二重积分的计算

第二节第二节 二重积分的计算法二重积分的计算法一一 问题的提出问题的提出二二 利用直角坐标计算二重积分利用直角坐标计算二重积分三三 利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分四四 小结与思考判断题小结与思考判断题(Calculation of double integral)5/4/20241 按定义按定义:二重积分是一个特定乘积和式极限二重积分是一个特定乘积和式极限 然而，用定义来计算二重积分，一般情况然而，用定义来计算二重积分，一般情况下是非常麻烦的下是非常麻烦的.那么那么，有没有简便的计算方法呢有没有简便的计算方法呢?这就是我这就是我们今天所要研究的课题。下面介绍们今天所要研究的课题。下面介绍:一一 问题的提出问题的提出5/4/20242二、利用直角坐标计算二重积分二、利用直角坐标计算二重积分 二重积分仅与被积函数及积分域有二重积分仅与被积函数及积分域有关关,为此为此,先介绍：先介绍：1、积分域、积分域 D:5/4/20243如果积分区域为：如果积分区域为：（1）、）、X-型域型域X型型放大图象放大图象 X型型区域的特点区域的特点：a、平行于平行于y轴且穿过区域的直轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个；线与区域边界的交点不多于两个；b、5/4/20244（2）、）、Y-型域：型域：Y型型放大放大 Y型型区域的特点区域的特点：a、穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直轴的直线与区域边界的交点不多于两个。线与区域边界的交点不多于两个。b、5/4/20245 2、X-型域下二重积分型域下二重积分的计算的计算:由几何意义，若由几何意义，若(x,y)0，则则此为此为平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积.截面为曲边梯形截面为曲边梯形面积为：面积为：5/4/20246yZ5/4/20247 注注:若若(x,y)0 仍然适用。仍然适用。注意注意:1）上式说明:二重积分可化为二次定积分计算;2）积分次序:X-型域 先Y后X;3）积分限确定法:域中一线插域中一线插,内限定上下，内限定上下，域边两线夹，外限依靠它。域边两线夹，外限依靠它。为为方便，上式也常记为：方便，上式也常记为：5/4/202483、Y-型域下二重积分的计算：型域下二重积分的计算：同理：同理：Y型域下型域下5/4/20249 1）积分次序）积分次序:Y-型域型域,先先x后后Y;2）积分限确定法）积分限确定法:“域中一线插域中一线插”,须用平行于须用平行于X轴的射线轴的射线穿插区域穿插区域。注意注意:5/4/202410 注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在于注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在于正确确定积分限正确确定积分限,一定要做到熟练、准确一定要做到熟练、准确。4、利用直系计算二重积分的步骤、利用直系计算二重积分的步骤（1）画出积分区域的图形）画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标；求出边界曲线交点坐标；（3）确定积分限，化为二次定积分；）确定积分限，化为二次定积分；（2）根据积分域类型）根据积分域类型,确定积分次序；确定积分次序；（4）计算两次定积分，即可得出结果）计算两次定积分，即可得出结果.5/4/202411解：解：X型型5/4/202412Y型型5/4/202413例例2 2解：解：X-型型5/4/202414例例3解解：（如图）将如图）将D作作Y型型-125/4/2024155、若区域为组、若区域为组合域，如图则：合域，如图则：0 6、如果积分区域既是、如果积分区域既是X型型，又是又是Y型型,则有则有5/4/202416解：解：积分区域如图积分区域如图xyo231原式原式5/4/202417解解：原式原式5/4/202418例例6 6解：解：先去掉绝对值符号，如图先去掉绝对值符号，如图5/4/202419缩小图象缩小图象X型型7 小结小结5/4/202420返回返回Y型型5/4/202421三三 利用极坐标系计算二重积分利用极坐标系计算二重积分 当一些二重积分的积分区域当一些二重积分的积分区域D用极坐标表示比用极坐标表示比较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑其计算问题。其计算问题。5/4/2024221 1 直系与极系下的二重积分关系（如图）直系与极系下的二重积分关系（如图）（1）面积元素变换为极系下：）面积元素变换为极系下：（2）二重积分转换公式：）二重积分转换公式：5/4/202423（3）注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下）注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下的二重积分需要进行的二重积分需要进行“三换三换”：5/4/2024242 极系下的二重积分化为二次积分极系下的二重积分化为二次积分用用两条过极点的射线夹平面区域，两条过极点的射线夹平面区域，由两射线的倾角得到其上下限由两射线的倾角得到其上下限任意作过极点的半射线与平面区域相交，任意作过极点的半射线与平面区域相交，由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。将直系下的二重积分化为极系后，极系下的将直系下的二重积分化为极系后，极系下的二重积分仍然需要化为二次积分来计算。二重积分仍然需要化为二次积分来计算。5/4/202425（1）区域如图）区域如图1具体地（如图）具体地（如图）图图15/4/202426（2）区域如图）区域如图2图图25/4/202427（3）区域如图）区域如图3图图35/4/202428（4）区域如图）区域如图4图图45/4/202429解解5/4/202430解解5/4/2024315/4/2024325/4/202433解解5/4/2024345/4/202435解解在极系在极系下：下：（如图）（如图）5/4/202436o2aD5/4/202437解解5/4/202438计算二重积分应该注意以下几点：计算二重积分应该注意以下几点：四 小结 先要考虑积分区域的形状，看其先要考虑积分区域的形状，看其边界曲线用直系方程表示简单还是极系方程表示简单，边界曲线用直系方程表示简单还是极系方程表示简单，其次要看被积函数的特点，看使用极坐标后函数表达式其次要看被积函数的特点，看使用极坐标后函数表达式能否简化并易于积分。能否简化并易于积分。首先，选择坐标系。首先，选择坐标系。其次，化二重积分为二次积分。其次，化二重积分为二次积分。根据区域形状和类型根据区域形状和类型确定积分次序，从而穿线确定内限，夹线确定外限。确定积分次序，从而穿线确定内限，夹线确定外限。最后，计算二次积分。最后，计算二次积分。由内向外逐层计算，内层积分由内向外逐层计算，内层积分计算时，外层积分变量看做常量。计算时，外层积分变量看做常量。5/4/202439思考判断题思考判断题如果一个二重积分的如果一个二重积分的 积分区域既是积分区域既是型又是型又是型，那么一定能按型，那么一定能按5/4/202440