ch4-时变电磁场课件

第四章第四章 时变电磁场时变电磁场 本章内容本章内容 4.1 波动方程波动方程 4.2 电磁场的位函数电磁场的位函数 4.3 电磁能量守恒定律电磁能量守恒定律 4.4 时谐电磁场时谐电磁场第四章第四章 时变电磁场时变电磁场4.1 4.1 波动方程波动方程 波动方程波动方程 二二阶矢量微分方程，揭示电磁场的波动性。阶矢量微分方程，揭示电磁场的波动性。麦克斯韦方程麦克斯韦方程 一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场 间的相互作用关系。间的相互作用关系。麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 波动方程。波动方程。问题的提出问题的提出第四章第四章 时变电磁场时变电磁场无源空间中（无源空间中（）,设媒质均匀、线性、各向同性，将设媒质均匀、线性、各向同性，将Maxwell Maxwell 第一和第二方程两边取旋度，得第一和第二方程两边取旋度，得上式称为无源区域中时变电磁场的波动方程。上式称为无源区域中时变电磁场的波动方程。于是于是第四章第四章 时变电磁场时变电磁场利用矢量恒等式利用矢量恒等式上式为无源区域中时变电磁场的上式为无源区域中时变电磁场的波动方程波动方程的另一种形式。的另一种形式。波动方程的标准形式为波动方程的标准形式为波动方程的解为以速度波动方程的解为以速度v传输的波，故得名。传输的波，故得名。则有则有第四章第四章 时变电磁场时变电磁场 时变电磁场满足波动方程，因此时变电磁场是波，波时变电磁场满足波动方程，因此时变电磁场是波，波速为速为 ，麦克斯韦正是据此预言了电磁波的，麦克斯韦正是据此预言了电磁波的存在。存在。在自由空间在自由空间 ，这正是光速。，这正是光速。因此麦克斯韦预言光是电磁波。因此麦克斯韦预言光是电磁波。波动方程把电场与磁场方程分离开来波动方程把电场与磁场方程分离开来(去耦去耦)，使得求，使得求解的方程数量减少，但方程变为了二阶偏微分方程，方解的方程数量减少，但方程变为了二阶偏微分方程，方程的难度加大。程的难度加大。在无源区域，在无源区域，E和和H虽然满足相同形式的波动方程，但不虽然满足相同形式的波动方程，但不意味着它们有相同的解，因为它们各自的意味着它们有相同的解，因为它们各自的边界条件不一样边界条件不一样。具体问题的解最终是由方程和边界条件共同决定的。具体问题的解最终是由方程和边界条件共同决定的。第四章第四章 时变电磁场时变电磁场4.2 4.2 电磁场的位函数电磁场的位函数 讨论内容讨论内容 位函数的性质位函数的性质 位函数的定义位函数的定义 位函数的规范条件位函数的规范条件 位函数的波动方程位函数的波动方程第四章第四章 时变电磁场时变电磁场引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。引入位函数的意义引入位函数的意义 位函数的定义位函数的定义【矢量位函数矢量位函数】根据根据 ，引入，引入 满足满足【标量位函数标量位函数】将上式代入法拉第电磁感应定律，得将上式代入法拉第电磁感应定律，得引入标量位函数引入标量位函数满足满足第四章第四章 时变电磁场时变电磁场 位函数的不确定性位函数的不确定性 满满足足下下列列变变换换关关系系的的两两组组位位函函数数 和和 能能描描述述同一个电磁场问题。同一个电磁场问题。则则也就是说，对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。也就是说，对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。原因：未规定原因：未规定 的散度。的散度。为任意可微函数为任意可微函数第四章第四章 时变电磁场时变电磁场除了利用洛仑兹条件外，另一种常用的是库仑规范条件，即除了利用洛仑兹条件外，另一种常用的是库仑规范条件，即 在电磁理论中，通常采用在电磁理论中，通常采用洛仑兹规范条件洛仑兹规范条件，即，即 位函数的规范条件位函数的规范条件 造成位函数的不确定性的原因就是没有规定造成位函数的不确定性的原因就是没有规定 的散度。利的散度。利用位函数的不确定性，可通过规定用位函数的不确定性，可通过规定 的散度使位函数满足的方的散度使位函数满足的方程得以简化。程得以简化。第四章第四章 时变电磁场时变电磁场 位函数的波动方程（达朗贝尔方程）位函数的波动方程（达朗贝尔方程）第四章第四章 时变电磁场时变电磁场同样同样第四章第四章 时变电磁场时变电磁场 说明说明 应用洛仑兹条件的特点：应用洛仑兹条件的特点：矢量位只决定于矢量位只决定于J J，标量位只决，标量位只决定于定于，这对求解方程特别有利。只需解出这对求解方程特别有利。只需解出A A，无需解出，无需解出 就可就可得到待求的电场和磁场。得到待求的电场和磁场。通过引入位函数，求解电场和磁场六通过引入位函数，求解电场和磁场六个标量的问题转化为求解矢位和标位四个标量的问题，个标量的问题转化为求解矢位和标位四个标量的问题，因此，因此，引入位函数减少了求解的方程。引入位函数减少了求解的方程。在在洛仑兹洛仑兹规范下，矢位和标规范下，矢位和标位中只有三个独立标量，因此进一步减少了求解的方程。位中只有三个独立标量，因此进一步减少了求解的方程。电电磁磁位位函函数数只只是是简简化化时时变变电电磁磁场场分分析析求求解解的的一一种种辅辅助助函函数数，应应用用不不同同的的规规范范条条件件，矢矢量量位位A A和和标标量量位位 的的解解也也不不相相同同，但但最最终得到的电磁场矢量是相同的。终得到的电磁场矢量是相同的。第四章第四章 时变电磁场时变电磁场4.3 4.3 电磁能量守恒定律电磁能量守恒定律 讨论内容讨论内容 坡印廷定理坡印廷定理 电磁能量及守恒关系电磁能量及守恒关系 坡印廷矢量坡印廷矢量第四章第四章 时变电磁场时变电磁场 进入体积进入体积V的能量体积的能量体积V内增加的能量体积内增加的能量体积V内损耗的能量内损耗的能量电场能量密度电场能量密度：磁场能量密度：磁场能量密度：电磁能量密度：电磁能量密度：空间区域空间区域V中的电磁能量：中的电磁能量：特点：当场随时间变化时，空间各点的电磁场能量密度也要随特点：当场随时间变化时，空间各点的电磁场能量密度也要随 时间改变，从而引起电磁能量流动。时间改变，从而引起电磁能量流动。电磁能量守恒关系：电磁能量守恒关系：电磁能量及守恒关系电磁能量及守恒关系第四章第四章 时变电磁场时变电磁场 其中：其中：单位时间内体积单位时间内体积V 中所增加中所增加 的电磁能量的电磁能量 单位时间内电场对体积单位时间内电场对体积V中的电流所做的功；中的电流所做的功；在导电媒质中，即为体积在导电媒质中，即为体积V内总的损耗功率内总的损耗功率 通过曲面通过曲面S 进入体积进入体积V 的电磁功率的电磁功率 表征电磁能量守恒关系的定理表征电磁能量守恒关系的定理积分形式：积分形式：坡坡印廷印廷(PoyntingPoynting)定理定理微分形式：微分形式：第四章第四章 时变电磁场时变电磁场 推证推证于是于是在在任任意意闭闭曲曲面面S S 所所包包围围的的体体积积V V上上，对对上上式式两两端端体体积积分分，并并应应用散度定理，即可得到坡印廷定理的积分形式用散度定理，即可得到坡印廷定理的积分形式 物理意义：物理意义：单位时间内，通过曲面单位时间内，通过曲面S S 进入体积进入体积V V的电磁能量等的电磁能量等 于体积于体积V V 中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和。中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和。第四章第四章 时变电磁场时变电磁场 定义：定义：(W/m2)物理意义：物理意义：的方向的方向 电磁能量传输的方向，电磁能量传输的方向，与电场和磁场垂直。与电场和磁场垂直。的大小的大小 通过垂直于能量传输方通过垂直于能量传输方 向的单位面积的电磁功率向的单位面积的电磁功率 描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量 坡印廷矢量（电磁能流密度矢量）坡印廷矢量（电磁能流密度矢量）第四章第四章 时变电磁场时变电磁场 例例4.3.1 4.3.1 同轴线的内导体半径为同轴线的内导体半径为a a、外导体的内半径为、外导体的内半径为b b，其间填充均匀的理想介质。设内外导体间的电压为其间填充均匀的理想介质。设内外导体间的电压为U U，导体中流过，导体中流过的电流为的电流为I I。（。（1 1）在导体为理想导体的情况下，计算同轴线中传）在导体为理想导体的情况下，计算同轴线中传输的功率；（输的功率；（2 2）当导体的电导率）当导体的电导率为有限值时，计算通过内导体为有限值时，计算通过内导体表面进入每单位长度内导体的功率。表面进入每单位长度内导体的功率。同同轴线 解：解：（1 1）内外导体为理想导体，导体表面的电场只有径向）内外导体为理想导体，导体表面的电场只有径向分量。求得内外导体间的电场和磁场分别为分量。求得内外导体间的电场和磁场分别为第四章第四章 时变电磁场时变电磁场电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动，即由电源流电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动，即由电源流向负载，如图所示。向负载，如图所示。穿过任意横截面的功率为穿过任意横截面的功率为同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量（理想导体情况）量（理想导体情况）内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量功率全部从横截面的空间传输，导体本身不传输功率，只是起功率全部从横截面的空间传输，导体本身不传输功率，只是起到引导电磁波的作用。到引导电磁波的作用。第四章第四章 时变电磁场时变电磁场 （2 2）当导体的电导率）当导体的电导率为有限值时，导体内部存在沿电流方为有限值时，导体内部存在沿电流方向的电场向的电场内内根据边界条件，在内导体表面上电场的切向分量连续，即根据边界条件，在内导体表面上电场的切向分量连续，即因此，在内导体表面外侧的电场为因此，在内导体表面外侧的电场为内磁场则仍为磁场则仍为内导体表面外侧的坡印廷矢量为内导体表面外侧的坡印廷矢量为同同轴线中的中的电场、磁、磁场和坡印廷矢量和坡印廷矢量（非理想（非理想导体情况）体情况）第四章第四章 时变电磁场时变电磁场式中式中 是单位长度内导体的电阻。由此可见，进入内导是单位长度内导体的电阻。由此可见，进入内导体中功率等于这段导体的焦耳损耗功率。体中功率等于这段导体的焦耳损耗功率。由此可见，内导体表面外由此可见，内导体表面外侧的坡印廷矢量既有轴向侧的坡印廷矢量既有轴向分量，也有径向分量，如分量，也有径向分量，如图所示。图所示。进入每单位长度进入每单位长度内导体的功率为内导体的功率为 以上分析表明电磁能量是由电磁场传输的，导体仅起着定向以上分析表明电磁能量是由电磁场传输的，导体仅起着定向引导电磁能流的作用。当导体的电导率为有限值时，进入导体中引导电磁能流的作用。当导体的电导率为有限值时，进入导体中的功率全部被导体所吸收，成为导体中的焦耳热损耗功率。的功率全部被导体所吸收，成为导体中的焦耳热损耗功率。同同轴线中的中的电场、磁、磁场和坡印廷矢量和坡印廷矢量（非理想（非理想导体情况）体情况）第四章第四章 时变电磁场时变电磁场4.4 4.4 时谐电磁场时谐电磁场 复矢量的麦克斯韦方程复矢量的麦克斯韦方程 时谐电磁场的复数表示时谐电磁场的复数表示 时谐场的位函数时谐场的位函数 亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程 平均能流密度矢量平均能流密度矢量第四章第四章 时变电磁场时变电磁场 时谐电磁场的概念时谐电磁场的概念 若场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化，若场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化，则所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一则所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。研究时谐电磁场具有重要意义研究时谐电磁场具有重要意义 在工程上，应用最多的就是时谐电磁场。广播、电视和通信在工程上，应用最多的就是时谐电磁场。广播、电视和通信 的载波等都是时谐电磁场。的载波等都是时谐电磁场。任意的时变场在一定的条件下可通过傅里叶分析方法展开为不任意的时变场在一定的条件下可通过傅里叶分析方法展开为不 同频率的时谐场的叠加。同频率的时谐场的叠加。4.4.1 4.4.1 时谐电磁场的复数表示时谐电磁场的复数表示第四章第四章 时变电磁场时变电磁场 设设 是是一一个个以以角角频频率率 随随时时间间t t 作作正正弦弦变变化化的的场场量量（时时谐函数），它与时间的关系可以表示成谐函数），它与时间的关系可以表示成 根据复变函数欧拉公式根据复变函数欧拉公式式中的式中的A A0 0为振幅、为振幅、为与坐标有关的相位因子。为与坐标有关的相位因子。实数表示法或实数表示法或瞬时表示法瞬时表示法 时谐电磁场的时谐电磁场的复数表示复数表示于是时谐函数可以用复函数表示于是时谐函数可以用复函数表示复振幅复振幅时间因子时间因子第四章第四章 时变电磁场时变电磁场照此法，矢量场的各分量照此法，矢量场的各分量Ei i（i i 表示表示x x、y 或或 z）可表示成可表示成 各分量合成以后，电场强度为各分量合成以后，电场强度为 复矢量复矢量第四章第四章 时变电磁场时变电磁场 有关复数表示的进一步说明有关复数表示的进一步说明 复数式只是数学表示方式，不代表真实的场。复数式只是数学表示方式，不代表真实的场。真实场是复数式的实部，即瞬时表达式。真实场是复数式的实部，即瞬时表达式。由于时间因子是默认的，有时它不用写出来，只用与坐标有由于时间因子是默认的，有时它不用写出来，只用与坐标有 关的部分就可表示复矢量。关的部分就可表示复矢量。时间变量可以转化为时间因子；时间变量可以转化为时间因子；时谐函数变换为振幅和相位两部分；时谐函数变换为振幅和相位两部分；时间导数的运算变换为代数的运算；时间导数的运算变换为代数的运算；采用复函数表示时谐函数的好处采用复函数表示时谐函数的好处 第四章第四章 时变电磁场时变电磁场 例例4.5.14.5.1 将下列场矢量的瞬时值形式写为复数形式将下列场矢量的瞬时值形式写为复数形式（2）解：（解：（1 1）由于）由于（1）所以所以第四章第四章 时变电磁场时变电磁场（2 2）因为）因为 故故 所以所以 第四章第四章 时变电磁场时变电磁场 例例4.5.2 4.5.2 已知电场强度复矢量已知电场强度复矢量其中其中kz和和Exm为实常数。写出电场强度的瞬时矢量为实常数。写出电场强度的瞬时矢量解解 实际中，许多时变电磁场按余弦规律变化，即时谐场。根实际中，许多时变电磁场按余弦规律变化，即时谐场。根据据Fourier变换可知，即使是任意的时变场，也可以变换为时变换可知，即使是任意的时变场，也可以变换为时谐场的组合或积分。因此，对于时变场的研究可以从时谐场着谐场的组合或积分。因此，对于时变场的研究可以从时谐场着手，即从复数形式入手。手，即从复数形式入手。只需对复振幅进行只需对复振幅进行运算，再将结果乘运算，再将结果乘以以 ，并取实，并取实部部（或虚部），即可（或虚部），即可得相应的瞬时值。得相应的瞬时值。第四章第四章 时变电磁场时变电磁场以电场旋度方程以电场旋度方程 为例，代入相应场量的矢量，可得为例，代入相应场量的矢量，可得 将将 、与与 交换次序，得交换次序，得上式对任意上式对任意 t t 均成立。令均成立。令 t t0 0，得，得4.5.2 4.5.2 复矢量的麦克斯韦方程复矢量的麦克斯韦方程令令t/2，得得即即第四章第四章 时变电磁场时变电磁场从从形形式式上上讲讲，只只要要把把微微分分算算子子 用用 代代替替，就就可可以以把把时时谐谐电电磁磁场场的的场场量量之之间间的的关关系系，转转换换为为复复矢矢量量之之间间关关系系。因因此此得得到到复复矢矢量量的麦克斯韦方程的麦克斯韦方程 略去略去“.”和下标和下标m第四章第四章 时变电磁场时变电磁场 例题例题：已知正弦电磁场的电场瞬时值为：已知正弦电磁场的电场瞬时值为式中式中 解：（解：（1 1）因为）因为故电场的复矢量为故电场的复矢量为试求：（试求：（1 1）电场的复矢量）电场的复矢量;（2 2）磁场的复矢量和瞬时值。）磁场的复矢量和瞬时值。第四章第四章 时变电磁场时变电磁场（2 2）由复数形式的麦克斯韦方程，得到磁场的复矢量由复数形式的麦克斯韦方程，得到磁场的复矢量磁场强度瞬时值磁场强度瞬时值第四章第四章 时变电磁场时变电磁场4.5.3 4.5.3 亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程 在在时时谐谐情情况况下下，将将 、，即即可可得得到到复复矢量的波动方程矢量的波动方程，称为亥姆霍兹方程。，称为亥姆霍兹方程。瞬时矢量瞬时矢量复矢量复矢量第四章第四章 时变电磁场时变电磁场4.5.4 4.5.4 时谐场的位函数时谐场的位函数 在在时时谐谐情情况况下下，矢矢量量位位和和标标量量位位以以及及它它们们满满足足的的方方程程都都可可以以表示成复数形式。表示成复数形式。洛仑兹条件洛仑兹条件达朗贝尔方程达朗贝尔方程瞬时矢量瞬时矢量复矢量复矢量第四章第四章 时变电磁场时变电磁场4.5.5 4.5.5 平均能量密度和平均能流密度矢量（复坡印廷定理）平均能量密度和平均能流密度矢量（复坡印廷定理）电磁场能量密度和能流密度的表达式中都包含了场量的平方电磁场能量密度和能流密度的表达式中都包含了场量的平方 关系，这种关系式称为二次式。在时谐电磁场中，常常要关系，这种关系式称为二次式。在时谐电磁场中，常常要关关 心心二次式二次式在一个时间周期在一个时间周期 T T 中的平均值，即中的平均值，即平均能流密度矢量平均能流密度矢量平均电场能量密度平均电场能量密度平均磁场能量密度平均磁场能量密度在时谐电磁场中，二次式在时谐电磁场中，二次式的时间平均值可直接由复矢量计算，有的时间平均值可直接由复矢量计算，有第四章第四章 时变电磁场时变电磁场则平均能流密度矢量为则平均能流密度矢量为 如果电场和磁场都用复数形式给出，即有如果电场和磁场都用复数形式给出，即有 时间平均值与时间无关时间平均值与时间无关 例如某正弦电磁场的电场强度和磁场强度例如某正弦电磁场的电场强度和磁场强度都用实数形式给出都用实数形式给出第四章第四章 时变电磁场时变电磁场 具有普遍意义，不仅适用于正弦电磁场，也适用于其他具有普遍意义，不仅适用于正弦电磁场，也适用于其他 时变电磁场；而时变电磁场；而 只适用于时谐电磁场。只适用于时谐电磁场。在在 中，中，和和 都是实数形式且是都是实数形式且是 时间的函数，所以时间的函数，所以 也是时间的函数，也是时间的函数，反映的是能流密度反映的是能流密度 在某一个瞬时的取值在某一个瞬时的取值；而；而 中的中的 和和 都是复矢量，与时间无关，所以都是复矢量，与时间无关，所以 也与时间也与时间 无关，无关，反映的是能流密度在一个时间周期内的平均取值反映的是能流密度在一个时间周期内的平均取值。利利用用 ，可可由由 计计算算 ，但但不不能能直直接由接由 计算计算 ，也就是说，也就是说 关于关于 和和 的几点说明的几点说明第四章第四章 时变电磁场时变电磁场考虑考虑于是于是式中式中分别表示坡印廷矢量（能流密度）、导体损耗功率密度、分别表示坡印廷矢量（能流密度）、导体损耗功率密度、磁场能量密度和电场能量密度的周期均值。磁场能量密度和电场能量密度的周期均值。第四章第四章 时变电磁场时变电磁场此式称为此式称为复坡印廷定理复坡印廷定理。取体积积分，利用高斯散度定理得取体积积分，利用高斯散度定理得进入封闭面进入封闭面S内的实功率（内的实功率（Poynting矢量的时间平均值）矢量的时间平均值）等于等于S面所包围的体积内损耗功率之和。面所包围的体积内损耗功率之和。进入封闭面进入封闭面S内的虚功率与内的虚功率与S面所包围的体积内磁场储能面所包围的体积内磁场储能与电场储能时间平均值之差成正比。与电场储能时间平均值之差成正比。第四章第四章 时变电磁场时变电磁场 解：解：（1 1）由得）由得（2 2）电场和磁场的瞬时值为）电场和磁场的瞬时值为 例例4.5.44.5.4已知无源的自由空间中，电磁场的电场强度复矢量已知无源的自由空间中，电磁场的电场强度复矢量为为 ，其中，其中k 和和 E0 为常数。求：为常数。求：（1 1）磁场强度复矢）磁场强度复矢量量 ；（；（2 2）瞬时坡印廷矢量）瞬时坡印廷矢量 ；（；（3 3）平均坡印廷矢量）平均坡印廷矢量 。第四章第四章 时变电磁场时变电磁场 （3）平均坡印廷矢量为）平均坡印廷矢量为或直接积分，得或直接积分，得瞬时坡印廷矢量为瞬时坡印廷矢量为第四章第四章 时变电磁场时变电磁场 例例4.5.5 4.5.5 已已知知真真空空中中电电磁磁场场的的电电场场强强度度和和磁磁场场强强度度矢矢量量分分别别为为解解:(1)(1)由于由于(2)(2)所以所以其中其中E0、H0 和和 k 为常数。求：为常数。求：(1)(1)w 和和 wav；(2)(2)S 和和 Sav。