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湖南长郡卫星远程学校2013年下学期制作 06曲线与方程曲线与方程湖南长郡卫星远程学校2013年下学期制作 06研读教材研读教材P34-P36湖南长郡卫星远程学校2013年下学期制作 06研读教材研读教材P34-P36(1)“曲线的方程曲线的方程”、“方程的曲线方程的曲线”是如何定义的？结合例是如何定义的？结合例1谈一谈你的理解。谈一谈你的理解。(2)类比直线与圆的方程，通过阅读例类比直线与圆的方程，通过阅读例2归纳求曲线方程的一般步骤归纳求曲线方程的一般步骤,并请分析每步并请分析每步的作用；的作用；(3)通过上述学习，想一想解析几何问通过上述学习，想一想解析几何问题的一般研究方法是什么题的一般研究方法是什么?湖南长郡卫星远程学校2013年下学期制作 06 方程的曲线、曲线的方程方程的曲线、曲线的方程 在平面直角坐标系中，如果某曲线在平面直角坐标系中，如果某曲线C（看（看作满足某种条件的点的集合或轨迹）上的点与作满足某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是曲线上点的坐标都是_；(2)以这个方程的解为坐标的点都在以这个方程的解为坐标的点都在_，那么，这条曲线叫作方程的曲线，那么，这条曲线叫作方程的曲线，这个方程叫作曲线的方程这个方程叫作曲线的方程湖南长郡卫星远程学校2013年下学期制作 06 方程的曲线、曲线的方程方程的曲线、曲线的方程 在平面直角坐标系中，如果某曲线在平面直角坐标系中，如果某曲线C（看（看作满足某种条件的点的集合或轨迹）上的点与作满足某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是曲线上点的坐标都是_；(2)以这个方程的解为坐标的点都在以这个方程的解为坐标的点都在_，那么，这条曲线叫作方程的曲线，那么，这条曲线叫作方程的曲线，这个方程叫作曲线的方程这个方程叫作曲线的方程这个方程的解这个方程的解曲线上曲线上湖南长郡卫星远程学校2013年下学期制作 06题型一题型一 曲线与方程的概念的理解曲线与方程的概念的理解【例例1】若命题若命题“曲线曲线C上的点的坐标都上的点的坐标都是方程是方程f(x，y)0的解的解”是正确的，则下列命是正确的，则下列命题为真命题的是题为真命题的是()A不是曲线不是曲线C上的点的坐标，一定不满上的点的坐标，一定不满足方程足方程f(x，y)0B坐标满足方程坐标满足方程f(x，y)0的点均在曲的点均在曲线线C上上C曲线曲线C是方程是方程f(x，y)0的曲线的曲线D不是方程不是方程f(x，y)0的解，一定不是的解，一定不是曲线曲线C上的点上的点湖南长郡卫星远程学校2013年下学期制作 06 判断方程是否是曲线的方程，要从判断方程是否是曲线的方程，要从两方面考虑，一是检验点的坐标是否都两方面考虑，一是检验点的坐标是否都适合方程，二是检验以方程的解为坐标适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上的点是否都在曲线上归纳归纳升华升华领悟领悟湖南长郡卫星远程学校2013年下学期制作 06判断下列结论的正误，并说明理由。判断下列结论的正误，并说明理由。(1)过点过点A(3,0)且垂直于且垂直于x轴的直线的方程为轴的直线的方程为x=0；(2)到到x轴距离为轴距离为2的点的轨迹方程为的点的轨迹方程为y=2；(3)到两坐标轴的距离的乘积等于到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹的点的轨迹 方程为方程为xy=1；(4)ABC的顶点的顶点A(0，3)，B(1,0)，C(1,0)，D为为BC中点，则中线中点，则中线AD的方程为的方程为x=0.【练习练习1】湖南长郡卫星远程学校2013年下学期制作 06【例例2】题型二题型二 由方程确定曲线由方程确定曲线湖南长郡卫星远程学校2013年下学期制作 06曲线的方程是曲线的代数体现，判曲线的方程是曲线的代数体现，判断方程表示什么曲线，可根据方程的特断方程表示什么曲线，可根据方程的特点利用配方、因式分解等方法对已知方点利用配方、因式分解等方法对已知方程变形，转化为我们熟知的曲线方程，程变形，转化为我们熟知的曲线方程，在变形时，应保证变形过程的等价性在变形时，应保证变形过程的等价性点拨点拨湖南长郡卫星远程学校2013年下学期制作 06【练习练习2】方程方程|x|y|1表示的曲线是表示的曲线是()湖南长郡卫星远程学校2013年下学期制作 06(1)根据已知条件，求出表示根据已知条件，求出表示_；(2)通过曲线的方程，研究曲线通过曲线的方程，研究曲线的的_1.解析几何研究的主要问题解析几何研究的主要问题湖南长郡卫星远程学校2013年下学期制作 06(1)根据已知条件，求出表示根据已知条件，求出表示_；(2)通过曲线的方程，研究曲线通过曲线的方程，研究曲线的的_曲线的方程曲线的方程1.解析几何研究的主要问题解析几何研究的主要问题湖南长郡卫星远程学校2013年下学期制作 06(1)根据已知条件，求出表示根据已知条件，求出表示_；(2)通过曲线的方程，研究曲线通过曲线的方程，研究曲线的的_曲线的方程曲线的方程性质性质1.解析几何研究的主要问题解析几何研究的主要问题湖南长郡卫星远程学校2013年下学期制作 06(1)建立适当的坐标系，用有序实数对建立适当的坐标系，用有序实数对_表示表示 曲线上任意一点曲线上任意一点M的坐标；的坐标；(2)写出适合条件写出适合条件p的点的点M的集合的集合P=_；(3)用用_表示条件表示条件p(M)，列出方程，列出方程_；(4)化方程化方程f(x，y)0为最简形式；为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上想一想：求曲线方程的步骤是否可以省略？想一想：求曲线方程的步骤是否可以省略？2.求曲线方程的一般步骤求曲线方程的一般步骤湖南长郡卫星远程学校2013年下学期制作 06(x，y)(1)建立适当的坐标系，用有序实数对建立适当的坐标系，用有序实数对_表示表示 曲线上任意一点曲线上任意一点M的坐标；的坐标；(2)写出适合条件写出适合条件p的点的点M的集合的集合P=_；(3)用用_表示条件表示条件p(M)，列出方程，列出方程_；(4)化方程化方程f(x，y)0为最简形式；为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上想一想：求曲线方程的步骤是否可以省略？想一想：求曲线方程的步骤是否可以省略？2.求曲线方程的一般步骤求曲线方程的一般步骤湖南长郡卫星远程学校2013年下学期制作 06(x，y)M|p(M)(1)建立适当的坐标系，用有序实数对建立适当的坐标系，用有序实数对_表示表示 曲线上任意一点曲线上任意一点M的坐标；的坐标；(2)写出适合条件写出适合条件p的点的点M的集合的集合P=_；(3)用用_表示条件表示条件p(M)，列出方程，列出方程_；(4)化方程化方程f(x，y)0为最简形式；为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上想一想：求曲线方程的步骤是否可以省略？想一想：求曲线方程的步骤是否可以省略？2.求曲线方程的一般步骤求曲线方程的一般步骤湖南长郡卫星远程学校2013年下学期制作 06(x，y)M|p(M)坐标坐标(1)建立适当的坐标系，用有序实数对建立适当的坐标系，用有序实数对_表示表示 曲线上任意一点曲线上任意一点M的坐标；的坐标；(2)写出适合条件写出适合条件p的点的点M的集合的集合P=_；(3)用用_表示条件表示条件p(M)，列出方程，列出方程_；(4)化方程化方程f(x，y)0为最简形式；为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上想一想：求曲线方程的步骤是否可以省略？想一想：求曲线方程的步骤是否可以省略？2.求曲线方程的一般步骤求曲线方程的一般步骤湖南长郡卫星远程学校2013年下学期制作 06(x，y)M|p(M)f(x，y)=0坐标坐标(1)建立适当的坐标系，用有序实数对建立适当的坐标系，用有序实数对_表示表示 曲线上任意一点曲线上任意一点M的坐标；的坐标；(2)写出适合条件写出适合条件p的点的点M的集合的集合P=_；(3)用用_表示条件表示条件p(M)，列出方程，列出方程_；(4)化方程化方程f(x，y)0为最简形式；为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上想一想：求曲线方程的步骤是否可以省略？想一想：求曲线方程的步骤是否可以省略？2.求曲线方程的一般步骤求曲线方程的一般步骤湖南长郡卫星远程学校2013年下学期制作 06(x，y)M|p(M)f(x，y)=0坐标坐标(1)建立适当的坐标系，用有序实数对建立适当的坐标系，用有序实数对_表示表示 曲线上任意一点曲线上任意一点M的坐标；的坐标；(2)写出适合条件写出适合条件p的点的点M的集合的集合P=_；(3)用用_表示条件表示条件p(M)，列出方程，列出方程_；(4)化方程化方程f(x，y)0为最简形式；为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上想一想：求曲线方程的步骤是否可以省略？想一想：求曲线方程的步骤是否可以省略？提示提示 可以。如果化简前后方程的解集是相同可以。如果化简前后方程的解集是相同的，可以省略步骤的，可以省略步骤“结论结论”，如有特殊情况，可以，如有特殊情况，可以适当说明，也可以根据情况省略步骤适当说明，也可以根据情况省略步骤“写集合写集合”，直接列出曲线方程。直接列出曲线方程。2.求曲线方程的一般步骤求曲线方程的一般步骤湖南长郡卫星远程学校2013年下学期制作 06题型一题型一 直接法求曲线方程直接法求曲线方程小专题：小专题：求曲线方程求曲线方程【例例1】已知已知 一条直线一条直线l和它上方的一和它上方的一个点个点F，点，点F到到l的距离是的距离是2。一条曲线也在。一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到的上方，它上面的每一点到F的距离减去到的距离减去到l的距离的差都是的距离的差都是2，求这条曲线的方程。，求这条曲线的方程。湖南长郡卫星远程学校2013年下学期制作 06【变式变式1】设两定点设两定点A，B距离为距离为8，求到，求到A，B两点距离的平方和是两点距离的平方和是50的动点的轨迹方程的动点的轨迹方程湖南长郡卫星远程学校2013年下学期制作 06解：解：以以A，B两点连线两点连线为为x轴，轴，A为坐标原点建立为坐标原点建立直角坐标系，如图所示，直角坐标系，如图所示，则则A(0，0)，B(8，0)设曲设曲线上的动点线上的动点P(x，y)xyBF(x,y)O(A)湖南长郡卫星远程学校2013年下学期制作 06直接法是求轨迹方程的最基本的方法，直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件根据所满足的几何条件，将几何条件M|p(M)直接翻译成直接翻译成x，y的形式的形式F(x，y)=0，然后进行等价变换，化简为然后进行等价变换，化简为f(x，y)=0.要注意要注意轨迹上的点不能含有杂点，也不能少点，也轨迹上的点不能含有杂点，也不能少点，也就是说曲线上的点一个也不能多，一个也不就是说曲线上的点一个也不能多，一个也不能少。能少。规律方法规律方法湖南长郡卫星远程学校2013年下学期制作 06题型二题型二 定义法求曲线方程定义法求曲线方程 【例例2】已知定长为已知定长为6的线段，其端的线段，其端点点A、B分别在分别在x轴、轴、y轴上移动，线段轴上移动，线段AB的中点为的中点为M，求，求M点的轨迹方程点的轨迹方程湖南长郡卫星远程学校2013年下学期制作 06解：解：作出图象如图作出图象如图所示，根据直角三角形所示，根据直角三角形的性质可知的性质可知OAMyBx所以所以M的轨迹为以原点的轨迹为以原点O为圆心，以为圆心，以3为为半径的圆，故半径的圆，故M点的轨迹方程为点的轨迹方程为x2y29.湖南长郡卫星远程学校2013年下学期制作 06如果动点的轨迹满足某种已知曲线如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义结合条件写出动的定义，则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程。利用定义法求轨迹要善点的轨迹方程。利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义特征。于抓住曲线的定义特征。规律方法规律方法湖南长郡卫星远程学校2013年下学期制作 06题型三题型三 代入法求曲线方程代入法求曲线方程【例例3】已知动点已知动点M在曲线在曲线x2y2=1上移动，上移动，M和定点和定点B(3，0)连线的中点为连线的中点为P，P点的轨迹方程。点的轨迹方程。湖南长郡卫星远程学校2013年下学期制作 06规范解答规范解答又又M在曲线在曲线x2y21上，上，(2x3)24y21 10分分P点的轨迹方程为点的轨迹方程为(2x3)24y21.12分分湖南长郡卫星远程学校2013年下学期制作 06【题后反思题后反思】代入法求轨迹方程就是代入法求轨迹方程就是利用所求动点利用所求动点P(x，y)与相关动点与相关动点Q(x0，y0)坐标间的关系式，且坐标间的关系式，且Q(x0，y0)又在某已知又在某已知曲线上，则可用所求动点曲线上，则可用所求动点P的坐标的坐标(x，y)表表示相关动点示相关动点Q的坐标的坐标(x0，y0)，即利用，即利用x，y表示表示x0，y0，然后把，然后把x0，y0代入已知曲线方代入已知曲线方程即可求得所求动点程即可求得所求动点P的轨迹方程。的轨迹方程。湖南长郡卫星远程学校2013年下学期制作 06【变式变式2】已知已知ABC的顶点的顶点A(3，0)，B(0，3)，另一个顶点，另一个顶点C在曲线在曲线x2y2=9上运上运动。求动。求ABC重心重心M的轨迹方程。的轨迹方程。湖南长郡卫星远程学校2013年下学期制作 06解：解：设设ABC顶点顶点C(x0，y0)，则，则x02y02=9.设设ABC重心重心M(x，y)由三角形重心坐标公式得：由三角形重心坐标公式得：代入代入式得：式得：(3x3)2(3y3)29，化简得：化简得：(x1)2(y1)21.此即为此即为ABC重心重心M的轨迹方程。的轨迹方程。湖南长郡卫星远程学校2013年下学期制作 06教材教材 P37 练习练习 第第3 题题习题习题2.1 A 组组 第第4题题 综合练习综合练习湖南长郡卫星远程学校2013年下学期制作 06(1)直接法：直接法：建立适当的坐标系后，设动点为建立适当的坐标系后，设动点为(x，y)，根据几何条件寻求，根据几何条件寻求x，y之间的关系式。之间的关系式。(2)定义法：定义法：如果所给几何条件正好符合已学如果所给几何条件正好符合已学曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程。写出动点的轨迹方程。(3)代入法：代入法：利用所求曲线上的动点与已知曲利用所求曲线上的动点与已知曲线上动点的关系，把所求动点转换为已知动点。线上动点的关系，把所求动点转换为已知动点。具体地说，就是用所求动点的坐标具体地说，就是用所求动点的坐标(x，y)来表示已来表示已知动点的坐标，并代入已知动点满足的曲线的方知动点的坐标，并代入已知动点满足的曲线的方程，由此可求得动点坐标程，由此可求得动点坐标(x，y)满足的关系。满足的关系。求曲线方程的常见方法求曲线方程的常见方法湖南长郡卫星远程学校2013年下学期制作 06(4)参数法：参数法：如果问题中所求动点满足如果问题中所求动点满足的几何条件不易得出，也没有明显的相关的几何条件不易得出，也没有明显的相关点，但能发现这个动点受某个变量点，但能发现这个动点受某个变量(像角像角度、斜率、比值、截距、时间、速度等度、斜率、比值、截距、时间、速度等)的的影响，此时，可先建立影响，此时，可先建立x、y分别与这个变量分别与这个变量的关系，然后将该变量的关系，然后将该变量(参数参数)消去，即可得消去，即可得到到x、y的关系式的关系式
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