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函数的概念与表示法函数的概念与表示法疑难点、易错点剖析疑难点、易错点剖析1、映射是特殊的对应，其、映射是特殊的对应，其“特殊性特殊性”在在于，它只能是于，它只能是“一对一一对一”或或“多对一多对一”的对应，不能是的对应，不能是“一对多一对多”的对应，故的对应，故判断一个对应是否是映射的方法是：首判断一个对应是否是映射的方法是：首先检验集合先检验集合A中的每一个元素是否在集中的每一个元素是否在集合合B中都有像；然后看集合中都有像；然后看集合A中每个元素中每个元素的象是否唯一。另外映射是有方向性的，的象是否唯一。另外映射是有方向性的，即即A到到B的映射与的映射与B到到A的映射是不同的。的映射是不同的。问题一：以下对应中，哪些是映射？问题一：以下对应中，哪些是映射？1-12-214f：平方：平方12341964张三张三李四李四王五王五赵高赵高刘邦刘邦关公关公ABBBAA图图1图图2图图35743194AB图图4问题二：判断下列对应是否为从集合问题二：判断下列对应是否为从集合A到集合到集合B的映射。的映射。要弄清映射定义中如下几点：要弄清映射定义中如下几点：1、“对应法则对应法则”重在效果，未必要写出，可以重在效果，未必要写出，可以“尽在不言中尽在不言中”；对应法则未必都有能用解析式表达。；对应法则未必都有能用解析式表达。2、A中的第一个元素都有象，且唯一；中的第一个元素都有象，且唯一；B中的元素未必有原象，中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一。即使有，也未必唯一。3、若对应法则为、若对应法则为f，则，则a的象记为的象记为f（a）。）。4、映射是特殊的对应：、映射是特殊的对应：“多对一多对一”，“一对一一对一”的对应是映射；的对应是映射；“一对多一对多”的对应不是映射。的对应不是映射。2、函数是特殊的映射，其特殊性在于，集合、函数是特殊的映射，其特殊性在于，集合A与集合与集合B只能只能 是非空数集。即函数是非空数集是非空数集。即函数是非空数集A到非空数集到非空数集B的映射。的映射。问题三：以下映射中。哪些是函数？问题三：以下映射中。哪些是函数？12341964BA图图1张三张三李四李四王五王五赵高赵高刘邦刘邦关公关公BA图图2（1）（2）（3）A=平面平面内的三角形内的三角形，B=平面平面内的圆内的圆，f：三角形：三角形 该三角形的内切圆该三角形的内切圆对函数要注意：对函数要注意：1、函数是映射，映射不一定是函数，只有两非、函数是映射，映射不一定是函数，只有两非空数集之间的映射才是函数；空数集之间的映射才是函数；2、要克服、要克服“函数就是解析式函数就是解析式”的片面认识，有的片面认识，有此对应法则很难甚至于无法用解析式表达（可此对应法则很难甚至于无法用解析式表达（可用列表法图象法表示出来）用列表法图象法表示出来）3、定义域、定义域=原象集合原象集合A，值域，值域C 象集合象集合B。3、对函数符号、对函数符号f（X）的涵义的理解：）的涵义的理解：f（X）是表示一个整体符号，而记号）是表示一个整体符号，而记号“f”可可看作是对看作是对“x”施加的某种法则（或运算）施加的某种法则（或运算）“f”可看作一部机器，把可看作一部机器，把“x”输入输入“f”中，中，输出函数值。输出函数值。4、函数有三要素：定义域、值域、对应法则。、函数有三要素：定义域、值域、对应法则。只有当两个函数的三要素相同时，它们才是同只有当两个函数的三要素相同时，它们才是同一函数。一函数。5、定义域优先原则：函数定义域是函数的灵魂，它是、定义域优先原则：函数定义域是函数的灵魂，它是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行，坚持定义域优先的原则，之所以要做到这一域上进行，坚持定义域优先的原则，之所以要做到这一点，不仅是为了防止出现错误，有时，优先考虑定义域点，不仅是为了防止出现错误，有时，优先考虑定义域还会解题带来很大的方便。还会解题带来很大的方便。一、判断两个函数是否是同一函数一、判断两个函数是否是同一函数例例1、下列各组函数中，表示同一函数的是、下列各组函数中，表示同一函数的是：（）变式：下列四组函数中，其函数图像相同的是（变式：下列四组函数中，其函数图像相同的是（）CD二、对函数概念的理解二、对函数概念的理解-22xy-22xy-22xy-22xyOOOO222ABCD变式：已知函数变式：已知函数f（x）的定义域为）的定义域为-2，4，在同一坐，在同一坐标系下，函数标系下，函数y=f（x）的图象与直线）的图象与直线x=2的交点个数是的交点个数是（）A、0个个 B、1个个 C、2个个 D、0个或个或1个个B三、对映射概念的理解三、对映射概念的理解例例3、设、设f：MNN是集合是集合M M到集合到集合N N的映射，下的映射，下列说法正确的是（列说法正确的是（）A A、M M中每一个元素在中每一个元素在N N中必有象；中必有象；B B、N N中第一个元素在中第一个元素在M M中必有原象；中必有原象；C C、N N中每一个元素在中每一个元素在M M中的原象是唯一的；中的原象是唯一的；D D、N N是是M M中所有元素的象的集合。中所有元素的象的集合。A变式：映射变式：映射f：ABB，其中，其中A=-3A=-3，-2-2，-1-1，1 1，2 2，3 3，44，集合，集合B B中元素都是中元素都是A A中的元素在映射中的元素在映射f f下的象，且下的象，且对于任意的对于任意的a aA，在集合，在集合B中和它对应的元素是中和它对应的元素是|a|，则，则B中元素有（中元素有（）A、4个个 B、5个个 C、6个个 D、7个个A四、如何确定映射的个数四、如何确定映射的个数例例4、设集合、设集合M=-1，0，1，N=-2，-1，0，1，2，如果从，如果从M到到N中的映射中的映射f满足条件：满足条件：对对M中的每一个元素中的每一个元素x与它在与它在N中的象中的象f（x）的和都是奇数，则这样的映射的和都是奇数，则这样的映射f共有多少个共有多少个？18个个变式：若变式：若A=1，2，3，4，B=a，b，c，a，b，cR，则，则A到到B的映射有的映射有 个，个，B到到A的映射有的映射有 个，个，A到到B的函数有的函数有 个。个。818164五、对函数符号五、对函数符号f（x）的理解）的理解CBD求函数的定义域求函数的定义域1.方方 法法:常规方法常规方法v 分母分母v 根式根式(开偶次方开偶次方)v 真数真数v 底数底数v 指数为零指数为零 时，底数不为零时，底数不为零 例例 题题:解解:依题有依题有:解得解得:练练 习习:解解:依题有依题有2.复合函数求定义域的几种题型解:由题意知:解：由题意知:解：由题意知:解：由题意知:练习3:题型三：已知函数的定义域，求含参数的取值范围题型三：已知函数的定义域，求含参数的取值范围(1)当当K=0时时,30成立成立解解:（1）m=0 时5 0 成 立解：归纳小结：求定义域的方法：归纳小结：求定义域的方法：（1）常规求定义域的方法（1）分母（2）根式（开偶次方）（3）真数（4）底数（5）指数为零时，底数不为0（4）已知函数的定义域,求 含参数的取值范围布置作业布置作业：求函数的解析式求函数的解析式求函数的解析式求函数的解析式 把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫函数的解析式，简称解析式。这个等式叫函数的解析式，简称解析式。函数解析式的常用方法有：函数解析式的常用方法有：待定系数法待定系数法 换元法换元法 解函数方程组法解函数方程组法 代入法代入法凑配法凑配法 在给定条件下求函数的解析式在给定条件下求函数的解析式 f(x),是高中数学中经常涉是高中数学中经常涉及的内容及的内容,形式多样形式多样,没有一定的程序可循没有一定的程序可循,综合性强综合性强,解解起来有相当的难度起来有相当的难度,但是只要认真仔细去探索但是只要认真仔细去探索,还是有一些常还是有一些常用之法用之法.下面谈谈求函数解析式下面谈谈求函数解析式 f(x)的方法的方法.（一）、待定系数法（一）、待定系数法设二次函数设二次函数 满足满足 且图象在且图象在 轴上的截距为轴上的截距为1，在，在 轴截轴截得的线段长为得的线段长为 ，求，求 的解析式。的解析式。例例1解法一、又解得设由得解法二、解法二、得得 的对称轴为的对称轴为由由设设解法三、解法三、有对称轴又与 轴交点为故设变式式:设 f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1,求求 f(x).解解:由原式可知由原式可知 fg(x)中的中的 g(x)一个是一个是 2x,另一个是另一个是 3x+1,都是一次式都是一次式.而右端是二次式，故而右端是二次式，故 f(x)是一个二次式是一个二次式,则可可设:f(x)=ax2+bx+c,从而有从而有:f(2x)+f(3x+1)=13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c).比比较系数得系数得:a=1,b=0,c=-1.从而有从而有:f(x)=x2-1.评注注:先分析出先分析出 f(x)的基本形式的基本形式,再用待定系数法再用待定系数法,求出各求出各系数系数.又由已知又由已知 f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1,13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c)与与 13x2+6x-1 表示同一个式子表示同一个式子,即即 13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c)13x2+6x-1.（二）、换元法（二）、换元法例例2、根据条件，分别求出函数、根据条件，分别求出函数 的解析式的解析式（1）解：令）解：令则则且且即即换元法换元法凑配法凑配法用用 替代式中的替代式中的又考虑到又考虑到（2）解：解：所以所以 f(x)=2lnx-3(x0).评注注:通通过换元元,用用“新元新元”代替原表达式中的代替原表达式中的“旧元旧元”,从从而求得而求得 f(x).又如又如:已知已知 f(cosx-1)=cos2x.求求 f(x).变式式:已知已知 f(ex)=2x-3,求求 f(x).解解:设 t=ex,则 x=lnt 且且 t0,有有:f(t)=2lnt-3(t0).f(x)=2x2+4x+1(-2x0)（三）、解函数方程组法（三）、解函数方程组法例3、已知 ，求解：由解得变式式已知已知 f(x)+f()=1+x(x0,1),求求 f(x).xx-1解解:记题中式子中式子为式式,用用 代替代替中的中的 x,整理得整理得:xx-1f()+f()=,xx-11-x1x2x-1再用再用 代替代替中的中的 x,整理得整理得:1-x1f()+f(x)=,1-x11-x2-x解由解由,组成的方程成的方程组,得得:2x(x-1)x3-x2-1f(x)=.评注注:把把 f(x),f(),f()都看作都看作“未知数未知数”,把已知条件把已知条件化化为方程方程组的形式解得的形式解得 f(x).又如又如:已知已知 af(x)+bf()=cx,其中其中,|a|b|,求求 f(x).xx-1 1-x 1 1xf(x)=(ax-).a2-b2cbx（四）、代入法（四）、代入法例例4、设函数、设函数 的图象为的图象为 ，关于点关于点 对称的图象为对称的图象为 ，求求 对应的函数对应的函数 的表达式。的表达式。设 图象上任一点 ，则关于 对称点为 在 上，解：即即故例例5 已知已知 fff(x)=27x+13,且且 f(x)是一次式是一次式,求求 f(x).解解:由已知可由已知可设 f(x)=ax+b,则:五、迭代法五、迭代法ff(x)=a2x+ab+b.fff(x)=a3x+a2b+ab+b.由由题意知意知:a3x+a2b+ab+b27x+13.比比较系数得系数得:a=3,b=1.故故 f(x)=3x+1.评注注:本本题的解法除了用迭代法的解法除了用迭代法,还用了待定系数法用了待定系数法.课堂练习课堂练习1.已知已知 f(x)是一次函数是一次函数,且且 ff(x)=4x-1,求求 f(x)的解析式的解析式.5.若若 3f(x-1)+2f(1-x)=2x,求求 f(x).2.已知已知 f(4x+1)=,求求 f(x)的解析式的解析式.4x+616x2+14.已知已知 2f(x)+f(-x)=10 x,求求 f(x).6.已知已知 f(0)=1,f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1),求求 f(x).7.已知已知 f(x)是是 R 上的偶函数上的偶函数,且且 f(x+4)=f(-x),当当 x(-2,2)时时,f(x)=-x2+1,求当求当 x(-6,-2)时时 f(x)的解析式的解析式.f(x)=-2x+1 或或 2x-13x+5 x2-2x+2 f(x)=f(x)=x2-1(x1)f(x)=10 x-10-x 1323f(x)=2x+25f(x)=x2+x+1 f(x)=-x2-8x-158.已知函数已知函数 f(x)=求求 f(x+1).x2,x 0,+),x(-(-,0),1xf(x+1)=(x+1)2,x-1,+).,x(-(-,-1),x+1 1 3.已知已知 f(x+1)=x+2 x,求求 f(x).9.已知已知 F(x)=f(x)-g(x),其中其中 f(x)=loga(x-b),当且仅当点当且仅当点(x0,y0)在在 f(x)的图象上时的图象上时,点点(2x0,2y0)在在 y=g(x)的图象上的图象上(b1,a0 且且a1),(1)求求 y=g(x)的解析式的解析式;(2)当当 F(x)0 时时,求求 x 的的范围范围.解解:(1)由已知由已知 y0=loga(x0-b),2y0=g(2x0)g(x)=2loga(-b).x2(2)由由(1)知知:F(x)=f(x)-g(x)=loga(x-b)-2loga(-b).x2故由故由 F(x)0 可得可得:loga(x-b)2loga(-b).x2当当 a1 时时,x-b(-b)2,x2-b0,x2解得解得:2bx2b+2+2 b+1.解得解得:x2b+2+2 b+1.当当 0a0,x2综上所述综上所述:当当 a1 时时,2bx2b+2+2 b+1;当当 0a1 时时,x2b+2+2 b+1.函数值域的常见解法1函数的值域的定义在函数y=f(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。知识点知识点2确定函数的值域的原则当函数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合；当函数y=f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。3求函数值域的方法直接法:从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围二次函数法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域反函数法：将求函数的值域转化为求它的反函数的值域判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；单调性法：利用函数的单调性求值域；不等式法：利用平均不等式求值域；图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值，再得值域；几何意义法：由数形结合，转化斜率、距离等求值域。例例1 1求下列函数的值域应用举例应用举例形如：的函数可令 ，则 转化为关于t的二次函数求值。形如含有 的结构的函数，可用三角换元令x=acos求解。配方法2，4 换元法：三角换元法：例例2 2求下列函数的值域 形如：可用反函数法或分离常数法求；形如：可用判别式法求。反函数法或分离常数法：判别式法：例例3 3求下列函数的值域 可转化为各项为正，并和或积为定值时，可考虑用不等式法求值域，但要注意“=”问题；形可化为 用它在 上递减，在上 递增，求值域。练习：求值域 不等式法：用 的单调性：例例4 4求下列函数的值域 形如 ：可转化为斜率或用三角函数有界性求解；形如的题目可转化为距离求解；形如的高次函数可用导数求解。变式二：例变式二：例6 6已知函数 的定义域为R，值域为0，2，求m,n的值。变式一：例变式一：例5 5已知函数 值域为-1，5，求实数a，c的值。三小结三小结1熟练掌握求函数值域的几种方法，并能灵活选用；2求值域时要务必注意定义域的制约；3含字母参数或参数区间的一类值域问题要进行合理分类讨论；4用不等式求值域时要注意“=”的成立条件。p经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量pStudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,TheMorePowerfulYouWillBe写在最后谢谢大家荣幸这一路，与你同行ItS An Honor To Walk With You All The Way演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
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