平面向量的数量积

5.3 5.3 平平面向量的数量积面向量的数量积要点梳理要点梳理1.1.平面向量的数量积平面向量的数量积 已知两个非零向量已知两个非零向量a a和和b b，它们的夹角为，它们的夹角为，则数量，则数量 叫叫做做a a与与b b的的数数量量积积（或或内内积积），记记作作 .规定：零向量与任一向量的数量积为规定：零向量与任一向量的数量积为 .两两个个非非零零向向量量a a与与b b垂垂直直的的充充要要条条件件是是 ，两两非非零向量零向量a a与与b b平行的充要条件是平行的充要条件是 .|a a|b b|cos|cos a ab b=|=|a a|b b|cos|cos 0 0a ab b=0=0a ab b=|=|a a|b b|基础基础知识知识 自主自主学习学习2.2.平面向量数量积的几何意义平面向量数量积的几何意义 数量积数量积a ab b等于等于a a的长度的长度|a a|与与b b在在a a方向上的投影方向上的投影 的乘积的乘积.3.3.平面向量数量积的重要性质平面向量数量积的重要性质 （1 1）e ea a=a ae e=；（2 2）非零向量）非零向量a a，b b，a ab b ；（3 3）当）当a a与与b b同向时，同向时，a ab b=；当当a a与与b b反向时，反向时，a ab b=,a aa a=，|a a|=|=;（4 4）cos cos=；（5 5）|a ab b|a a|b b|.|.|b b|cos|cos|a a|cos|cos a ab b=0=0|a a|b b|-|-|a a|b b|a a2 24.4.平面向量数量积满足的运算律平面向量数量积满足的运算律 （1 1）a ab b=（交换律）；（交换律）；（2 2）（）（a a）b b=（为实数）；为实数）；（3 3）（）（a a+b b）c c=.b ba aa ab ba a b ba ac c+b bc c5.5.平面向量数量积有关性质的坐标表示平面向量数量积有关性质的坐标表示 设设 向向 量量 a a=（x x1 1，y y1 1），b b=（x x2 2，y y2 2），则则 a ab b=，由此得到，由此得到 （1 1）若）若a a=（x x，y y）,则则|a a|2 2=或或|a a|.（2 2）设设A A（x x1 1，y y1 1），B B（x x2 2，y y2 2），则则A A、B B两两点点间间的距离的距离|ABAB|=|=|ABAB|=|=.（3 3）设）设a a=（x x1 1，y y1 1），），b b=（x x2 2，y y2 2），则），则a ab b .x x1 1x x2 2+y y1 1y y2 2x x2 2+y y2 2x x1 1x x2 2+y y1 1y y2 2=0=0基础自测基础自测1.1.已知已知a a=(2,3),=(2,3),b b=(-4,7),=(-4,7),则则a a在在b b上的投影为（上的投影为（）A.A.B.B.C.C.D.D.解析解析 设设a a和和b b的夹角为的夹角为，|a a|cos|cos=|=|a a|C2.2.若若|a a|=2cos|=2cos 1515，|b b|=4sin|=4sin 1515，a a，b b的的夹夹角角为为3030，则，则a ab b等于等于（）A.A.B.B.C.C.D.D.解析解析B3.3.已已知知a a=(1,-3),=(1,-3),b b=(4,6)=(4,6)，c c=(2,3)=(2,3)，则则a a（b bc c）等于等于（）A.A.（2626，-78-78）B.B.（-28-28，-42-42）C.-52 C.-52D.-78D.-78 解析解析 a a(b bc c)=(1,-3)(42+63)=(26,-78).)=(1,-3)(42+63)=(26,-78).A4.4.向量向量m m=(=(x x-5,1),-5,1),n n=(4,=(4,x x),),m mn n，则，则x x等于（等于（）A.1 A.1B.2B.2C.3C.3D.4D.4 解析解析 由由m mn n=0=0，得，得4(4(x x-5)+-5)+x x=0=0，得，得x x=4.=4.D5.5.（20092009江江西西文文，1313）已已知知向向量量a a=(3,1),=(3,1),b b=(1,3),=(1,3),c c=(=(k k,2),2),若（若（a a-c c）b b,则则k k=.解析解析 a a-c c=(3,1)-(=(3,1)-(k k,2)=(3-,2)=(3-k k,-1),-1),(a a-c c)b b，b b=(1,3),=(1,3),(3-(3-k k)1-3=0,)1-3=0,k k=0.=0.0 0题型一题型一 平面向量的数量积平面向量的数量积【例例1 1】已知向量】已知向量a a=(cos =(cos x x,sin ,sin x x),),b b=(cos ,-sin )=(cos ,-sin )，且，且x x .(1)(1)求求a ab b及及|a a+b b|;|;(2)(2)若若f f(x x)=)=a ab b-|-|a a+b b|，求，求f f(x x)的最大值和最小值的最大值和最小值.利利用用数数量量积积的的坐坐标标运 运算算及及性性质质即即可可求求解解，在 在求求|a a+b b|时注意时注意x x的的取值取值范围范围.思维启迪思维启迪题题型分类型分类 深度深度剖剖析析解解 0 0|a a+b b|=2cos|=2cos x x.(2)(2)由由(1)(1)可得可得f f(x x)=cos 2)=cos 2x x-2cos-2cos x x=2cos=2cos2 2x x-2cos-2cos x x-1-1=2(cos=2(cos x x-)-)2 2-.-.x x ，cos cos x x11，当当cos cos x x=时，时，f f(x x)取得最小值为取得最小值为-；当当cos cos x x=1=1时，时，f f(x x)取得最大值为取得最大值为-1.-1.探究提高探究提高 （1 1）与与三角函数相结合三角函数相结合考考查向量的数查向量的数 量积的量积的坐坐标标运算运算及及其应用是其应用是高高考热考热点点题题型型.解答此解答此 类问类问题题，除了，除了要熟要熟练练掌掌握向量数量积的握向量数量积的坐坐标标运算运算公公 式、式、向量向量模、模、夹角的夹角的坐坐标标运算运算公公式式外，还外，还应掌应掌握三握三 角恒等变换的相关角恒等变换的相关知识知识.（2 2）求）求平平面向量数量积的步面向量数量积的步骤骤：首首先求先求a a与与b b的夹角的夹角 为为,00，180180，再 再分别求分别求|a a|，|b b|，然然后后再 再求数量积即求数量积即a ab b=|=|a a|b b|cos|cos，若，若知知道向量道向量 的的坐坐标标a a=(=(x x1 1,y y1 1),),b b=(=(x x2 2,y y2 2),),则 则a ab b=x x1 1x x2 2+y y1 1y y2 2.知能迁移知能迁移1 1 （1 1）已知）已知O O是是ABCABC内部一点，内部一点，=0 0，且且BACBAC=30=30，则，则AOBAOB的面积为的面积为（）A.2 A.2B.1B.1C.C.D.D.解析解析 由由 =0 0得得O O为为ABCABC的重心的重心.S SAOBAOB=S SABCABC.又又 cos 30=2 cos 30=2 ，得得 =4.=4.S SABCABC=sin 30=1.=sin 30=1.S SAOBAOB=.=.D（2 2）（20092009重重庆庆理理，4 4）已已知知|a a|=1,|=1,|b b|=6,|=6,a a(b b-a a)=2)=2，则向量，则向量a a与与b b的夹角是的夹角是（）A.A.B.B.C.C.D.D.解析解析 a a(b b-a a)=)=a ab b-a a2 2=2,=2,a ab b=2+=2+a a2 2=3=3 coscosa a，b b=a a与与b b的的夹夹角角为为 .C题型二题型二 利用平面向量的数量积解决垂直问题利用平面向量的数量积解决垂直问题【例例2 2】已知向量】已知向量a a=(cos(-=(cos(-),sin(-),sin(-),),b b=（1 1）求证：）求证：a ab b；（2 2）若存在不等于）若存在不等于0 0的实数的实数k k和和t t，使，使x x=a a+(+(t t2 2+3)+3)b b,y y=-=-k ka a+t tb b，满足，满足x xy y，试求此时，试求此时 的最小值的最小值.（1 1）可可通过求通过求a ab b=0=0证证明明a ab b.（2 2）由由x xy y得得x xy y=0=0，即即求求出出关关于于k k,t t的的一一个个方方程程，从从而求出而求出 的代数表达的代数表达式式，消，消去一去一个量个量k k，得出关，得出关于于 t t的函数，从而求出的函数，从而求出最最小小值值.思维启迪思维启迪(1)(1)证明证明 a ab b=cos(-=cos(-)cos(-)cos(-)+sin(-)+sin(-)sin(-sin(-)=sin)=sin cos cos-sin-sin coscos=0.=0.a ab b.（2 2）解解 由由x xy y得得x xy y=0,=0,即即a a+（t t2 2+3+3）b b（-k ka a+t tb b）=0=0，-k ka a2 2+（t t3 3+3+3t t）b b2 2+t t-k k（t t 2 2+3+3）a ab b=0=0，-k k|a a|2 2+（t t3 3+3+3t t）|b b|2 2=0.=0.又又|a a|2 2=1=1，|b b|2 2=1=1，-k k+t t3 3+3+3t t=0=0，k k=t t3 3+3+3t t.故当故当t t=时，时，有最小值有最小值 .探探究究提提高高 （1 1）两两个个非非零零向向量量互互相相垂垂直直的的充充要要条条件件是是它它们们的的数数量量积积为为零零.因因此此，可可以以将将证证两两向向量量的的垂垂直直问问题题，转转化为化为证证明两个向量的数量积为零明两个向量的数量积为零.（2 2）向向量量的的坐坐标标表表示示与与运 运算算可可以以大大大大简简化化数数量量积积的的运 运算算，由由于于有有关关长长度度、角角度度和和垂垂直直的的问问题题可可以以利利用用向向量量的的数数量量积积来来解解决决，因因此此，我我们们可可以以利利用用向向量量的的坐坐标研究标研究有有关长度关长度、角度和垂角度和垂直直问问题题.知能迁移知能迁移2 2 已知平面向量已知平面向量a a=（-,-,）,b b=(-,-1).=(-,-1).(1)(1)证明：证明：a ab b;(2)(2)若存在不同时为零的实数若存在不同时为零的实数k k、t t,使使x x=a a+(+(t t2 2-2)-2)b b,y y=-=-k ka a+t t2 2b b,且且x xy y，试把，试把k k表示为表示为t t的函数的函数.(1)(1)证明证明 a ab b=(,-1)=(,-1)a ab b.(2)(2)解解 x xy y,x xy y=0,=0,即即a a+(+(t t2 2-2)-2)b b（-k ka a+t t2 2b b）=0.=0.展开得展开得-k ka a2 2+t t2 2-k k(t t2 2-2)-2)a ab b+t t2 2(t t2 2-2)-2)b b2 2=0,=0,a ab b=0,=0,a a2 2=|=|a a|2 2=1,=1,b b2 2=|=|b b|2 2=4,=4,-k k+4+4t t2 2（t t2 2-2-2）=0,=0,k k=f f(t t)=4)=4t t2 2(t t2 2-2).-2).题型三题型三 向量的夹角及向量模的问题向量的夹角及向量模的问题【例例3 3】（1212分分）已已知知|a a|=1|=1，a ab b=，（a a-b b）（a a+b b）=，求：（求：（1 1）a a与与b b的夹角；的夹角；（2 2）a a-b b与与a a+b b的夹角的余弦值的夹角的余弦值.解解 （1 1）（a a-b b）（a a+b b）=，|a a|2 2-|-|b b|2 2=，又又|a a|=1|=1，|b b|=|=3 3分分 设设a a与与b b的夹角为的夹角为，则则cos cos=0 0 180,180,=45.6=45.6分分5 5分分（2 2）（a a-b b）2 2=a a2 2-2-2a ab b+b b2 2|a a-b b|=|=8 8分分（a a+b b）2 2=a a2 2+2+2a ab b+b b2 2=1+2=1+2|a a+b b|=,|=,设设a a-b b与与a a+b b的夹角为的夹角为 ，1010分分则则cos =cos =1212分分 探探究究提提高高 （1 1）求求向向量量的的夹夹角角利利用用公公式式coscosa a，b b=.=.需分别求向量的数量积和向量的需分别求向量的数量积和向量的模模.（2 2）利）利用用数量积求向量的数量积求向量的模模，可考可考虑虑以以下方法下方法.|a a|2 2=a a2 2=a aa a;|a ab b|2 2=a a2 222a ab b+b b2 2;若若a a=(=(x x,y y)，则 则|a a|=.|=.知能迁移知能迁移3 3 已知已知|a a|=4,|=4,|b b|=8,|=8,a a与与b b的夹角是的夹角是120.120.(1)(1)计算：计算：|a a+b b|;|4|;|4a a-2-2b b|;|;(2)(2)当当k k为何值时，为何值时，(a a+2+2b b)()(k ka a-b b)？解解 由已知，由已知，a ab b=48(-)=-16.=48(-)=-16.（1 1）|a a+b b|2 2=a a2 2+2+2a ab b+b b2 2 =16+2(-16)+64=48,=16+2(-16)+64=48,|a a+b b|=4 .|=4 .|4|4a a-2-2b b|2 2=16=16a a2 2-16-16a ab b+4+4b b2 2=1616-16(-16)+464=316=1616-16(-16)+464=3162 2,|4|4a a-2-2b b|=16 .|=16 .（2 2）若）若(a a+2+2b b)()(k ka a-b b),),则则(a a+2+2b b)()(k ka a-b b)=0,)=0,k ka a2 2+（2 2k k-1-1）a ab b-2-2b b2 2=0.=0.1616k k-16-16（2 2k k-1-1）-264=0-264=0，k k=-7.=-7.方法与技巧方法与技巧1.1.数数量量积积a ab b中中间间的的符符号号“”“”不不能能省省略略，也也不不能能用用“”“”来替代来替代.2.2.要熟练类似（要熟练类似（a a+b b)()(s sa a+t tb b)=)=s sa a2 2+(+(t t+s s)a ab b+t tb b2 2的运算律（的运算律（、s s、t tR R）.3.3.求求向向量量模模的的常常用用方方法法：利利用用公公式式|a a|2 2=a a2 2,将将模模的的运运算转化为向量的数量积的运算算转化为向量的数量积的运算.4.4.一一般般地地，（a ab b）c c(b bc c)a a即即乘乘法法的的结结合合律律不不成成立立.因因a ab b是是一一个个数数量量，所所以以(a ab b)c c表表示示一一个个与与c c共共线线的的向向量量，同同理理右右边边（b bc c）a a表表示示一一个个与与a a共共线线的向量的向量,而而a a与与c c不一定共线不一定共线,故一般情况下故一般情况下(a ab b)c c (b bc c)a a.思思想方法想方法 感悟感悟提提高高失误与防范失误与防范1.1.零零向向量量:(1):(1)0 0与与实实数数0 0的的区区别别，不不可可写写错错：0 0a a=0 00,0,a a+(-(-a a)=)=0 00,0,a a0 0=0=00 0;(2);(2)0 0的的方方向向是是任任意意的的，并并非非没没有有方方向向，0 0与与任任何何向向量量平平行行，我我们们只只定定义义了了非非零零向向量的垂直关系量的垂直关系.2.2.a ab b=0=0不能推出不能推出a a=0 0或或b b=0 0,因为因为a ab b=0=0a ab b.3.3.a ab b=a ac c(a a0 0)不能推出不能推出b b=c c.即消去律不成立即消去律不成立.4.4.向向量量夹夹角角的的概概念念要要领领会会，比比如如正正三三角角形形ABCABC中中，应为应为120,120,而不是而不是60.60.一、选择题一、选择题1.1.（20092009宁宁夏夏文文，7 7）已已知知a a=(-3,2),=(-3,2),b b=(-1,0)=(-1,0)，向向量量 a a+b b与与a a-2-2b b垂直，则实数垂直，则实数 的值为（的值为（）A.A.B.B.C.C.D.D.解析解析 a a=(-3,2),=(-3,2),b b=(-1,0),=(-1,0),a a+b b=(-3 -1,2 ),=(-3 -1,2 ),a a-2-2b b=（-3-3，2 2）-2-2（-1-1，0 0）=（-1-1，2 2）.由（由（a a+b b）(a a-2-2b b),),知知4 4 +3 +1=0.+3 +1=0.=-=-A定定时时检测检测2.2.已知向量已知向量a a,b b的夹角为的夹角为120120，|a a|=1|=1，|b b|=5|=5，则，则|3|3a a-b b|等于等于（）A.7A.7B.6B.6C.5C.5D.4D.4解析解析 A3.3.设设向向量量a a与与b b的的夹夹角角为为，定定义义a a与与b b的的“向向量量积积”：a ab b是是一一个个向向量量，它它的的模模|a ab b|=|=|a a|b b|sin|sin,若若a a=(-,-1),=(-,-1),b b=(1,)=(1,)，则，则|a ab b|等于等于（）A.A.B.2B.2C.2C.2D.4D.4 解析解析|a a|=|=|b b|=2|=2，a ab b=-2 =-2 ，cos cos=又又0 0，sin sin=|a ab b|=22 =2.|=22 =2.B4.4.已知非零向量已知非零向量a a,b b，若，若|a a|=|=|b b|=1,|=1,且且a ab b，又知，又知 （2 2a a+3+3b b）(k ka a-4-4b b)，则实数，则实数k k的值为的值为（）A.-6 A.-6B.-3B.-3C.3C.3D.6D.6 解析解析 由（由（2 2a a+3+3b b）（k ka a-4-4b b）=0=0，得，得2 2k k-12=0,-12=0,k k=6.=6.D5.5.（20092009全全国国文文，8 8）设设非非零零向向量量a a、b b、c c满满足足|a a|=|=|b b|=|=|c c|,|,a a+b b=c c,则则a a,b b=（）A.150 A.150B.120B.120C.60C.60D.30D.30 解析解析 a a+b b=c c,|,|c c|2 2=|=|a a+b b|2 2=a a2 2+2+2a ab b+b b2 2.又又|a a|=|=|b b|=|=|c c|,2|,2a ab b=-=-b b2 2,即即2|2|a a|b b|cos|cosa a,b b=-|=-|b b|2 2.cos cosa a,b b=-,=-,a a,b b=120.=120.B6.6.在在ABCABC中中，已已知知a a、b b、c c成成等等比比数数列列，且且a a+c c=3=3，cos cos B B=，则，则 等于等于（）A.B.C.3 D.-3 A.B.C.3 D.-3 解析解析 由已知由已知b b2 2=acac，a a+c c=3=3，cos cos B B=，得得 ，得，得acac=2.=2.则则 =acaccoscos =2=2B二、填空题二、填空题7.7.（20092009江江苏苏，2 2）已已知知向向量量a a和和向向量量b b的的夹夹角角为为3030，|a a|=2|=2，|b b|=|=，则则向向量量a a和和向向量量b b的的数数量量积积a ab b=.解析解析 由题意知由题意知a ab b=|=|a a|b b|cos 30=2 =3.|cos 30=2 =3.3 38.8.设设向向量量a a,b b满满足足|a a-b b|=2|=2，|a a|=2|=2，且且a a-b b与与a a的的夹夹角角为为 ，则，则|b b|=|=.解析解析 由已知得由已知得 即即 a ab b=2.=2.又又|a a-b b|2 2=4=|=4=|a a|2 2+|+|b b|2 2-2-2a ab b，|b b|2 2=4,|=4,|b b|=2.|=2.2 29.9.已已知知向向量量a a=(=(x x,1),1),b b=(2,3=(2,3x x)，则则 的的取取值值范范围是围是 .解解析析 本本题题考考查查数数量量积积的的坐坐标标运运算算及及均均值值不不等等式式求求最值；原式最值；原式=，当，当x x=0=0时，原式时，原式=0=0，当当x x00时，原式时，原式=当当x x0 0时，时，0 0 当当x x0 0时，时，0 0 综上所述，取值范围为综上所述，取值范围为 答案答案 三、解答题三、解答题10.10.已知点已知点A A（1,01,0）,B B（0,10,1）,C C（2sin2sin，coscos）.（1 1）若）若|=|=|，求，求tantan的值；的值；（2 2）若若（）=1=1，其其中中O O为为坐坐标标原原点点，求求sin 2sin 2的值的值.解解 (1)(1)A A(1,0),(1,0),B B（0,10,1）,C C（2sin2sin,cos,cos），），=(2sin =(2sin-1,cos-1,cos),=(2sin),=(2sin,cos,cos-1).-1).|=|=|，化简得化简得2sin2sin=cos=cos.coscos00（若（若coscos=0,=0,则则sinsin=1,=1,上式不成立）上式不成立）.tan tan=.=.（2 2）=（1 1，0 0），），=（0 0，1 1），），=（2sin2sin，coscos），），=（1 1，2 2）.（）=1 =1，2sin 2sin+2cos+2cos=1.=1.sin sin+cos+cos=.=.（sin sin+cos+cos）2 2=.=.sin 2sin 2=.=.11.11.设设n n和和m m是是两两个个单单位位向向量量，其其夹夹角角是是6060，求求向向量量a a=2=2m m+n n与与b b=2=2n n-3-3m m的夹角的夹角.解解 由由|m m|=1|=1，|n n|=1|=1，夹角为，夹角为6060，得，得m mn n=.=.则有则有|a a|=|2|=|2m m+n n|=|=|b b|=|=而而a ab b=（2 2m m+n n）（2 2n n-3-3m m）=m mn n-6-6m m2 2+2+2n n2 2=-=-设设a a与与b b的夹角为的夹角为，则则cos cos=故故a a，b b夹角为夹角为120.120.12.在三角形在三角形ABCABC中，角中，角A A、B B、C C所对的边分别为所对的边分别为a a、b b、c c，且，且2sin2sin2 2 +cos 2 +cos 2C C=1.=1.（1 1）求角）求角C C的大小；的大小；（2 2）若若 向向 量量 m m=(3=(3a a,-,-b b),),向向 量量 n n=（a a,-,-），m mn n，（m m+n n）(-(-m m+n n)=-16.)=-16.求求a a、b b、c c的值的值.解解 （1 1）2sin2sin2 2 +cos 2+cos 2C C=1=1，cos 2 cos 2C C=1-2sin=1-2sin2 2 =cos=cos（A A+B B）=-cos=-cos C C.2cos 2cos2 2C C+cos+cos C C-1=0.cos-1=0.cos C C=或或-1.-1.C C（0 0，），），C C=.=.（2 2）m mn n，33a a2 2-=0-=0，即，即b b2 2=9=9a a2 2.又又(m m+n n)（-m m+n n）=-16=-16，-8-8a a2 2-b b2 2=-16=-16，即，即a a2 2+=2.+=2.由由可得可得a a2 2=1,=1,b b2 2=9,=9,a a=1,=1,b b=3.=3.又又c c2 2=a a2 2+b b2 2-2-2ababcos cos C C=7,=7,c c=.=.返回返回