椭圆及其标准方程

“嫦娥二号”于2010年10月1日18时59分57秒在西昌卫星发射中心发射升空 一一:认识椭圆一一:认识椭圆一一:认识椭圆一一:认识椭圆生活中的椭圆一一:认识椭圆二二:尝试探究、形成概念尝试探究、形成概念 取一条取一条定长定长的细绳的细绳;(1)若把它的若把它的两端两端用图钉用图钉固定固定在纸板上在纸板上同一点同一点处，处，用铅笔尖把绳子拉直用铅笔尖把绳子拉直,使笔尖在纸板上慢慢移动，使笔尖在纸板上慢慢移动，画出的轨迹是一个圆。画出的轨迹是一个圆。(2)若绳子的两端拉开一段距离若绳子的两端拉开一段距离,再分别固定在纸再分别固定在纸板的两点处，用铅笔尖把绳子拉直板的两点处，用铅笔尖把绳子拉直,使笔尖在纸使笔尖在纸板上慢慢移动，画出的轨迹是什么曲线？板上慢慢移动，画出的轨迹是什么曲线？动手手实验(亲身体身体验)圆的定义圆的定义圆圆OP 平面内平面内与一个定点定点的距离等于常数距离等于常数(大于大于0 0)的点的轨迹叫作圆.这个定点叫做圆的圆心心,定长叫做圆的半径半径.圆的定义：平面内平面内与两个定点与两个定点 的距离和等于常数的距离和等于常数(大于大于 )的点的轨迹的点的轨迹叫作椭圆叫作椭圆。21FF椭圆的定义：二二:尝试探究、形成概念尝试探究、形成概念 类比类比椭圆椭圆椭圆的定义椭圆的定义MF2F1 这两个定点叫做椭圆的这两个定点叫做椭圆的焦点焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的两焦点间的距离叫做椭圆的焦距焦距.F1F2M 平面内平面内与两个定点与两个定点F1、F2的距离的距离的和等于常数的和等于常数（大于（大于|F1F2|）的点的的点的轨迹叫迹叫椭圆。这两个定点两个定点F1、F2叫做叫做椭圆的的焦点焦点 两焦点之两焦点之间的距离叫做的距离叫做椭圆的的焦距焦距。椭圆的定义两个问题：两个问题：为什么要强调在为什么要强调在平面内平面内？为什么要强调绳长为什么要强调绳长大于大于两焦点的距离？两焦点的距离？三:概念透析 平面内：平面内：圆圆OP空间中空间中空间中空间中球面球面椭球面椭球面为什么要强调在为什么要强调在平面内平面内？三三:概念透析概念透析 平面内：平面内：椭圆MF2F1绳长=绳长为什么要强调绳长为什么要强调绳长大于大于两焦点的距离？两焦点的距离？注：定注：定长 所成曲所成曲线是是椭圆 定定长 所成曲所成曲线是是线段段 定定长 无法构成无法构成图形形理解定义的内涵和外延数学概念是严谨、严密的，要多数学概念是严谨、严密的，要多琢磨！多培养自己的琢磨！多培养自己的严谨意识严谨意识！步步骤一：一：建建立直角坐立直角坐标系；系；步步骤二：二：设动点坐点坐标；步步骤三：三：限限制条件，列方程；制条件，列方程；步步骤四：四：代代入坐入坐标步步骤五：五：化化简方程。方程。回回顾：求曲：求曲线方程的步方程的步骤四四:椭圆的标准方程的推导椭圆的标准方程的推导 （坐标法）（坐标法）OxyOxyOxyOxy 探探讨建建立平面直角坐立平面直角坐标系系的方案的方案建立平面直角坐标系通常遵循的原则：建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、对称、“简洁简洁”MF1F2方案一方案一F1F2方案二方案二OxyM学生活动学生活动学生活动学生活动xF1F2Moy解：取解：取过焦点焦点F1、F2的直的直线为x轴，线段段F1F2的垂直的垂直平分平分线为y轴，建建立平面直角坐立平面直角坐标系系(如如图).设M(x,y)是是椭圆上任意一上任意一点，点，椭圆的焦距的焦距2c(c0)，M与与F1和和F2的距离的和等于正的距离的和等于正常数常数2a(2a2c)，则F1、F2的坐的坐标分分别是是(c,0)、(c,0).建构数学建构数学建构数学建构数学问题：上式如何：上式如何化化简呢？呢？由由椭圆的定的定义得，得，限限制条件制条件：代代入坐入坐标椭圆的标准方程的推导椭圆的标准方程的推导 碰到这么有规律的代碰到这么有规律的代数式一定要好好研究，数式一定要好好研究，总结一下，积累下来！总结一下，积累下来！方案方案(1):两边直接平方.(太繁琐）方案方案(2):考虑两个根号下代数式的相似性这样化这样化简可以简可以减少平减少平方次数方次数,而且为而且为后面学后面学习习第二第二定义定义作作了铺垫了铺垫为表述方便记为表述方便记：则 m+n=2a 又因为:m-n=化简得 即 展开得两边除以+得 2m=2a+得m=a+两边平方得xac2222222cayxaca-=+-则则方程可化方程可化方程可化方程可化为为即即数学中的求美、求简 意识 观观察左察左察左察左图图，你能从中找出表示你能从中找出表示你能从中找出表示你能从中找出表示a a、c c、的的的的线线段段段段吗吗？思考？思考？椭圆的的标准方程准方程思考？思考？如右如右图,如果如果焦点焦点F F1 1、F F2 2在在y y 轴上上,且且坐坐标分分别为(0,(0,c c),),(0,(0,c c),a,a，b b的意的意义同上，同上，那么此那么此时椭圆的方程是什么？的方程是什么？椭圆的的标准方程准方程焦点在焦点在x上上OXF1F2M(0,-c)(0,c)Y焦点在焦点在y上上椭圆的的标准方程（两种形式）准方程（两种形式）方方程程特特点点(2)(2)在在椭圆两种两种标准方程中，准方程中，总总有有有有ab0ab0ab0ab0；(3)(3)焦点在焦点在分母分母分母分母较较大的大的大的大的变变量量量量所所对应的坐的坐标轴上；上；(1)方程的左方程的左边是两是两项平方和平方和平方和平方和的形式，等号的右的形式，等号的右边是是1 1 1 1；(4)a:(4)a:表示表示椭圆上任意一点上任意一点P P到到F F1 1、F F2 2距离和的一半距离和的一半(长长半半半半轴长轴长)c:c:表示表示半焦距半焦距半焦距半焦距.且有关系式且有关系式 成立。成立。焦点在焦点在x上上焦点在焦点在y上上OF1F2OF1F2随堂随堂随堂随堂练习练习1 1 下列方程哪些表示的是下列方程哪些表示的是椭圆,如果是如果是,判断它的焦点在哪个坐判断它的焦点在哪个坐标轴上？上？(3)(3)已知已知椭圆上一点上一点 P到左焦点到左焦点F1的距离等于的距离等于6，则点点P到右焦点的距离是到右焦点的距离是 ；(4)(4)若若CD为过左焦点左焦点F1的弦，的弦，则CF1F2的周的周长为 ，F2CD的周的周长为 。已知已知椭圆方程方程为 ,则(1)a=(1)a=,b=,b=,c=,c=;(2)(2)焦点在焦点在 轴上上,其焦点坐其焦点坐标为 ,焦距焦距为 。随堂随堂随堂随堂练习练习2 2F1F2CD543(-3,0)、(3,0)6x41620变式一式一:将将上上题焦点改焦点改为(0，-4)、(0，4),结果如何？果如何？变变式二式二式二式二:将将上上题改改为两个焦点的距离两个焦点的距离为8 8，椭圆上一点上一点P P到两焦点的到两焦点的 距离和等于距离和等于1010，结果如何？果如何？当焦点在当焦点在X X轴时，方程，方程为：当焦点在当焦点在Y Y轴时，方程，方程为：写出适合下列条件的椭圆的标准方程写出适合下列条件的椭圆的标准方程随堂随堂随堂随堂练习练习3 3 已知两个焦点的坐已知两个焦点的坐标分分别是是(-4,0)(-4,0)、(4,0)(4,0)，椭圆上一点上一点P P到两焦点距离的和等于到两焦点距离的和等于1010；随堂随堂随堂随堂练习练习4 4方程方程 表示的曲表示的曲线是是椭圆，求，求k的取的取值范范围.变式：式：(1)方程方程 表示焦点在表示焦点在y轴上的上的椭圆,求求k的取的取 值范范围.(2)方程方程 表示焦点坐表示焦点坐标为(2，0)的的椭圆，求求k的的值.k0且且k5/4 k5/4 k1/4【错解】由椭圆方程知，a24，b2m，a2b24m.2c2，c1，4m1，m3.【错因】忽视了对焦点在哪一坐标轴上的讨论【正解】当焦点在x轴上时，a24，b2m.又2c2，c1，4m1，m3.当焦点在y轴上时，a2m，b24.又2c2，c1，m41，m5.综上，m的值为3或5.练考题、验能力、轻巧夺冠