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双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质椭圆椭圆双曲线双曲线方程方程图形图形范围范围|x|a,|y|b(其中其中ab0)yoF1F2A1B1B2xA2(其中其中a0,b0)xoF1F2y|x|a椭圆椭圆双曲线双曲线方程方程焦点焦点(c,0)a 2=b2+c 2c 2=a 2+b 2顶点顶点(a,0)、(0,b)对称轴对称轴X轴，长轴长轴，长轴长2a;y轴，短轴长轴，短轴长2b;离心率离心率 (0e1)请观察双曲线的图象和矩形对角线请观察双曲线的图象和矩形对角线,有何特征？有何特征？双曲线双曲线 x2/a2-y2/b2=1(a0、b0)的各支向外延伸的各支向外延伸时，与矩形的两条对角线所在的直线逐渐接近时，与矩形的两条对角线所在的直线逐渐接近.请思考：结论正确吗请思考：结论正确吗?F2 yB1A2A1B2 0 xF1（二）、我们来证明二）、我们来证明 先取双曲线在第一象限内的部分进行证明这一部先取双曲线在第一象限内的部分进行证明这一部分的方程可写为分的方程可写为0 xyN(x,YN(x,Y)Q QM(x,y)xyA1A2Ob a B1 B2 NMQ双曲线方程可变为双曲线方程可变为当当 时，方程时，方程近似变为近似变为即双曲线上的点无即双曲线上的点无限接近直线限接近直线 渐近线渐近线（三）、请注意：（三）、请注意：1、当焦点在、当焦点在y轴上时也可类似证明具有同样性质；轴上时也可类似证明具有同样性质；2、我们把两条直线、我们把两条直线 y=bx/a 叫做双曲线的叫做双曲线的渐近线渐近线.3、当焦点在、当焦点在x轴上时，方程为轴上时，方程为 x2/a2-y2/b2=1(a0,b0)，渐，渐 近线方程为近线方程为y=bx/a；当焦点在当焦点在y轴上时，方程为轴上时，方程为y2/a2-x2/b2=1(a0,b0)，渐近，渐近 线方程为线方程为y=ax/b.双曲线的渐近线双曲线的渐近线yF2 yx oA2A1 B1B2F1 F2 当焦点在当焦点在x轴上时，方程为轴上时，方程为 x2/a2-y2/b2=1(a0,b0)，渐，渐 近线方程为近线方程为y=bx/a；当焦点在当焦点在y轴上时，方程为轴上时，方程为 y2/a2-x2/b2=1(a0,b0)，渐近，渐近 线方程为线方程为y=ax/b.B1A2A1B2 0 xF1X=aX=-a1 1、如何求双曲线的渐近线？、如何求双曲线的渐近线？例：例：求下列双曲线求下列双曲线 的渐近线的渐近线 9y2-16x2=144；.规律总结：规律总结：（1）求矩形对角线所在的直线方程；）求矩形对角线所在的直线方程；解答：解答：y=4x/3，0yb ba a （2）化成标准式后再将）化成标准式后再将1换成换成0或直接将常数项换为或直接将常数项换为0.xy=bx/ay=-bx/a由双曲线方程求渐近线方程的方法：由双曲线方程求渐近线方程的方法：_(1)定焦点位置，求出定焦点位置，求出 a、b，写出方程写出方程(2)由双曲线方程的常数项由双曲线方程的常数项1令为令为0即可即可例例3、求与双曲线、求与双曲线 x 2 2y 2=2 有相同渐近线有相同渐近线且焦点为且焦点为(0,6)的双曲线方程。的双曲线方程。法法一：待定系数法一：待定系数法法法二：由渐近线方程设双曲线方程二：由渐近线方程设双曲线方程若若渐近线方程为渐近线方程为 mx ny=0，则双曲线方程则双曲线方程为为 _或或 _m 2 x 2 n 2 y 2=k (k 0)整式整式标准标准例例2、求中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点、求中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点P(1,3)且离心率为且离心率为 的双曲线标准方程的双曲线标准方程解：设所求双曲线方程为解：设所求双曲线方程为 x 2 y 2=k (k 0)由题由题 k=1 9=8 所求双曲线方程为所求双曲线方程为等轴等轴双曲线方程为双曲线方程为 x 2 y 2=k (k 0)方程是方程是 _等轴双曲线（等边双曲线）：等轴双曲线（等边双曲线）：_离心率离心率 e=_ 渐近线方程为渐近线方程为 _实轴与虚轴等长的双曲线实轴与虚轴等长的双曲线x 2 y 2=k (k 0)B1 B2A1A2Oxy 椭圆椭圆 双曲线双曲线标准方程标准方程x2/a2+y2/b2=1(ab0)x2/a2-y2/b2=1(a0、b0)几何几何 图形图形 范围范围|x|a、|y|b x a 或或 x -a对称性对称性中心对称，中心对称，轴对称轴对称 中心对称，中心对称，轴对称轴对称顶点顶点A1(-a,0),A2(a,0)B1(0-b),B2(0,b)A1(-a,0)、A2(a,0)a,b,c的含义的含义a(长半轴长长半轴长)c（半焦距长）半焦距长）b（短半轴长）短半轴长）a2=b2+c2a（实半轴长实半轴长）c（半焦距长）半焦距长）b （虚半轴长虚半轴长）a2=c2-b2离心率离心率e定义定义焦距与长轴长的比焦距与长轴长的比 e=c/a 0e1B2B1yxA2A1 0F1F2yF2B1A2A1B2 0 xF1X=aX=-a标准方程标准方程 几何几何 图形图形 范围范围 x a 或或 x -a y a 或或 y -a 对称性对称性 中心对称，中心对称，轴对称轴对称中心对称，中心对称，轴对称轴对称 顶顶 点点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)a、b、c的含义的含义a（实半轴长实半轴长）c（半焦距）半焦距）b（虚半轴长虚半轴长）a2=c2-b2a（实半轴长实半轴长）c（半焦距长）半焦距长）b（虚半轴长虚半轴长）a2=c2-b2 离心率离心率e焦距与实轴长的比焦距与实轴长的比 e=c/a e1焦距与实轴长的比焦距与实轴长的比 e=c/a e1yF2B1A2A1B2 0 xF1X=aX=-a yx oA2A1 B1B2F1 F2
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