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线性空间线性空间是线性代数的是线性代数的中心内容中心内容，是，是几何空几何空间的抽象和推广间的抽象和推广，线性空间的概念线性空间的概念具体展示了代具体展示了代数理论的抽象性和应用的广泛性数理论的抽象性和应用的广泛性.线性空间线性空间 小结小结上页上页下页下页返回返回一、线性空间一、线性空间1.线性空间的概念线性空间的概念2.线性空间的性质线性空间的性质(1)线性空间的线性空间的零元零元，每个元素每个元素的的负元负元都是唯一的都是唯一的；(2)(1)(1)=-，k=0k=0，或，或=0 线性空间是线性代数的中心内容，是几何空间的抽1上页上页下页下页返回返回二、基、维数和坐标二、基、维数和坐标1基本概念基本概念：线性表示线性表示（组合组合）；）；向量组等价向量组等价；线性相关线性相关(无关无关)；基基、维数维数和和坐标坐标；过渡矩阵过渡矩阵.2基本结论基本结论(1)线性相关性的有关结论线性相关性的有关结论.(2)在在n维线性空间维线性空间V中，任意中，任意n个个线性无关线性无关的向的向量都作成量都作成V的的一个基一个基；任意个；任意个m(mn)个向量都个向量都是是线性相关线性相关的的.上页下页返回二、基、维数和坐标1基本概念：线性表示（组合）2上页上页下页下页返回返回(3)若在若在线性空间线性空间 V 中有中有 n 个个线性无关线性无关的向量的向量1,2,n，且，且V 中任意向量都可由它中任意向量都可由它线性表示线性表示，则则V是是n维的维的，而，而1,2,n就是就是V的的一个基一个基.(4)设设1,2,n和和1,2,n是是n维维线性空线性空间间V的的两个基两个基，A是由基是由基1,2,n到基到基1,2,n的的过渡矩阵过渡矩阵，(x1,x2,xn)和和(y1,y2,yn)分别是向量分别是向量在这两个基下的在这两个基下的坐标坐标，则则A是是可逆的可逆的，且，且坐标关系坐标关系为为.上页下页返回(3)若在线性空间 V 中有 n 个线3上页上页下页下页返回返回三、线性子空间及其形式三、线性子空间及其形式1基本概念基本概念：子空间子空间；生成子空间生成子空间；子空间的子空间的和和与与直和直和.2基本结论基本结论：(1)线性空间线性空间V的的非空子集合非空子集合W作成作成V的的子空间子空间 W对于对于V的的两种运算封闭两种运算封闭；(2)线性空间线性空间V的的两个子空间的两个子空间的交交与与和和仍为子空间仍为子空间.(3)(维数公式维数公式)若若V1,V2是线性空间是线性空间V的的两个有限维两个有限维子空间子空间，则，则上页下页返回三、线性子空间及其形式1基本概念：子空间；生成4上页上页下页下页返回返回(4)dim L(1,2,n)=rank(1,2,n)L(1,2,n)=)=L(1,2,m)向量组向量组 1,2,n与与1,2,m 等价等价.(5)设设U是是线性空间线性空间V的的一个子空间一个子空间，则存在则存在一个子一个子空间空间W，使得，使得V=U W ，此时称，此时称W为为U的一个的一个余子空余子空间间.上页下页返回(4)dim L(1,2,n5上页上页下页下页返回返回(6)设设V1,V2,Vs是是线性空间线性空间V的的子空间子空间，下面这，下面这些条件些条件等价等价：W=Vi 是是直和直和；零向量的表示法唯一零向量的表示法唯一；dim(W)=dim(Vi).;上页下页返回(6)设V1,V2,Vs是线性空间V的子6上页上页下页下页返回返回3.同构映射的基本性质同构映射的基本性质：(1)线性空间的同构映射线性空间的同构映射保持零元保持零元，负元负元，线性组线性组合合，线性相关性线性相关性；(2)同构映射同构映射把子空间把子空间映成映成子空间子空间；(3)线性空间的同构关系线性空间的同构关系具有具有反身性反身性，对称性对称性和和传传递性递性；(4)数域数域P上上两个有限维线性空间同构两个有限维线性空间同构它们它们有有相同的维数相同的维数，因而，因而，数域数域P上的每一个上的每一个n维线性空间维线性空间都与都与n元数组所成的线性空间元数组所成的线性空间Pn同构同构.上页下页返回3.同构映射的基本性质：(1)线性空间的同构7上页上页下页下页返回返回 本章的本章的重点重点是是线性空间的概念线性空间的概念，子空间的和子空间的和，基基与与维数维数；难点难点是是线性空间定义的抽象性线性空间定义的抽象性，线性相关线性相关和和子子空间的空间的直和直和.本章的本章的基本题型基本题型主要有：主要有：线性空间线性空间，子，子空间的空间的判定或证明判定或证明，线性相关与无关的判定或证明线性相关与无关的判定或证明，基与基与维数的确定维数的确定，过渡矩阵过渡矩阵和和坐标的求法坐标的求法，直和直和及及同构同构的判定或证明的判定或证明.上页下页返回 本章的重点是线性空间的概念，子8上页上页下页下页返回返回本章的本章的基本内容及其内在联系可用下图来说明基本内容及其内在联系可用下图来说明：线线 性性 空空 间间 线性相关性线性相关性子空间子空间极大无关组极大无关组子空间的交与和子空间的交与和基、维数和坐标基、维数和坐标子空间的直和子空间的直和同构同构余子空间余子空间上页下页返回本章的基本内容及其内在联系可用下图来说明：线 性9
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