集合的含义及表示

1.1.1 集合的含义与表示集合的含义与表示第一课时第一课时 集合的含义集合的含义问题提出问题提出 “集合集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释为为:许多的人或物聚在一起许多的人或物聚在一起.在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言，在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言，我们怎样理解数学中的我们怎样理解数学中的“集合集合”？知识探究（一）知识探究（一）考察下列问题：考察下列问题：（1 1）1 12020以内的所有以内的所有质数；数；（2 2）绝对值小于小于3 3的整数；的整数；（3 3）龙一中一中248248（或（或249249）班的所有男同学；）班的所有男同学；（4 4）平面上到定点）平面上到定点O O的距离等于定的距离等于定长的所有的点的所有的点.思考思考1 1：上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体分别形成一个的全体分别形成一个集合集合，集合中的每个对象都称为，集合中的每个对象都称为元素元素.上述上述4 4个集合中的元素分别是什么？个集合中的元素分别是什么？思考思考3 3：组成集合的元素所属对象是否有限制？集合中组成集合的元素所属对象是否有限制？集合中 的元素个数的多少是否有限制？的元素个数的多少是否有限制？思考思考2 2：一般地，怎样理解一般地，怎样理解“元素元素”与与“集合集合”？把研究的对象称为把研究的对象称为元素元素，通常用小写拉丁字母，通常用小写拉丁字母a a，b b，c c，表示；表示；把一些元素组成的总体叫做把一些元素组成的总体叫做集合集合，简称集，简称集，通常用大写拉丁字母通常用大写拉丁字母A A，B B，C C，表示表示.知识探究（二）知识探究（二）任意一组对象是否都能组成一个集合？集合中的元任意一组对象是否都能组成一个集合？集合中的元素有什么特征？素有什么特征？思考思考1 1：某单位所有的某单位所有的“帅哥帅哥”能否构成一个集合？由能否构成一个集合？由此说明什么？此说明什么？集合中的元素必须是确定的集合中的元素必须是确定的 思考思考2 2：在一个给定的集合中能否有相同的元素？在一个给定的集合中能否有相同的元素？由此由此说明什么？说明什么？集合中的元素是不重复出现的集合中的元素是不重复出现的 思考思考3 3：07060706班的全体同学组成一个集合，调整座位后班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？这个集合有没有变化？由此说明什么？由此说明什么？集合中的元素是没有顺序的集合中的元素是没有顺序的知识探究（三）知识探究（三）思考思考1 1：设集合设集合A A表示表示“1“12020以内的所有质数以内的所有质数”，那么，那么3 3，4 4，5 5，6 6这四个元素哪些在集合这四个元素哪些在集合A A中？哪些不在集合中？哪些不在集合A A中中？思考思考2 2：对于一个给定的集合对于一个给定的集合A A，那么某元素，那么某元素a a与集合与集合A A有哪几种可能关系？有哪几种可能关系？思考思考3 3：如果元素如果元素a a是集合是集合A A中的元素，我们如何用数学中的元素，我们如何用数学化的语言表达？化的语言表达？a a属于集合属于集合A A，记作，记作 思考思考4 4：如果元素如果元素a a不是集合不是集合A A中的元素，我们如何用数中的元素，我们如何用数学化的语言表达？学化的语言表达？a a不属于集合不属于集合A A，记作，记作自然数集（非负整数集）：记作自然数集（非负整数集）：记作 N N正整数集：记作正整数集：记作 或或 整数集：记作整数集：记作 Z Z有理数集：记作有理数集：记作 Q Q实数集：记作实数集：记作 R R知识探究（四）知识探究（四）思考思考1 1：所有的自然数，正整数，整数，有理数，实所有的自然数，正整数，整数，有理数，实数能否分别构成集合？数能否分别构成集合？思考思考2 2：自然数集，正整数集，整数集，有理数集，自然数集，正整数集，整数集，有理数集，实数集等一些常用数集，分别用什么符号表示？实数集等一些常用数集，分别用什么符号表示？作业：作业：P P5 5练习：练习：1.1.（1 1）；）；P P1111习题组：习题组：1.1.1.1.1 集合的含义与表示集合的含义与表示第二课时第二课时 集合的表示集合的表示问题提出问题提出 1.1.集合中的元素有哪些特征？集合中的元素有哪些特征？确定性、无序性、互异性确定性、无序性、互异性 2.2.元素与集合有哪几种关系？元素与集合有哪几种关系？属于、不属于属于、不属于 3.3.用自然语言描述一个集合往往是不简明的，用自然语言描述一个集合往往是不简明的，如如“在平面直角坐标系中以原点为圆心，在平面直角坐标系中以原点为圆心，2 2 为半为半径的圆周上的点径的圆周上的点”组成的集合，那么，我们可以组成的集合，那么，我们可以用什么方式表示集合呢？用什么方式表示集合呢？知识探究（一）知识探究（一）思考思考1 1：这两个集合分别有哪些元素？这两个集合分别有哪些元素？考察下列集合：考察下列集合：（1 1）小于）小于5 5的所有自然数组成的集合；的所有自然数组成的集合；（2 2）方程）方程 的所有实数根组成的集合的所有实数根组成的集合.（1 1）0 0，1 1，2 2，3 3，4 4；（2 2）-1-1，0 0，1 1思考思考2 2：由上述两组数组成的集合可分别怎样表由上述两组数组成的集合可分别怎样表示？示？（1 1）00，1 1，2 2，3 3，44；（2 2）-1-1，0 0，11思考思考3 3：这种表示集合的方法叫什么名称？这种表示集合的方法叫什么名称？列举法列举法思考思考4 4：列举法表示集合的基本模式是什么？列举法表示集合的基本模式是什么？把集合的元素一一列举出来，并用花括号把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来，即括起来，即 知识探究（二）知识探究（二）考察下列集合：考察下列集合：（1 1）不等式）不等式 的解组成的集合；的解组成的集合；（2 2）绝对值小于）绝对值小于2 2的实数组成的集合的实数组成的集合.思考思考1 1：这两个集合能否用列举法表示？这两个集合能否用列举法表示？思考思考2 2：如何用数学式子描述上述两个集合的元素如何用数学式子描述上述两个集合的元素特征？特征？（1 1）R R，且，且 ；（2 2）R R，且，且思考思考3 3：上述两个集合可分别怎样表示？上述两个集合可分别怎样表示？（1 1）R R|；（2 2）R R|思考思考4 4：这种表示集合的方法叫什么名称？这种表示集合的方法叫什么名称？描述法描述法 思考思考5 5：描述法表示集合的基本模式是什么？描述法表示集合的基本模式是什么？元素的一般符号及取值范围元素的一般符号及取值范围|元素所具有的性质元素所具有的性质 知识探究（三）知识探究（三）思考思考1 1：与与 的含义是否相同？的含义是否相同？思考思考2 2：集合集合11，22与集合与集合（1 1，2 2）相相同吗？同吗？思考思考3:3:集合集合 的几何意的几何意义如何？义如何？xyo理论迁移理论迁移 例例1 1 用适当的方法表示下列集合：用适当的方法表示下列集合：（1 1）绝对值小于）绝对值小于3 3的所有整数组成的集合；的所有整数组成的集合；（2 2）在平面直角坐标系中以原点为圆心）在平面直角坐标系中以原点为圆心,1 ,1 为半径的圆周上的点组成的集合；为半径的圆周上的点组成的集合；（3 3）所有奇数组成的集合）所有奇数组成的集合；（4 4）由数字）由数字1 1，2 2，3 3组成的所有三位数构成的组成的所有三位数构成的集合集合.-2-2，-1-1，0 0，1 1，22或或 123123，132132，213213，231231，312312，321.321.例例2 2 用列举法表示下列集合：用列举法表示下列集合：（1 1）;（2 2）.（1 1）-1-1，1 1，2 2，4 4，5 5，77；（2 2）（0,30,3）,（1,21,2），（），（2,12,1）,（3,03,0）例例3 3 设集合设集合 ，已知已知 ，求实数，求实数 的值的值.例例4 4 已知集合已知集合A=1,2,3,B=1,2,A=1,2,3,B=1,2,设集设集合合C=,C=,试用列试用列举法表示集合举法表示集合C.C.C=-1C=-1，0 0，1 1，22 1 1或或-4-4 1.1.2 1.1.2 集合间的基本关系集合间的基本关系第一课时第一课时 子集和等集子集和等集 问题提出问题提出1.1.集合有哪两种表示方法？集合有哪两种表示方法？列举法，描述法列举法，描述法 2.2.元素与集合有哪几种关系？元素与集合有哪几种关系？属于、不属于属于、不属于 3.3.集合与集合之间又存在哪些关系？集合与集合之间又存在哪些关系？知识探究（一）知识探究（一）考察下列各组集合：考察下列各组集合：（1 1）A=1A=1，2 2，33与与B=1B=1，2 2，3 3，4 4，55；（2 2）A=A=与与B=.B=.（3 3）A=A=x|x是正三角形是正三角形 与与B=B=x|x是等腰是等腰 三角形三角形.思考思考1:1:上述各组集合中，集合上述各组集合中，集合A A中的元素与中的元素与集合集合B B有什么关系？有什么关系？A A中的元素都属于中的元素都属于B B 思考思考2:2:上述各组集合中上述各组集合中A A与与B B有包含关系，我有包含关系，我们把集合们把集合A A叫做集合叫做集合B B的子集的子集.一般地，如何一般地，如何定义集合定义集合A A是集合是集合B B的子集？的子集？对于两个集合对于两个集合A A，B B，如果集合，如果集合A A中任意中任意一个元素都是集合一个元素都是集合B B中的元素，则称集合中的元素，则称集合A A为为集合集合B B的子集的子集.思考思考3:3:如果集合如果集合A A是集合是集合B B的子集，我们怎样的子集，我们怎样用符号表示？用符号表示？（或（或 ），读作：），读作：“A“A含于含于B”B”（或（或“B“B包含包含A”A”）思考思考4:4:我们经常用平面上封闭曲线的内部代我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为表集合，这种图称为vennvenn图，那么，集合图，那么，集合A A是集合是集合B B的子集用图形如何表示？的子集用图形如何表示？AB思考思考5:5:如果如果 ，且，且 ，则集合，则集合A A与与集合集合C C的关系如何？的关系如何？思考思考6:6:怎样表述怎样表述 ，两两之间的两两之间的关系？关系？知识探究（二）知识探究（二）考察下列各组集合：考察下列各组集合：（1 1）与与 ；（2 2）与与 ；（3 3）与与 .思考思考1:1:上述各组集合中，集合上述各组集合中，集合A A与集合与集合B B之之间的关系如何？间的关系如何？相等相等 思考思考2:2:上述各组集合中，集合上述各组集合中，集合A A是集合是集合B B的子的子集吗？集合集吗？集合B B是集合是集合A A的子集吗？的子集吗？思考思考3 3：对于实数对于实数 ,如果如果 且且 ，则则 与与 的大小关系如何？的大小关系如何？思考思考4 4：从子集的关系分析，在什么条件下集从子集的关系分析，在什么条件下集合合A A与集合与集合B B相等？相等？理论迁移理论迁移例例1 1 写出满足写出满足 的所有集的所有集 合合A.A.11，2,12,1，2 2，3,1,2,4,13,1,2,4,1，2 2，3 3，4 4 例例2 2 已知集合已知集合 ，,试确定集合试确定集合A A与与B B的关系的关系.例例3 3 设集合设集合 ，,若若 ，求实数求实数 的值的值.-1-1或或0 0例例4 4设集合设集合 ，若若 ，求实数，求实数 的取值范围的取值范围.作业作业:P P7 7练习：练习：3.3.P P1212习题组：习题组：5 5（1 1）.思考题：思考题：已知集合已知集合A=1A=1，22，,若若 ，求实数，求实数 的值的值.1.1.2 1.1.2 集合间的基本关系集合间的基本关系第二课时第二课时 真子集和空集真子集和空集问题提出问题提出1.1.的含义是什么？从子集的关系分析，的含义是什么？从子集的关系分析，A=BA=B可怎样理解可怎样理解？2.2.若若 ，则集合，则集合A A与与B B一定相等吗？一定相等吗？3.3.若若 ，则可能有，则可能有A=BA=B，也可能，也可能 .当当 ，且，且 时，我们如何进行数学解释？时，我们如何进行数学解释？知识探究（一）知识探究（一）考察下列两组集合：考察下列两组集合：（1 1）集合）集合A=1A=1，2 2，3 3，44与与（2 2）集合）集合A=0A=0，1 1，2 2，3 3，44与与思考思考1:1:上述两组集合中，集合上述两组集合中，集合A A与集合与集合B B之间之间的关系如何？的关系如何？思考思考2:2:上述两组集合中，集合上述两组集合中，集合A A都是集合都是集合B B的的子集，这两个子集关系有什么不同？子集，这两个子集关系有什么不同？思考思考3:3:为了区分这两种不同的子集关系，我为了区分这两种不同的子集关系，我们把（们把（1 1）中的集合）中的集合A A叫做集合叫做集合B B的真子集，的真子集，那么如何定义集合那么如何定义集合A A是集合是集合B B的真子集？的真子集？如果如果 ，但存在元素，但存在元素 且且 ，则，则称集合称集合A A是集合是集合B B的真子集的真子集.思考思考4:4:如果集合如果集合A A是集合是集合B B的真子集，我们怎的真子集，我们怎样用符号表示？样用符号表示？思考思考5:5:若集合若集合A A是集合是集合B B的子集，则集合的子集，则集合A A一一定是集合定是集合B B的真子集吗？若集合的真子集吗？若集合A A是集合是集合B B的的真子集，则集合真子集，则集合A A一定是集合一定是集合B B的子集吗？的子集吗？知识探究（二）知识探究（二）考察下列集合：考察下列集合：（1 1）x|xx|x是边长相等的直角三角形是边长相等的直角三角形；（2 2）；（3 3）.思考思考1:1:上述三个集合有何共同特点？上述三个集合有何共同特点？集合中没有元素集合中没有元素 思考思考2:2:上述三个集合我们称之为空集，那么上述三个集合我们称之为空集，那么什么叫做空集？用什么符号表示？什么叫做空集？用什么符号表示？不含任何元素的集合叫做空集，记为不含任何元素的集合叫做空集，记为思考思考3:3:对于集合对于集合A=1A=1，22，空集是集合，空集是集合A A的的子集吗？子集吗？规定：空集是任何集合的子集规定：空集是任何集合的子集 思考思考4:4:空集与集合空集与集合00相等吗？二者之间是相等吗？二者之间是什么关系？什么关系？思考思考5:5:集合集合 a,a,b,a,b,c 分别有多少分别有多少个子集？个子集？思考思考6:6:一般地，集合一般地，集合 共有多少共有多少个子集？多少个真子集？多少个非空真子集个子集？多少个真子集？多少个非空真子集？理论迁移理论迁移 例例1 1 已知集合已知集合M M满足满足M 1M 1，2 2，33，且集合，且集合M M中至少含有一个奇数，试写出所有的集合中至少含有一个奇数，试写出所有的集合M.M.11，33，11，22，11，33，22，3 3 例例2 2 设集合设集合 ，若，若 A BA B，求实数，求实数m m的值的值.m=0m=0或或 或或-1-1 例例3 3 已知集合已知集合 ，,若若A BA B，求实数，求实数 的取值范的取值范围围.作业作业:P P7 7练习：练习：2.2.P P1212习题组：习题组：5 5（2 2）,（3 3）.思考题思考题:已知集合已知集合A=,A=,B=x|xB=x|x0,0,若若A B,A B,求实数求实数 的取值范围的取值范围.1.1.3 1.1.3 集合的基本运算集合的基本运算 第一课时第一课时 并集和交集并集和交集 问题提出问题提出1.1.对于两个集合对于两个集合A A、B B，二者之间一定具有包，二者之间一定具有包含关系吗？试举例说明含关系吗？试举例说明.2.2.两个实数可以进行加、减、乘、除四则运两个实数可以进行加、减、乘、除四则运算，那么两个集合是否也可以进行某种运算算，那么两个集合是否也可以进行某种运算呢？呢？知识探究（一）知识探究（一）考察下列两组集合：考察下列两组集合：（1 1）A=1A=1，3 3，55，B=1B=1，2 2，3 3，44，C=1 C=1，2 2，3 3，4 4，55；（2 2），.思考思考1:1:上述两组集合中，集合上述两组集合中，集合A A，B B与集合与集合C C的的关系如何？关系如何？思考思考2:2:我们把上述集合我们把上述集合C C称为集合称为集合A A与与B B的并集，的并集，一般地，如何定义集合一般地，如何定义集合A A与与B B的并集？的并集？由所有属于集合由所有属于集合A A或属于集合或属于集合B B的元素组成的元素组成的集合，称为集合的集合，称为集合A A与与B B的并集的并集思考思考3:3:我们用符号我们用符号“”“”表示集合表示集合A A与与B B的的并集，并读作并集，并读作“A“A并并B”B”，那么如何用描述法，那么如何用描述法表示集合表示集合？AB思考思考4:4:如何用如何用vennvenn图表示图表示？思考思考5:5:集合集合A A、B B与集合与集合 的关系如何？的关系如何？与与 的关系如何？的关系如何？思考思考6:6:集合集合 ，分别等于什么？分别等于什么？思考思考7:7:若若 ，则，则 等于什么？反之成等于什么？反之成立吗？立吗？思考思考8 8:若若 ，则说明什么？，则说明什么？知识探究（二）知识探究（二）考察下列两组集合：考察下列两组集合：（1 1）A=1A=1，3 3，55，B=1B=1，2 2，3 3，44，C=1C=1，33；（2 2），思考思考1:1:上述两组集合中，集合上述两组集合中，集合A A，B B与集合与集合C C的的关系如何？关系如何？思考思考2:2:我们把上述集合我们把上述集合C C称为集合称为集合A A与与B B的交集，的交集，一般地，如何定义集合一般地，如何定义集合A A与与B B的交集？的交集？由属于集合由属于集合A A且属于集合且属于集合B B的所有元素组成的所有元素组成的集合，称为集合的集合，称为集合A A与与B B的交集的交集思考思考3:3:我们用符号我们用符号“”“”表示集合表示集合A A与与B B的的交集，并读作交集，并读作“A“A交交B”B”，那么如何用描述法，那么如何用描述法表示集合表示集合？思考思考4:4:如何用如何用vennvenn图表示图表示？AB思考思考5:5:集合集合A A、B B与集合与集合 的关系如何？的关系如何？与与 的关系如何？的关系如何？思考思考6:6:集合集合 ，分别等于什么？分别等于什么？思考思考7:7:若若 ，则，则 等于什么？反之成等于什么？反之成立吗？立吗？思考思考8 8:若若 ，则说明什么？，则说明什么？集合集合A A与与B B没有公共元素或没有公共元素或理论迁移理论迁移 例例1 1 写出满足条件写出满足条件 的的所有集合所有集合M.M.33，11，33，22，33，11，2 2，33 例例2 2 已知集合已知集合 ，,若若 ，求，求-1-1，0 0，1 1 1.1.3 1.1.3 集合的基本运算集合的基本运算 第二课时第二课时 全集和补集全集和补集 问题提出问题提出2.2.对于任意两个集合，是否都可以进行交与对于任意两个集合，是否都可以进行交与 并的运算？并的运算？1.1.对于集合对于集合A A，B B，和和 的含义如何？的含义如何？3.3.两个集合之间的运算除了两个集合之间的运算除了“并并”与与“交交”以外，还有其他运算吗？以外，还有其他运算吗？集合集合 x|x是直线是直线 与集合与集合 x|x是圆是圆 的交集的交集是什么？是什么？知识探究（一）知识探究（一）思考思考1:1:方程方程 在有理数范围内在有理数范围内的解是什么？在实数范围内的解是什么？的解是什么？在实数范围内的解是什么？22思考思考2:2:不等式不等式 在实数范围内的解在实数范围内的解集是什么？在整数范围内的解集是什么？集是什么？在整数范围内的解集是什么？22，3 3，44 思考思考3:3:在不同范围内研究同一个问题，可能在不同范围内研究同一个问题，可能有不同的结果有不同的结果.我们通常把研究问题前给定的我们通常把研究问题前给定的范围所对应的集合称为全集，如范围所对应的集合称为全集，如Q Q，R R，Z Z等等.那么全集的含义如何呢？那么全集的含义如何呢？如果一个集合含有所研究问题中涉及的所如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，则称这个集合为全集，通常记作有元素，则称这个集合为全集，通常记作U U 知识探究（二）知识探究（二）考察下列各组集合：考察下列各组集合：（1 1）U=1U=1，2 2，3 3，4 4，1010，A=1A=1，3 3，5 5，7 7，99，B=2B=2，4 4，6 6，8,108,10；（2 2）U=U=x|x是师大附中是师大附中07050705班的同学班的同学，A=A=x|x是师大附中是师大附中07050705班的男同学班的男同学，B=B=x|x是师大附中是师大附中07050705班的女同学班的女同学；（3 3）U=U=，A=A=，B=.B=.思考思考1:1:在上述各组集合中，集合在上述各组集合中，集合U U，A A，B B三者三者之间有哪些关系？之间有哪些关系？思考思考2:2:在上述各组集合中，把集合在上述各组集合中，把集合U U看成全集，看成全集，我们称集合我们称集合B B为集合为集合A A相对于全集相对于全集U U的补集的补集.一一般地，集合般地，集合A A相对于全集相对于全集U U的补集是由哪些元的补集是由哪些元素组成的？素组成的？由全集由全集U U中不属于集合中不属于集合A A的所有元素组成的的所有元素组成的思考思考3:3:怎样定义怎样定义“补集补集”？用什么符号表示？用什么符号表示集合集合A A相对于全集相对于全集U U的补集？的补集？对于一个集合对于一个集合A A，由全集，由全集U U中不属于集合中不属于集合A A的所有元素组成的集合，称为集合的所有元素组成的集合，称为集合A A相对于全相对于全集集U U的补集的补集.记作记作 .思考思考4:4:如何用描述法表示集合如何用描述法表示集合A A相对于全集相对于全集U U的补集？如何用的补集？如何用vennvenn图表示图表示？AU U思考思考5:5:集合集合 ,分别等于什么？分别等于什么？思考思考6:6:若若 ，则，则 等于什么？若等于什么？若 ，则，则 与与 的关系如何？的关系如何？理论迁移理论迁移 例例1 1 设全集设全集U=U=，A=1,2,3,4A=1,2,3,4，B=3,4,5,6,7B=3,4,5,6,7，求，求 ，.=1=1，2 2，5 5，6 6，7 7，88；=3 =3，4 4，5 5，6 6，7 7，8.8.例例2 2已知全集已知全集U=RU=R，集合，集合 ，,求求 .例例3 3 设全集设全集 ，已知，已知 ,求集合求集合A A、B.B.1，6AB2，30，5U4,7