离散型随机变量均值(公开课)

离散型随机变量均值离散型随机变量均值(公公开课开课)某商场为满足市场需求要将单价分别为某商场为满足市场需求要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg 的的3种糖果按种糖果按3：2：1的的 比例混合销售，其中混合糖果比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对混中每一颗糖果的质量都相等，如何对混合糖果定价才合理？合糖果定价才合理？定价为定价为 可以吗？可以吗？181/2+241/3+361/6=23元/kg181/2+241/3+361/6 X 18 24 36 P 1/2 1/3 1/6=18P(X=18)+24P(X=24)+36P(X=36)如果你买了如果你买了如果你买了如果你买了1kg1kg这种混合这种混合这种混合这种混合糖果，你要付多少钱？糖果，你要付多少钱？糖果，你要付多少钱？糖果，你要付多少钱？而你买的糖果的而你买的糖果的而你买的糖果的而你买的糖果的实际价值实际价值实际价值实际价值刚好是刚好是刚好是刚好是2323元吗？元吗？元吗？元吗？随机变量均值随机变量均值（概率意义下的（概率意义下的均值均值）样本平均值样本平均值1、离散型随机变量均值的定义、离散型随机变量均值的定义 X P 一般地一般地,若离散型随机变量若离散型随机变量X的概率分布为的概率分布为 则称则称 为随为随机变量机变量X的的均值均值或或数学期望数学期望,数学期望又简称为数学期望又简称为期望期望。它反映了离散型随机它反映了离散型随机变量取值的平均水平变量取值的平均水平。例题例题1随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子的点数子的点数X的均值的均值 X 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6解：随机变量解：随机变量X的取值为的取值为1，2，3，4，5，6其分布列为其分布列为所以随机变量所以随机变量X的均值为的均值为EX=1 1/6+2 1/6+31/6+4 1/6+5 1/6+6 1/6=3.5你能理解你能理解3.5的含义吗？的含义吗？你能归纳求离散型随机变量均值的步骤吗你能归纳求离散型随机变量均值的步骤吗?变式变式：将所得点数的：将所得点数的2倍加倍加1作为得分数，作为得分数，即即Y=2X+1，试求，试求Y的均值？的均值？例题例题1随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子的点数子的点数X的期望的期望 Y 3 5 7 9 11 13 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6解：随机变量解：随机变量X的取值为的取值为1，2，3，4，5，6其分布列为其分布列为所以随机变量所以随机变量Y的均值为的均值为 EY=3 1/6+5 1/6+71/6+9 1/6+11 1/6+13 1/6=8=2EX+1变式变式：将所得点数的：将所得点数的2倍加倍加1作为得分数，作为得分数，即即Y=2X+1，试求，试求Y的均值？的均值？你能猜想出你能猜想出结果吗结果吗?aEX+b X P 证：设离散型随机变量证：设离散型随机变量X的概率分布为的概率分布为所以所以Y的分布列为的分布列为 Y P 2、离散型随机变量均值的性质、离散型随机变量均值的性质(1)随机变量均值的线性性质随机变量均值的线性性质 解解:的分布列为的分布列为 所以所以 EE0P(0P(0)0)1P(1P(1)1)00.1500.1510.8510.850.850.85例题例题2篮球运动员在比赛中每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1 1分，分，罚不中得罚不中得0 0分已知姚明目前罚球命中的分已知姚明目前罚球命中的概率为概率为0.850.85，求他罚球，求他罚球1 1次的得分次的得分的均的均值？值？0 1 P 0.15 0.85解解:的分布列为的分布列为 所以所以 EE0P(0P(0)0)1P(1P(1)1)00.1500.1510.8510.850.850.85例题例题2 0 1 P 0.15 0.85P1-PP1-PP篮球运动员在比赛中每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1 1分，分，罚不中得罚不中得0 0分已知姚明目前罚球命中的概分已知姚明目前罚球命中的概率为率为0.850.85，求他罚球，求他罚球1 1次的得分次的得分的均值？的均值？例题例题2变式变式：若姚明在某次比赛中罚球：若姚明在某次比赛中罚球3次，次，求他罚球的得分求他罚球的得分的均值？的均值？若若B(1，0.85),则则E=0.85若若B(10，0.85),则则E=?你能猜想出你能猜想出结果吗结果吗?篮球运动员在比赛中每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1 1分，分，罚不中得罚不中得0 0分已知姚明目前罚球命中的概分已知姚明目前罚球命中的概率为率为0.850.85，求他罚球，求他罚球1 1次的得分次的得分的均值？的均值？求证：求证：若若B(n，p)，则则E=npE =0Cn0p0qn+1Cn1p1qn-1+2Cn2p2qn-2+kCnkpkqn-k+nCnnpnq0P(=k)=Cnkpkqn-k证明：证明：=np(Cn-10p0qn-1+Cn-11p1qn-2+Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1)+Cn-1n-1pn-1q0)0 1 k n P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 Cnkpkqn-k Cnnpnq0(k Cnk=n Cn-1k-1)=np(p+q)n-1=nphttp:/ 若XB(n，p)，则E(X)=np(2)两点分布的均值两点分布的均值(3)二项分布的均值二项分布的均值 若XB(1，p)，则E(X)=p一次英语单元测验由一次英语单元测验由2020个选择题构成，每个选择题构成，每个选择题有个选择题有4 4个选项，其中有且仅有一个个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得选项是正确答案，每题选择正确答案得5 5分，不作出选择或选错不得分，满分分，不作出选择或选错不得分，满分100100分。学生甲选对任一题的概率为分。学生甲选对任一题的概率为0.90.9，学，学生乙则在测验中对每题都从生乙则在测验中对每题都从4 4个选项中随个选项中随机地选择一个。求学生甲和学生乙在这次机地选择一个。求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的均值。英语单元测验中的成绩的均值。例题例题3解解：设学生甲和学生乙在这次英语测验中设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择题个数分别是选择了正确答案的选择题个数分别是和和，则，则 B(20B(20，0.9)0.9)，B(20B(20，0.25)0.25)，EE200.9200.91818，EE200.25200.255 5由于答对每题得由于答对每题得5 5分，学生甲和学生乙在这分，学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩分别是次英语测验中的成绩分别是55和和55。所。所以，他们在测验中的成绩的均值分别是以，他们在测验中的成绩的均值分别是E(5)E(5)5E5E5185189090，E(5)E(5)5E5E555525252某篮球运动员某篮球运动员3分球投篮命中的概率是分球投篮命中的概率是 ,在某次三分远投比赛中在某次三分远投比赛中,共投篮共投篮3次次,设设 是他投中的次数是他投中的次数.1)求求E ;2)若投中若投中1次得次得3分分,求他得分的均值求他得分的均值;10根据气象预报根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上该地区某工地上有一台大型设备有一台大型设备,遇到大洪水时损失遇到大洪水时损失60000元元,遇到小洪水损失遇到小洪水损失10000元元.为保护设备为保护设备,有以下有以下3种方案种方案:方案方案1:运走设备运走设备,搬运费为搬运费为3800元元;方案方案2:建保护围墙建保护围墙,建设费为建设费为2000元元,但围墙只能防小洪水但围墙只能防小洪水;方案方案3:不采取任何措施不采取任何措施,希望不发生洪水希望不发生洪水.试比较哪一种方案好试比较哪一种方案好?例例 4