高数微积分极值与最值

高数微积分极值与最值高数微积分极值与最值实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价瓶进价1元，外地牌子每瓶进价元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的元，外地牌子的每瓶卖每瓶卖 元，则每天可卖出元，则每天可卖出 瓶本瓶本地牌子的果汁，地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？取得最大收益？每天的收益为每天的收益为求最大收益即为求二元函数的最大值求最大收益即为求二元函数的最大值.一、问题的提出一、问题的提出2二、多元函数的极值二、多元函数的极值31 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义4例例1 1例例例例52 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件证证:6仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的为函数的驻点驻点.驻点驻点极值点极值点(具有偏导数的函数具有偏导数的函数)注意：注意：7偏导数不存在的点也可能是函数的极值点。例如：不存在。也不存在，所以，与一元类似要想研究极值需找出所有驻点导数不存在的点。温馨提示：但是极大值点。问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？89对这一定理不作证明,仅介绍它的记忆之法:10解解111213实例：实例：小王有小王有200元钱，他决定用来购买两元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买购买 张磁盘，张磁盘，盒录音磁带达到最佳效果，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为效果函数为 设每张磁设每张磁盘盘8元，每盒磁带元，每盒磁带10元，问他如何分配这元，问他如何分配这200元以达到最佳效果元以达到最佳效果问题的实质：求问题的实质：求 在条在条件件 下的极值点下的极值点三、条件极值、拉格朗日乘数法三、条件极值、拉格朗日乘数法14条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值对自变量有附加条件的极值解决办法：解决办法：（1 1）化为无条件极值（用）化为无条件极值（用代入法代入法）（2 2）直接求极值。（）直接求极值。（拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法）无条件极值无条件极值：对自变量除了限制在定义域对自变量除了限制在定义域内以外，内以外，并无其他条件并无其他条件.15 一些较简单的条件极值问题可以把它转化为一些较简单的条件极值问题可以把它转化为无条件极值来求解无条件极值来求解降元法，但这种方法需要降元法，但这种方法需要经过解方程和代入的手续，对于较复杂的方程就经过解方程和代入的手续，对于较复杂的方程就不容易作到，有时甚至是不可能的不容易作到，有时甚至是不可能的解决条件极值问题的一般方法是解决条件极值问题的一般方法是Lagrange乘数法乘数法升元法升元法求求 z=f(x,y)其几何意义是其几何意义是其中点其中点(x,y)在曲线在曲线 L 上上16假定点假定点P(x0,y0)为条件极值点为条件极值点在在(x0,y0)的某个邻域内的某个邻域内 且不同时为且不同时为0f(x,y)可微可微确定了一个隐函数确定了一个隐函数y=y(x)故故 z=f x,y(x)在在P(x0,y0)处取得极值处取得极值故故即即又由隐函数的微分法知又由隐函数的微分法知17代入上式代入上式令令得得P(x0,y0)为条件极值点的必要条件为为条件极值点的必要条件为1819xyzoz=f(x,y)LM无条件极值点无条件极值点.P条件极值点条件极值点.2021例例5求内接于椭球求内接于椭球 的最大长方体的体积的最大长方体的体积,长方体的各面平行于坐标面长方体的各面平行于坐标面解一解一 设内接于椭球且各面平行于坐标面的长方体在第设内接于椭球且各面平行于坐标面的长方体在第一卦限的顶点的坐标为一卦限的顶点的坐标为(x,y,z)则长方体的体积为则长方体的体积为V=8xyz令令22解得解得或或两式相除两式相除同理同理即即代入解得代入解得三式分别乘以三式分别乘以x,y,z后相加得后相加得23解二解二任意固定任意固定 z0 (0 z0 0且且u 在在D上连续，故必存在上连续，故必存在 最大值，且一定在最大值，且一定在D内取得内取得另一方面另一方面由于由于 u 和和 lnu 在在D内有相同的极值点内有相同的极值点故问题转化为求故问题转化为求lnu 在条件在条件 x+y+z=m 下的极值。下的极值。27令令则则与与 x+y+z=m 联立解得联立解得28注注:拉格朗日函数分别对各自变量及拉格朗日乘数拉格朗日函数分别对各自变量及拉格朗日乘数 求偏导数，并令其为零。求偏导数，并令其为零。29有界闭区域上连续函数有界闭区域上连续函数求最值的一般方法：求最值的一般方法：将函数在将函数在D D内的所有驻点和不可导点处的函数内的所有驻点和不可导点处的函数值及在值及在D D的边界上的最大值和最小值相互比较，其的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值中最大者即为最大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函数的与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值极值来求函数的最大值和最小值.四、多元函数的最值四、多元函数的最值、30求最值步骤：求最值步骤：1、求、求D内内驻点和不可导点驻点和不可导点。2、求、求边界上的条件极值点边界上的条件极值点 （用代入法或拉格朗日乘数法）（用代入法或拉格朗日乘数法）3、求边界的边界上的最值疑点。、求边界的边界上的最值疑点。4、计算这些点的函数值，、计算这些点的函数值，比较大小比较大小，最大的为最大值，最小的为最小值。最大的为最大值，最小的为最小值。31解解如图如图,3233解解 由由343536注：注：要求函数在要求函数在D D上的最大值和最小值往往上的最大值和最小值往往 相当复杂，在通常遇到的实际问题中，相当复杂，在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，可以判断出该函如果根据问题的性质，可以判断出该函 数的最值一定在数的最值一定在D D的内部取得，而函数的内部取得，而函数 在在D D内又只有一个驻点，可判定该点即内又只有一个驻点，可判定该点即 为所求最值点。为所求最值点。37解解则则38解解394041可得可得即即42多元函数的极值多元函数的极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值多元函数的最值小结小结43思考题思考题44思考题解答思考题解答45选择题选择题已知函数已知函数f(x,y)在点在点(0,0)的某个邻域内连续的某个邻域内连续,则则(A)点点(0,0)不是不是f(x,y)的极值点的极值点.(B)点点(0,0)是是f(x,y)的极大值点的极大值点.(C)点点(0,0)是是f(x,y)的极小值点的极小值点.(D)根据所给条件无法判断点根据所给条件无法判断点(0,0)是否为是否为f(x,y)的极值点的极值点.练习：46在（0，0）的任何邻域内都有大于0和小于0的点，所以不是极值点47解解(1)求函数求函数在在D内内的驻点的驻点 由于由于所以函数在所以函数在D内无极值内无极值.(2)求函数在求函数在 D边界上的最值边界上的最值(现现最值只能在边界上最值只能在边界上)围成的三角形闭域围成的三角形闭域D上的上的最大最大(小小)值值.例例D48在边界线在边界线在边界线在边界线由于由于最小最小,由于由于又在端点又在端点(1,0)处处,所以所以,最大最大.有驻点有驻点函数值函数值有有单调上升单调上升.D49在边界线在边界线所以所以,最值在端点处最值在端点处.由于由于 函数单调下降函数单调下降,(3)比较比较D50解解此时此时的最大值与最小值的最大值与最小值.驻点驻点得得（一元函数求最值要考虑端点。）（一元函数求最值要考虑端点。）例：例：51解解例例 已知长方体长宽高的和为已知长方体长宽高的和为18,问长、宽、高问长、宽、高各取什么值时长方体的体积最大？各取什么值时长方体的体积最大？设长方体的长、宽、高分别为设长方体的长、宽、高分别为由题意由题意长方体的体积为长方体的体积为且长方体体积且长方体体积一定有最大值一定有最大值,体体积最大体体积最大.故当的长、宽、高都为故当的长、宽、高都为6时长方时长方由于由于V在在D内只有一个驻点内只有一个驻点,52解解为简化计算为简化计算,令令是曲面上的点是曲面上的点,它与已知点的距离为它与已知点的距离为问题化为在问题化为在下求下求的最小值的最小值.目标函数目标函数约束条件约束条件例：例：53设设(1)(2)(3)(4)54由于问题确实存在最小值，由于问题确实存在最小值，故故得得唯一驻点唯一驻点还有别的简单方法吗还有别的简单方法吗用几何法用几何法!55解解 为此作为此作拉格朗日乘函数拉格朗日乘函数:上的最大值与最小值上的最大值与最小值.在在圆内圆内的可能的极值点的可能的极值点;在在圆上圆上的最大、最小值的最大、最小值.56最大值为最大值为最小值为最小值为57 设有一小山设有一小山,取它的底面所在的平面为取它的底面所在的平面为xOy坐标坐标面面,其底部所占的区域为其底部所占的区域为 小山的高度函数为小山的高度函数为 (1)设设M(x0,y0)为区域为区域D上一点上一点,问问h(x,y)在该点在该点沿平面上什么方向的方向导数最大沿平面上什么方向的方向导数最大?若记此方向导数若记此方向导数的最大值为的最大值为g(x0,y0),试写出试写出g(x0,y0)的表达式的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点.是说是说,要在要在D的边界线的边界线上找出使上找出使(1)中中的的g(x,y)达到最大值的点达到最大值的点.试确定攀岩起点的位置试确定攀岩起点的位置.也就也就58解解(1)由梯度的几何意义知由梯度的几何意义知,方向的方向导数最大方向的方向导数最大,h(x,y)在点在点M(x0,y0)处沿梯度处沿梯度方向导数的最大值为该方向导数的最大值为该梯度的模梯度的模,所以所以(2)令令由题意由题意,只需求只需求在约束条件在约束条件下的最大值点下的最大值点.令令59则则(1)(2)(3)(1)+(2):从而得从而得由由(1)得得再由再由(3)得得由由(3)得得于是得到于是得到4个可能的极大值点个可能的极大值点可作为攀登的起点可作为攀登的起点.60或由（或由（1）得）得由（由（2）得）得两式相比：再化简得：两式相比：再化简得：61