113四种命题间的相互关系

1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系3四种命题的真假性四种命题的真假性(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况.原命题原命题逆命题逆命题否命题否命题逆否命题逆否命题真真真真_真真假假_假假真真_假假假假_(2)四种命题的真假性之间的关系四种命题的真假性之间的关系两个命题互为逆否命题，它们两个命题互为逆否命题，它们有有_的的真假性真假性两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性_真真真真假假真真真真假假假假假假没有关没有关系系相同相同想一想想一想：在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况？在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况？提示提示因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题，因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题，它们同真同假，所以真命题的个数可能为它们同真同假，所以真命题的个数可能为0，2，4.四种命题四种命题一般地，用一般地，用p和和q分别表示原命题的条件和结论，用分别表示原命题的条件和结论，用 p和和 q分别表示分别表示p与与q的否定，则四种命题的形式可表示为：的否定，则四种命题的形式可表示为：原命题：若原命题：若p，则，则q；逆命题：若；逆命题：若q，则，则p；否命题：若否命题：若 p，则，则 q；逆否命题：若；逆否命题：若 q，则，则 p.(1)关于四种命题也可叙述为：关于四种命题也可叙述为：交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的逆命题；交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的逆命题；同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的否命题；原命题的否命题；交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题名师点睛1(2)已知原命已知原命题，写出它的其他三种命，写出它的其他三种命题，首先将原命，首先将原命题写成写成“若若p，则q”的形式，然后找出条件和的形式，然后找出条件和结论，再根据定，再根据定义写出其他命写出其他命题，对于含有大前提的命于含有大前提的命题，在改写，在改写时大前提不大前提不动如如“已知已知a，b为正数，若正数，若ab，则|a|b|”中，中，“已知已知a，b为正正数数”在四种命在四种命题中是相同的大前提，写其他命中是相同的大前提，写其他命题时都把它作都把它作为大前提大前提四种命题的真假关系四种命题的真假关系原命原命题为真，它的逆命真，它的逆命题不一定不一定为真；真；原命原命题为真，它的否命真，它的否命题不一定不一定为真；真；原命原命题为真，它的逆否命真，它的逆否命题一定一定为真；真；原命原命题的逆命的逆命题为真，它的否命真，它的否命题一定一定为真真2四种命题的等价关系的应用四种命题的等价关系的应用判断某个命题的真假，如果直接判断不易，可转化为判断它的逆否命判断某个命题的真假，如果直接判断不易，可转化为判断它的逆否命题的真假，如带有否定词的命题真假的判断题的真假，如带有否定词的命题真假的判断因此，证明某一问题时，若直接证明不容易入手，可以通过证明它的因此，证明某一问题时，若直接证明不容易入手，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题3题型一四种命题之间的转换 写出以下命写出以下命题的逆命的逆命题、否命、否命题和逆否命和逆否命题(1)如果直如果直线垂直于平面内的两条相交直垂直于平面内的两条相交直线，那么，那么这条直条直线垂直于平面；垂直于平面；(2)如果如果x10，那么，那么x0；(3)当当x2时，x2x60.思路探索思路探索 可先分清命题的条件和结论，写成可先分清命题的条件和结论，写成“若若p，则，则q”的形式，再写出逆命题、否命题和逆否命题的形式，再写出逆命题、否命题和逆否命题【例1】解解(1)逆命题：如果直线垂直于平面，那么直线垂直于平面内的两条相交直线；逆命题：如果直线垂直于平面，那么直线垂直于平面内的两条相交直线；否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么直线不垂直于平面；那么直线不垂直于平面；逆否命题：如果直线不垂直于平面，那么直线不垂直于平面内的两条相交直线逆否命题：如果直线不垂直于平面，那么直线不垂直于平面内的两条相交直线(2)逆命题：如果逆命题：如果x0，那么，那么x10；否命题：如果否命题：如果x10，那么，那么x0；逆否命逆否命题：如果：如果x0，那么，那么x10.(3)逆命逆命题：如果：如果x2x60，那么，那么x2；否命否命题：如果：如果x2，那么，那么x2x60；逆否命逆否命题：如果：如果x2x60，那么，那么x2.规律方法规律方法 (1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当的添加一些词语，但不能改变条件和结论在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当的添加一些词语，但不能改变条件和结论 写出下列命写出下列命题的逆命的逆命题、否命、否命题和逆否命和逆否命题(1)垂直于同一平面的两直垂直于同一平面的两直线平行；平行；(2)若若mn0，则方程方程mx2xn0有有实根根解解(1)逆命逆命题：如果两条直：如果两条直线平行，那么平行，那么这两条直两条直线垂直于同一个平面垂直于同一个平面否命否命题：如果两条直：如果两条直线不垂直于同一平面，那么不垂直于同一平面，那么这两条直两条直线不平行不平行逆否命逆否命题：如果两条直：如果两条直线不平行，那么不平行，那么这两条直两条直线不垂直于同一平面不垂直于同一平面【变式1】(2)逆命逆命题：若方程：若方程mx2xn0有有实数根，数根，则mnb，则a2b2”的逆否命的逆否命题；“若若x3，则x2x60”的否命的否命题；“同位角相等同位角相等”的逆命的逆命题其中真命其中真命题的个数是的个数是_ 思路探索思路探索 可先逐一分清两个命题的条件和结论，再利用有关知识判断真假可先逐一分清两个命题的条件和结论，再利用有关知识判断真假解析解析“若若xy0，则，则x，y不是相反数不是相反数”，是真命题，是真命题“若若a2b2，则，则ab”，取，取a0，b1，a2b2，但，但ab，故是假命题，故是假命题题型二四种命题真假的判断【例2】“若若x3，则，则x2x60”，解不等式，解不等式x2x60可得可得2x3，而，而x43不是不等式的解，故是假命题不是不等式的解，故是假命题“相等的角是同位角相等的角是同位角”是假命题是假命题答案答案1规律方法规律方法 要判断四种命题的真假：首先，要熟练四种要判断四种命题的真假：首先，要熟练四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握下列命下列命题中是真命中是真命题的是的是()A命命题“若若0logab1，则0a1b”的逆命的逆命题B命命题“若若b3，则b29”的逆命的逆命题C命命题“当当x2时，x23x20”的否命的否命题D命命题“相似三角形的相似三角形的对应角相等角相等”的逆否命的逆否命题解析解析对于对于A，逆命题为，逆命题为“若若0a1b，则，则0logab1”，由对数函数图象得，当，由对数函数图象得，当0a1b时，时，logab0，A为假；为假；B项，逆命题是项，逆命题是“若若b29，则，则b3”，它未必成立，因为，它未必成立，因为b可能等于可能等于3，所以所以B为假；为假；C项，否命题是项，否命题是“当当x2时，时，x23x20”，因为，因为x1时也可以使时也可以使x23x20成成立，所以为假；立，所以为假；D项，逆否命题是项，逆否命题是“两个三角形对应角不相等，则这两个三角形不相似两个三角形对应角不相等，则这两个三角形不相似”，因为，因为原命题与逆命题同真假，且原命题为真，所以逆否命题为真，故选原命题与逆命题同真假，且原命题为真，所以逆否命题为真，故选D.答案答案D【变式2】(12分分)判断命判断命题“已知已知a，x为实数，若关于数，若关于x的不等式的不等式x2(2a1)xa220的解集不是的解集不是空集，空集，则a1”的逆否命的逆否命题的真假的真假审题指导审题指导 本题的命题意图是考查逆否命题的应用由于原命题与它的逆本题的命题意图是考查逆否命题的应用由于原命题与它的逆否命题同真同假，所以可写出原命题的逆否命题，再判断其真假，或者否命题同真同假，所以可写出原命题的逆否命题，再判断其真假，或者由判断原命题的真假得出逆否命题的真假由判断原命题的真假得出逆否命题的真假题型三等价命题的应用【例3】规范解答规范解答 法一法一原命题的逆否命题：原命题的逆否命题：已知已知a，x为实数，若为实数，若a1，则关于，则关于x的不等式的不等式x2(2a1)xa220的解集的解集为空集真假判断如下：空集真假判断如下：3分分抛物抛物线yx2(2a1)xa22开口向上，开口向上，判判别式式(2a1)24(a22)4a7，6分分若若a1，则4a70，则方程方程x22x3m0有有实数数根根”的逆否命的逆否命题的真假的真假解解m0，12m0，12m40.方程方程x22x3m0的判的判别式式12m40.原命原命题“若若m0，则方程方程x22x3m0有有实数根数根”为真真又因原命又因原命题与它的逆否命与它的逆否命题等价，所以等价，所以“若若m0，则方程方程x22x3m0有有实数根数根”的逆否命的逆否命题也也为真真【变式3】1反反证法的理法的理论基基础：反：反证法就是法就是证明明结论的反面不成立，从而的反面不成立，从而证明原明原结论成立由成立由于互于互为逆否命逆否命题的两个命的两个命题具有等价性，从具有等价性，从逻辑角度看，原命角度看，原命题为真，真，则它的逆否命它的逆否命题也也为真在直接真在直接证明原命明原命题有困有困难时，就可，就可转化化为证明它的逆否命明它的逆否命题成立成立 2反反证法的思想方法：命法的思想方法：命题“若若p，则q”的逆否命的逆否命题是是“若非若非q，则非非p”，假，假设q不成立，不成立，即非即非q成立，由此成立，由此进行推理，行推理，则非非p一定成立，一定成立，这与与p成立矛盾，那么就成立矛盾，那么就说明明“假假设q不成立不成立”为假，从而可以假，从而可以导出出“若若p，则q”为真，达到真，达到论证的目的，的目的，这就是反就是反证法的思想方法法的思想方法方法技巧反证法的应用 3反反证法法证明命明命题的步的步骤：(1)反反设：假：假设命命题的的结论不成立，即假不成立，即假设结论的否的否定成立；定成立；(2)归谬：从：从这个假个假设出出发，经过推理推理论证，得出矛，得出矛盾；盾；(3)说明：由矛盾判定假明：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命不正确，从而肯定命题的的结论正确正确 否定否定结论是反是反证法的第一步，它的正确与否，法的第一步，它的正确与否，对于于反反证法有直接影响法有直接影响 若若a2b2c2，求，求证：a，b，c不可能都是奇数不可能都是奇数 思路分析思路分析 可以证明原命题的逆否命题为真命题，也可以运用反证法可以证明原命题的逆否命题为真命题，也可以运用反证法证明证明法一法一依依题意，就是意，就是证明命明命题“若若a2b2c2，则a，b，c不可能都是奇数不可能都是奇数”为真命真命题为此，只需此，只需证明其逆否命明其逆否命题“若若a，b，c都是奇数，都是奇数，则a2b2c2.”为真命真命题即可即可a，b，c都是奇数，都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数于是都是奇数于是a2b2为偶数，而偶数，而c2为奇数，即奇数，即a2b2c2.原命原命题的逆否命的逆否命题为真命真命题，所以原命，所以原命题成立成立法二法二假假设a，b，c都是奇数，都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数都是奇数得得a2b2为偶数，而偶数，而c2为奇数，即奇数，即a2b2c2，与，与a2b2c2矛盾矛盾所以假所以假设不成立，从而原命不成立，从而原命题成立成立【示例】方法点评方法点评 上述两种证明方法的本质是一致的，只是叙上述两种证明方法的本质是一致的，只是叙述的格式不同罢了，而以什么方式表达某一数学事实，述的格式不同罢了，而以什么方式表达某一数学事实，这仅是阐述理由的外在表现形式，绝不影响数学事实的这仅是阐述理由的外在表现形式，绝不影响数学事实的本质特点两种方法相比较，反证法更具有本质特点两种方法相比较，反证法更具有“程式化程式化”特特点注意含有否定词的命题常用反证法证明点注意含有否定词的命题常用反证法证明