材料力学习题05 (2)

例例6-1 矩形截面如图所示，试求阴影部分面积对矩形截面如图所示，试求阴影部分面积对z轴、轴、y轴的静矩，图中轴的静矩，图中b、h为已知。为已知。解解:(1)计算静矩计算静矩Sz (2)计算静矩计算静矩Sy y轴通过阴影部分图形面积的形心轴通过阴影部分图形面积的形心C11例例6-2某梁的截面图形如图所示，试求其对图示某梁的截面图形如图所示，试求其对图示坐标轴的静矩（图中单位尺寸为坐标轴的静矩（图中单位尺寸为mm）。）。(2)计算静矩计算静矩Sz 此截面可以看作由两个矩形此截面可以看作由两个矩形1、2组成组成解：解：(1)计算静矩计算静矩Sy y轴为对称轴轴为对称轴 2例例6-3 试计算图示矩形截面对其对称轴试计算图示矩形截面对其对称轴z轴和轴和y轴轴的惯性矩。的惯性矩。解解:(1)计算计算Iz 取平行于取平行于z轴、高度为轴、高度为dy的狭长矩形的狭长矩形为微元面积为微元面积dA (2)计算计算Iy 同样的方法同样的方法 3例例6-4 计算图示圆形截面对其形心轴的惯性矩。计算图示圆形截面对其形心轴的惯性矩。解解:圆形截面对圆心的极惯性矩圆形截面对圆心的极惯性矩 由于圆形是中心对称图形，且由于圆形是中心对称图形，且则则4例例6-5计算图示圆环形截面对其形心轴的惯性矩。计算图示圆环形截面对其形心轴的惯性矩。解解:圆环形截面对圆心的极惯性矩圆环形截面对圆心的极惯性矩 由于圆环形是中心对称图形，且由于圆环形是中心对称图形，且则则其中其中 为圆环的内外径比。为圆环的内外径比。5例例6-6计算图示计算图示T字形截面对其形心轴字形截面对其形心轴zC的惯性矩的惯性矩 。该截面图形可视为由矩形该截面图形可视为由矩形1、2组合而成组合而成解解:(1)确定形心确定形心C位置位置 截面关于截面关于y轴对称，所以形心轴对称，所以形心C必在对称轴必在对称轴y轴上，故只需求出轴上，故只需求出形心的形心的y坐标即可。坐标即可。6(2)分别计算矩形分别计算矩形1、2对对zC轴的惯性矩轴的惯性矩7(3)计算计算整个图整个图形形对对zC轴的惯性矩轴的惯性矩8例例6-7 试求图示矩形截面梁端右侧截面上试求图示矩形截面梁端右侧截面上a、b、c、d四点处的正应力。图中截面尺寸单位为四点处的正应力。图中截面尺寸单位为mm。解解:(1)确定梁确定梁A端右侧截端右侧截面上的弯矩面上的弯矩 作梁的弯矩图，得作梁的弯矩图，得A端右侧端右侧截面上的弯矩截面上的弯矩 (2)计算横截面的惯性矩计算横截面的惯性矩Iz和抗弯截面系数和抗弯截面系数Wz9(3)计算各点处的正应力计算各点处的正应力a点点:b点点:10d点与点与a点位于中性轴的两侧，但到点位于中性轴的两侧，但到中性轴的距离相等中性轴的距离相等 注：正号表示注：正号表示a、b两点为拉应力；负号则表示两点为拉应力；负号则表示d点为压应力。点为压应力。c点在中性轴上点在中性轴上:11解解:(1)画计算简图，求反力画计算简图，求反力(2)确定危险截面及其上弯矩确定危险截面及其上弯矩 作梁的弯矩图作梁的弯矩图例例6-8 图示大梁由图示大梁由NO.50a工字钢制成，跨中作用一集工字钢制成，跨中作用一集中力中力 。试求梁危险截面上的最大正应力。试求梁危险截面上的最大正应力以及翼缘与腹板交界处以及翼缘与腹板交界处a点的正应力。点的正应力。12(3)计算弯曲正应力计算弯曲正应力 NO.50a工工字字钢钢截截面面的的惯惯性性矩矩 ，抗抗弯弯截面系数截面系数 。则危险截面则危险截面C上的最大正应力上的最大正应力 危险截面危险截面C上点上点a的正应力的正应力 13例例6-9试求图示试求图示T字形截面梁的最大拉应力和最大压应字形截面梁的最大拉应力和最大压应力。已知力。已知 ，。解解:(1)确定梁的最大确定梁的最大 弯矩及其所在截面弯矩及其所在截面 作梁的弯矩图作梁的弯矩图 梁的最大正弯矩发生在截面梁的最大正弯矩发生在截面C上，最大负弯矩发生在上，最大负弯矩发生在截面截面B上，其大小分别为上，其大小分别为14(2)计算截面计算截面C 最大拉应力和最大压应力最大拉应力和最大压应力15(3)计算截面计算截面B 最大拉应力和最大压应力最大拉应力和最大压应力 梁的最大拉应力发生在截面梁的最大拉应力发生在截面C的下边缘，最大压应力的下边缘，最大压应力发生在截面发生在截面B的下边缘，的下边缘，16例例6-10 图示悬臂梁用工字钢制作。已知图示悬臂梁用工字钢制作。已知 ，材料的许用应力，材料的许用应力 。试根据正应。试根据正应力强度条件确定工字钢型号。力强度条件确定工字钢型号。解解:(1)确定最大弯矩确定最大弯矩 作弯矩图作弯矩图 17(2)强度计算强度计算 由附录由附录B B中工字钢型钢表查得，可选用中工字钢型钢表查得，可选用NO.45c工工字钢。因其抗弯截面系数字钢。因其抗弯截面系数 ，与计算结，与计算结果果 相差不到相差不到 ，这在工程设计中是允许的，这在工程设计中是允许的。18例例6-11图示槽形截面铸铁梁。已知截面的图示槽形截面铸铁梁。已知截面的 、；铸铁材料的许用；铸铁材料的许用拉应力拉应力 、许用压应力、许用压应力 。试。试确定此梁的许可载荷。确定此梁的许可载荷。解解:(1)确定最大弯矩确定最大弯矩 作弯矩图作弯矩图 19(2)强度计算强度计算 危险截面危险截面B处弯矩为负值，梁上侧受拉、下侧受处弯矩为负值，梁上侧受拉、下侧受压，最大拉应力和最大压应力分别发生在该截面的上压，最大拉应力和最大压应力分别发生在该截面的上边缘和下边缘各点处。边缘和下边缘各点处。得得20得得则许可载荷则许可载荷21例例6-12钢制等截面简支梁受均布载荷钢制等截面简支梁受均布载荷 作用，横截面为作用，横截面为 的矩形，如图所示。已知的矩形，如图所示。已知 ，材料的许用应力材料的许用应力 。试求：（。试求：（1）梁按图）梁按图a放放置时的截面尺寸；（置时的截面尺寸；（2）梁按图）梁按图b放置时的截面尺寸。放置时的截面尺寸。解解:(1)确定最大弯矩确定最大弯矩 作弯矩图作弯矩图 22(2)强度计算强度计算 图图a放置时放置时 故取故取 23 图图b放置时，抗弯截面系数放置时，抗弯截面系数 ,故取故取 由结果可知，两梁的横截面面积之比由结果可知，两梁的横截面面积之比 ，即图即图b梁所用材料是图梁所用材料是图a梁所用材料的梁所用材料的1.59倍，显然矩形截面按照倍，显然矩形截面按照图图a放置时的承载能力比图放置时的承载能力比图b高，这是因为梁弯曲时中性轴附近的高，这是因为梁弯曲时中性轴附近的正应力很小，而图正应力很小，而图b将较多材料放在中性轴附近，使得这部分材料将较多材料放在中性轴附近，使得这部分材料未得到充分利用。未得到充分利用。24例例6-13 T字形截面铸铁梁所受载荷和截面尺寸如图字形截面铸铁梁所受载荷和截面尺寸如图所示。材料的许用拉应力所示。材料的许用拉应力 、许用压应、许用压应力力 ，试按正应力强度条件校核梁的，试按正应力强度条件校核梁的强度。强度。解解:(1)确定最大弯矩确定最大弯矩 作梁的弯矩图作梁的弯矩图 截面截面B上有最大负弯矩上有最大负弯矩 截面截面E上有最大正弯矩上有最大正弯矩 25(2)确定截面的确定截面的Iz2627(3)强度校核强度校核 截面截面B：28截面截面 E：变形为上压下拉变形为上压下拉29 梁的最大拉应力发生在截面梁的最大拉应力发生在截面E下边缘各点处；下边缘各点处；最大压应力发生在截面最大压应力发生在截面B下边缘各点处，作强度校下边缘各点处，作强度校核：核：结论：该梁强度满足要求。结论：该梁强度满足要求。注：注：在对拉压强度不同、截面关于中性轴又不对称在对拉压强度不同、截面关于中性轴又不对称的梁进行强度计算时，一般需同时考虑最大正弯矩和最的梁进行强度计算时，一般需同时考虑最大正弯矩和最大负弯矩所在的两个横截面，只有当这两个截面上危险大负弯矩所在的两个横截面，只有当这两个截面上危险点处的应力都满足强度条件时，整根梁才是安全的。点处的应力都满足强度条件时，整根梁才是安全的。30例例6-14 图示矩形截面简支梁受均布载荷作用，试求图示矩形截面简支梁受均布载荷作用，试求梁的最大正应力和最大切应力，并比较其大小。梁的最大正应力和最大切应力，并比较其大小。解解:(1)求支座反力求支座反力(2)确定最大弯矩和确定最大弯矩和最大剪力最大剪力 作梁的剪力图和弯矩图作梁的剪力图和弯矩图 31(3)计算最大正应力和最大切应力计算最大正应力和最大切应力32(4)比较最大正应力和最大切应力的大小比较最大正应力和最大切应力的大小 说明：说明：此梁的最大正应力和最大切应力之比此梁的最大正应力和最大切应力之比就等于梁的跨度就等于梁的跨度 与梁的截面高度与梁的截面高度 之比。故在对之比。故在对非薄壁截面的细长梁进行强度计算时，一般应以非薄壁截面的细长梁进行强度计算时，一般应以正应力强度条件为主。正应力强度条件为主。33例例6-15 图示矩形截面钢梁，已知图示矩形截面钢梁，已知 、；材料的许用正应力；材料的许用正应力 、许用切应力许用切应力 。若规定梁横截面的高宽比。若规定梁横截面的高宽比 ，试按强度条件设计梁的横截面尺寸。，试按强度条件设计梁的横截面尺寸。解解:(1)求支座反力求支座反力(2)确定最大弯矩确定最大弯矩 和最大剪力和最大剪力 34(3)根据正应力强度条件确定截面尺寸根据正应力强度条件确定截面尺寸 取截面尺寸取截面尺寸35(4)对弯曲切应力进行强度校核对弯曲切应力进行强度校核所以梁的强度足够。所以梁的强度足够。36课堂作业：课堂作业：某工作平台的横梁是由某工作平台的横梁是由18号工字钢制成，受力如图所示。号工字钢制成，受力如图所示。已知材料的许用正应力已知材料的许用正应力 ，许用切应力，许用切应力 。试校核此梁强度。试校核此梁强度。37