36　二次函数

第六讲二次函数第六讲二次函数学习目标学习目标基础落实基础落实金典例题金典例题1.熟练掌握二次函数的定义、图象与性质熟练掌握二次函数的定义、图象与性质.2.会求二次函数在闭区间上的最值会求二次函数在闭区间上的最值.1.二次函数的定义与解析式二次函数的定义与解析式一般式：一般式：_.顶点式：顶点式：_,顶点为顶点为_.零点式：零点式：_,其中其中_是是 方程方程ax2+bx+c=0的两根的两根.y=ax2+bx+c(a0)y=a(x-m)2+n(a0)y=a(x-x1)(x-x2)(a0)(m,n)忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点(1)二次函数的定义二次函数的定义 形如形如:f(x)ax2bxc(a0)的函数叫做二次函数的函数叫做二次函数.(2)二次函数解析式的三种形式二次函数解析式的三种形式x1,x2对称轴对称轴:_顶点顶点:_2二次函数的图象和性质二次函数的图象和性质图象象函数性函数性质定定义域域xR(个个别题目有限制的目有限制的,由解析式确定由解析式确定)值域域a0a0a0,二次函数二次函数f（x）ax2bxc的图象可能是（的图象可能是（）3.3.如果函数如果函数f(x)=)=x2 2+bx+c对任意实数对任意实数t都有都有f(2+(2+t)=)=f(2-(2-t)，那，那么么().f(2)f(1)f(4)B.f(1)f(2)f(4)C.f(2)f(4)f(1)D.f(4)f(2)f(1)4.函数函数y2 2x2 2x1 1的最大值为在的最大值为在3,13,1上的最大值为，最小值为上的最大值为，最小值为.二次函数在给定区间上的最值二次函数在给定区间上的最值函数函数f(x)=)=x2 22 2x2 2在区间在区间t，t1 1上的最上的最小值为小值为g(t t)，求，求g(t)的表达式及其最值。的表达式及其最值。轴动或区间动的二次函数的最值f（x）（）（x1）21.当当t1时，时，x1t，t1，f（x）在）在t，t1单调递增，所以单调递增，所以g（t）（）（t1）21.如图（如图（3），g（t）min1,g（t）无最大值）无最大值.t21,t1）.所以g（t）对于轴动或区间动的二次函数在闭区间上的最值问对于轴动或区间动的二次函数在闭区间上的最值问题，要注意抓住对称轴是否属于所给区间及二次函数的单调性题，要注意抓住对称轴是否属于所给区间及二次函数的单调性进行分类讨论进行分类讨论.作业作业1.1.已知二次函数已知二次函数f（x）x2 22 2ax1 1a在在x0,10,1上有最大值上有最大值2,2,求求a的值的值.因为因为f（x）的对称轴是）的对称轴是xa，所以（所以（1）当）当a1时，则时，则fmaxf（1）a2，有，有a2.综上可知，综上可知，a1或或a2.作业：作业：2已知函数已知函数 f(x)x22ax3，x4,6(1)当当a2时，求时，求f(x)的最值；的最值；(2)求实数求实数a的取值范围的取值范围,使使yf(x)在区间在区间4,6上是单上是单 调调 函数；函数；(3)当当a1时时,求求f(|x|)的单调区间的单调区间应有应有a4或或a6，即，即a6或或a4.二次函数最值的应用若不等式若不等式x2ax10对于一切对于一切x成立，成立，求求a的最小值的最小值.分析：分析：从题目条件的切入点不同可以有多种方法求解，从题目条件的切入点不同可以有多种方法求解，主要有：配方法、分离变量法主要有：配方法、分离变量法.（配方法，转化为（配方法，转化为f（x）x2ax1在（在（0,上的最上的最小值小值0）设设f（x）x2ax1,则对称轴则对称轴x.若若,即即a1时，则时，则f（x）在上是减函数，）在上是减函数，应有应有f（）（）0a1.若若0时，则时，则f（x）在上是增函数，）在上是增函数，应有应有f（0）10恒成立，故恒成立，故a0.若0,即1a0,则应有0恒成立，故1a0.综上，有a,故a的最小值为.解法2：（分离变量法）因为x(0,，所以a，因为在上单调递减，在x处最得最小值,所以.故a的最小值为-.（1）恒成立问题常转化为最值问题）恒成立问题常转化为最值问题.一般地有：若一般地有：若f（x）A在区间在区间D上恒成立，则等价于在区间上恒成立，则等价于在区间D上，上，f（x）minA；若不等式；若不等式f（x）B在区间在区间D上恒成立，则等价上恒成立，则等价于在区间于在区间D上，上，f（x）mx0恒成立，求恒成立，求k的取值范的取值范围围.（1）f（x）x22ax3（xa）2a23,对称对称轴为轴为xa，开口向上，开口向上.若若a2时，在（时，在（2,2）内单调递增；）内单调递增；若若a2时，在（时，在（2,2）内单调递减；）内单调递减；若若a（2,2），则在（），则在（2,a内单调递减，内单调递减，在在a，2）内单调递增）内单调递增.（2）若）若a2时时,函数在（函数在（2,2）内单调递增，）内单调递增，f（x）f（2）74a，所以，所以k74a；若若a2时时,函数在（函数在（2,2）内单调递减，）内单调递减，f（x）f（2）74a，所以，所以k74a；若若a（2,2）函数）函数f（x）min3a2,所以所以k3a2.综上所述，当综上所述，当a2时，时，k74a；当；当2a2时，时，k3a2；当；当a2时，时，k74a.