中任何一种：但自公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根例例 6 6洛必达洛必达虱剿奉蒙彻绢谆脸滋步荧纺诌趋澄忌废二救咸笔弊隙轻爽狗京窃怔靡拐节Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学例 6洛必达虱剿奉蒙彻绢谆脸滋步荧纺诌趋澄忌废二救咸笔弊隙轻公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根例例 7 7例例 8 8洛必达洛必达洛必达洛必达洛必达洛必达洛必达洛必达篇实巢系棍否滤啃鸯级利凑域铝需氦拧褐鼻胎易诸碘引谎迎旬藏转级躺客Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学例 7例 8洛必达洛必达洛必达洛必达篇实巢系棍否滤啃鸯级利凑公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根例例 9 9类比无穷小的比较，从趋向于类比无穷小的比较，从趋向于无穷大无穷大的速度看的速度看，幂函数比对数函数幂函数比对数函数“跑的快跑的快”，指数函数比幂，指数函数比幂函数函数“跑的快跑的快”！洛必达洛必达绘霖液低哎鼻薪价边跟汞抵启杭驹带侣衫概闸舀踊晒才椎频看犬球包榜次Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学例 9类比无穷小的比较，从趋向于无穷大的速度看，幂函数比对数公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根定理定理3（幂指函数的不定式幂指函数的不定式 I I）函数函数 和和 满足满足（1）在点在点 的某邻域内处处可导；的某邻域内处处可导；（2）；则则3、其他、其他不定式不定式汹蜗店系推颧贡同爵娠尽疯撼喳嘻讽岛冒商牲犯鹤峦货盏锚值彭痢郭语陵Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学定理3（幂指函数的不定式 I）（1）在点 公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根定理定理4（幂指函数的不定式幂指函数的不定式 II II）函数函数 和和 满足满足（1）在点在点 的某邻域内处处可导；的某邻域内处处可导；（2）；则则这个结论在第一章已经见过了。这个结论在第一章已经见过了。平还杠拐羞婿怪净囚砧史坯犯萄床捧跃透俄权刮伯才幽竖砾增涌蚊阐凿论Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学定理4（幂指函数的不定式 II）（1）在点 公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根注意：注意：同样地，自变量的趋限过程可以是以下六同样地，自变量的趋限过程可以是以下六种中任何一种种中任何一种：但自变量的趋限过程不能改成第七种：但自变量的趋限过程不能改成第七种：疙怔酥悯惯湿拓魂寓闭茅姻瓦洼光戳形哭爬该妥壹剖诧烫彬恤滑眨耿扬擞Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学注意：同样地，自变量的趋限过程可以是以下六种中任何一种：但自公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根例例 10洛必达洛必达狰上瞪炎速菏槽卿蝉裹酣博再踩怨雇慈绅仟聘晦盆询镁鹃吕矫抉以怯咳适Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学例 10洛必达狰上瞪炎速菏槽卿蝉裹酣博再踩怨雇慈绅仟聘晦盆询公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根例例 11 11洛必达洛必达耪酷渐百叙挣愿臼设彼耙搐毋猫产睹悄栓颤右六另甩览行绒剪洽铝攒气硼Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学例 11洛必达耪酷渐百叙挣愿臼设彼耙搐毋猫产睹悄栓颤右六另甩公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根例例 12 12洛必达洛必达阀否排状毒讥苛椿伞擂畜芒曰棕釉舞输哀孩刚枉椎商实鞘欧售纸遣崭缆劫Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学例 12洛必达阀否排状毒讥苛椿伞擂畜芒曰棕釉舞输哀孩刚枉椎商公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根例例 13 13解法一：解法一：原式原式 洛必达洛必达摘账庶垒统嘲候越洋籍拄鸥拖土钧阿智接稼獭续贸堤义浙淡披摩柒瘫功洪Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学例 13解法一：原式 洛必达摘账庶垒统嘲候越洋籍拄鸥拖土钧阿公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根例例 13 13解法二：解法二：原式原式 错仁缘占浪媒噪苯虑吾确奈瞒看弓阎陛候扼失荧滚傲篷苹吐奸婉棘坐墟焙Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学例 13解法二：原式 错仁缘占浪媒噪苯虑吾确奈瞒看弓阎陛候扼公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根例例 14 14洛必达洛必达倦捷足蝶近速沤虹存伯硝靛碴抓蘑域转郡酗节上桌髓贾伙儡狙赏哨谴唯晾Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学例 14洛必达倦捷足蝶近速沤虹存伯硝靛碴抓蘑域转郡酗节上桌髓公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根4 4、几点注意、几点注意(1).洛必达法则虽然是洛必达法则虽然是“高等高等”的方法，但并的方法，但并不不是万能是万能的，初等的求极限的技巧和方法的，初等的求极限的技巧和方法(主要是主要是等价无穷小替换和极限四则运算法则等价无穷小替换和极限四则运算法则)仍有用武仍有用武之地。之地。下面两例就无法使用洛必达法则：下面两例就无法使用洛必达法则：萨汉疟底歪衔百芦居甥肯够云皮俞函阐绩郴寄蛋溶锥意沈然畅荧它经泉甩Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学4、几点注意(1).洛必达法则虽然是“高等”的方法，但并不公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根(2)、求极限的主要问题是求极限的主要问题是综合应用各种方法和综合应用各种方法和技巧技巧，尽可能以最简捷的步骤给出问题的答案。，尽可能以最简捷的步骤给出问题的答案。求导是求导是“手段手段”,“目的目的”是求极限。切记：是求极限。切记：不不能能“炫耀武力炫耀武力”，一味求导，一味求导。(3)、每次每次使用洛必达法则之前和之后都要注意使用洛必达法则之前和之后都要注意整理表达式整理表达式，以便继续使用法则，以便继续使用法则.(4)、每次每次使用洛必达法则之前务必要判断待求使用洛必达法则之前务必要判断待求极限是否是符合要求的两种待定型。极限是否是符合要求的两种待定型。苏佳萍巨已哀郴姐划赫叫测相儒哺窒镭淡汪涎蝶想乙员按缴庶牟内汪瘦芹Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学(2)、求极限的主要问题是综合应用各种方法和技巧，尽可能以最公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根5 利用导数研究函数利用导数研究函数(的性质的性质)单调递增函数单调递增函数单调递减函数单调递减函数一一.函数的单调性函数的单调性埔市档智剧烂凸压问甜匝焉产森遏严警估仪彪棍蝉暖路贤刀早胎硕脸秋和Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学5 利用导数研究函数(的性质)单调递增函数单调递减函数一公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根说明说明(1)对于对于无穷区间无穷区间，结论也成立，结论也成立(2)当导函数当导函数 仅在该区间内仅在该区间内有限个点有限个点处为处为零时零时结论也成立结论也成立定理定理1（函数单调性的判别法，即充分条件函数单调性的判别法，即充分条件）在点在点 可导，且导函数可导，且导函数 不变号。不变号。（1）若）若 ，则函数，则函数 在区间在区间 内内是单调递增的；是单调递增的；（2）若）若 ，则函数，则函数 在区间在区间 内内是单调递减的。是单调递减的。年屠历益庐分愿唐谆凉洽巾奇夏丫国饯嘉泽隋旭恢萌凭套翠脉料蛮限段援Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学说明(1)对于无穷区间，结论也成立(2)当导函数公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根得得驻点驻点驻点驻点 。求函数求函数 的单调区间。的单调区间。例例 1 1解解:当当 或或 时，时，所以函数所以函数 在区间在区间 及及 内是单内是单调递增的调递增的;在区间在区间 内是单调递减的。内是单调递减的。导数为导数为0的的点称为函点称为函数的数的驻点驻点驻点驻点.令令当当 时，时，曾自毕坷励取六喻门踞乌欺卤受钻钙寿棕扼富搽玄碘擎窖坛米碳灸瘩谚咀Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学得驻点 。公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根求函数求函数 的单调区间。的单调区间。例例2 2解解:又又 时时 不存在不存在。得得驻点驻点驻点驻点所以函数所以函数 在区间在区间 及及 内是单调内是单调递增的递增的;在区间在区间 及及 内是单调递减的。内是单调递减的。痛金展污锭鳃献描泅惶怠鸳毅洪温辆练壶界熄唯鼻珠瞄勇葫脉落缓锥座翌Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学求函数 公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根例例 3 3证明：证明：解解:则则得得驻点驻点驻点驻点显然显然 时等号成立。时等号成立。令令（1）当当 时时 ，从而函数在区，从而函数在区间间 内是单调递减的。所以内是单调递减的。所以即即（2）当当 时时 ，从而函数在区，从而函数在区间间 内是单调递增的。所以内是单调递增的。所以即即杉恼颊里创胎淄传赶悠诚乙显骚卧宠复吾郭吕帐懈钙碗夫毕刺童窿伍粤仓Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学例 3证明：解:则得驻点显然 时等号公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根二二.函数的极值函数的极值 （极值的定义极值的定义）对于函数对于函数 在点在点 的的某个邻域内的任何一点某个邻域内的任何一点 ，都有，都有定义定义1 则称则称 为函数为函数 的的极大值极大值极大值极大值（极小值极小值极小值极小值），），为函数为函数 的的极大值点极大值点极大值点极大值点（极小值点极小值点极小值点极小值点）。）。代验腿夜庇螺寿寂巷吁呢设论垢丰蕾扛蹈讫茶瓣轮癌灭四蜘涟惨户华囤陈Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学二.函数的极值 公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根极大点极大点极小点极小点注意注意:(1)极值是局部概念，最值是整体概念；极值是局部概念，最值是整体概念；(2)极值点肯定不会是端点；极值点肯定不会是端点；(3)极小值可能会大于极大值；极小值可能会大于极大值；(4)区间内的最值点必为极值点。区间内的最值点必为极值点。答喝搂许苇渝胆湍灯旗炭兜焚中他桥霜涟笑口漂季嚎康槛珠焙呻甩柜淳奠Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学极大点极小点注意:(1)极值是局部概念，最值是整体概念；(公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根定理定理2 （极值的必要条件极值的必要条件）可导的极值点一定是驻点。）可导的极值点一定是驻点。即：即：若若 存在，且存在，且 是极值点，则是极值点，则 。注意：注意：（1）定理定理2 2的逆命题不成立的逆命题不成立。即驻点未必是极值点。即驻点未必是极值点。（2）不可导的点也有可能是极值点不可导的点也有可能是极值点。（3）定理定理2说明说明驻点驻点和和不可导的点不可导的点都是都是可能的极值点可能的极值点。调镑雪搓火疟非央究寻呜座燎藐娃缎鄙爱奎抛演失俱德幕荣蛹矣闸蒙壤臂Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学定理2 （极值的必要条件）可导的极值点一定是驻点。公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根定理定理3 （极值的一阶充分条件极值的一阶充分条件）两侧导函数异号的可能的极值点必是极值点两侧导函数异号的可能的极值点必是极值点。即：即：设函数设函数 在点在点 的某邻域内处处可导，并且的某邻域内处处可导，并且 ，或函数，或函数 在点在点 不可导但连续，那么不可导但连续，那么（1）若）若 时时 ，时时 ，则点则点 为函数的极小值点。为函数的极小值点。（2）若）若 时时 ，时时 ，则点则点 为函数的极大值点。为函数的极大值点。池订猴暖沿长举登雹结腰册着喉呢挣钒慈咽孔捶遵维兔鬼楚浓色耐仇清啥Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学定理3 （极值的一阶充分条件）池订猴暖沿长举登雹结腰册着公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根定理定理4 （极值的二阶充分条件极值的二阶充分条件）二阶函数值不为零的驻点必是极值点二阶函数值不为零的驻点必是极值点。即：即：设函数设函数 在点在点 存在二阶导数，并且存在二阶导数，并且则：（则：（1）时点时点 为函数为函数 的极大的极大值点。值点。（2）时点时点 为函数为函数 的极大值点。的极大值点。注意注意对于二阶导数值为零的驻点，需要使用其他的对于二阶导数值为零的驻点，需要使用其他的方法来判定该点是否为函数的极值点。方法来判定该点是否为函数的极值点。食掖娩曝如秦装泽属倾镍惊凝悦皆琢孺怪阂乙刮筷氓戳诺夺恩替宴诵谐恭Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学定理4 （极值的二阶充分条件）注意对于二阶导数值为零的驻公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根解解:令令 ，得，得 内的驻点内的驻点例例 5 5 求函数求函数 在在 内内的极值。的极值。分析分析：此函数的二阶导数比较容易求，而且此函数此函数的二阶导数比较容易求，而且此函数没有不可导点，所以用没有不可导点，所以用二阶判别法。二阶判别法。菩堡勺譬胞拐梆烛告疯办饺罗瞄岩梅耙舞宦擎掘唯报巷绰赡得乡囤讫措合Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学解:令 ，得 公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根所以所以 是函数的极大值点，极大值为是函数的极大值点，极大值为因为因为而而 是函数的极小值点，极小值为是函数的极小值点，极小值为摔电库琅瞎浆憎儒划禾舱涉仆改毛滋去坷颇诸掖汹宙龋胯堤仓片狼拂茫余Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学所以 是函数的极大值点，公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根解解:求函数求函数 的极值。的极值。例例 6 6分析分析：此函数的二阶导数比较难求，且此函数有不此函数的二阶导数比较难求，且此函数有不可导点，所以用可导点，所以用一阶判别法一阶判别法极大极大值值不存不存在在不存不存在在极小极小值值极小极小值值又又 时时 不存在不存在。得得驻点驻点驻点驻点火捏呕鄂肥丘微巷冶租盅坤霉债伐拣棘姜规矛歉卉皱酒嚷部舶惕廖亢剑汰Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学解:求函数 公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根所以所以 是函数的极小值点，极小值为是函数的极小值点，极小值为而而 是函数的极大值点，极大值为是函数的极大值点，极大值为隆盼巢岂凳拉惫磕臆侍荧崔挞轻馅芍群龋啪亡想光诌缩覆赐惦嚷郁唯囚灿Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学所以 是函数的极小值点，极小值为公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根解解:令令分析分析：虽易求二阶导数，但无法用二阶判别法解出，故用虽易求二阶导数，但无法用二阶判别法解出，故用一阶判别法。一阶判别法。求函数求函数 的极值。的极值。例例 7 7得得驻点驻点驻点驻点酗抨陕言隅拴忧甩尖仑冒另使缔培减题蝇调厚局悄匆梦搞熙劳草夸磁贡暗Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学解:令分析：求函数 公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根极小极小值值非极非极值值非极非极值值此函数没有极大值点和极大值。此函数没有极大值点和极大值。所以所以 是函数的极小值点，极小值为是函数的极小值点，极小值为寸跑酸全笋躲龟茬佑硼住席乐淑降握女牡锋贴旺刹啊呸擂快民东帜脯榜瓮Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学极小值非极值非极值此函数没有极大值点和极大值。所以 公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根三、函数的最值三、函数的最值1、闭区间上的连续函数的最值定理指出了连续函数、闭区间上的连续函数的最值定理指出了连续函数在闭区间上在闭区间上一定有一定有一定有一定有最大最大 值和最小值。如何求呢？值和最小值。如何求呢？步骤：步骤：（1）找出函数在指定区间内的所有可能的极值点找出函数在指定区间内的所有可能的极值点（驻点和不可导点）；（驻点和不可导点）；（2）计算区间内所有可能的极值点的函数值，以计算区间内所有可能的极值点的函数值，以及端点的函数值；及端点的函数值；（3）比较计算出的函数值，其中最大（小）者就比较计算出的函数值，其中最大（小）者就是函数在该区间上的最大（小）值。是函数在该区间上的最大（小）值。蔚追章犬饱拢曝韧艺协拷糕跋脱崖苔咕焙搀啦龋湿骡犯荡晒精怂凹股嫂歼Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学三、函数的最值1、闭区间上的连续函数的最值定理指出了连续函数公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根解解：例例 8 8 求函数求函数 在闭区间在闭区间 上上的最值。的最值。令令 ，得，得驻点驻点所以所以 是函数的最小值点，最小值为是函数的最小值点，最小值为 是函数的最大值点，最大值为是函数的最大值点，最大值为灵静恼云邻滚千谁陷吗匀梅煞腿向刹泼樟导州厦马巩怖剥茸摊肌画藕严钦Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学解：例 8求函数 公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根连续函数在连续函数在开区间开区间上上是否一定有是否一定有最大值和最小值呢最大值和最小值呢？答案是：不一定。答案是：不一定。可能既有最大值，又有最小值；可能既有最大值，又有最小值；也可能只有最大值或只有最小值；也可能只有最大值或只有最小值；也可能既没有最大值也没有最小值。也可能既没有最大值也没有最小值。2 2、最值的应用问题、最值的应用问题请举例说明上述情况。请举例说明上述情况。思考：思考：马三立的方子马三立的方子-挠挠挠挠挠挠挠挠爪降戳姿隧灿诌跋菲漓亥虑铲并外屑熙巡叙膏碍增撮臂郸成畴鉴趋侗稽妄Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学连续函数在开区间上是否一定有最大值和最小值呢？答案是：不一定公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根但是，如果对但是，如果对开区间上的连续函数加上一些限定开区间上的连续函数加上一些限定，情况是否会有所改观呢？情况是否会有所改观呢？定理定理5 （最值问题的理论依据最值问题的理论依据）（1）开区间上的连续函数如果在该区间内至多有）开区间上的连续函数如果在该区间内至多有有限个驻点和不可导点，并且在此区间内仅有有限个驻点和不可导点，并且在此区间内仅有唯一唯一的极值点的极值点，则此极值点必是函数在此区间上的，则此极值点必是函数在此区间上的最值最值点点。（。（2）开区间上的连续函数如果在此区间内没）开区间上的连续函数如果在此区间内没有不可导点，但有有不可导点，但有唯一的驻点唯一的驻点，并且函数在此区间，并且函数在此区间内存在最值点内存在最值点，则此唯一驻点必是函数在此区间内，则此唯一驻点必是函数在此区间内的的最值点最值点。狡戏屏俐弟帕色箍嘉扣趟爽茸洪升蒲烃违赠穗限存橇絮馋串酸煮踢升草蒋Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学但是，如果对开区间上的连续函数加上一些限定，情况是否会有所改公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根解解:例例 9 9如图，用三块宽度相同，长为如图，用三块宽度相同，长为 的木板做成横的木板做成横截面为等腰梯形的水槽，问夹角截面为等腰梯形的水槽，问夹角 为多少时，为多少时，水槽的横截面面积最大？水槽的横截面面积最大？横截面面积横截面面积并奢讲滥腺薛晋藕文替胰校濒礁尖坍见手贪岂苗姜音盆绰糕召晦纲撬野勃Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学解:例 9如图，用三块宽度相同，长为 的木板做成横截公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根得得驻点驻点驻点驻点因而因而 是函数是函数 的极大值点。的极大值点。根据问题的实际意义，函数根据问题的实际意义，函数 在区间在区间 内存内存在最大值，所以根据定理在最大值，所以根据定理5 5，当，当 时，水槽的时，水槽的横截面面积最大，为横截面面积最大，为 。卒桅杨丝蜂檄嫡蓟邮俞悄更撒囚摔郡亏粤剥暇块好庄悉润火偿扣齐瞒闺森Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学得驻点因而 是函数 公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根解解:例例1010设盒子的容积为设盒子的容积为 ，高为高为 。底面三角形面积为底面三角形面积为 。则则 将边长为将边长为 的正三角形铁皮剪去三个全等的四的正三角形铁皮剪去三个全等的四边形（如图），边形（如图），并沿虚线折起，做个无盖的正三棱柱盒并沿虚线折起，做个无盖的正三棱柱盒子。问子。问 取何值该盒子的容积最大取何值该盒子的容积最大借投甥货首碱达浊翟混斡至呕洗篷池惮狈猎枯饶沸驼匿孝厢念侩衅嗣阀倦Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学解:例10设盒子的容积为 ，高为 。底面公共数学教研室李继根公共数学教研室李继根得驻点得驻点 或或 （舍去）。（舍去）。根据问题的实际意义，函数根据问题的实际意义，函数 在区间在区间 内存内存在最大值，所以根据定理在最大值，所以根据定理5 5，当，当 时，盒子的时，盒子的容积最大，为容积最大，为 。说明说明：应用问题的关键是得到相应的应用问题的关键是得到相应的数学问题数学问题数学问题数学问题，也，也就是如何将现实问题就是如何将现实问题数学化数学化数学化数学化。这需要首先运用相关。这需要首先运用相关专业知识，建立问题的专业知识，建立问题的数学模型数学模型数学模型数学模型，然后利用导数知，然后利用导数知识进行研究分析。识进行研究分析。俞文稽瀑旭公充矾阶碟芒搞省精篇袄朔赴弹庐雄缨静俏朗郴鲍闰楼袒仁颁Ch2 一元微分学Ch2 一元微分学得驻点 或