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第二章 随机变量及其分布随机变量 概率分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量的函数11 随机变量*常见的两类试验结果：示数的降雨量；候车人数；发生交通事故的次数示性的明天天气（晴，多云）；化验结果（阳性，阴性）esx离散型的连续型的X=f(e)为S上的单值函数，X为实数*中心问题：将试验结果数量化*定义：随试验结果而变的量X为随机变量*常见的两类随机变量22 离散型随机变量及其分布 定义：取值可数的随机变量为离散量离散量的概率分布(分布律)样本空间S X=x1，X=x2，X=xn，由于样本点两两不相容1、写出可能取值即写出样本点2、写出相应的概率即写出每一个样本点出现的概率#概率分布3 例：某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经 过3个独立的交通灯，设各灯工作独立，且设 各灯为红灯的概率为p，0p1，以X表示首次 停车时所通过的交通灯数，求X的概率分布律。pX0123pp(1-p)(1-p)2p(1-p)3 解：设Ai=第i个灯为红灯，则P(Ai)=p，i=1,2,3 且A1,A2,A3相互独立。4 例：从生产线上随机抽产品进行检测，设产品 的次品率为p，0p1，若查到一只次品就 得停机检修，设停机时已检测到X只产品，试写出X的概率分布律。解：设Ai=第i次抽到正品，i=1,2,则A1,A2,相互独立。亦称X为服从参数p的几何分布。5 三个主要的离散型随机变量 01(p)分布二项分布Xpq01p样本空间中只有两个样本点即每次试验结果互不影响在相同条件下重复进行(p+q=1)*n重贝努利试验：设试验E只有两个可能的结果：p(A)=p,0p1,将E独立地重复进行n次，则称这一串重复重复 的独立独立试验为n重贝努利试验。6例：1.独立重复地抛n次硬币，每次只有两个可能的结果：正面，反面，如果是不放回抽样呢？2.将一颗骰子抛n次，设A=得到1点，则每次试验 只有两个结果：3.从52张牌中有放回地取n次，设A=取到红牌，则 每次只有两个结果：7设A在n重贝努利试验中发生X次，则并称X服从参数为p的二项分布，记推导：设Ai i=第i次A发生，先设n=38例：设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能有一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法，其一是由4个人维护，每人负责20台；其二是由3个人共同维护80台。试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。910 例：某人骑了自行车从学校到火车站，一路上 要经过3个独立的交通灯，设各灯工作独 立，且设各灯为红灯的概率为p，0p1，以Y表示一路上遇到红灯的次数。(1)求Y的概率分布律；(2)求恰好遇到2次红灯的概率。解：这是三重贝努利试验 11 例：某人独立射击n次，设每次命中率为p，0p0为常数，则称X服从参数为的指数分布。记为 X具有如下的无记忆性：2324 正态分布定义：设X的概率密度为其中 为常数，称X服从参数为 的正态分布(Gauss分布)，记为可以验证：25称为位置参数(决定对称轴位置)为尺度参数(决定曲线分散性)26X的取值呈中间多，两头少，对称的特性。当固定时，越大，曲线的峰越低，落在附近的概率越小，取值就越分散，是反映X的取值分散性的一个指标。在自然现象和社会现象中，大量随机变量服从或近似服从正态分布。2728 例：查书后附表29 例：一批钢材(线材)长度(1)若=100，=2，求这批钢材长度小于97.8cm的概率；(2)若=100，要使这批钢材的长度至少有90%落在区间(97,103)内，问至多取何值？30 例：设某地区男子身高(1)从该地区随机找一男子测身高，求他的身高大于175cm的概率；(2)若从中随机找5个男子测身高,问至少有一人身高大于175cm的概率是多少？恰有一人身高大于175cm的概率为多少？315 随机变量的函数分布问题：已知随机变量X的概率分布，且已知Y=g(X)，求Y的概率分布。Xpi i0.2-1010.50.3例如，若要测量一个圆的面积，总是测量其半径，半径的测量值可看作随机变量X，若 则Y服从什么分布？例：已知X具有概率分布 且设Y=X2，求Y的概率分布。解：Y的所有可能取值为0,1即找出(Y=0)的等价事件(X=0)；(Y=1)的等价事件(X=1)或(X=-1)32例：设随机变量X具有概率密度 求Y=X2的概率密度。解：分别记X,Y的分布函数为Y在区间(0,16)上均匀分布。33一般，若已知X的概率分布，Y=g(X)，求Y的 概率分布的过程为：关键是找出等价事件。34例：设 Y=2X,Z=X2,求Y,Z的概率分布。X-110pZ01pY-220p解：Y的可能取值为-2,0,2 Z的可能取值为0,1(Y=-2)的等价事件为(X=-1)(Z=1)的等价事件为(X=1)(X=-1)故得：35例：36xh(y),yy0y=g(x)y3738p经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量pStudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,TheMorePowerfulYouWillBe写在最后谢谢大家荣幸这一路，与你同行ItS An Honor To Walk With You All The Way演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
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