第6讲DEA模型65236

第第6 6讲讲DEADEA模型模型6523665236一、多目标决策问题实例一、多目标决策问题实例干部评估干部评估德、才兼备德、才兼备教师晋升教师晋升教学数量、质量、科研成果教学数量、质量、科研成果购买冰箱购买冰箱价格、质量、耗电、品牌等价格、质量、耗电、品牌等球员选择球员选择技术、体能、经验、心理技术、体能、经验、心理找对象找对象容貌、学历、气质、家庭状况容貌、学历、气质、家庭状况 多目标决策多目标决策的基本概念的基本概念二、多目标决策问题特点二、多目标决策问题特点决策目标多于一个目标间存在不可公度性，即各个目标间没有统一的衡量标准，如大型水电开发方案决策问题中发电目标是多少度或多少电费，而环境改善目标无法折算成货币标准目标间的矛盾性，某个目标的改进必然导致另外某些目标的劣化。三、多目标决策与单目标决策区别三、多目标决策与单目标决策区别点评价与向量评价点评价与向量评价 单目标：单目标：方案方案dj 评价值评价值f(dj)多目标：方案多目标：方案dj评价向量评价向量(f1(dj)，f2(dj)，fp(dj)决策者偏好决策者偏好：多目标决策过程中，反映决策者对：多目标决策过程中，反映决策者对目标的偏好。目标的偏好。四、多目标决策问题的分类四、多目标决策问题的分类多属性决策问题多属性决策问题（MultiAttributedecisionmakingproblem)：决策变量是离散的，决策方案的数量是有限的，因此有时也称为有限方案多目标决策问题。多目标决策问题多目标决策问题（Mulitiobjectivedecisionmakingproblem)：决策变量是连续的，决策方案为无限多，因此，有时也称为无限多方案多目标决策问题多准则决策问题多准则决策问题（Multicriteriondecisionmakingproblem),通常指多目标和多属性决策。国内用的比较混乱。国外一般用多准则决策.多目标决策相关术语多目标决策相关术语属性：备选方案的特征、品质、性能参数目标：决策希望达到目的的标准准则：判断事务的标准，兼指属性和目标多目标决策解的概念多目标决策解的概念单目标决策的解只有一种（绝对）最优解多目标决策的解有下面四种情况：绝对最优解劣解有效解(pereto解)弱有效解（weakefficientsolution）多目标问题的解多目标问题的解为决策变量如对于求极大(max)型，其各种解定义如下：绝对最优解：若对于任意的X，都有F（X*）F(X)有效解：若不存在X，使得F（X*）F(X)弱有效解：若不存在X，使得F（X*)F(X)层次分析法（层次分析法（AHP）数据包络分析（数据包络分析（DEA)主成分分析法主成分分析法(PCA)目标规划方法目标规划方法TOPSISTOPSIS方法或理想点法方法或理想点法方法或理想点法方法或理想点法多目标规划法多目标规划法模糊决策法模糊决策法五、常用多目标决策方法五、常用多目标决策方法一、DEA方法介绍数据包络分析方法数据包络分析方法（DEA，DataEnvelopmentAnalysis）由Charnes、Coopor和Rhodes于1978，以相对效率概念为基础提出来的一种效率评价方法。该方法的原理主要是通过保持决策单元（DMU：,DecisionMakingUnits）的输入或者输入不变，借助于数学规划和统计数据确定相对有效的生产前沿面，将各个决策单元投影到DEA的生产前沿面上，并通过比较决策单元偏离DEA前沿面的程度来评价它们的相对有效性。1978年，著名运筹学家、美国德克萨斯大学教授A.Charnes及W.W.Cooper和E.Rhodes发表了一篇重要论文：“Measuringtheefficiencyofdecisionmakingunits”（决策单元的有效性度量），刊登在权威的“欧洲运筹学杂志”上。正式提出了运筹学的一个新领域：数据包络分析，其模型简称C2R模型。该模型用以评价部门间的相对有效性（因此被称为DEA有效）。DEA是应用数学规划模型来评价具有多个输入和多个输出的“部门”或“单位”的相对有效性的。根据各DMU的观察数据判断其是否有效，本质上是判断DMU是否位于生产可能集的“前沿面”上。应用DEA方法和模型可以确定生产前沿面的结构，因此又可以将DEA看作是一种非参数的统看作是一种非参数的统计估计方法计估计方法。特别当DEA被用来研究多输入、多输出的生产函数理论时，由于不需要预先估计参数，因而在避免主观因素和简化算法、减少误差等方面有着巨大的优越性。数据包络分析(即DEA)也可以看作是一种统计分析的新方法，它是根据一组关于输入输出的观察值来估计有效生产前沿面的。在有效性的评价方面，除了DEA方法以外，还有其它的一些方法，但是那些方法几乎仅限于单输出的情况。相比之下，DEA方法处理多输入，特别是多输出的问题的能力是具有绝对优势的。并且，DEA方法不仅可以用线性规划来判断决策单元对应的点是否位于有效生产前沿面上，同时又可获得许多有用的管理信息。因此，它比其它的一些方法（包括采用统计的方法）优越，用处也更广泛。DEA也可以用来研究多种方案之间的相对有效性（例如投资项目评价）；研究在做决策之前去预测一旦做出决策后它的相对效果如何（例如建立新厂后，新厂相对于已有的一些工厂是否为有效)。DEA模型甚至可以用来进行政策评价特别值得指出的是，DEA方法是纯技术性的，与市场（价格）可以无关。只需要区分投入与产出，不需要对指标进行无量纲化处理，可以直接进行技术效率与规模效率的分析而无须再定义一个特殊的函数形式，而且对样本数量的要求不高，这是别的方法所无法比拟的。近30年来，已经有数以千计关于DEA的研究论文、工作报告和博士论文等发表。某些运筹学或经济学的重要刊物，如：AnnalsofOperationalResearch（1985），EuropeanJournalofOperationalResearch（1992），JournalofProductivityAnalysis（1992），JournalofEconometic（1990）以及ComputersandOperationsResearch等都出版了DEA研究的特刊。在国外，DEA方法已经成功地应用于银行、城市、医院、学校及军事等方面效率的评价，在对相互之间存在激烈竞争的私营企业和公司的效率评价中，也显示出巨大的优越性。在国内，经济和管理领域的许多方面，DEA方法都得到了重要的应用。DEA方法以相对效率概念为基础，以凸分析和线形规划为工具的一种评价方法，应用数学规划模型计算比较决策单元之间的相对效率，对评价对象做出评价，它能充分考虑对于决策单元本身最优的投入产出方案，因而能够更理想地反映评价对象自身的信息和特点；同时对于评价复杂系统的多投入多产出分析具有独到之处。DEA方法的特点方法的特点：（1）适用于多输出-多输入的有效性综合评价问题，在处理多输出-多输入的有效性评价方面具有绝对优势；（2）DEA方法并不直接对数据进行综合，因此决策单元的最优效率指标与投入指标值及产出指标值的量纲选取无关，应用DEA方法建立模型前无须对数据进行无量纲化处理（当然也可以）。（3）无须任何权重假设，而以决策单元输入输出的实际数据求得最优权重，排除了很多主观因素，具有很强的客观性（4）DEA方法假定每个输入都关联到一个或者多个输出，且输入输出之间确实存在某种联系，但不必确定这种关系的显示表达式二、DEA基本原理和模型一、一、DEA模型概述模型概述对具有相同类型的部门、企业或者同一企业不同时期的相对效率进行评价，这些部门、企业或时期称为决策单元。评价的依据是决策单元的一组投入指标数据和一组产出指标数据。投入指标投入指标是指决策单元在经济和管理活动中需要耗费的经济量，例如固定资产原值、流动资金平均余额、自筹技术开发资金、职工人数、占用土地等。产出指标产出指标是指决策单元在某种投入要素组合下，表明经济活动产生成效的经济量，例如总产值、销售收入、利税总额、产品数量、劳动生产率、产值利润率等。指标数据指标数据是指实际观测结果，根据投入指标数据和产出指标数据评价决策单元的相对效率，即评价部门、企业或时期之间的相对有效性。DEA方法就是评价多指标投入和多指方法就是评价多指标投入和多指标产出决策单元相对有效性的多目标决策标产出决策单元相对有效性的多目标决策方法。方法。为了说明为了说明DEA模型的建模思路，我们模型的建模思路，我们看下面的例子。看下面的例子。例：例：某公司有甲、乙、丙三个企业，为评价这几个企业某公司有甲、乙、丙三个企业，为评价这几个企业的生产效率，收集到反映其投入（固定资产年净值的生产效率，收集到反映其投入（固定资产年净值x1、流、流动资金动资金x2、职工人数、职工人数x3）和产出（总产值）和产出（总产值y1、利税总额、利税总额y2）的有关数据如下表的有关数据如下表:企业指标甲乙丙x1（万元）41527x2（万元）1545x3（万元）825y1（万元）602224y2（万元）1268 由于投入指标和产出指标都不止一个，故通常采用加由于投入指标和产出指标都不止一个，故通常采用加权的办法来综合投入指标值和产出指标值。权的办法来综合投入指标值和产出指标值。对于第一个企业，产出综合值为对于第一个企业，产出综合值为60u1+12u2,投入综合值投入综合值4v1+15v2+8v3，其中其中u1 u2 v1 v2 v3分别为产出与投入的权重系分别为产出与投入的权重系数。数。我们定义第一个企业的生产效率为：我们定义第一个企业的生产效率为：总产出与总投入的比总产出与总投入的比即即:类似，可知第二、第三个企业的生产效率分别为：类似，可知第二、第三个企业的生产效率分别为：我们限定所有的我们限定所有的hj值不超过值不超过1，即，即 ，这意味着，若第，这意味着，若第k个企业个企业hk=1，则该企业相对于其他企业来说生产率最高，或，则该企业相对于其他企业来说生产率最高，或者说这一生产系统是相对有效的，若者说这一生产系统是相对有效的，若hk1，那么该企业相对，那么该企业相对于其他企业来说，生产效率还有待于提高，或者说这一生产于其他企业来说，生产效率还有待于提高，或者说这一生产系统还不是有效的。系统还不是有效的。即即因此，建立第一个企业的生产效率最高的优化模型如下：因此，建立第一个企业的生产效率最高的优化模型如下：这是一个分式规划，需要这是一个分式规划，需要将它化为线性规划才能求将它化为线性规划才能求解。解。max设设则此分式规划可化为如下的则此分式规划可化为如下的线性规划线性规划其对偶问题为：其对偶问题为：max 总总结结：设vi为第i个指标xi的权重，ur为第r个产出yr指标的权重，则第j个企业投入的综合值为 ，产出的综合值为 其生产效率定义为:于是问题实际上是确定一组最佳的权变量v1,v2,v3和u1,u2，使第j个企业的效率值hj最大。这个最大的效率评价值是该企业相对于其他企业来说不可能更高的相对效率评价值。我们限定所有的hj值(j=1,2,3)不超过1，即maxhj1。这意味着，若第k个企业hk=1，则该企业相对于其他企业来说生产率最高，或者说这一系统是相对而言有效的；若hk1，那么该企业相对于其他企业来说，生产率还有待于提高，或者说这一生产系统还不是有效的。根据上述分析，可以建立确定任何一个企业（如第3 个企业即丙企业）的相对生产率最优化模型如下：输入型与输出型的输入型与输出型的DEA模型模型Input-DEA模型：基于投入的技术效率，即在一定产出下，以最小投入与实际投入之比来估计。或者说，决策者追求的倾向是输入的减少，即求的最小。Output-DEA模型：基于产出的技术效率，即在一定的投入组合下，以实际产出与最大产出之比来估计。或者说，决策者追求的倾向是输出的增大，即求z的最大。定义：123jnv11x11x12x13x1jx1nv22x21x22x23x2jx2n.vi.Xij.vmmxm1xm2xm3xmjxmny11y12y13y1jy1n1u1y21y22y23y2jy2n2u2.yrj.ur.ys1ys2ys3ysjysnsusm种输入n个决策单元（DMU）s种输出二、DEA基本原理和模型权系数权系数各字母定义如下：xij-第j个决策单元对第i种类型输入的投入总量.xij0yrj-第j个决策单元对第r种类型输出的产出总量.yrj0vi-对第i种类型输入的一种度量，权系数ur-对第r种类型输出的一种度量，权系数i-1,2,mr-1,2,sj-1,2,n C C2 2R R模型模型 ：规模报酬不变规模报酬不变规模报酬不变规模报酬不变 设有n个部门(企业)，称为n个决策单元，每个决策单元都有p种投入和q种产出，分别用不同的经济指标表示。这样，由n个决策单元构成的多指标投入和多指标产出的评价系统，可以用下图表示：V决策单元12knv1x11x12x1kx1n投入v2x21x22x2kx2nvpxp1xp2 xpkxpn决策单元12knUy11y12y1ky1nu1y21y22y2ky2nu2产出yq1yq2 yqkyqnuqxik表示第k个决策单元第i种 投入指标的投入量，xik0；（是已知数据）vi表示第i种投入指标的权系数，vi0（是变权数）yjk表示第k个决策单元第j种 产出指标的产出量，yjk0；（是已知数据）uj表示第k种产出指标的权系数，uj0（是变权数）对于每一个决策单元DMUj都有相应的效率评价指数效率评价指数：我们可以通过适当的取权系数我们可以通过适当的取权系数v和和u，使得hj1,j=1,，n对第j0个决策单元进行效率评价，一般说来，hj0越大表明DUMj0能够用相对较少的输入而取得相对较多的输出。这样我们如果对DUMj0进行评价，看DUMj0在这n个DMU中相对来说是不是最优的，我们可以考察当尽可能地变化权重时，hj0的最大值究竟是多少。如以第j0个决策单元的效率指数为目标，以所有决策单元的效率指数为约束，就构造了如下的CCR（C2R）模型：上述规划模型是一个分式规划，使用CharnesCooper变化，令：可变成如下的线性规划模型P：（P）利用线性规划的最优解来定义决策单元j0的有效性，从模型可以看出，该决策单元j0的有效性是相对相对其他所有决策单元而言的。对于CCR模型可以用规划P表达，而线性规划一个重要的有效理论是对偶理论，通过建立对偶模型更容易从理论和经济意义上作深入分析规划P的对偶规划为规划D/：（D/）为了讨论和计算应用方便，进一步引入松弛变量s和剩余变量s，将上面的不等式约束变为等式约束，可变成：（D）将上述规划（D）直接定义为规划（P）的对偶规划 例：例：设有设有4 4个决策单元，个决策单元，2 2个投入指标和个投入指标和1 1个产出指标的评价系统，其数据如个产出指标的评价系统，其数据如下图。写出评价第下图。写出评价第1 1个决策单元相对效率的个决策单元相对效率的C C2 2R R模型。模型。1234决策单元投入113342313211211产出 解：解：（P P）：）：Max V VP P=1 1 s.t.s.t.1 1+3+3 2 2-1 1 0 0 3 3 1 1+2 2-1 1 0 0 3 3 1 1+3+3 2 2-2-2 1 1 0 0 4 4 1 1+2+2 2 2-1 1 0 0 1 1+3+3 2 2=1=1 1 1,2 2,1 1 0 0（D D）：）：Min V VD D=s.t.s.t.1 1+3+3 2 2+3+3 3 3+4+4 4 4+s+s-1 1=3 3 1 1+2 2+3+3 3 3+2+2 4 4+s+s-2 2=3=3 1 1+2 2+2+2 3 3+4 4 s s+1 1=1=1 1 1,2 2,3 3,4 4,s,s-1 1,s,s-2 2 s s+1 1 0 0DEA有效性的定义：我们能够用C2R模型判定是否同时技术有效技术有效和规模有效规模有效：（1）*1，且s*0，s*-0。则决策单元j0为DEA有效，决策单元的经济活动同时为技术有效和规模有效（2）*1，但至少某个输入或者输出大于0，则决策单元j0为弱DEA有效，决策单元的经济活动不是同时为技术效率最佳和规模最佳（3）*1，决策单元j0不是DEA有效，经济活动既不是技术效率最佳，也不是规模最佳在评价决策单元是否为DEA有效时,如果利用原线性规划问题需要判断是否存在最优解 ，满足：如果利用对偶线性规划需要判断它的所有最优解都满足 无论是对于线性规划还是对于对偶规划，这都是不容易做到的。因此Charnes 和Cooper引入了非阿基米德无穷小的概念，利用线性规划方法求解。去判断决策单元的DEA有效性。具有非阿基米德无穷小的具有非阿基米德无穷小的C2R模型模型:1952年，Charnes通过引入具有非阿基米德无穷小量，从而可以利用单纯形方法求解线性规划问题，来判定决策单元的DEA有效性，成功解决了计算和技术上的困难，建立了具有非阿基米德无穷小量的C2R模型。令是非阿基米德无穷小量，它是一个小于任何正数、且大于零的数。C2R模型的计算：最优解为，。在实际操作中，只要取在实际操作中，只要取 足够小，例如取足够小，例如取=10-6。按照阿基米德公理，“无穷小”只能为零。文献：张宝成.含非阿基米德无穷小量DEA模型的研究综述,系统工程学报,2010年6月 【例例】设有设有4 4个决策单元，个决策单元，2 2个投入指标和个投入指标和1 1个产出指标的评价系统，其数据如下图。个产出指标的评价系统，其数据如下图。判定各个决策单元是否判定各个决策单元是否 DEA DEA 有效。有效。1234决策单元投入113342313211211产出 解：解：决策单元决策单元1 1所对应的线性规划（所对应的线性规划（D D），取），取 =10=10-6-6，为，为 （D D）：）：Min V VD D=-0.000001(s-0.000001(s-1 1+s+s-2 2+s+s+1 1)s.t.s.t.1 1+3+3 2 2+3+3 3 3+4+4 4 4+s+s-1 1=3 3 1 1+2 2+3+3 3 3+2+2 4 4+s+s-2 2=3=3 1 1+2 2+2+2 3 3+4 4 s s+1 1=1=1 1 1,2 2,3 3,4 4,s,s-1 1,s,s-2 2 s s+1 1 0 0利用单纯形法求解，得到最优解利用单纯形法求解，得到最优解 0 0=(1,0,0,0)=(1,0,0,0)T T ，S S1 10-0-=S=S2 20-0-=S=S1 10+0+=0=0，0 0=1=1因此，决策单元因此，决策单元1 1为为DEADEA有效。有效。决策单元决策单元4 4所对应的线性规划（所对应的线性规划（D D），取），取 =10=10-6-6，为，为（D D）：）：Min V VD D=-0.000001(s-0.000001(s-1 1+s+s-2 2+s+s+1 1)s.t.s.t.1 1+3+3 2 2+3+3 3 3+4+4 4 4+s+s-1 1=4=4 3 3 1 1+2 2+3+3 3 3+2+2 4 4+s+s-2 2=2=2 1 1+2 2+2+2 3 3+4 4 s s+1 1=1=1 1 1,2 2,3 3,4 4,s,s-1 1,s,s-2 2 s s+1 1 0 0利用单纯形法求解，得到最优解利用单纯形法求解，得到最优解 0 0=(0,3/5,1/5,0)=(0,3/5,1/5,0)T T ，S S1 10-0-=S=S2 20-0-=S=S1 10+0+=0=0，0 0=3/5=3/51 1因此，决策单元因此，决策单元4 4不是不是DEADEA有效。有效。同样地，经过判定，决策单元同样地，经过判定，决策单元2 2，3 3均为均为DEADEA有效。有效。j使各个有效点连接起来,形成有效前沿面;非零的s+、s-使有效前沿面可以沿水平和垂直方向延伸,形成包络面。在实际运用中,对松弛变量的研究是有意义的,因为它是一种纯的过剩量(s-)或不足量(s+)，则表示DMU离有效前沿面或包络面的一种径向优化量或“距离”设其中,是决策单元j0对应的线性规划（D）的最优解,则(,)为DMUj0对应的(x0,y0)在DEA的相对有效面上的投影,它是DEA有效的。C2R模型中变量的经济含义:定理3DEA有效的经济含义有效的经济含义DEA的理论、模型是以微观经济学为其理论基础。生产前沿面：生产前沿面：生产前沿面是指由观察到的决策单元的输入数据和输出数据的包络面的有效部分，这也是称谓“数据包络分析”的原因所在。决策单元为DEA有效，也即相应于生产可能集而言，以投入最小、产出最大为目标的Pareto最优。因此，生产前沿面即为Pareto面（Pareto最优点构成的面）。参考文献：李双杰参考文献：李双杰，范，范超：超：随机前沿分析与数据随机前沿分析与数据包络分析方法的评析与比较包络分析方法的评析与比较，统计与决策，统计与决策2009年年第第7期期研究DEA有效性的经济含义是以生产函数y=为背景的“技术有效技术有效”：若生产状态（x,y）满足y=，则称生产状态（x,y）是“技术有效”的（也即输出相对输入而言已达到最大）。此时，点（x,y）位于生产函数的曲面上 “规模有效规模有效”：当当 时，经济学中的“边际报酬递减规律”是指：生产函数的一阶导数表现为先增后减的规律（或函数先为凸，后为凹）。所谓“规模有效”，是指投入量x既不偏大，也不过小，是介于规模收益由递增（递增）到递减（递减）之间的一种状态（即“规模收益不变”的最佳状态）。我们现在来研究在模型C2R之下的DEA有效性的经济含义.检验决策单元j0的DEA有效性,即考虑线性规划问题:由于 ,即 满足 可以看出,线性规划是表示在生产可能集T内,当产出Y0保持不变的情况下,尽量将投入量X0按同一比例减少.如果投入量X0不能按同一比例减少,即线性规划的最优值=1,在单输入与单输出的情况下,决策单元j0既为技术有效,也为规模有效.反之,如果投入量X0能按同一比例减少,即线性规划的最优值1,在单输入与单输出的情况下,决策单元j0不为技术有效,或不为规模有效.1 1 、生产函数和生产可能集生产函数和生产可能集 .(1).(1)生产函数生产函数 y=f(x)y=f(x)：在单投入和单产出的情况下，生产函数：在单投入和单产出的情况下，生产函数(一般是增函数一般是增函数)表示理想的生产表示理想的生产 状态，即投入状态，即投入x x所能获得的最大产出所能获得的最大产出y y。因此，生产函数曲线上的点。因此，生产函数曲线上的点(x,y)(x,y)所对应的决策单元，所对应的决策单元，从生产函数的角度看，是处于从生产函数的角度看，是处于技术有效技术有效状态状态.生产函数图形如下图，生产函数图形如下图，A A、C C处于技术有效状态。处于技术有效状态。点点A A将曲线分为两部分，在点将曲线分为两部分，在点A A之左，之左，y y0 0，y y0 0，曲线在生产函数的下凸区间，曲线在生产函数的下凸区间，表示增加投入量可以使产出量的递增速度增加，此时称为表示增加投入量可以使产出量的递增速度增加，此时称为规模收益规模收益递增，厂商有投资的积极性；递增，厂商有投资的积极性；在点在点A A之右，之右，y y0 0，y y0 0，曲线是上凸的，在此区间，增加投入量只能使产出量增加的速度，曲线是上凸的，在此区间，增加投入量只能使产出量增加的速度减减 小，此时称为规模收益递减，厂商己经没有增加投资的积极性。小，此时称为规模收益递减，厂商己经没有增加投资的积极性。点点A A是生产函数曲线的拐点，是生产函数曲线的拐点，点点A A所对应的决策单元，既是技术有效，也是规模有效。所对应的决策单元，既是技术有效，也是规模有效。这是因为该决策单元减少投入量或增加投入量，都不是最佳生产规模。这是因为该决策单元减少投入量或增加投入量，都不是最佳生产规模。点点C C在生产函数曲线上，对应的决策单元技术有效，但不是规模有效。在生产函数曲线上，对应的决策单元技术有效，但不是规模有效。这是由于点这是由于点C C位于规模收益递减区间。位于规模收益递减区间。点点B B不在生产函数曲线之上，并位于规模收益递减区域，点不在生产函数曲线之上，并位于规模收益递减区域，点B B所对应的决策单元既不是技术所对应的决策单元既不是技术 有效，也不是规模有效。有效，也不是规模有效。B(4,1)oyxC(5,3.5)A(2,2)y=f(x)考虑投入量为 ，产出量为 的某种生产活动。我们的目的是根据所观察到的生产活动（xj,yj),j=1,2,n,去描述生产可能集，特别是根据这些观察数据去确定哪些生产活动是相对有效的。(2)生产可能集生产可能集所有可能的生产活动构成的集合，记作所有可能的生产活动构成的集合，记作T=(X,Y)|产出产出Y可由投入可由投入X生产出来生产出来，因此，生产可能集可确定为：有效性定义：有效性定义：对任何一个决策单元，它达到对任何一个决策单元，它达到100%的效率是的效率是指：指：在现有的输入条件下，任何一种输出都无法增加，在现有的输入条件下，任何一种输出都无法增加，除非同时降低其他种类的输出；除非同时降低其他种类的输出；要达到现有的输出，任要达到现有的输出，任何一种输入都无法降低，除非同时增加其他种类的输入。何一种输入都无法降低，除非同时增加其他种类的输入。一个决策单元达到了一个决策单元达到了100%的效率，该决策单元就是有效的，的效率，该决策单元就是有效的，也就是有效的决策单元。也就是有效的决策单元。无效性定义无效性定义：（1）对任意（X，Y）T，并且 ，均有（2）对任意（X，Y）T，并且 ，均有这就是说，以较多的输入或较少的输出进行生产总是可能的。由于由于(X(Xk k,Y,Yk k)是决策单元是决策单元k k的生产活动，于是有的生产活动，于是有(X(Xk k,Y,Yk k)T T，k=1,2,k=1,2,n,n 在在C C2 2R R模型中，生产可能集应该满足下面的四条公理：模型中，生产可能集应该满足下面的四条公理：公理公理1(1(凸性凸性)对于任意对于任意(X(X1 1,Y,Y1 1)T T、(X(X2 2,Y,Y2 2)T T，以及任意，以及任意0,10,1，均有，均有 (X(X1 1,Y,Y1 1)+(1-)+(1-)(X(X2 2,Y,Y2 2)=()=(X X1 1+(1-+(1-)X X2 2 ，Y Y1 1+(1-+(1-)Y Y2 2)T T 即是说即是说,如果如果 X X1 1,X,X2 2 分别以分别以 ,1-,1-加权和作为投入量，则加权和作为投入量，则 Y Y1 1,Y,Y2 2以同样的加权和作为产出量。以同样的加权和作为产出量。公理公理2(2(锥性锥性)对于任意对于任意(X,Y)(X,Y)T T，以及任意数，以及任意数 0，均有，均有 (X,Y)=(X,Y)=(X,X,Y)Y)T T 即是说，如果以即是说，如果以 X X 的的 倍作为投入量，则产出量是倍作为投入量，则产出量是 Y Y 的同样倍数。的同样倍数。公理公理3(3(无效性无效性)对于任意对于任意(X,Y)(X,Y)T T，若若 X XXX，则均有，则均有(X(X,Y),Y)T T；若若 Y YYY，则均有，则均有(X,Y(X,Y)T T。即是说，在原生产活动中，单方面地增加投入量或者减少产出量，生产活动总是可能的。即是说，在原生产活动中，单方面地增加投入量或者减少产出量，生产活动总是可能的。公理公理4(4(最小性最小性)生产可能集生产可能集 T T 是满足公理是满足公理1 13 3的所有集合的交集。的所有集合的交集。由由 n n 个决策单元个决策单元(X(Xk k,Y,Yk k)的生产活动所描述的生产可能集，满足公理的生产活动所描述的生产可能集，满足公理1 14 4是唯一确定的。是唯一确定的。这个生产可能集可以表示为：这个生产可能集可以表示为：【例例4 4】设有单投入单产出设有单投入单产出3 3个决策单元的评价系统，其数据如下图：个决策单元的评价系统，其数据如下图：1231245213.51 则其生产可能集为则其生产可能集为 (3)(3)模型模型C C2 2R R下下DEADEA有效性的经济意义有效性的经济意义 由于由于(X(X0 0,Y,Y0 0)T T，即，即(X(X0 0,Y,Y0 0)满足条件：满足条件：线性规划模型（线性规划模型（D D）表示在生产可能集内，当产出）表示在生产可能集内，当产出Y Y0 0保持不变的情况下，保持不变的情况下，尽量将投入量尽量将投入量X X0 0按同一比例减少。按同一比例减少。如果投入量如果投入量X X0 0不能按同一比例不能按同一比例减少，即模型（减少，即模型（D D）的最优值）的最优值V VD D =0 0=1=1，决策单元，决策单元k k0 0同时技术有效和规模有效；同时技术有效和规模有效；如果投入量如果投入量X X0 0能按同一比例能按同一比例 减少，模型（减少，模型（D D）最优值）最优值V VD D =0 0 1 1，决策单元决策单元k k0 0不是技术有效或规模有效。不是技术有效或规模有效。其中：设模型（设模型（D D）的最优解为）的最优解为 0 0、s s0-0-、s s0+0+、0 0 ，分三种情况进一步讨论：，分三种情况进一步讨论：0 0=1=1，且，且 s s0-0-=0=0、s s0+0+=0=0：决策单元：决策单元k k0 0为为DEA有效有效。其其经济意义经济意义是：决策单元是：决策单元k k0 0的生产活动的生产活动(X(X0 0,Y,Y0 0)同时为技术有效和规模有效。同时为技术有效和规模有效。所谓所谓技术有效技术有效，是指对于生产活动，是指对于生产活动(X(X0 0,Y,Y0 0)，从技术角度来看，资源获得了充分利用，从技术角度来看，资源获得了充分利用，投入要素达到最佳组合，取得了最大的产出效果，效率评价指标投入要素达到最佳组合，取得了最大的产出效果，效率评价指标 h h0 0=V=Vp p=V=VD D=0 0=1 =1。0 0=1=1，但至少有某个，但至少有某个 s si i0-0-0 0 或者至少有某个或者至少有某个 s sj j0+0+0 0：决策单元：决策单元k k0 0为为弱弱DEA有效有效。其经济意义是：决策单元其经济意义是：决策单元 k k0 0 不是同时技术有效和规模收益有效。不是同时技术有效和规模收益有效。若某个若某个s si i0-0-0 0，表示第，表示第 i i 种投入指标有种投入指标有 s si i0-0-没有充分利用；没有充分利用；若某个若某个s sj j0+0+0 0，表示第，表示第 j j 种产出指标与最大产出值尚有种产出指标与最大产出值尚有 s sj j0+0+的不足。的不足。0 0 1 1：决策单元：决策单元k k0 0不是不是DEA有效。有效。其经济意义是：决策单元其经济意义是：决策单元 k k0 0 的生产活动的生产活动(X(X0 0,Y,Y0 0)既不是技术效率最佳既不是技术效率最佳,也不是规模收益最佳。也不是规模收益最佳。例如，例如，=0.9=0.91 1，模型（，模型（D D）的约束条件为）的约束条件为 这表示：得到产出量这表示：得到产出量Y Y0 0，至多只需投入量，至多只需投入量0.9X0.9X0 0，即生产活动，即生产活动(X(X0 0,Y,Y0 0)的投入规模过大，故不是同时的投入规模过大，故不是同时为技术效率最佳和规模收益最佳。为技术效率最佳和规模收益最佳。【例例5 5】设有单投入单产出设有单投入单产出3 3个决策单元的评价系统个决策单元的评价系统(数据如下数据如下)，讨论各决策单元的，讨论各决策单元的DEADEA有效性。有效性。1231245213.51 解：解：决策单元决策单元 1 1 的线性规划模型（的线性规划模型（D D），取），取 =10=10-6-6，为，为 （D D）：）：Min V VD D=-0.000001(s-0.000001(s-1 1+s+s+1 1)s.t.2 s.t.2 1 1+4+4 2 2+5+5 3 3+s+s-1 1=2=2 2 2 1 1+2 2+3.5+3.5 3 3 s s+1 1=2=2 1 1,2 2,3 3,s,s-1 1,s,s+1 1 0 0 利用单纯形法求解，得到最优解利用单纯形法求解，得到最优解 0 0=(1,0,0)=(1,0,0)T T，S S1 10-0-=S=S1 10+0+=0=0，0 0=1=1 因此，决策单元因此，决策单元 1 1 同时技术有效和规模有效。同时技术有效和规模有效。生产活动生产活动(2(2，2)2)在图中对应点在图中对应点A A，表示同时取得最佳技术效率和最佳规模收益。，表示同时取得最佳技术效率和最佳规模收益。B(4,1)oyxC(5,3.5)A(2,2)y=f(x)决策单元决策单元 2 2 的线性规划模型（的线性规划模型（D D），取），取 =10=10-6-6，为，为 （D D）：）：Min V VD D=-0.000001(s-0.000001(s-1 1+s+s+1 1)s.t.2 s.t.2 1 1+4+4 2 2+5+5 3 3+s+s-1 1=4=4 2 2 1 1+2 2+3.5+3.5 3 3 s s+1 1=1=1 1 1,2 2,3 3,s,s-1 1,s,s+1 1 0 0 利用单纯形法求解，得到最优解利用单纯形法求解，得到最优解 0 0=(1/2,0,0)=(1/2,0,0)T T，S S1 10-0-=S=S1 10+0+=0=0，0 0=1/4=1/41 1 因此，决策单元因此，决策单元 2 2 不是不是DEA有效。有效。生产活动生产活动(4(4，1)1)在图中对应点在图中对应点B B，既非技术有效，也非规模有效。，既非技术有效，也非规模有效。B(4,1)oyxC(5,3.5)A(2,2)y=f(x)决策单元决策单元 3 3 的线性规划模型（的线性规划模型（D D），取），取 =10=10-6-6，为，为 （D D）：）：Min V VD D=-0.000001(s-0.000001(s-1 1+s+s+1 1)s.t.2 s.t.2 1 1+4+4 2 2+5+5 3 3+s+s-1 1=5=5 2 2 1 1+2 2+3.5+3.5 3 3 s s+1 1=3.5=3.5 1 1,2 2,3 3,s,s-1 1,s,s+1 1 0 0 利用单纯形法求解，得到最优解利用单纯形法求解，得到最优解 0 0=(7/4,0,0)=(7/4,0,0)T T，S S1 10-0-=S=S1 10+0+=0=0，0 0=7/10=7/101 1 因此，决策单元因此，决策单元 3 3 不是不是DEA有效。有效。生产活动生产活动(5(5，3.5)3.5)在图中对应点在图中对应点C C，该点在生产函数曲线上，仅是技术有效而不是规模有效。，该点在生产函数曲线上，仅是技术有效而不是规模有效。B(4,1)oyxC(5,3.5)A(2,2)y=f(x)(4)(4)生产活动规模收益的判定生产活动规模收益的判定 定理定理:设线性规划（设线性规划（D D）的最优解为）的最优解为 0 0、s s0-0-、s s0+0+、0 0 若若 则决策单元则决策单元 k k0 0 规模收益不变；规模收益不变；若若 则决策单元则决策单元 k k0 0 规模收益递增；规模收益递增；若若 则决策单元则决策单元 k k0 0 规模收益递减。规模收益递减。【例例6 6】设有单投入单产出设有单投入单产出5 5个决策单元的评价系统个决策单元的评价系统(数据如下图数据如下图)。试讨论决策单元。试讨论决策单元1 1、2 2、5 5 的规模收益问题。的规模收益问题。12345135426 解：解：决策单元决策单元 1 1 的线性规划模型（的线性规划模型（D D），取），取 =10=10-6-6，为，为 （D D）：）：Min V VD D=-0.000001(s-0.000001(s-1 1+s+s+1 1)s.t.3 s.t.3 1 1+5+5 2 2+4+4 3 3+2+2 4 4+6+6 5 5+s+s-1 1=3 3 2 2 1 1+4+4 2 2+3 3+4 4+4.5+4.5 5 5 s s+1 1=2=2 1 1,2 2,3 3,4 4,5 5,s,s-1 1,s,s+1 1 0 0 利用单纯形法求解，得到最优解利用单纯形法求解，得到最优解 0 0=(0,1/2,0,0,0)=(0,1/2,0,0,0)T T，S S1 10-0-=S=S1 10+0+=0=0，0 0=5/6=5/61 1 因此，决策单元因此，决策单元 1 1 非非DEA有效。有效。24114.51 由于由于 所以决策单元所以决策单元 1 1 规模收益递增。规模收益递增。决策单元决策单元 2 2 的线性规划模型（的线性规划模型（D D），取），取 =10=10-6-6，为，为 （D D）：）：Min V VD D=-0.000001(s-0.000001(s-1 1+s+s+1 1)s.t.3 s.t.3 1 1+5+5 2 2+4+4 3 3+2+2 4 4+6+6 5 5+s+s-1 1=5 5 2 2 1 1+4+4 2 2+3 3+4 4+4.5+4.5 5 5 s s+1 1=4=4 1 1,2 2,3 3,4 4,5 5,s,s-1 1,s,s+1 1 0 0 利用单纯形法求解，得到最优解利用单纯形法求解，得到最优解 0 0=(0,1,0,0,0)=(0,1,0,0,0)T T，S S1 10-0-=S=S1 10+0+=0=0，0 0=1=1 因此，决策单元因此，决策单元 2 2 为为DEA有效。有效。由于由于 所以决策单元所以决策单元 2 2 规模收益不变。规模收益不变。决策单元决策单元 5 5 的线性规划模型（的线性规划模型（D D），取），取 =10=10-6-6，为，为 （D D）：）：Min V VD D=-0.000001(s-0.000001(s-1 1+s+s+1 1)s.t.3 s.t.3 1 1+5+5 2 2+4+4 3 3+2+2 4 4+6+6 5 5+s+s-1 1=6=6 2 2 1 1+4+4 2 2+3 3+4 4+4.5+4.5 5 5 s s+1 1=4.5=4.5 1 1,2 2,3 3,4 4,5 5,s,s-1 1,s,s+1 1 0 0 利用单纯形法求解，得到最优解利用单纯形法求解，得到最优解 0 0=(0,9/8,0,0,0)=(0,9/8,0,0,0)T T，S S1 10-0-=S=S1 10+0+=0=0，0 0 =15/16=15/161 1 因此，决策单元因此，决策单元 5 5 非非DEA有效。有效。由于由于 所以决策单元所以决策单元 5 5 规模收益递减规模收益递减 。同样地，可以判定决策单元同样地，可以判定决策单元 3 3、4 4 均为规模收益递增。均为规模收益递增。例例6:下面是具有下面是具有3个决策单元的单输入数据和单输出数据个决策单元的单输入数据和单输出数据.相应决策单相应决策单元所对应的点以元所对应的点以A,B,C表示表示,其中点其中点A、C在生产曲线上在生产曲线上,点点B在生产曲线在生产曲线下方。由下方。由3个决策单元所确定的生产可能集个决策单元所确定的生产可能集T也在图中标出来。也在图中标出来。2 4 52 1 3.5输入输出A(2,2)B(4,1)C(3,5)Y=Y(X)对于决策点A,它是“技术有效”和“规模有效”,它所对应的C2R模型为其最优解为:2 4 52 1 3.5输入输出A(2,2)B(4,1)C(3,5)Y=Y(X)对于决策点B,它不是“技术有效”,因为点B不在生产函数曲线上,也不是“规模有效”,这是因为它的投资规模太大.其最优解为:其对应的C2R模型如下:由于1,故B点不是DEA有效,由 ,知该部门的规模收益是递减的.2 4 52 1 3.5输入输出A(2,2)B(4,1)C(3,5)Y=Y(X)其最优解为:对于决策点C,因为点C是在生产函数曲线上,它是“技术有效”,但由于它的投资规模太大,所以不是“规模有效”.其对应的C2R模型如下:由于1时，合成医院需要的输入量资源大于镇医院的输入量资源；当E1时，合成医院需要的输入量资源小于镇医院的输入量资源。（模型的目标）我们可写出输入量的约束条件：285.20wg+162.30wu+275.70wc+210.40ws275.70E（全职非主治医师）123.80wg+128.70wu+348.50wc+154.10ws348.50E（提供的经费）106.72wg+64.21wu+104.10wc+104.04ws104.10E（可提供的住院床位数）DEA模型的逻辑就是寻求一种合成能否在取得相同的或更多的输出量的同时只需更少的输入量。假如这种合成可以得到，那么合成的一部分（如镇医院）将被判定比合成（合成医院）低效。minEs.t.wgwuwcws148.14wg+34.62wu+36.72wc+33.16ws36.7243.10wg+27.11wu+45.98wc+56.46ws45.98253wg+148wu+175wc+160ws17541wg+27wu+23wc+84ws23285.20wg+162.30wu+275.70wc+210.40ws275.70E123.80wg+128.70wu+348.50wc+154.10ws348.50E106.72wg+64.21wu+104.10wc+104.04ws104.10EE,wg,wu,wc,ws0模型解得E0.905这说明合成医院能获得镇医院的每一个输出量的同时而同时只用镇医院最多90.5的输入量资源。因此，镇医院是相对低效（或DEA无效）的。4.4.DEADEA有效决策单元的构造有效决策单元的构造 评价系统并非所有的决策单元都是评价系统并非所有的决策单元都是DEA 有效，经过判定后，有效，经过判定后，如何对一些非如何对一些非DEA有效的决有效的决 策单元进行分析策单元进行分析，指出造成非有效的原因，并据此改进为具有，指出造成非有效的原因，并据此改进为具有 DEA DEA 有效性的决策单元。有效性的决策单元。为此，需要讨论决策单元在相对有效面上的为此，需要讨论决策单元在相对有效面上的 投影投影。定义定义1 1：DEA DEA 的相对有效面的相对有效面(有效生产前沿面有效生产前沿面)：0T 0T X X0 0 0T0T Y Y0 0=0=0 如果决策单元如果决策单元k k0 0是是DEA有效，线性规划有效，线性规划(P)(P)有最优解有最优解 0 0、0 0，并且满足条件，并且满足条件 V Vp p=0T 0T Y Y0 0=1=1，0 00 0，0 0 0 0 而而 0T 0T X X0 0=1=1，故，故 0T 0T X X0 0=0T0T Y Y0 0 。于是，点。于是，点(X(X0 0,Y,Y0 0)在超平面在超平面 上。上。并且超平面并且超平面 上的其它点上的其它点(X,Y)(X,Y)所表示的决策单元也是所表示的决策单元也是 DEA 有效的，有效的，因此，可以利用在相对有效面上因此，可以利用在相对有效面上 “投影投影”的方法，改进非的方法，改进非 DEA DEA 有效的决策单元。有效的决策单元。定义定义2 2：设设 0 0、s s0-0-、s s0+0+、0 0 是线性规划问题（是线性规划问题（D D）的最优解。令）的最优解。令 称称 为决策单元为决策单元 k k0 0 对应的对应的 (X(X0 0,Y,Y0 0)在在 DEA 相对有效面相对有效面 上的上的 投影投影。构成了一个新的决策单元，它是否构成了一个新的决策单元，它是否DEA 有效，有下面的定理。有效，有下面的定理。定理定理3 3：设设是决策单元是决策单元 k k0 0 对应的对应的 (X(X0 0,Y,Y0 0)在在 DEA 相对有效面相对有效面 上的上的 投影投影，则新决策单元则新决策单元 相对于原来的相对于原来的n n个决策单元来说，是个决策单元来说，是DEA 有效的。有效的。新决策单元给出了一个改进非新决策单元给出了一个改进非DEA有效决策单元的方法，亦即构造新的有效决策单元的方法，亦即构造新的DEADEA有效决策单元有效决策单元的方法。的方法。【例例】设有设有4 4个决策单元，个决策单元，2 2个投入指标和个投入指标和1 1个产出指标的评价系统，其数据如下图。个产出指标的评价系统，其数据如下图。对非对非DEADEA有效的决策单元，求出它在有效的决策单元，求出它在DEADEA相对有效面上的相对有效面上的“投影投影”，并判定新决策单元的，并判定新决策单元的 DEA 有效性。有效性。1234决策单元投入113342313211211产出 解：决策单元解：决策单元 1 1，2 2，3 3 均为均为DEA 有效，决策单元有效，决策单元4 4为非为非DEA 有效，决策单元有效，决策单元 4 4 对应的对应的 线性规划（线性规划（D D）的最优解为）的最优解为 0 0=(0,3/5,1/5,0)=(0,3/5,1/5,0)T T ，S S1 10-0-=S=S2 20-0-=S=S1 10+0+=0=0，0 0=3/5=3/5，令，令 则新决策单元则新决策单元是决策单元是决策单元 4 4 对应的对应的 (X(X0 0,Y,Y0 0)在在 DEA 相对有效面相对有效面 上的上的 投影投影，它它(作为第作为第 5 5 个决策单元个决策单元 )与原来的与原来的 4 4 个决策单元构成新的评价系统，如下图：个决策单元构成新的评价系统，如下图：12345 决策单元投入1133412/5231326/5112111产出 对应的线性规划模型（对应的线性规划模型（D D）为）为（D D）：）：Min V VD D=-0.000001(s-0.000001(s-1 1+s+s-2 2+s+s+1 1)s.t.s.t.1 1+3+3 2 2+3+3 3 3+4+4 4 4+(12/5)(12/5)5 5 +s+s-1 1=(12/5)(12/5)3 3 1 1+2 2+3+3 3 3+2+2 4 4+(6/5)(6/5)5 5 +s+s-2 2=(6/5)(6/5)1 1+2 2+2+2 3 3+4 4+5 5 s s+1 1=1=1 1 1,2 2,3 3,4 4,5 5 ,s,s-1 1,s,s-2 2 s s+1 1 0 0利用单纯形法求解，得到最优解利用单纯形法求解，得到最优解 0 0=(0,3/5,1/5,0,0)=(0,3/5,1/5,0,0)T T ，S S1 10-0-=S=S2 20-0-=S=S1 10+0+=0=0，0 0=1=1，因此，新决策单元，因此，新决策单元5 5是是DEADEA有效的。有效的。由此例看出，在评价系统中决策单元由此例看出，在评价系统中决策单元4 4非非DEA DEA 有效，用有效，用 “投影投影”方法构造了在方法构造了在DEADEA相对有效面上的新决策单元相对有效面上的新决策单元5 5。并且分析决策单元并且分析决策单元4 4非非DEA DEA 有效的原因是：投入指标量过大，经过改进，只需有效的原因是：投入指标量过大，经过改进，只需要原投入量的要原投入量的3/53/5，因为决策单元，因为决策单元4 4原投入量为原投入量为(4(4，2)2)T T，改进后应为，改进后应为(12/5(12/5，6/5)6/5)T T，后者为前者的后者为前者的3/53/5，产出量不变，相对效率提高，即可转化为，产出量不变，相对效率提高，即可转化为DEA DEA 有效的决策单元。有效的决策单元。四、DEA软件介绍1.DEAP-Version2.1（Win4deap1.1.2）http:/www.une.edu.au/econometrics/cepa.htm2.FRONTIER-Version4.1Chttp:/www.une.edu.au/econometrics/cepa.h