随机变量及其分布-所有知识点集合

随机变量及其分布随机变量及其分布-所有所有知识点集合知识点集合n基本思想基本思想将将样本空间数量化样本空间数量化,即用数值来表示试验的结果即用数值来表示试验的结果n 有些随机试验的结果可直接用数值来表示有些随机试验的结果可直接用数值来表示.例如例如:在掷骰子试验中在掷骰子试验中,结果可用结果可用1,2,3,4,5,6来表示来表示 例如例如:掷硬币试验掷硬币试验,其结果是用汉字其结果是用汉字“正面正面”和和“反面反面”来表示来表示的的可规定可规定:用用 1表示表示“正面朝上正面朝上”用用 0 表示表示“反面朝上反面朝上”n 有些随机试验的结果不是用数量来表示，但可数量化有些随机试验的结果不是用数量来表示，但可数量化4.1随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数一、随机变量一、随机变量n随机变量的定义随机变量的定义设随机试验的样本空间为设随机试验的样本空间为，如果对于每一，如果对于每一个样本点个样本点 ，均有，均有唯一唯一的的实数实数 与与之对应，称之对应，称 为样本空间为样本空间上上的随机变量。的随机变量。例例1从装有三个白球（记为从装有三个白球（记为1,2，3号）与两个黑球号）与两个黑球（记为（记为4,5号）的袋中任取两个球，设随机变量号）的袋中任取两个球，设随机变量X表示表示取出的两个球中白球的个数。在以下两种情形下，取出的两个球中白球的个数。在以下两种情形下，X是如何表示的？是如何表示的？（1 1）观察取出的两个球的颜色）观察取出的两个球的颜色 （2 2）观察取出的两个球的号码。）观察取出的两个球的号码。解解 (1)(1)试验的样本点和基本事件试验的样本点和基本事件取出两个白球取出两个黑球取出一个白球与一个黑球12345取出第i号球与第j号球（i,j）(2)(2)试验的样本点和基本事件试验的样本点和基本事件n用随机变量表示事件用随机变量表示事件 如在掷骰子试验中，用如在掷骰子试验中，用X X表示出现的点数表示出现的点数,则则 A=“A=“出现偶数点出现偶数点”可表示为：可表示为：X=2X=2 X=4X=4 X=6X=6 B=“B=“出现的点数小于出现的点数小于”可表示为：可表示为：X 4X 4 或或XX 3 3 P(A)=P(X=2 X=4 X=6)P(B)=P(X 4)=P(X 3)也可以是也可以是等式或是不等式等式或是不等式。=P(X=2)+P(X=4)+P(X=6)引入随机变量。随机事件由：样本点的集合随机变量的取值区间随机变量的取值区间概率的确定概率的确定函数的计算函数的计算这个函数就是随机变量这个函数就是随机变量的的概率分布函数概率分布函数随机变量随机变量样本点样本点纯数学计算纯数学计算概率概率事件事件区间区间/数集数集二、随机变量的分布函数二、随机变量的分布函数 设设X X为一随机变量为一随机变量,则对任意实数则对任意实数x，Xx 是一个随机事件，称是一个随机事件，称为为随机变量随机变量随机变量随机变量X X X X的的的的分布函数分布函数定义域定义域为为（，）；）；值域值域为为，。，。F(x)F(x)是一个是一个普通的函数普通的函数！Distribution Functionn分布函数的定义分布函数的定义分布函数的性质分布函数的性质n单调不减性单调不减性n非负有界性非负有界性 0 F(x)1 0 F(x)1 不可能事件不可能事件必然事件必然事件n右连续性右连续性反之，具有上述反之，具有上述四四个性质的实函数，必是某个随机变量的个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该分布函数。故该四四个性质是分布函数的个性质是分布函数的充分必要性质充分必要性质。n规范性规范性能否作为某一随机变量的分布函数能否作为某一随机变量的分布函数？不是不是因为因为函数函数可作为分布函数可作为分布函数例例2设一袋中，依次有标着设一袋中，依次有标着1、2、2、2、3、3数字的数字的6个球，个球，从中任取一球，令从中任取一球，令X表示所取球上的数字，求表示所取球上的数字，求X的分布函数。的分布函数。解解X可能取的值为可能取的值为1,2，3，且，且当当x-1时，时，Xx是一个不可能事件，故是一个不可能事件，故当当-1 x2时，时，X x=X=1，故故当当2 x3时，时，X x=X=1X=2，故故当当3 x时，时，Xx是一个必然事件，故是一个必然事件，故即，即，X的分布函数为的分布函数为 引进分布函数引进分布函数引进分布函数引进分布函数F(x)F(x)F(x)F(x)后，事件的概率都可以用后，事件的概率都可以用后，事件的概率都可以用后，事件的概率都可以用F(x)F(x)F(x)F(x)的函数值来表示。的函数值来表示。的函数值来表示。的函数值来表示。分布函数表示事件的概率分布函数表示事件的概率nP(Xb)=F(b)nP(aa)=1 P(Xa)=1-F(a)nP(Xb)nP(Xb)n P(Xb)=F(b-0)=1-F(b-0)=F(b)F(b-0)4.2 离散型随机变量离散型随机变量 称此式为称此式为X X的的分布律（列）分布律（列）或或概率分布概率分布（Probability distribution)设离散型随机变量设离散型随机变量 的所有可能取值是的所有可能取值是 ，而取值，而取值 的概率为的概率为即即一、离散型随机变量的分布律一、离散型随机变量的分布律随机变量随机变量X X的概率分布的概率分布全面表达了全面表达了X X的所有可能取的所有可能取值以及取各个值的概率情况值以及取各个值的概率情况 p1，p2 ，p K P x1，x2，xk，X离散随机变量分布律的表格表示法离散随机变量分布律的表格表示法n 公式法公式法n 表格法表格法性质性质例例3 设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律为的分布律为 P（X=xi）=pi i=1、2、其中其中 0 p 1，求，求 p 值。值。解：解：P461例例4 设袋中有设袋中有5个球，编号分别为个球，编号分别为 1、2、5，从中同时取出，从中同时取出3个球，以个球，以X表示取出球的最小号码，求表示取出球的最小号码，求X的分布律与分布函数。的分布律与分布函数。解：解：X的所有可能取值为的所有可能取值为1,2，3，且由古典概率公式可得，且由古典概率公式可得即即X的分布律为的分布律为 X 1 2 3 P（X=xi）0.6 0.3 0.1 故，故，X的分布函数的分布函数一般地，对离散型随机变量一般地，对离散型随机变量 XP（X=xk）pk,k1,2,其分布函数为其分布函数为 例例2中，得到中，得到X的分布律为的分布律为求求 取得的球上的数字是非负的概率取得的球上的数字是非负的概率P(0X)=P(X=2)+P(X=3)n分布律确定事件的概率分布律确定事件的概率例例5 5取得的球上的数字是非负的取得的球上的数字是非负的X0X=2X=3=1/2+1/3=5/6二、二、几种常见的离散型分布几种常见的离散型分布n0-1分布分布(二点分布二点分布)1p p P 0 1 X 则称则称X X服从服从参数为参数为p 的二点分布或的二点分布或(0-1)(0-1)分布分布,背景背景：样本空间可划分为样本空间可划分为两种结果两种结果的情况都可以的情况都可以用两点分布来描述。用两点分布来描述。如：上抛一枚硬币。如：上抛一枚硬币。定义：定义：定义：定义：若随机变量若随机变量X X的分布律为的分布律为:其中其中0 0 p 1,0,则称则称X服从参数为服从参数为 的的泊松分布泊松分布XP()服务台在某时间段内接待的服务次数服务台在某时间段内接待的服务次数X X；候车的旅客数候车的旅客数Y;Y;矿井在某段时间发生事故的次数矿井在某段时间发生事故的次数;显微镜下相同大小的方格内微生物的数目；显微镜下相同大小的方格内微生物的数目；单位体积空气中含有某种微粒的数目单位体积空气中含有某种微粒的数目 体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏分布，都可以看作泊松分布,其参数 可以由观测值的平均值求出。n 举例举例例例10在一个放射性物质的试验中，共观察了在一个放射性物质的试验中，共观察了N=2608次，每次次，每次观察的时间为观察的时间为7.5秒，并记录到达指定区域内的质点数。秒，并记录到达指定区域内的质点数。放射粒子数放射粒子数i观察次数观察次数Ni频率频率fi概率概率pi012345678910572033835255324082731394527160.02190.07780.14690.20130.20400.15640.10470.05330.01720.01040.00610.02090.08070.15620.20150.19490.15090.09730.05380.02600.01120.0066总计总计260811观察到有i个质点的次数为Ni,则 表示有i个质点的频率，而pi=P(i;3.870)表示参数为 的概率 例例11设每分钟通过某交通道口的汽车流量设每分钟通过某交通道口的汽车流量X服从泊松分布，服从泊松分布，且已知在一分钟内无汽车通过与恰有一辆汽车通过的概率相等，且已知在一分钟内无汽车通过与恰有一辆汽车通过的概率相等，求一分钟内至少有两辆汽车通过的概率。求一分钟内至少有两辆汽车通过的概率。解解：设：设 XP（），），由由 P（X=0）=P（X=1），知），知 故有故有 =1，因此所求概率为因此所求概率为 P（X2）=1P（X=0）P（X=1）泊松定理泊松定理泊松定理泊松定理 实际应用中实际应用中：当当n n较大较大,p,p较小，较小，npnp适中时，即适中时，即可用泊松公式近似替换二项概率公式可用泊松公式近似替换二项概率公式二项分布的泊松近似二项分布的泊松近似The Poisson Approximation to the Binomial Distributionn几何分布几何分布若随机变量若随机变量X的分布律为的分布律为则称则称X服从服从几何分布几何分布。P(X=k)=其中p+q=1,0p1 例例12在一个贝努里试验中，每次试验成功的概率为在一个贝努里试验中，每次试验成功的概率为p，失，失败的概率为败的概率为q=1-p(0p1),设试验进行到第设试验进行到第X次才出现成功，求次才出现成功，求X的分布律。的分布律。X的取值为的取值为1,2，且相应的概率为，且相应的概率为 P47114.3 连续随机变量连续随机变量n 定义定义 设设X为一随机变量，分布函数为为一随机变量，分布函数为F(x),若存若存在非负实函数在非负实函数 f(x),使对任意实数使对任意实数 x，有，有则称则称X为连续型随机变量，为连续型随机变量，f(x)称为称为X 的的概率密概率密度函数度函数,简称简称概率密度或密度函数概率密度或密度函数.Probability density function p.d.f.一、概率密度函数的定义一、概率密度函数的定义二、概率密度函数的性质二、概率密度函数的性质1 1、非负性、非负性2 2、规范性、规范性可以根据这两个性质来判断一个函数是不是某个可以根据这两个性质来判断一个函数是不是某个连续型随机变量的密度函数。连续型随机变量的密度函数。3 3、密度函数在区间上的积分密度函数在区间上的积分 =随机变量在区间上取值的概率随机变量在区间上取值的概率4 4、密度函数和分布函数的关系、密度函数和分布函数的关系积分关系积分关系导数关系导数关系概率密度概率密度f(x)不是随机变量不是随机变量X取值取值x的概率的概率,而是而是X在点在点x的概率的概率分布的密集程度分布的密集程度,f(x)的大小能反映出的大小能反映出X取取x的附近的值的概率的附近的值的概率大小大小.连续型随机变量的分布函数在实数域内处处连续连续型随机变量的分布函数在实数域内处处连续P（X=a）=0P(a X b)=P(aX b)=P(a X b)=P(aX2).解解：X的密度函数的密度函数P(X1)F（1）P(X2)1P(X2)1F（2）例例14设连续型随机变量设连续型随机变量X的密度函数为的密度函数为 求：求：1、c 的值；的值；2、F(x)；3、P（1X1）。解：解：1、因为因为t022、t02积分区域：积分区域：（,x xtt02xxxt02t02（1）（2）（3）3、P（1X1）F（1）F（1）1/8.或利用密度函数求概率：或利用密度函数求概率：P（1X1）1、均匀分布、均匀分布若连续型随机变量若连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为则称则称X在区间在区间（a，b）上服从均匀分布记为）上服从均匀分布记为 X U(a,b)n定义定义n分布函数分布函数三、三、几种常用的连续型分布几种常用的连续型分布 0 a bx X“等可能等可能”地取区间（地取区间（a,b）中的值，这里的）中的值，这里的“等可等可能能”理解为：理解为：X落在区间（落在区间（a,b)中任意等长度的子区间内的中任意等长度的子区间内的可能性是相同的。或者说可能性是相同的。或者说它落在子区间内的概率只依赖于它落在子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关子区间的长度而与子区间的位置无关。0 a bx（）c d n意义意义例例1515102102电车每电车每5 5分钟发一班，在任一时刻分钟发一班，在任一时刻 某一乘某一乘客到了车站。求乘客候车时间不超过客到了车站。求乘客候车时间不超过2 2分钟的概率。分钟的概率。解：解：设随机变量设随机变量X为候车时间，则为候车时间，则X服从（服从（0，5）上的均匀）上的均匀分布，即分布，即X XU U（0 0，5 5），），则则X的密度函数的密度函数故所求概率为故所求概率为例例1616设设K在在-1-1，55上服从均匀分布，求方程上服从均匀分布，求方程有实根的概率。有实根的概率。解解：方程有实数根：方程有实数根 即即 而而 的密度函数为的密度函数为 故所求概率为故所求概率为 2 2、指数分布、指数分布若连续型随机变量若连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为n定义定义n分布函数分布函数则称则称X X服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布.例例14 设打一次电话所用时间设打一次电话所用时间XE（0.2），（单位：分），若），（单位：分），若刚好有人先你进入公用电话亭（只有一台电话），求刚好有人先你进入公用电话亭（只有一台电话），求:（1）你等待时间超过）你等待时间超过5分钟的概率，分钟的概率，（2）你等待时间在）你等待时间在5分钟到分钟到10分钟的概率。分钟的概率。解解：因为：因为 XE（0.2），故其密度函数为），故其密度函数为 故所求概率分别为故所求概率分别为 (1)P（X5）=(2)P（5X10）=3 3、正态分布、正态分布n若随机变量若随机变量X的密度函数为的密度函数为则称则称X服从参数为服从参数为，的正态分布。的正态分布。记为记为n分布函数为分布函数为(1)单峰对称单峰对称 密度曲线关于直线密度曲线关于直线x=对称对称；(p43)(2)f()maxf(x)n正态分布的几个特性正态分布的几个特性：(3)的大小直接影响概率的分布的大小直接影响概率的分布 越大，曲线越平坦越大，曲线越平坦，越小，曲线越陡峻越小，曲线越陡峻，。，。正态分布也称为高斯正态分布也称为高斯(Gauss)分布分布n标准正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布性质性质密度函数密度函数分布函数分布函数当当b0时，时，的值可由表查得的值可由表查得例例1515，求，求P（X1.5），），P（X1.68）解解定理：定理：若若，对，对X进行标准化，得进行标准化，得则则而标准正态分布的分布函数的函数值可以查表求得。而标准正态分布的分布函数的函数值可以查表求得。例例1616解解解解例例1717设设内的概率，这里内的概率，这里k=1,2,3,求求X落在区间（落在区间（k,+k）特别地，当特别地，当k=3时，时，本题结果称为本题结果称为3 3 原则原则.在工程应用中，在工程应用中，通常认为通常认为 ，忽略，忽略 的值的值.如在质量控制中，常用标准指标值如在质量控制中，常用标准指标值33 作两条线，当生产过作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报程的指标观察值落在两线之外时发出警报.表明生产出现异常表明生产出现异常.例例18 18 将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器整定在器整定在d，液体温度，液体温度X(以以计计)是一个随机变量，且是一个随机变量，且XN(d d,0.5,0.52 2),(1),(1)若若d=90=90，求，求X小于小于8989的概率。的概率。(2)(2)若要求保持液若要求保持液体的温度至少为体的温度至少为8080的概率不低于的概率不低于0.99010.9901，问，问d至少为多少？至少为多少？解解(1)所求概率为所求概率为(2)由题意可得由题意可得d81.165则称则称 为为标准正态分布的标准正态分布的上上分位点分位点。几个常用的几个常用的 的值：的值：0.001 0.005 0.01 0.025 0.05 0.103.090 2.576 2.327 1.960 1.645 1.2821、设、设,且且则必有则必有()A2006二二(14)2、设、设对给定的对给定的数数 满足满足则则x等于（等于（）C2004二（二（13）3、设、设且二次方程且二次方程无实根的概率为无实根的概率为0.5,则则 =2002一（）一（）结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！58