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24.3 24.3 正多边形和圆正多边形和圆ABCDE观察下列图形他们有什么特点？观察下列图形他们有什么特点？各边相等各边相等,各角也相等的多边形叫做各角也相等的多边形叫做 正多边形正多边形.三条边相等，三条边相等，三个角相等三个角相等（60度）。度）。四条边相等，四条边相等，四个角相等四个角相等（900）。）。正三正三角形角形正方形正方形一一.正多边形定义正多边形定义如果一个正多边形有如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形条边，那么这个正多边形 叫做叫做正正n边形边形。思考思考:菱形是正多边形吗菱形是正多边形吗?矩形是正多边形呢矩形是正多边形呢?菱形菱形,矩形都矩形都不是正多边形不是正多边形正正n边形与圆的关系边形与圆的关系1.把正把正n边形的边数无限增多边形的边数无限增多,就接近于圆就接近于圆.2.怎样由圆得到多边形呢？怎样由圆得到多边形呢？ABCD思考思考1:把一个圆把一个圆4等分等分,并依次连并依次连 接这些点接这些点,得到正多边形吗得到正多边形吗?弧相等弧相等弦相等（多边形的边相等）弦相等（多边形的边相等）圆周角相等（多边形的角相等）圆周角相等（多边形的角相等）多边形是正多边形多边形是正多边形思考思考2:把一个圆把一个圆5等分等分,并依次连接这些点并依次连接这些点,得到正多边形吗得到正多边形吗?证明：证明：AB=BC=CD=DE=EAABCDEAB=BC=CD=DE=EABCE=CDA=3ABA=B同理同理B=C=D=EA=B=C=D=E又又顶点顶点A、B、C、D、E都在都在 O上上五边形五边形ABCDE是是 O的的 内接正五边形内接正五边形.定理定理1 1：把圆分成把圆分成n n（n3n3）等份：等份：依次连结各分点所得的多边形是这个圆依次连结各分点所得的多边形是这个圆 的的内接正多边形内接正多边形.又又五边形五边形PQRST的各边都与的各边都与 O相切，相切，五边形五边形PQRST的是的是O外切正五边形。外切正五边形。证明：连结证明：连结OA、OB、OC，则：则：OAB=OBA=OBC=OCBTP、PQ、QR分别是以分别是以A、B、C为切点的为切点的 O的切线的切线OAP=OBP=OBQ=OCQPAB=PBA=QBC=QCB又又AB=BCAB=BCPAB与与QBC是全等是全等 的等腰三角形。的等腰三角形。P=Q PQ=2PA同理同理Q=R=S=T QR=RS=ST=TP=2PA ABCDEP PQ QR RS ST TO O定理定理2 2：经过各分点作圆的切线，以相邻切经过各分点作圆的切线，以相邻切 线的交点为顶点的多边形是这个圆的线的交点为顶点的多边形是这个圆的 外切正多边形外切正多边形.思考思考3:过圆的过圆的5等份点画圆的切线等份点画圆的切线,则以相邻切则以相邻切 线的交点为顶点的多边形是正多边形吗线的交点为顶点的多边形是正多边形吗?EFCD.O O中心角中心角半径半径R R边心距边心距r r正多边形的中心正多边形的中心:一个正多边形的一个正多边形的 外接圆的圆心外接圆的圆心.正多边形的半径正多边形的半径:外接圆的半径外接圆的半径正多边形的中心角正多边形的中心角:正多边形的每一条正多边形的每一条 边所对的圆心角边所对的圆心角.正多边形的边心距：正多边形的边心距：中心到正多边形的中心到正多边形的 一边的距离一边的距离.二二.正多边形有关的概念正多边形有关的概念1.O是正是正ABC的中心，它是的中心，它是ABC的的_ 圆与圆与_圆的圆心。圆的圆心。2.OB叫正叫正ABC的的_,它是正它是正ABC的的_圆圆 的半径。的半径。3.OD叫作正叫作正ABC_,它是正它是正ABC的的_ 圆的半径。圆的半径。ABC.OD外接外接内切内切半径半径外接外接边心距边心距内切内切4.BOC是正是正ABC的的_角角;中心中心BOC=_度度;BOD=_度度.120605、正方形、正方形ABCD的外接圆圆心的外接圆圆心O叫做叫做 正方形正方形ABCD的的_6、正方形、正方形ABCD的内切圆的半径的内切圆的半径OE叫做叫做 正方形正方形ABCD的的_ABCD.OE中心中心边心距边心距7、O是正五边形是正五边形ABCDE的外接圆，弦的外接圆，弦AB的的 弦心距弦心距OF叫正五边形叫正五边形ABCDE的的_，它是正五边形它是正五边形ABCDE的的_圆的半径。圆的半径。8、AOB叫做正五边形叫做正五边形ABCDE的的_角，角，它的度数是它的度数是_DEABC.OF边心距边心距内切内切中心中心72度度9、图中正六边形、图中正六边形ABCDEF的中心角是的中心角是_;它的度数是它的度数是_;10、你发现正六边形、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有的半径与边长具有 什么数量关系？为什么？什么数量关系？为什么？BAEFCD.OAOB60度度1、判断题。、判断题。各边都相等的多边形是正多边形。各边都相等的多边形是正多边形。（）一个圆有且只有一个内接正多边形一个圆有且只有一个内接正多边形（）2、证明题。、证明题。求证：顺次连结正六边形求证：顺次连结正六边形 各边中点所得的多各边中点所得的多 边形是正六边形。边形是正六边形。ABCDEFABCDE3.求证求证：正五边形的对角线相等。正五边形的对角线相等。证明：证明：在在BCDBCD和和CDECDE中中 BC=CDBC=CD BCD=CDE BCD=CDE CD=DE CD=DE BCDCDE BCDCDE BD=CE BD=CE 同理可证对角线相等。同理可证对角线相等。已知：已知：ABCDE是正五边形，是正五边形，求证：求证：DB=CEEFCD.O O中心角中心角A AB BG G边心距把边心距把AOBAOB分成分成2 2个个全等的直角三角形全等的直角三角形设正多边形的边长为设正多边形的边长为a,a,半径为半径为R,R,则周长为则周长为L=L=nana.R Ra a正正n n边形的一个内角的度数是边形的一个内角的度数是_;_;中心角是中心角是_;_;正多边形的中心角与外角的大小关系是正多边形的中心角与外角的大小关系是_._.相等相等完成下表中正多边形的计算完成下表中正多边形的计算(把计算结果填入表中把计算结果填入表中)：三、正多边形的有关计算三、正多边形的有关计算例例 有一个亭子它的地基是半径为有一个亭子它的地基是半径为4m4m的正六边形的正六边形,求地基的周长和面积求地基的周长和面积(精确到精确到0.10.1平方米平方米).).FADE.O O O OB BC CrR RP P亭子的周长亭子的周长 L=6L=64=24(m)4=24(m)FADE.O O O OB BC CrR=4R=4P P3.正多边形都是轴对称图形，一个正正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心。边形的中心。四、正多边形的性质及对称性四、正多边形的性质及对称性4.边边数是数是偶数的正多边形还是中心对称图形，偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。它的中心就是对称中心。1、正多边形的各边相等、正多边形的各边相等2、正多边形的各角相等、正多边形的各角相等小结：小结：1、怎样的多边形是正多边形？、怎样的多边形是正多边形？2、怎样判定一个多边形是正多边形？、怎样判定一个多边形是正多边形？各边相等各边相等各角相等各角相等的多边形叫做正多边形。的多边形叫做正多边形。1、两个正六边形的边长分别是、两个正六边形的边长分别是3和和4，这两，这两个正六边形的面积之比等于个正六边形的面积之比等于_2圆内接正方形的半径与边长的比值是圆内接正方形的半径与边长的比值是_3圆内接正四边形的边长为圆内接正四边形的边长为4 cm，那么边，那么边心距是心距是_4已知圆内接正方形的边长为，则该圆已知圆内接正方形的边长为，则该圆 的的内接正六边形边长为内接正六边形边长为_5 圆内接正六边形的边长是圆内接正六边形的边长是8 cm用么该正用么该正六边形的半径为六边形的半径为_；边心距为；边心距为_ 五五.拓展练习拓展练习6、已知正多边形的边心距与边长的比是，则此、已知正多边形的边心距与边长的比是，则此正多边形是正多边形是()A正三角形正三角形 B、正方形、正方形 C正六边形正六边形 D正十二边形正十二边形7以下有四种说法：以下有四种说法：顺次连结对角线相等的顺次连结对角线相等的四边形各边中点，则所得的四边形是菱形；四边形各边中点，则所得的四边形是菱形；等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形；形；顶点在圆周上的角是圆周角；顶点在圆周上的角是圆周角；边数相边数相同的正多边形都相似，其中正确的有（）同的正多边形都相似，其中正确的有（）A1个个 B2个个 C3个个 D 4个个8正多边形的中心角与该正多边形一个内角的正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（）关系是（）A.互余互余 B.互补互补 C.互余或互补互余或互补 D.不能确定不能确定9若一个正多边形的每一个外角都等于若一个正多边形的每一个外角都等于36,那么这个正多边形的中心角为（那么这个正多边形的中心角为（）A36 B、18 C72 D5410将一个边长为将一个边长为a正方形硬纸片剪去四正方形硬纸片剪去四角，使它成为正角，使它成为正n边形，那么正边形，那么正n边形的面边形的面积为（积为（）A、11正六边形螺帽的边长为正六边形螺帽的边长为a，那么扳手，那么扳手的开口的开口b最小应是最小应是()A、六六.画正多边形的方法画正多边形的方法1.1.用量角器等分圆用量角器等分圆2.2.尺规作图等分圆尺规作图等分圆(1)(1)正四、正八边形的尺规作正四、正八边形的尺规作图图(2)(2)正六、正三正六、正三 、正十二边形的尺规作图、正十二边形的尺规作图(3)(3)按照一定比例按照一定比例,画一个停车让行的交通标画一个停车让行的交通标 志的外缘志的外缘停停(4)(4)用量角器作五角星；用量角器作五角星；
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