第七章课件.ppt

第七章课件第七章课件.ppt.ppt学学 时：时：4848（包含上机（包含上机4 4学时）学时）自自动动控控制制原原理理 厉厉玉玉鸣鸣等等主主编编，化化学学工业出版社，工业出版社，20052005年年 自动控制原理（第四版）胡寿松主编，自动控制原理（第四版）胡寿松主编，国防工业出版社，国防工业出版社，20022002年年 自动控制原理自动控制原理 孙亮等主编，北京工孙亮等主编，北京工业大学出版社业大学出版社 19991999年年控制原理例题习题集，周春晖，厉玉鸣主控制原理例题习题集，周春晖，厉玉鸣主编，化工出版社（归纳总结，例题分析）编，化工出版社（归纳总结，例题分析）自动控制原理实验指导书，本校自动自动控制原理实验指导书，本校自动 化系编化系编学习方式：学习方式：教教 材：材：参考书：参考书：习题集：习题集：实验指导书：实验指导书：授课、习题、实验、考试授课、习题、实验、考试第第7 7章章 状态空间分析设计方法状态空间分析设计方法线性系统理论的两大分支线性系统理论的两大分支经典控制论经典控制论现代控制论现代控制论数学基础数学基础拉普拉斯变换拉普拉斯变换线性代数、矩阵分析线性代数、矩阵分析系统模型系统模型传递函数传递函数状态空间表达状态空间表达处理域处理域频域频域时域时域应用对象应用对象SISO系统系统MIMO系统系统本章主要内容本章主要内容现代控制论的重要现代控制论的重要分支：状态空间设计方法分支：状态空间设计方法系系统统模模型型状状态态空空间间模模型型的的建建立立、与与传传递递函数描述之间的相互转化；函数描述之间的相互转化；系系统统分分析析状状态态空空间间运运动动分分析析；能能控控性性和和能能观观性性的的基基本本概概念念与与判判据据、能能控控、能能观观标准形及结构分解；标准形及结构分解；系系统统综综合合基基于于状状态态空空间间模模型型的的控控制制系系统统设计方法设计方法极点配置和观测器设计。极点配置和观测器设计。第一节第一节 线性系统的状态空间数学模型线性系统的状态空间数学模型 7.1.1 7.1.1 系统状态空间表达的基本概念系统状态空间表达的基本概念 7.1.2 7.1.2 线性系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述 7.1.3 7.1.3 由机理分析建立状态空间表达式由机理分析建立状态空间表达式 7.1.4 7.1.4 由微分方程建立状态空间表达式由微分方程建立状态空间表达式 7.1.5 7.1.5 由传递函数建立状态空间表达式由传递函数建立状态空间表达式 7.1.6 7.1.6 状态空间表达式与传递函数矩阵状态空间表达式与传递函数矩阵7.1.1 7.1.1 系统状态空间表达的基本概念系统状态空间表达的基本概念表示系统在过去、现在和未来时刻的状况表示系统在过去、现在和未来时刻的状况状态状态能够完全描述系统行为的最小一组变量，只能够完全描述系统行为的最小一组变量，只要给定了当前时刻的这组变量以及未来时要给定了当前时刻的这组变量以及未来时刻作用在系统上的输入，那么系统在未来刻作用在系统上的输入，那么系统在未来任意时刻的行为就可以完全确定。任意时刻的行为就可以完全确定。状态变量状态变量选取的不唯一性以完全表征系统的状态变量为元构成的向以完全表征系统的状态变量为元构成的向量就是状态向量量就是状态向量 状态向量状态向量以以n n个状态变量为基底所构成的个状态变量为基底所构成的n n维空间就维空间就称为状态空间，状态空间中的一点就代称为状态空间，状态空间中的一点就代表系统在某一特定时刻的状态。表系统在某一特定时刻的状态。状态空间状态空间7.1.2 7.1.2 线性系统的状态空间描述线性系统的状态空间描述外部描述外部描述传递函数：不表征系统的传递函数：不表征系统的内部结构和内部变量，只反映外部变量组内部结构和内部变量，只反映外部变量组输入与输出间的因果关系输入与输出间的因果关系内内部部描描述述状状态态空空间间，能能够够完完全全表表征征系统的一切动力学特征：系统的一切动力学特征：不完全描述完全描述（1 1）状状态态方方程程：输输入入作作用用引引起起系系统统状状态态发发生生变变化化，通常为动态过程，可以采用微分方程来表示：通常为动态过程，可以采用微分方程来表示：（2 2）输输出出方方程程：状状态态和和输输入入的的改改变变决决定定了了输输出出的的变变化化，通通常常属属于于变变量量之之间间的的相相互互转转换换，可可用用一一般般的的代代数数方程表示：方程表示：系统状态空间描述的结构示意图系统状态空间描述的结构示意图问题：问题：1什么是状态？什么是状态？2状态是否唯一？状态是否唯一？1两种描述方式的比较：两种描述方式的比较：例例1考虑传递函数考虑传递函数系统不稳定，欲使其稳定，可在系统不稳定，欲使其稳定，可在H H（s s）前面）前面串联一个补偿器串联一个补偿器 得：得：系统结构图：系统结构图：理论上，零极点对消，系统稳定理论上，零极点对消，系统稳定实际中，系统往往会出现失效或达到饱和实际中，系统往往会出现失效或达到饱和从状态空间的角度分析上述实现中主要变量从状态空间的角度分析上述实现中主要变量的演变过程的演变过程 系统状态方程为系统状态方程为求解可得：求解可得：7.1.3 7.1.3 由机理分析建立状态空间表达式由机理分析建立状态空间表达式建立状态空间表达式的方法建立状态空间表达式的方法:一是机理分析，一是机理分析，选择适当的状态变量，建立其状态空间表达式；选择适当的状态变量，建立其状态空间表达式；二是由其他已知的系统数学描述转化得到状态二是由其他已知的系统数学描述转化得到状态空间表达式。空间表达式。例：试列写下面两种简单系统例：试列写下面两种简单系统电路系统和力电路系统和力学系统的机理方程，选择适当的变量作为状态学系统的机理方程，选择适当的变量作为状态变量，并建立相应的状态空间表达式。变量，并建立相应的状态空间表达式。解解：(1)(1)弹簧弹簧-质量质量-阻尼器系统，外加拉力阻尼器系统，外加拉力F Fi i为输入，质量单元的位移为输入，质量单元的位移y y为输出，根为输出，根据牛顿第二定律可得据牛顿第二定律可得:其中合力：其中合力：整理得：整理得：选定变量：选定变量：得到状态方程：得到状态方程：(2)RLC(2)RLC电路，设电路，设e ei i为输入，电压为输入，电压e ec c为为输出，根据基本电路定律有：输出，根据基本电路定律有：选择状态变量为选择状态变量为 ，可推导出，可推导出2 2个一阶个一阶微分方程组：微分方程组：写成状态方程：写成状态方程：再根据输出再根据输出 ，可得相应的输出方程为：，可得相应的输出方程为：值值得得注注意意的的是是：状状态态变变量量选选择择的的不不同同，得得到到的的状状态态空空间间表表达达式式也也是是不不同同的的，这这点点与与传传递递函函数数所所代代表表的的外外部部描描述述不不同同，对对于于一一个个系系统统，如如果果输输入入和和输输出出确确定定，那那么么传传递递函函数数就就是是唯唯一一确确定定的的，而而状状态态空空间间描描述述则则根根据据状状态态变变量量选选择择的的不不同同而而不不同同，同同一一个个系系统统可可以以具具有有不不同同的的状状态态空空间间表表达式。达式。问题：例如上面例题中提到的问题：例如上面例题中提到的RLC电路，如果以电路，如果以作为一组状态变量，作为一组状态变量，则状态空间表达为则状态空间表达为.?代代数数等等价价：给给定定一一线线性性定定常常系系统统 ，如如果果引引入入一一非非奇奇异异变变换换：其其中中P P是是非非奇奇异异矩矩阵，经过状态变换后，系统可以写成阵，经过状态变换后，系统可以写成 系统的不同的状态空间描述就是同一个系统在系统的不同的状态空间描述就是同一个系统在不同的坐标系下的表征不同的坐标系下的表征由于坐标系的选择带有人为的性质，而系统的由于坐标系的选择带有人为的性质，而系统的特性却带有客观性，因此系统在坐标变换下的特性却带有客观性，因此系统在坐标变换下的不变性和不变属性就反映出系统的固有特征。不变性和不变属性就反映出系统的固有特征。那么就称这两个状态空间描述是代数等价的。那么就称这两个状态空间描述是代数等价的。27.1.4 7.1.4 由微分方程建立状态空间表达式由微分方程建立状态空间表达式仅限于单输入单输出线性定常系统：仅限于单输入单输出线性定常系统：引入微分算子引入微分算子，则系统可以写成，则系统可以写成:分情况讨论：分情况讨论：Case1：当当mn时时则系统方程则系统方程可以改写为：可以改写为：引入中间变量：引入中间变量：选取状态选取状态可以得到系统的状态空间描述：可以得到系统的状态空间描述：Case2：当：当mn时时首先将系统方程有理分式严格真化：首先将系统方程有理分式严格真化：按照上面的算法可以转换成状态空间形式，经过中按照上面的算法可以转换成状态空间形式，经过中间变量间变量 的作用，上式可以写成下面的形式：的作用，上式可以写成下面的形式：选择与选择与mnmn情况下相同的状态变量：情况下相同的状态变量：上上述述严严格格真真有有理理分分式式按按照照上上面面的的算算法法可可以以转转换换成成状状态态空空间间形形式式，状状态态是是一一样样的的，得得到到的的状状态态方方程程表表达达形形式式也也是是一一样样的的，唯唯一一不不同同的的就就是是输输出出方方程程中中比比m m n n情况多了一项情况多了一项 ：状态方程为：状态方程为：优点：利用控制系统的微分方程系数优点：利用控制系统的微分方程系数 直接列写出系统的状态空间表达式。直接列写出系统的状态空间表达式。举例：写出下列系统的状态空间表达举例：写出下列系统的状态空间表达解：上述两个系统分属于解：上述两个系统分属于mnm0都有都有x1=x2，这就表明，这就表明该电路系统是不完全能控的。该电路系统是不完全能控的。例三例三由由的联系判断能观性的联系判断能观性输出输出y(t)=x1(t),y(t)=x1(t),且且x1x1与与x2x2完全解耦，完全解耦，x2x2到到y y的通道被的通道被切断，所以切断，所以x1x1能观测，能观测，x2x2不能观测。不能观测。输出输出y(t)=x1(t),y(t)=x1(t),注意注意x1x1受受x2x2影响，所以不能简单影响，所以不能简单判定判定x1x1能观测，能观测，x2x2不能观不能观测测。例四例四两联系通道的作用可能抵消两联系通道的作用可能抵消左图中，输入为电压，两左图中，输入为电压，两个电感流过的电流是状个电感流过的电流是状态变量，输出是电流态变量，输出是电流i。如果外加电压如果外加电压u=0，对任，对任意两个相等的非零初始意两个相等的非零初始状态，都会有电流状态，都会有电流i0，也就是说从输出根本，也就是说从输出根本无法判断系统的初始状无法判断系统的初始状态是什么，说明该电路态是什么，说明该电路是不完全能观的。是不完全能观的。6能控性定义能控性定义 对于线性时变系统对于线性时变系统 如果对于非零初始状态如果对于非零初始状态x x0 0，都存在某一时刻，都存在某一时刻 和一个和一个无约束的容许控制无约束的容许控制 ，使得状态由初始点转移到，使得状态由初始点转移到t1t1时刻的原点时刻的原点(即为恢复平衡即为恢复平衡)，则称此初始状态，则称此初始状态x0 x0是能是能控的。控的。如果状态空间中所有的非零初始状态都是能控的，如果状态空间中所有的非零初始状态都是能控的，那么就称系统是完全能控的。那么就称系统是完全能控的。无约束容许控制中无约束表示的是输入分量的幅值无限制，无约束容许控制中无约束表示的是输入分量的幅值无限制，可以任意大到所要求的值。容许控制就是说控制作用要可以任意大到所要求的值。容许控制就是说控制作用要满足状态方程解存在且唯一的条件，具体的说就是要保满足状态方程解存在且唯一的条件，具体的说就是要保证输入证输入u的每个分量在的每个分量在J上是平方可积的。上是平方可积的。7.3.1基本概念基本概念1、上上述述定定义义中中，只只要要求求能能够够找找到到这这样样的的控控制制输输入入u，使使得得t0时时刻刻的的非非零零状状态态经经过过一一段段时时间间之之后后转转移移到到状状态态空空间间中中的的坐坐标标系系原原点点，而而对对状状态态转转移移的的轨轨迹迹不不作作任任何何要要求求和和限限制制，这这就就是是说说能能控控性性是是表表征征系系统统状态运动的一个状态运动的一个定性的特性定性的特性2 2、上上述述定定义义中中规规定定从从非非零零初初始始状状态态转转移移到到零零状状态态，如如果果改改成成由由零零状状态态转转移移到到非非零零状状态态，就就称称之之为为系系统统状状态态是是能能达达的的。对对于于线线性性连连续续定定常常系系统统，其其能能控控性性和和能能达达性性是是等等价价的的，而而对对于于离离散散系系统统和和时时变变系系统，二者严格来讲是不等价的。统，二者严格来讲是不等价的。说明说明能观测性（观测估计之前的状态）定义：能观测性（观测估计之前的状态）定义：对给定的零输入方程，对给定的零输入方程，在在初初始始时时刻刻t0存存在在非非零零的的初初始始状状态态x(t0)=x0（未未知知）。如如果果存存在在这这样样一一个个有有限限时时刻刻t10，通通过过t0,t1段段有有限限时时间间区区间间内内所所测测得得的的输输出出y(t)可可以以确确定定出出系系统统的的初初始始状状态态x(t0)，那那么么就就把把x0称称作作是是可可观观测测状状态态。如如果果状状态态空空间间中中所所有有的的非非零零状状态态都都是是可可观观测测的的，那那么么就就称称系统是完全能观测的。系统是完全能观测的。线性定常系统的能控性判定线性定常系统的能控性判定1格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据 线性定常系统完全能控的充分必要条件是存在这线性定常系统完全能控的充分必要条件是存在这样一个时刻样一个时刻t t1 100，使得格拉姆矩阵，使得格拉姆矩阵 是非奇异的是非奇异的7.3.2能控性与能观测性判据能控性与能观测性判据注意：注意：格拉姆矩阵判据主要应用于理论分析，这是因为格拉姆矩阵判据主要应用于理论分析，这是因为在实际应用中，首先要计算出矩阵指数函数在实际应用中，首先要计算出矩阵指数函数eAt，而，而当当A的维数较大时并非易事，利用格拉姆矩阵判据可的维数较大时并非易事，利用格拉姆矩阵判据可以推出一个以推出一个较为实用的能控性判据，即秩判据。较为实用的能控性判据，即秩判据。由格拉姆矩阵求将状态转移到原点所需的控制输入：由格拉姆矩阵求将状态转移到原点所需的控制输入：根据运动分析，系统的状态响应为根据运动分析，系统的状态响应为 对对于于能能控控系系统统总总可可以以找找到到t t1 1时时刻刻及及作作用用在在t0,t1t0,t1上上的的容容许许控控制制u(t)u(t)，使使得得系系统统在在t t1 1时时刻刻转转移移到到零零点点，即即根根据据格格拉拉姆姆矩矩阵阵判判据据，格格拉拉姆姆矩矩阵阵的的逆逆必必定定存存在在，于于是就可以这样选取控制输入：是就可以这样选取控制输入：解释：解释：无论系统的初始状态无论系统的初始状态x0位于状态空间中的何处，位于状态空间中的何处，都可以按照上述公式中控制作用的选取方法，使得都可以按照上述公式中控制作用的选取方法，使得在在t1时刻能够将系统状态从初始点转移到状态空间时刻能够将系统状态从初始点转移到状态空间零点。这种控制的选择又称为零点。这种控制的选择又称为按能控性格拉姆矩阵按能控性格拉姆矩阵方式选取方式选取。一般来说，如果系统是能控的，能够把。一般来说，如果系统是能控的，能够把系统由初始状态系统由初始状态x0转移到原点的输入控制有很多种，转移到原点的输入控制有很多种，这是因为能控性对状态转移的轨迹没有任何要求。这是因为能控性对状态转移的轨迹没有任何要求。但相比较而言，但相比较而言，在所有可以完成同一状态转移目的在所有可以完成同一状态转移目的的控制输入中，按格拉姆矩阵方式选取的控制输入的控制输入中，按格拉姆矩阵方式选取的控制输入最好，它的耗能是最小的最好，它的耗能是最小的。2秩判据秩判据线性定常系统完全能控的充分必要条件是线性定常系统完全能控的充分必要条件是称矩阵称矩阵 为系统的为系统的能控性判别阵能控性判别阵3PBH秩判据秩判据线线性性定定常常系系统统完完全全能能控控的的充充分分必必要要条条件件是是对对矩矩阵阵A的所有特征值的所有特征值，均有下式成立：，均有下式成立：即即 是左互质的。是左互质的。74PBH特征向量判据特征向量判据线线性性定定常常系系统统完完全全能能控控的的充充分分必必要要条条件件是是A不不能能有有与与B的的所所有有列列相相正正交交的的非非零零左左特特征征向向量量，即即对对A的的任任一特征值一特征值使同时满足使同时满足的特征向量的特征向量5约当规范型判据约当规范型判据线性定常系统完全能控的充分必要条件是线性定常系统完全能控的充分必要条件是Case1:Case1:当当A矩阵的特征根两两相异时，在导出的对矩阵的特征根两两相异时，在导出的对角线规范型角线规范型中，矩阵中，矩阵 不包含元素全为零的行。不包含元素全为零的行。Case2:A的特征值为的特征值为时，导出的约当规范型时，导出的约当规范型那么矩阵那么矩阵中对应每个约当块的最后一行行向量是线中对应每个约当块的最后一行行向量是线性无关的性无关的。换句话说，。换句话说，矩阵中对应每个约当块的最矩阵中对应每个约当块的最后一行行向量中无零行，且对应同一特征根的这些后一行行向量中无零行，且对应同一特征根的这些行分别是线性无关的。行分别是线性无关的。举例举例:给出了约当标准型给出了约当标准型 标准型中一共有三个约当块，系统是完全能控的，标准型中一共有三个约当块，系统是完全能控的，必须保证必须保证B矩阵中对应每个约当块的最后一行非零，矩阵中对应每个约当块的最后一行非零，即是即是b3,b5,b6b3,b5,b6是非零的行向量，对应同一特征根是非零的行向量，对应同一特征根 的这些行的这些行b3,b5b3,b5分别是线性无关的。分别是线性无关的。例例1：若若，则系统是能控的，则系统是能控的若若，则，则x1,x2,x4不能控，不能控，x3能控能控例例2：给出线性定常系统给出线性定常系统,判断其能控性判断其能控性解：解：1 1、秩判据、秩判据:因此系统是完全能控的。因此系统是完全能控的。2、PBH判据：判据：首先计算出特征值首先计算出特征值 ，分别计，分别计算算 是否都等于是否都等于n，线性定常系统的能观测性判定线性定常系统的能观测性判定1格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据线线性性定定常常系系统统完完全全能能观观测测的的充充分分必必要要条条件件是是存存在在这这样一个时刻样一个时刻t10，使得格拉姆矩阵，使得格拉姆矩阵是非奇异的。是非奇异的。和和时时变变系系统统一一样样，定定常常系系统统的的格格拉拉姆姆矩矩阵阵判判据据主主要要应应用用于于理理论论分分析析，这这是是因因为为在在实实际际应应用用中中，首首先先要要计计算算出出矩矩阵阵指指数数函函数数eAt，而而当当A的的维维数数较较大大时时并并不不容容易易2秩判据秩判据线性定常系统完全能观测的充分必要条件是线性定常系统完全能观测的充分必要条件是我们称矩阵我们称矩阵QoQo为系统的能观测性判别阵，这个结论完为系统的能观测性判别阵，这个结论完全是由线性定常系统能观测性的格拉姆矩阵的非奇全是由线性定常系统能观测性的格拉姆矩阵的非奇异性推导而来，与格拉姆矩阵判据是完全等价的。异性推导而来，与格拉姆矩阵判据是完全等价的。3PBH秩判据秩判据 线性定常系统完全能观测的充分必要条件是对矩阵线性定常系统完全能观测的充分必要条件是对矩阵A的所有特征值的所有特征值 ，均有下式成立：，均有下式成立：即即sI-A和和C是右互质的。是右互质的。4PBH特征向量判据特征向量判据线线性性定定常常系系统统完完全全能能观观测测的的充充分分必必要要条条件件是是A不不能能有有与与C的的所所有有行行相相正正交交的的非非零零右右特特征征向向量量，即即对对A的任一特征值的任一特征值使同时满足使同时满足的特征向量的特征向量。5约当规范型判据约当规范型判据线性定常系统完全能观测的充分必要条件是线性定常系统完全能观测的充分必要条件是Case1当当A矩矩阵阵的的特特征征根根两两两两相相异异时时，在在导导出出的的对对角角线规范型线规范型中，矩阵中，矩阵 不包含元素全为零的列。不包含元素全为零的列。Case2:A的特征值为的特征值为时，导出的约当规范型时，导出的约当规范型那那么么由由矩矩阵阵中中对对应应每每个个约约当当块块的的第第一一列列列列向向量量是是线线性性无无关关的的。换换句句话话说说，矩矩阵阵中中对对应应每每个个约约当当块块的的第第一一列列列列向向量量中中无无零零列列，且且对对应应同同一一特特征征根根的的这这些列分别是线性无关的。些列分别是线性无关的。举例：给出了约当标准型举例：给出了约当标准型 标准型中共有三个约当块，要保证系统是完全能观标准型中共有三个约当块，要保证系统是完全能观测的，则测的，则C C矩阵中对应每个约当块的第一列非零，矩阵中对应每个约当块的第一列非零，即即c1,c4,c6c1,c4,c6是非零的列向量，对应同一特征根的这是非零的列向量，对应同一特征根的这些列分别是线性无关的，即对应特征根些列分别是线性无关的，即对应特征根 的列的列c1,c4c1,c4是线性无关的。是线性无关的。例：给出线性定常系统例：给出线性定常系统试用上述判据来判定给定系统的状态能观测性。试用上述判据来判定给定系统的状态能观测性。解：秩判据：解：秩判据：系统是完全能观测的。系统是完全能观测的。PBH判据：判据：首先计算出特征值首先计算出特征值 ，分别计，分别计算算 是否都等于是否都等于n，8给定线性定常系统给定线性定常系统：则它的对偶系统则它的对偶系统 为：为：对偶原理对偶原理能控性和能观测性无论是从概念上还是从判据的形式能控性和能观测性无论是从概念上还是从判据的形式上都是对偶的，这种对偶关系反映了系统的能控问上都是对偶的，这种对偶关系反映了系统的能控问题与估计问题之间的对偶性题与估计问题之间的对偶性对偶系统定义对偶系统定义给定系统和对偶系统的方块图是对偶的给定系统和对偶系统的方块图是对偶的对对偶偶系系统统又又称称为为伴伴随随系系统统，可可以以看看出出给给定定系系统统和和对对偶偶系系统统之之间间的的状状态态维维数数一一致致，而而给给定定系系统统的的输输入入，输输出维数分别等于对偶系统的输出和输入维数。出维数分别等于对偶系统的输出和输入维数。给定系统的运动是状态点在状态空间中由t0到t的正时向转移，而对偶系统的运动是协状态点在状态空间中由t到t0的反时向转移。设 和 是给定系统和对偶系统的状态转移矩阵，则必成立 对偶原理：对偶原理：给给定定系系统统和和对对偶偶系系统统在在能能控控性性和和能能观观测测性性上上具具有有以以下对应关系：下对应关系：给给定定系系统统的的完完全全能能控控性性等等价价于于对对偶偶系系统统的的完完全全能能观观测测性性，给给定定系系统统的的完完全全能能观观测测性性等等价价于于对对偶偶系系统统的的完全能控性。完全能控性。可根据能控性和能观测性的秩判据对上述对偶原理进可根据能控性和能观测性的秩判据对上述对偶原理进行证明。行证明。验证：验证：给定系统的能控性判别矩阵对偶系统的能观测性判别矩阵（这个转置如何转这个转置如何转）二者秩完全相同 给定系统的能观测性判别矩阵对偶系统的能控性判别矩阵 二者秩完全相同 7.3.3 7.3.3 单输入单输出系统的能控规范型和能观测单输入单输出系统的能控规范型和能观测规范型规范型 对于完全能控或是完全能观测的线性定常系统，如果单从能控性或是能观测性这两个基本特性出发构造出一个非奇异变换，那么就可以把系统的状态空间描述在这一线性变换下，转化成只有能控系统或能观测系统才具有的标准形式。通常把这种标准形式的状态空间描述称为能控规范型，能观测规范型。能控性规范型能控性规范型 给定系统给定系统 ，且系统是完全能控的，有，且系统是完全能控的，有特征多项式为特征多项式为定义常数定义常数构造变换矩阵构造变换矩阵在变换在变换 下，可以导出系统的能控标准型下，可以导出系统的能控标准型其中其中举例：给定系统举例：给定系统特征多项式为：特征多项式为：非奇异变换矩阵：非奇异变换矩阵：以及构造常数以及构造常数得到系统的能控性标准型：得到系统的能控性标准型：能观测规范型能观测规范型对对上上述述给给定定系系统统，矩矩阵阵A的的特特征征多多项项式式及及常常数数定定义义不不变变，利利用用能能观观测测性性与与能能控控性性的的对对偶偶关关系系，可可以以定定义义非奇异变换矩阵非奇异变换矩阵则利用变换关系则利用变换关系 ，导出系统的能观测规范型：，导出系统的能观测规范型：其中讨论：讨论：1.能能控控性性规规范范型型和和能能观观测测规规范范型型是是通通过过一一种种简简单单的的，明明显显的的方方式式把把系系统统的的状状态态空空间间描描述述与与反反应应系系统统结结构构特特性性的的特特征征多多项项式式联联系系起起来来，这这对对于于讨讨论论系系统统的的综综合合控控制制及及观观测测器器设设计计问问题题给给予予了了很很大大的的方方便便，如如讨讨论论极极点点配配置置问问题题上上，利利用用规规范范型型中中系系统统矩矩阵阵与与特特征征多多项项式式之之间间的的关关系系可可以以轻轻易易的的写写出出经经过过配配置置后后的的能能控控规规范范型型，与与原原始始系系统统加加以以比比较较就就可可以以很很容容易易的的找找到到相相应应的的控控制制输输入入u，其其他他一一些些控控制制问问题题，如如镇镇定定，跟跟踪踪等等都都可可以以转转化化为为适适当当的的极极点点配配置置问问题题，另另外外观观测测器的设计也是基于能观规范型提出的。器的设计也是基于能观规范型提出的。2.2.代数等价系统的能控性与能观测性保持不变。此外，代数等价系统的能控性与能观测性保持不变。此外，对于完全能控（观测）的两个等价系统来讲，虽然对于完全能控（观测）的两个等价系统来讲，虽然自身的状态空间表达不一样，但是他们的能控（观自身的状态空间表达不一样，但是他们的能控（观测）规范型完全一样。测）规范型完全一样。97.3.4 7.3.4 结构分解结构分解本节从系统动态方程角度来讨论不完全能控或不完本节从系统动态方程角度来讨论不完全能控或不完全能观测系统的结构特性，即把状态方程按照能控全能观测系统的结构特性，即把状态方程按照能控性或能观测性或同时按照二者进行结构分解。性或能观测性或同时按照二者进行结构分解。把系把系统的结构以明显的方式区分成能控的，不能控的，统的结构以明显的方式区分成能控的，不能控的，或是能观测，不能观测，或者分解成能控且能观测或是能观测，不能观测，或者分解成能控且能观测部分，能控但不能观测部分，不能控但能观测部分部分，能控但不能观测部分，不能控但能观测部分以及不能控又不能观测四部分。以及不能控又不能观测四部分。研究系统的结构分解，一方面是为了了解系统的结研究系统的结构分解，一方面是为了了解系统的结构特性，另一方面可以看出状态空间描述与输入输构特性，另一方面可以看出状态空间描述与输入输出描述之间的本质差别。出描述之间的本质差别。对线性系统加以结构分解是基于结论：对线性系统加以结构分解是基于结论：两个代数等价两个代数等价系统或是说对系统进行线性非奇异变换，并不会改系统或是说对系统进行线性非奇异变换，并不会改变系统的能控性与能观测性，也不改变系统的不完变系统的能控性与能观测性，也不改变系统的不完全能控及不完全能观测程度。全能控及不完全能观测程度。按能控性分解按能控性分解不完全能控系统不完全能控系统，在在n个状态中个状态中只有只有k个是能控的，个是能控的，其余其余n-k个状态是不能控的，按个状态是不能控的，按能控性进行结构分解就是找到这能控性进行结构分解就是找到这k个能控的状态，并个能控的状态，并写出能控子系统与不能控子系统分别对应的状态方写出能控子系统与不能控子系统分别对应的状态方程，采用的方法就是程，采用的方法就是线性非奇异变换。线性非奇异变换。非奇异变换矩阵的构造非奇异变换矩阵的构造从从中任意选取中任意选取k个线性无关列，个线性无关列，记作记作，此外在从此外在从n维实数空间中任意选维实数空间中任意选取取n-k个线性无关列向量个线性无关列向量 ，并保证这，并保证这n-k个列个列向量与原来的向量与原来的k个列向量都是线性无关的，这样就个列向量都是线性无关的，这样就组成了非奇异变换矩阵：组成了非奇异变换矩阵：通过非奇异变换通过非奇异变换 ，就可以把原系统按能控性进行，就可以把原系统按能控性进行结构分解：结构分解：注意：非奇异变换矩阵注意：非奇异变换矩阵P P任意的，所以结构分解后得到任意的，所以结构分解后得到的系统总体形式上虽然都一样，但矩阵中具体的元素的系统总体形式上虽然都一样，但矩阵中具体的元素值是不同的，唯一确定不变的是值是不同的，唯一确定不变的是 (能控部分系统矩能控部分系统矩阵阵)是是k k维的，（不能控部分系统矩阵）是维的，（不能控部分系统矩阵）是n-kn-k维的。维的。在在这这样样的的分分解解规规范范表表达达式式中中，系系统统被被明明显显的的分分解解成成能能控部分和不能控部分。控部分和不能控部分。能控部分的能控部分的k维方程为：维方程为：n-kn-k维不能控子系统：维不能控子系统：方块图：举例举例:重新排序：重新排序：讨论：讨论：不能控部分是系统内部完全不受外加作用控制的。不能控部分是系统内部完全不受外加作用控制的。经线性非奇异变换后，系统特征值不变经线性非奇异变换后，系统特征值不变，即，即系统特征值被分成两部分，能控振型，不能控振型。系统特征值被分成两部分，能控振型，不能控振型。经非奇异变换后，系统的传递函数保持不变，即：经非奇异变换后，系统的传递函数保持不变，即：可见系统的传递函数是一种不完全的描述可见系统的传递函数是一种不完全的描述,只能反应只能反应出系统能控部分的特征值。出系统能控部分的特征值。10按能观测性分解按能观测性分解 不完全能观测系统不完全能观测系统，在在n个状态个状态中只有中只有k个是能观测的，其余个是能观测的，其余n-k个状态是不能观测个状态是不能观测的，按能观测性进行结构分解就是找到这的，按能观测性进行结构分解就是找到这k个能观测个能观测的状态，并写出能观测子系统与不能观测子系统分的状态，并写出能观测子系统与不能观测子系统分别对应的状态方程，采用的方法就是别对应的状态方程，采用的方法就是线性非奇异变线性非奇异变换换。非奇异变换矩阵的构造非奇异变换矩阵的构造从从中任意选取中任意选取k个线性无关行，记作个线性无关行，记作，再从再从n维实数空间中任选维实数空间中任选n-k个线性无关行向量个线性无关行向量 并并保证这保证这n-k个行向量与原来的个行向量与原来的k个行向量都是线性无关的，个行向量都是线性无关的，这样就组成了非奇异变换矩阵：这样就组成了非奇异变换矩阵：通过非奇异变换通过非奇异变换 ，就可以把原系统按能观测性进，就可以把原系统按能观测性进行结构分解：行结构分解：注意注意：非奇异变换矩阵：非奇异变换矩阵Q Q是任意的，所以结构分解后是任意的，所以结构分解后得到的系统总体形式上虽然都一样，但矩阵中具体的得到的系统总体形式上虽然都一样，但矩阵中具体的元素值是不同的，唯一确定不变的是元素值是不同的，唯一确定不变的是 (能观测子系能观测子系统矩阵统矩阵)是是k k维的，维的，（不能观测子系统矩阵）是（不能观测子系统矩阵）是n-kn-k维维的。的。在在这这样样的的分分解解规规范范表表达达式式中中，系系统统被被明明显显的的分分解解成成能能观观测测部部分分和和不不能能观观测测部部分分，其其中中能能观观测测部部分分的的k维维方程为：方程为：n-kn-k维不能观测子系统：维不能观测子系统：讨论：讨论：系统的输出完全体现了可测状态，而不能观测部分没系统的输出完全体现了可测状态，而不能观测部分没有输出与之对应。有输出与之对应。经线性非奇异变换后，系统特征值不变，即经线性非奇异变换后，系统特征值不变，即系统特征值被分成两部分：能观测和不能观测特征值。系统特征值被分成两部分：能观测和不能观测特征值。经非奇异变换后，系统的传递函数保持不变，即：经非奇异变换后，系统的传递函数保持不变，即：可见系统的传递函数只能反应出系统能观测部分的特可见系统的传递函数只能反应出系统能观测部分的特征值，是一种不完全的描述。征值，是一种不完全的描述。规范分解规范分解如果系统是不完全能控且不完全能观测的，那么单纯对系统如果系统是不完全能控且不完全能观测的，那么单纯对系统进行一次分解（按能控性或是能观测性）并不可能对整个系进行一次分解（按能控性或是能观测性）并不可能对整个系统的结构有完全的了解，这时必须进行二次分解，在能观测统的结构有完全的了解，这时必须进行二次分解，在能观测性分解的基础上进行能控性分解，这样才可能对系统的结构性分解的基础上进行能控性分解，这样才可能对系统的结构有更好的了解。有更好的了解。把同时按照能控性和能观测性进行结构分解称为规范分解。把同时按照能控性和能观测性进行结构分解称为规范分解。注意：规范分解时必须先按能观测性进行分解，然后再进行注意：规范分解时必须先按能观测性进行分解，然后再进行能控性分解，而不能先对系统按能控性进行分解，然后再分能控性分解，而不能先对系统按能控性进行分解，然后再分别对能控子系统和不能控子系统按能观测性分解，其原因就别对能控子系统和不能控子系统按能观测性分解，其原因就在于按能控性分解后得到的能控性子系统的输出和不能控子在于按能控性分解后得到的能控性子系统的输出和不能控子系统的输出之和才是整个系统真正的输出，系统的能观测性系统的输出之和才是整个系统真正的输出，系统的能观测性反映的是输出对状态的观测能力，它与子系统的输出和对状反映的是输出对状态的观测能力，它与子系统的输出和对状态的观测能力是不同的，所以分别对能控子系统和不能控子态的观测能力是不同的，所以分别对能控子系统和不能控子系统再按能观测进行结构分解，得到的结果可能是错误的。系统再按能观测进行结构分解，得到的结果可能是错误的。首先进行能观测性分解得：首先进行能观测性分解得：能能观观测测和和不不能能观观测测状状态态中中同同时时都都包包括括能能控控和和不不能能控控的的两两部部分分，为为此此要要对对能能观观测测子子系系统统和和不不能能观观测测子子系系统再按照能控性进行分解：统再按照能控性进行分解：系统传递函数为系统传递函数为只只反反应应出出能能控控且且能能观观测测那那部部分分的的特特征征值值，而而不不能能控控或或是是不不能能观观测测那那部部分分的的特特征征值值模模态态再再传传递递函函数数中中并并没没有有体体现现。这这些些不不能能控控或或是是不不能能观观测测的的模模态态代代表表了了系系统统的的内内部部特特征征，在在有有关关文文献献中中被被称称为为隐隐藏藏模模态态。所所以以说说状状态态空空间间描描述述要要比比输输入入输输出出描描述述全全面面，它它不不光光能能够够反反应应出出系系统统的的外外部部特特征征，同同时时也也可可以以体体现现系系统统的内部特征。的内部特征。信息传递：信息传递：不不可可控控，不不可可观观，进进：由由不不可可控控来来，出：去不可观出：去不可观。可可控控，不不可可观观，只只进进不不出出，有有从从u及及可可控控来的。来的。不不可可控控，可可观观，只只出出不不进进，有有去去y及及可可观观的。的。可控，可观，进：可控，可观，进：，出：出：卡尔曼卡尔曼吉伯特定理吉伯特定理:传递函数矩阵只反映系统即可控又可观部分。传递函数矩阵只反映系统即可控又可观部分。11本节开始讨论线性系统的综合问题，其研究内容是本节开始讨论线性系统的综合问题，其研究内容是已知系统的结构，参数以及所期望得到的系统运动已知系统的结构，参数以及所期望得到的系统运动形式或是其他某些特征，需要确定施加于系统的外形式或是其他某些特征，需要确定施加于系统的外加输入作用，也就是控制律。加输入作用，也就是控制律。反馈是系统综合设计的主要方法。由于在经典控制反馈是系统综合设计的主要方法。由于在经典控制论中系统采用传递函数描述，只能是采用输出量作论中系统采用传递函数描述，只能是采用输出量作为反馈变量，而现代控制理论由于采用系统内部的为反馈变量，而现代控制理论由于采用系统内部的状态变量来描述系统，因此除了输出反馈形式以外，状态变量来描述系统，因此除了输出反馈形式以外，还常常采用状态反馈。还常常采用状态反馈。7.4 7.4 线性系统的状态反馈与极点配置线性系统的状态反馈与极点配置 问题的提法问题的提法性能指标的类型性能指标的类型综合问题的研究步骤综合问题的研究步骤工程实现中的一些问题工程实现中的一些问题7.4.1 7.4.1 综合问题简介综合问题简介1 1问题的提法问题的提法 综合问题综合问题就是寻找一个适当的控制作用就是寻找一个适当的控制作用u u，使得系统在其作用下的运动行为满足所给，使得系统在其作用下的运动行为满足所给出的期望性能指标。这个性能指标即可能是出的期望性能指标。这个性能指标即可能是对其运动过程所给定的某种期望形式，也可对其运动过程所给定的某种期望形式，也可能是对系统运动状态期望形式所规定的某些能是对系统运动状态期望形式所规定的某些特征向量，再或者就是某个需要去极小和极特征向量，再或者就是某个需要去极小和极大值的一个性能函数。大值的一个性能函数。2 2性能指标的类型性能指标的类型 综合问题中的期望性能指标可以区分成综合问题中的期望性能指标可以区分成非非优化型性能指标优化型性能指标和和优化型性能指标优化型性能指标两种。这两种。这两者之间的差别就在于非优化型性能指标是两者之间的差别就在于非优化型性能指标是一类不等式型的指标，也就是说只有性能值一类不等式型的指标，也就是说只有性能值达到或者好于性能指标，就算实现了综合控达到或者好于性能指标，就算实现了综合控制目标。而优化型指标是一类极值型指标，制目标。而优化型指标是一类极值型指标，就是要求性能指标在所有值中取为最小或是就是要求性能指标在所有值中取为最小或是最大值。最大值。非优化型性能指标非优化型性能指标镇定问题：镇定问题：以系统的渐近稳定性为性能指标以系统的渐近稳定性为性能指标极点配置问题：极点配置问题：以一组期望的闭环系统极点作为性以一组期望的闭环系统极点作为性能指标能指标解耦控制：解耦控制：以多输入多输出系统实现以多输入多输出系统实现“一个输入只一个输入只控制一个输出控制一个输出”作为性能指标作为性能指标跟踪问题：跟踪问题：把系统输出把系统输出y y无静差地跟踪一个外部信号无静差地跟踪一个外部信号作为性能指标。这个外部信号可以是直接给定的某作为性能指标。这个外部信号可以是直接给定的某个非零时间函数，也可以使由某个动态系统的输出个非零时间函数，也可以使由某个动态系统的输出产生，再或者是给定参考信号恒为零，相应的综合产生，再或者是给定参考信号恒为零，相应的综合问题就可以称为跟踪，匹配，调节。问题就可以称为跟踪，匹配，调节。优化型性能指标优化型性能指标通常取成相对于状态通常取成相对于状态x x和控制和控制u u的二次型积分函数的二次型积分函数:其中，其中，R R是正定对称常阵，是正定对称常阵，Q Q是对称正定常阵或是满足是对称正定常阵或是满足（A A，Q1/2Q1/2）能观测的半正定对称常阵）能观测的半正定对称常阵对于不同的综合问题，需要确定出合适的加权矩阵对于不同的综合问题，需要确定出合适的加权矩阵Q Q和和R R，而综合的任务就是要找到一个控制，而综合的任务就是要找到一个控制u u*，使得相应，使得相应的性能指标的性能指标J(uJ(u*)取为极小值，这就是最优控制问题，取为极小值，这就是最优控制问题，确切地说是线性二次型最优控制问题，即确切地说是线性二次型最优控制问题，即LQLQ调节器调节器问题问题3 3综合问题的研究步骤综合问题的研究步骤第一步第一步 建立可综合条件建立可综合条件，就是相对于给定，就是相对于给定的受控系统和给定的期望性能指标，找的受控系统和给定的期望性能指标，找到使相应控制存在并且能实现综合目标到使相应控制存在并且能实现综合目标所应满足的条件所应满足的条件第二步第二步 建立相应的综合控制规律算法建立相应的综合控制规律算法，利，利用这些算法对满足可综合条件的问题，用这些算法对满足可综合条件的问题，确定出满足要求的控制律。确定出满足要求的控制律。4工程实现中的一些问题工程实现中的一些问题状态反馈的构成问题状态反馈的构成问题系统模型的不准确和参数摄动问题系统模型的不准确和参数摄动问题对外部扰动的影响和抑制问题对外部扰动的影响和抑制问题7.4.2 7.4.2 状态反馈与输出反馈状态反馈与输出反馈控控制制作作用用u u一一般般是是依依赖赖于于系系统统的的实实际际响响应应，也也就就是是说说控控制制作作用用u u可可以以表表示示成成系系统统状状态态或或输输出出的的一一个个线线性性向量函数：向量函数：简称状态反馈或输出反馈简称状态反馈或输出反馈,其结构图如下：其结构图如下：状态反馈与输出反馈的构成：状态反馈与输出反馈的构成：状态反馈状态反馈输出反馈输出反馈闭环状态闭环状态空间描述空间描述闭环传递闭环传递函数矩阵函数矩阵 显然两种反馈都改变了系统的系数矩阵，但并不能显然两种反馈都改变了系统的系数矩阵，但并不能说这两种反馈形式在改变系统结构属性和实现性能指说这两种反馈形式在改变系统结构属性和实现性能指标方面具有相同的功效。事实上，在改善系统性能方标方面具有相同的功效。事实上，在改善系统性能方面，状态反馈的效果要远远优于输出反馈，而输出反面，状态反馈的效果要远远优于输出反馈，而输出反馈的作用要远远小于状态反馈。馈的作用要远远小于状态反馈。状态、输出反馈对系统性能的影响状态、输出反馈对系统性能的影响结论结论1 1：状态反馈的引入不改变系统的能控性，但可状态反馈的引入不改变系统的能控性，但可能改变系统的能观测性。能改变系统的能观测性。结论结论2 2：输出反馈的引入能够同时不改变系统的能控输出反馈的引入能够同时不改变系统的能控性和能观测性性和能观测性注意：注意：系统经过反馈之后，能控性（或能观测性）不系统经过反馈之后，能控性（或能观测性）不发生改变，包含两部分的意义：对于完全能控（或发生改变，包含两部分的意义：对于完全能控（或完全能观测）的系统来讲，反馈系统仍旧是完全能完全能观测）的系统来讲，反馈系统仍旧是完全能控的（或完全能观测的）；另外对于不完全能控控的（或完全能观测的）；另外对于不完全能控（或不完全能观测）的系统来讲，反馈后系统能控（或不完全能观测）的系统来讲，反馈后系统能控（或能观测）子空间及不能控（或不能观测）子空（或能观测）子空间及不能控（或不能观测）子空间的维数保持不变。间的维数保持不变。结论结论1证明：证明：PBH特征向量方法：特征向量方法：对对A的任一特征值的任一特征值使同时满足使同时满足的特征向量的特征向量对于反馈控制系统有：对于反馈控制系统有：反馈系统与被控系统的能控性判别条件相同。反馈系统与被控系统的能控性判别条件相同。例：给定系统例：给定系统1 1）判断能控性和能观测性（完全能控，完全能观）判断能控性和能观测性（完全能控，完全能观）2 2）引入反馈：）引入反馈：K=0 4K=0 4，可得反馈系统：，可得反馈系统：判判断断反反馈馈系系统统能能控控性性和和能能观观测测性性（完完全全能能控控，不不完完全全能观测）：能观测）：3 3）引入反馈：）引入反馈：K=0 5K=0 5，可得反馈系统：，可得反馈系统：判判断断反反馈馈系系统统能能控控性性和和能能观观测测性性（完完全全能能控控，完完全全能能观测）：观测）：状态反馈与输出反馈的比较状态反馈与输出反馈的比较从反馈信息性质的角度比较：从反馈信息性质的角度比较：状态反馈所反馈的信状态反馈所反馈的信息是系统的状态，是一种可以完全表征系统结构的息是系统的状态，是一种可以完全表征系统结构的信息，所以状态反馈又称为完全的系统信息反馈。信息，所以状态反馈又称为完全的系统信息反馈。而输出反馈所反馈的信息是系统输出，这是一种不而输出反馈所反馈的信息是系统输出，这是一种不完全的系统信息反馈。一般来说要想是系统获得良完全的系统信息反馈。一般来说要想是系统获得良好的动态性能，必须采用完全的信息反馈，也就是好的动态性能，必须采用完全的信息反馈，也就是状态反馈。状态反馈。从改善系统性能上比较：从改善系统性能上比较：状态反馈要比输出反馈强，状态反馈要比输出反馈强，但也不是说就不再用输出反馈。要想使输出反馈也但也不是说就不再用输出反馈。要想使输出反馈也能达到满意的性能，就应该引入串联补偿器和并联能达到满意的性能，就应该引入串联补偿器和并联补偿器，构成一个动态的输出反馈系统。通常情况补偿器，构成一个动态的输出反馈系统。通常情况下，补偿器是阶次较低的线性系统，它的引入提高下，补偿器是阶次较低的线性系统，它的引入提高了整个反馈系统的阶次，这也是它的一个主要缺点。了整个反馈系统的阶次，这也是它的一个主要缺点。从反馈系统的工程实现角度比较：从反馈系统的工程实现角度比较：因为输出变量是因为输出变量是可以直接测量的，因此输出反馈显然要比状态反馈可以直接测量的，因此输出反馈显然要比状态反馈更容易在工程中实现。从这一点上来看，输出反馈更容易在工程中实现。从这一点上来看，输出反馈要优于状态反馈。要想解决状态反馈的实现问题，要优于状态反馈。要想解决状态反馈的实现问题，就必须引入一个附加的状态观测器。带有状态观测就必须引入一个附加的状态观测器。带有状态观测器的状态反馈系统也存在着一个明显的缺点：大大器的状态反馈系统也存在着一个明显的缺点：大大地提高整个反馈系统的阶次。地提高整个反馈系统的阶次。7.4.3 7.4.3 状态反馈极点配置状态反馈极点配置 状态反馈极点配置问题就是找到这样一个反馈控状态反馈极点配置问题就是找到这样一个反馈控制制 ，使得所导出的状态反馈闭环系统，使得所导出的状态反馈闭环系统 的极点达到期望极点的极点达到期望极点 进进行行极极点点配配置置的的主主要要原原因因就就在在于于通通常常情情况况下下，期期望望的的闭闭环环极极点点体体现现了了综综合合问问题题中中的的一一些些性性能能指指标标，如如时时域域中中的的过过渡渡过过程程时时间间、超超调调量量、调调整整时时间间以以及及频频域域中中的的增增益益稳稳定定裕裕度度，相相位位稳稳定定裕裕度度等等这这些些直直观观的的系系统统性性能能指指标标经经过过转转换换，经经验验估估计计，可可以以对对应应系系统统的的极极点点位位置置。进进行行极极点点配配置置实实际际上上就就是是让让系系统统达达到到所所要要求求的的性性能能指指标。标。极点配置条件极点配置条件定理：定理：线性定常系统可以通过线性状态反馈在线性定常系统可以通过线性状态反馈在S S平面上平面上任意配置其全部极点和特征频率的充要条件是系统是任意配置其全部极点和特征频率的充要条件是系统是（A A，B B）完全能控的。）完全能控的。理理解解：如如果果系系统统不不完完全全能能控控，通通过过结结构构分分解解，系系统统可可以以分解成两个小子系统：能控与不能控的，分解成两个小子系统：能控与不能控的，取状态反馈取状态反馈显显然然状状态态反反馈馈只只能能改改变变能能控控子子系系统统的的特特征征频频率率，而而对对不不能能控控部部分分却却丝丝毫毫不不起起作作用用，因因此此只只有有当当系系统统完完全全能能控控时，才可以在时，才可以在S S平面上任意配置其特征频率。平面上任意配置其特征频率。12单变量系统（单变量系统（SISI）的极点配置算法）的极点配置算法判断系统是否能控，如果是，则系统可以进行极点任判断系统是否能控，如果是，则系统可以进行极点任意配置，继续第二步，否则停止。意配置，继续第二步，否则停止。计算计算A A矩阵的特征多项式：矩阵的特征多项式：确定闭环系统的期望特征多项式：确定闭环系统的期望特征多项式：计算增益矩阵：计算增益矩阵：计算非奇异变换矩阵计算非奇异变换矩阵P P（将系统转化为能控标准型）：（将系统转化