9-2偏导数与全微分教学课件

第二节第二节 偏导数与全微分偏导数与全微分一、一、偏导数的定义及其计算方法偏导数的定义及其计算方法三、高阶偏导数三、高阶偏导数 二、二、全微分的定义全微分的定义当沿着平行看作常数看作常数,一、偏导数的定义及其计算法一般地一般地,设函数在变在变,y不变不变,实际上是实际上是的一元函数求一阶导数求一阶导数.函数关于自变量函数关于自变量因此因此,轴方向变化时轴方向变化时,沿平行于沿平行于 轴方向变化率就是把轴方向变化率就是把 在研究一元函数时在研究一元函数时,已经看到变化率的重要性已经看到变化率的重要性.但但与一元函数比较与一元函数比较,多元函数的情况要复杂得多多元函数的情况要复杂得多.在这节在这节我们讨论二元函数关于一个自变量的情况我们讨论二元函数关于一个自变量的情况.1、偏导数的定义注注：（：（1）求多元函数对某一自变量的导数求多元函数对某一自变量的导数时，切记将其它自变量都视为常数，运用一时，切记将其它自变量都视为常数，运用一元函数求导的方法求出偏导数。元函数求导的方法求出偏导数。（2）f x(x0,y0)，就是就是 f x(x,y),在点在点(x0,y0)的值的值.算算 f x(x0,y0)可用可用3种方法种方法.f y(x0,y0)f y(x,y)f y(x0,y0)(1)用定义算用定义算.(2)先算先算 f x(x,y),再算再算 f x(x0,y0)f y(x,y),f y(x0,y0).(3)先算先算 f(x,y0),再算再算 f x(x,y0)f x(x0,y0)f(x0,y),f y(x0,y),f y(x0,y0).偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在在 处处 例例1.求求解法解法1:解法解法2:在点在点(1,2)处的偏导数处的偏导数.例例2.设设证证:例例3.求求的偏导数的偏导数.解解:求证求证偏导数记号是一个偏导数记号是一个例例4.已知理想气体的状态方程已知理想气体的状态方程求证求证:证证:说明说明:(R 为常数为常数),不能看作不能看作分子与分母的商分子与分母的商!此例表明此例表明,整体记号整体记号,有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：、当用偏导函数不能求出多元函数在某一点的当用偏导函数不能求出多元函数在某一点的偏导数时，不能断言在该点的偏导数不存在，偏导数时，不能断言在该点的偏导数不存在，必须用偏导数定义求。尤其是分界点、不连必须用偏导数定义求。尤其是分界点、不连续点处的偏导数要用定义求。续点处的偏导数要用定义求。解解例例 5 5解解按定义可知：按定义可知：2、二元函数偏导数的几何意义、二元函数偏导数的几何意义是曲线是曲线在点在点 M0 处的切线处的切线对对 x 轴的斜率轴的斜率.在点在点M0 处的切线处的切线斜率斜率.是曲线是曲线对对 y 轴的轴的、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续.偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，xyxy如图，如图，一边长分别为一边长分别为x、y的长方形金属薄片，受热后的长方形金属薄片，受热后在长和宽两个方向上都发生在长和宽两个方向上都发生变化，分别增加了变化，分别增加了x,y，则该金属薄片的面积则该金属薄片的面积A改变了多少？改变了多少？A称为面积函数称为面积函数A=xy的全增量，的全增量，由两部分组成：由两部分组成：x，y的线性部分的线性部分当当(x,y)x,y)(0,0)时，是一个比时，是一个比高阶无穷小高阶无穷小。例：例：二、全微分的定义二、全微分的定义 定义定义 设函数设函数 在点在点(x，y)的某个邻域内有定的某个邻域内有定 义，点（义，点（x+x，y+y）在）在该邻域内，域内，如果如果 函数函数 在点（在点（x，y）的全增量）的全增量 可以表示为可以表示为其中其中A，B不依赖于不依赖于x,y无关，而无关，而仅与与x,y有关，有关，则称函数则称函数 在点在点处处可微可微，称为函数在点称为函数在点(x,y)全微分全微分,记作记作dz或或df(x,y)，即，即显然，显然，dzz1、全微分的定义、全微分的定义（x,y）处的处的定理定理 如果函数z=f(x,y)在(x0,y0)点可微，则函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处连续.证 根据函数可微的定义，有当 时，有 ，根据函数连续性定义，z=f(x,y)在点(x0,y0)处是连续的.因此 在一元函数中，可导与可微是等价的。对于多元函数是否有此结论？结论：多元函数，可微一定连续，但连续不一定可微。问题：下面两个定理回答了此问题。定理（可微的必要条件）定理（可微的必要条件）证明：证明：由函数由函数 在点（在点（x，y）处可微有）处可微有 如果函数如果函数 在点在点(x,y)处可微处可微,则它在则它在该点该点(x,y)处的两个偏导数必定存在处的两个偏导数必定存在,且函数且函数 在点在点(x,y)的全微分为：的全微分为：即又因为又因为 中的中的A，B与与x，y无关，也就是无关，也就是该式式对任意的任意的x，y都成立。都成立。不妨取不妨取y=0，则有，则有上式两边同除以上式两边同除以x，再令，再令x0，则有则有即说明即说明 存在，且存在，且同理可证同理可证 存在，且存在，且故有故有注意：注意：此命题不可逆。即若两偏导数都存在，也不能此命题不可逆。即若两偏导数都存在，也不能 保证函数保证函数 在点（在点（x，y）可微。）可微。例如函数：例如函数：由以前的讨论可知，在点（由以前的讨论可知，在点（0，0）处它的两个偏导数）处它的两个偏导数都存在，可该函数在此点却不连续，不连续肯定不可微。都存在，可该函数在此点却不连续，不连续肯定不可微。定理（可微的充分条件）定理（可微的充分条件）如果函数 的两个偏导数 在点(x,y)都存在且连续，则函数在该点可微分。多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微分函数可微分函数连续函数连续 偏导数连续偏导数连续偏导数存在偏导数存在小结小结 以上有关概念和定理均可以推到三元及三元以以上有关概念和定理均可以推到三元及三元以上的函数中去。上的函数中去。由于自变量的增量等于自变量的微分，故二元由于自变量的增量等于自变量的微分，故二元函数函数 的全微分习惯上可写为的全微分习惯上可写为类似地，三元函数类似地，三元函数 的全微分为的全微分为所以所以例例3 求函数求函数 在点（在点（2，-1）处的全微分。）处的全微分。解：因为解：因为所以所以解：先求函数的两个偏导数：解：先求函数的两个偏导数：例例2 求函数求函数 的全微分。的全微分。例例4 设函数设函数 在点（在点（0，0）有增量有增量x=0.2，y=0.3，求全微分，求全微分dz。解：解：所以所以此题可理解为：此题可理解为：在点（在点（0，0）处）处x，y分别有增量分别有增量x=0.2，y=0.3时时，函数也，函数也产产生增量生增量z，并且，并且zdz=1.8。例5 求 的全微分.解1.偏导数的概念及有关结论 定义;记号;几何意义 函数在一点偏导数存在函数在此点连续 混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义小结4、多元函数连续、可导、可微的关系、多元函数连续、可导、可微的关系函数可微分函数可微分函数连续函数连续 偏导数连续偏导数连续偏导数存在偏导数存在三、高阶偏导数三、高阶偏导数设设 z=f(x,y)在域在域 D 内存在连续的偏导数内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是则称它们是z=f(x,y)的的二阶偏导数二阶偏导数.按求导顺序不同按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导有下列四个二阶偏导数数:类似可以定义更高阶的偏导数类似可以定义更高阶的偏导数.例如例如，z=f(x,y)关于关于 x 的三阶偏导数为的三阶偏导数为z=f(x,y)关于关于 x 的的 n 1 阶偏导数阶偏导数,再关于再关于 y 的一阶的一阶偏导数为偏导数为例例1.求求函数函数解解:注意注意:此处此处但这一结论但这一结论并不总成立并不总成立.的二阶偏导数。的二阶偏导数。只有当 混合偏导数连续时，才与求导顺序无关。1.偏导数的概念及有关结论 定义;记号;几何意义 函数在一点偏导数存在函数在此点连续 混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义 求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)小结4、多元函数连续、可导、可微的关系、多元函数连续、可导、可微的关系函数可微分函数可微分函数连续函数连续 偏导数连续偏导数连续偏导数存在偏导数存在练习：练习：1、求函数、求函数的二阶偏导数。的二阶偏导数。2、求函数、求函数的和谢谢