第一章电力系统潮流计算ppt课件

North China Electric Power UniversityDepartment of Electrical EngineeringBaoding2009.11-2009.01 电力系统分析电力系统分析 North China Electric Power Uni目目 录录 一电力系统潮流计算一电力系统潮流计算二电力系统状态估计二电力系统状态估计 四电力系统复杂故障分析四电力系统复杂故障分析 三三电力系统静态安全分析电力系统静态安全分析目 录 一电力系统潮流计算二电力系统状态估计 四电力系参考书参考书 1.现代电力系统分析现代电力系统分析王锡凡王锡凡 主编主编2.高等电力网分析高等电力网分析 张伯明张伯明 3.电力系统状态估计电力系统状态估计于尔铿于尔铿 主编主编 4.4 电力系统故障分析电力系统故障分析刘万顺刘万顺参考书 现代电力系统分析 王锡凡 主编第一章第一章 电力系统潮流计算电力系统潮流计算一概述一概述 二潮流计算问题的数学模型二潮流计算问题的数学模型 三三潮流计算的几种基本方法潮流计算的几种基本方法 四四保留非线性潮流算法保留非线性潮流算法 五最小化潮流算法五最小化潮流算法六六潮流计算中的自动调整潮流计算中的自动调整 七最优潮流问题七最优潮流问题八八交直流电力系统的潮流计算交直流电力系统的潮流计算 九九几种特殊性质的潮流计算问题简介几种特殊性质的潮流计算问题简介 第一章 电力系统潮流计算一概述 二潮流计算问题的数学模 电电力力系系统统潮潮流流计计算算是是研研究究电电力力系系统统稳稳态态运运行行情情况况的的基基本本电电气气计计算算，电电力力系系统统潮潮流流计计算算的的任任务务是是根根据据给给定定的的网网络络结结构构及及运运行行条条件件，求求出出电电网网的的运运行行状状态态，其其中中包包括括各各母母线线的的电电压压、各各支支路路的的功功率率分布以及功率损耗等。分布以及功率损耗等。一概述一概述 电力系统潮流计算是研究电力系统稳态运行情况的离离线线计计算算:规规划划设设计计;运运行行方方式式分分析析;其其他他计算的配合计算的配合在线计算在线计算:安全监控和安全分析安全监控和安全分析潮潮流流计计算算是是电电力力系系统统中中应应用用最最为为广广泛泛、最基本和最重要的一种电气计算。最基本和最重要的一种电气计算。一概述一概述离线计算:规划设计;运行方式分析;其他计算的配合一概述 常常用用的的潮潮流流计计算算方方法法归归纳纳到到数数学学上上属属于于多多元元非非线线性性代代数数方方程程组组的的求求解解问问题题，一般需采用迭代计算方法进行求解计算。一般需采用迭代计算方法进行求解计算。2020世世纪纪5050年年代代中中期期起起，电电力力系系统统潮潮流流计计算算的的研研究究就就是是如如何何使使用用电电子子计计算算机机计计算电力系统的潮流问题。算电力系统的潮流问题。一概述一概述 常用的潮流计算方法归纳到数学上属于多元非线性代数方程 对于潮流算法，其基本要求可归纳成对于潮流算法，其基本要求可归纳成以下四个方面：以下四个方面：（1 1）计算速度；）计算速度；（2 2）计算机内存占用量；）计算机内存占用量；（3 3）算法的收敛可靠性；）算法的收敛可靠性；（4 4）程序设计的方便性以及算法扩充）程序设计的方便性以及算法扩充移植等的灵活通用性。移植等的灵活通用性。此外，程序使用的方便性及良好的人此外，程序使用的方便性及良好的人-机界面也越来越受到人们的关注。机界面也越来越受到人们的关注。一概述一概述 对于潮流算法，其基本要求可归纳成以下四个方面：一 电力系统由发电机、变压器、输配电电力系统由发电机、变压器、输配电线路及负荷等组成。线路及负荷等组成。进行潮流计算时，发电机和负荷一般进行潮流计算时，发电机和负荷一般可用接在相应节点上的一个电流注入量可用接在相应节点上的一个电流注入量表示。表示。电力网络中的变压器、线路、电容器、电力网络中的变压器、线路、电容器、电抗器等元件可用集中参数表示的由线电抗器等元件可用集中参数表示的由线性电阻、电抗构成的等值电路模拟。性电阻、电抗构成的等值电路模拟。二潮流计算问题的数学模型二潮流计算问题的数学模型 电力系统由发电机、变压器、输配电线路及负荷等组成。二 对这样的线性网络一般采用节点电压对这样的线性网络一般采用节点电压法进行分析。节点电压与节点注入电流法进行分析。节点电压与节点注入电流之间的关系为之间的关系为:或或二潮流计算问题的数学模型二潮流计算问题的数学模型 对这样的线性网络一般采用节点电压法进行分析。节点 展开为展开为或或二潮流计算问题的数学模型二潮流计算问题的数学模型 展开为二潮流计算问题的数学模型 在实际中，已知的节点注入量往往不在实际中，已知的节点注入量往往不是节点电流而是节点功率，为此用节点是节点电流而是节点功率，为此用节点功率代替节点电流功率代替节点电流,得得 (1-6)或或 (1-7)二潮流计算问题的数学模型二潮流计算问题的数学模型 在实际中，已知的节点注入量往往不是节点电流而是节点功率 上两上两式是潮流计算问题的基本方程式，式是潮流计算问题的基本方程式，是一个以节点电压为变量的非线性代数是一个以节点电压为变量的非线性代数方程组。而采用节点功率作为节点注入方程组。而采用节点功率作为节点注入量是造成方程组呈非线性的根本原因。量是造成方程组呈非线性的根本原因。由于方程组为非线性的，因此必须采用由于方程组为非线性的，因此必须采用迭代方法进行数值求解。迭代方法进行数值求解。根据对方程组的不同处理方式，形成了根据对方程组的不同处理方式，形成了不同的潮流算法。不同的潮流算法。二潮流计算问题的数学模型二潮流计算问题的数学模型 上两式是潮流计算问题的基本方程式，是一个以节点电压为 对于电力系统中的每个节点，需要对于电力系统中的每个节点，需要P P、Q Q、U U和相角四个变量才能确定其运行和相角四个变量才能确定其运行状态。状态。n n个节点总共有个节点总共有4n4n个运行变量。个运行变量。而基本方程式只有而基本方程式只有n n个个,将实部与虚部分将实部与虚部分开，则形成开，则形成2n2n个实数方程式，仅可解得个实数方程式，仅可解得2n2n个未知运行变量。必须将另外个未知运行变量。必须将另外2n2n个变个变量作为已知量而预先给定。也即对每个量作为已知量而预先给定。也即对每个节点，要给定两个变量为已知条件，而节点，要给定两个变量为已知条件，而另两个变量作为待求量。另两个变量作为待求量。二潮流计算问题的数学模型二潮流计算问题的数学模型 对于电力系统中的每个节点，需要P、Q、U和相角四个 根据电力系统的实际运行条件，按照根据电力系统的实际运行条件，按照预先给定的变量的不同，电力系统的节预先给定的变量的不同，电力系统的节点可分成点可分成PQPQ节点、节点、PVPV节点及平衡节点三节点及平衡节点三种类型。种类型。对平衡节点来说，其电压相角一般作对平衡节点来说，其电压相角一般作为系统电压相角的基准。为系统电压相角的基准。二潮流计算问题的数学模型二潮流计算问题的数学模型 根据电力系统的实际运行条件，按照预先给定的变量的不同，交流电力系统中的复数电压变量可交流电力系统中的复数电压变量可以用两种坐标形式表示以用两种坐标形式表示或或 而复数导纳为而复数导纳为二潮流计算问题的数学模型二潮流计算问题的数学模型 交流电力系统中的复数电压变量可以用两种坐标形式表示二 将以上三式代入以导纳矩阵为基础的将以上三式代入以导纳矩阵为基础的式式(1-6)(1-6)，并将实部与虚部分开，可得，并将实部与虚部分开，可得到两种形式的潮流方程。到两种形式的潮流方程。二潮流计算问题的数学模型二潮流计算问题的数学模型 将以上三式代入以导纳矩阵为基础的式(1-6)，并将实部直角坐标形式直角坐标形式 (1-11)(1-12)极坐标形式极坐标形式 (1-13)(1-14)二潮流计算问题的数学模型二潮流计算问题的数学模型直角坐标形式二潮流计算问题的数学模型 若以若以p p、u u、x x分别表示扰动变量、控分别表示扰动变量、控制变量、状态变量，则潮流方程可以用制变量、状态变量，则潮流方程可以用更简洁的方式表示为更简洁的方式表示为 (1-(1-15)15)根据式根据式(1-15)(1-15)，潮流计算的含义就是，潮流计算的含义就是针对某个扰动变量针对某个扰动变量p p，根据给定的控制，根据给定的控制变量变量u u，求出相应的状态变量，求出相应的状态变量x x。二潮流计算问题的数学模型二潮流计算问题的数学模型 若以p、u、x分别表示扰动变量、控制变量、状态变量，则一一 高斯高斯-塞德尔法塞德尔法 以导纳矩阵为基础，并应用高斯以导纳矩阵为基础，并应用高斯-塞塞德尔迭代的算法是电力系统应用最早的德尔迭代的算法是电力系统应用最早的潮流计算方法。潮流计算方法。三潮流计算的几种基本方法三潮流计算的几种基本方法一 高斯-塞德尔法三潮流计算的几种基本方法 讨论电力系统中除讨论电力系统中除1 1个平衡节点外，其个平衡节点外，其余都是余都是PQPQ节点的情况。节点的情况。由式由式(1-6)(1-6)可得可得 (1-(1-16)16)式中：式中：、为已知的节点注入有功、无为已知的节点注入有功、无功功率。功功率。三潮流计算的几种基本方法三潮流计算的几种基本方法 讨论电力系统中除1个平衡节点外，其余都是PQ节点的情况 假假定定节节点点l l为为平平衡衡节节点点，其其给给定定电电压压为为 。平平衡衡节节点点不不参参加加迭迭代代。于于是是对对应应于这种情况的高斯于这种情况的高斯-塞德尔迭代格式为塞德尔迭代格式为 (1-(1-17)17)上式是该算法最基本的迭代计算公式。上式是该算法最基本的迭代计算公式。其迭代收敛的判据是其迭代收敛的判据是 三潮流计算的几种基本方法三潮流计算的几种基本方法 假定节点l为平衡节点，其给定电压为 。平衡节点不参 本算法的突出优点是原理简单，程序设本算法的突出优点是原理简单，程序设计容易。导纳矩阵对称且高度稀疏，因计容易。导纳矩阵对称且高度稀疏，因此占用内存非常节省。此占用内存非常节省。该算法的主要缺点是收敛速度慢。由该算法的主要缺点是收敛速度慢。由于各节点电压在数学上松散耦合，所以于各节点电压在数学上松散耦合，所以节点电压向精确值的接近非常缓慢。另节点电压向精确值的接近非常缓慢。另外，算法的迭代次数随着网络节点数的外，算法的迭代次数随着网络节点数的增加而上升，因此在用于较大规模电力增加而上升，因此在用于较大规模电力系统的潮流计算时，速度显得非常缓慢。系统的潮流计算时，速度显得非常缓慢。三潮流计算的几种基本方法三潮流计算的几种基本方法 本算法的突出优点是原理简单，程序设计容易。导纳矩阵对称 为提高算法收敛速度，常用的方法是为提高算法收敛速度，常用的方法是在迭代过程中加入加速因子在迭代过程中加入加速因子 ，即取，即取 式中：式中：是通过式是通过式(1-17)(1-17)求得的节点求得的节点i i电压的第电压的第k+1k+1次迭代值；次迭代值；是修正后是修正后节点节点i i电压的第电压的第k+1k+1次迭代值；次迭代值；为加速为加速因子，一般取因子，一般取 。三潮流计算的几种基本方法三潮流计算的几种基本方法 为提高算法收敛速度，常用的方法是在迭代过程中加入加速因 对于具有下述所谓病态条件的系统，高斯对于具有下述所谓病态条件的系统，高斯-塞德尔迭代法往往会发生收敛困难：塞德尔迭代法往往会发生收敛困难：(l)(l)节点间相位角差很大的重负荷系统；节点间相位角差很大的重负荷系统；(2)(2)包含有负电抗支路（如某些三绕组变包含有负电抗支路（如某些三绕组变压器或线路串联电容等）的系统；压器或线路串联电容等）的系统；(3)(3)具有较长的辐射形线路的系统；具有较长的辐射形线路的系统；(4)(4)长线路与短线路接在同一节点上，而长线路与短线路接在同一节点上，而且长短线路的长度比值又很大的系统。且长短线路的长度比值又很大的系统。此外，选择不同的节点为平衡节点，也此外，选择不同的节点为平衡节点，也会影响到收敛性能。会影响到收敛性能。三潮流计算的几种基本方法三潮流计算的几种基本方法 对于具有下述所谓病态条件的系统，高斯-塞德 为克服基于节点导纳矩阵的高斯为克服基于节点导纳矩阵的高斯-塞塞德尔迭代法的这些缺点，德尔迭代法的这些缺点，2020世纪世纪6060年代年代初提出了基于节点阻抗矩阵的高斯初提出了基于节点阻抗矩阵的高斯-塞塞德尔迭代法。但在牛顿法潮流出现后，德尔迭代法。但在牛顿法潮流出现后，即很少再被便用。即很少再被便用。目前基于节点导纳矩阵的高斯目前基于节点导纳矩阵的高斯-塞德塞德尔法主要为牛顿法等对于待求量的迭代尔法主要为牛顿法等对于待求量的迭代初值要求比较高的算法提供初值，一般初值要求比较高的算法提供初值，一般只需迭代只需迭代1 12 2次就可以满足要求。次就可以满足要求。三潮流计算的几种基本方法三潮流计算的几种基本方法 为克服基于节点导纳矩阵的高斯-塞德尔迭代法的这些二二 牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法（一）牛顿（一）牛顿-拉夫逊法的一般概念拉夫逊法的一般概念牛顿牛顿-拉夫逊法在数学上是求解非线性代拉夫逊法在数学上是求解非线性代数方程式的有效方法。其要点是把非线数方程式的有效方法。其要点是把非线性方程式的求解过程变成反复地对相应性方程式的求解过程变成反复地对相应的线性方程式进行求解的过程，即通常的线性方程式进行求解的过程，即通常所称的逐次线性化过程。所称的逐次线性化过程。三潮流计算的几种基本方法三潮流计算的几种基本方法二 牛顿-拉夫逊法三潮流计算的几种基本方法牛顿法解非线性方程牛顿法解非线性方程原理：原理：将非线性方程线性化将非线性方程线性化 Taylor 展开展开取取 x0 x*，将将 f(x)在在 x0 做一阶做一阶Taylor展开展开:，在在 x0 和和 x*之间。之间。将将(x*x0)2 看成高阶小量，则有：看成高阶小量，则有：线性线性xyx*x0 x1迭代公式迭代公式：牛顿法解非线性方程原理：将非线性方程线性化 取 x0 x29 将非线性代数方程组将非线性代数方程组 (1-(1-22)22)在待求量在待求量 的某一个初始估计值的某一个初始估计值 附附近，展开成泰勒级数并略去二阶及以上近，展开成泰勒级数并略去二阶及以上的高阶项，得到线性化方程组的高阶项，得到线性化方程组 (1-(1-24)24)称为牛顿法的修正方程式。称为牛顿法的修正方程式。牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法 将非线性代数方程组牛顿-拉夫逊法 由上式根据初值由上式根据初值 可求得第一次迭可求得第一次迭代的修正量代的修正量 (1-(1-25)25)将将 和和 相加，得到变量的第一次相加，得到变量的第一次改进值改进值 。牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法 由上式根据初值 可求得第一次迭代的修正量牛顿-拉夫 因此，应用牛顿法求解的迭代格式为因此，应用牛顿法求解的迭代格式为 (1-(1-26)26)(1-(1-27)27)上两式中：上两式中：是函数是函数 对于对于 的的一阶偏导数矩阵，即雅可比矩阵一阶偏导数矩阵，即雅可比矩阵 ，为，为迭代次数。迭代次数。牛顿法当初值牛顿法当初值 和方程的精确解足和方程的精确解足够接近时，具有平方收敛特性。够接近时，具有平方收敛特性。牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法 因此，应用牛顿法求解的迭代格式为牛顿-拉夫逊法（二）牛顿潮流算法的修正方程式（二）牛顿潮流算法的修正方程式 将牛顿法用于求解电力系统潮流计算问将牛顿法用于求解电力系统潮流计算问题时，由于所采用的数学表达式以及复题时，由于所采用的数学表达式以及复电压变量采用的坐标形式的不同，可以电压变量采用的坐标形式的不同，可以形成牛顿潮流算法的不同形式。形成牛顿潮流算法的不同形式。以下讨论用得最广泛的以下讨论用得最广泛的 采用功率采用功率方程式模型，而电压变量分别采用极坐方程式模型，而电压变量分别采用极坐标和直角坐标的两种形式。标和直角坐标的两种形式。牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法（二）牛顿潮流算法的修正方程式 牛顿-拉夫逊法 1 1 极坐标形式极坐标形式 令令 ，对每个，对每个 节点及节点及 节点，节点，根据式根据式(1-13)(1-13)，有，有 (1-(1-28)28)对每个对每个 节点，根据式节点，根据式(1-14)(1-14)，有，有 (1-(1-29)29)牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法 1 极坐标形式牛顿-拉夫逊法 将上述方程式在某个近似解附近用泰将上述方程式在某个近似解附近用泰勒级数展开，略去二阶及以上的高阶项勒级数展开，略去二阶及以上的高阶项后，得到以矩阵形式表示的修正方程式后，得到以矩阵形式表示的修正方程式 (1-(1-30)30)式中：式中：为节点个数，为节点个数，为为 节点数，节点数，雅可比矩阵是雅可比矩阵是 阶非奇异方阵。阶非奇异方阵。牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法 将上述方程式在某个近似解附近用泰勒级数展开，略去二阶及 雅可比矩阵各元素的表示式如下：雅可比矩阵各元素的表示式如下：牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法 雅可比矩阵各元素的表示式如下：牛顿-拉夫逊法 2 2 直角坐标形式直角坐标形式 令令 ，此时每个节点，都有两，此时每个节点，都有两个方程式。因此共有个方程式。因此共有 个方程式。个方程式。对每个对每个PQPQ 节点，根据式节点，根据式(1-11)(1-11)和式和式(1-12)(1-12)有：有：(1-(1-39)39)(1-(1-40)40)牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法 2 直角坐标形式牛顿-拉夫逊法 对每个对每个 节点，除了有与式节点，除了有与式(1-39)(1-39)相同的有功功率方程式之外，还有相同的有功功率方程式之外，还有 (1-(1-41)41)采用直角坐标形式的修正方程式为采用直角坐标形式的修正方程式为 (1-(1-42)42)牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法 对每个 节点，除了有与式(1-39)相同的有功功雅可比矩阵各元素的表示式如下：雅可比矩阵各元素的表示式如下：牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法雅可比矩阵各元素的表示式如下：牛顿-拉夫逊法牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法牛顿-拉夫逊法 分析以上两种类型的修正方程式，分析以上两种类型的修正方程式，可以看出两者具有以下的共同特点。可以看出两者具有以下的共同特点。(1)(1)修正方程式的数目分别为修正方程式的数目分别为 及及 个，在个，在 节点比例不大时，两节点比例不大时，两者的方程式数目基本接近者的方程式数目基本接近 个。个。(2)(2)雅可比矩阵的元素都是节点电压雅可比矩阵的元素都是节点电压的函数，每次迭代，雅可比矩阵都需要的函数，每次迭代，雅可比矩阵都需要重新形成。重新形成。牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法 分析以上两种类型的修正方程式，可以看出两者具有以下的 (3)(3)从雅可比阵非对角元素的表示式从雅可比阵非对角元素的表示式可见，某个非对角元素是否为零决定于可见，某个非对角元素是否为零决定于相应的节点导纳矩阵元素相应的节点导纳矩阵元素 是否为零。是否为零。如将修正方程式按节点号的次序排列，如将修正方程式按节点号的次序排列，并将雅可比矩阵分块，把每个并将雅可比矩阵分块，把每个 阶子阶子阵阵 作为分块矩阵的作为分块矩阵的 元素，则按节点号顺序而构成的分块雅元素，则按节点号顺序而构成的分块雅可比矩阵将和节点导纳矩阵具有同样的可比矩阵将和节点导纳矩阵具有同样的稀疏结构，是一个高度稀疏的矩阵。稀疏结构，是一个高度稀疏的矩阵。牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法 (3)从雅可比阵非对角元素的表示式可见，某个非对角元 (4)(4)和节点导纳矩阵具有相同稀疏结和节点导纳矩阵具有相同稀疏结构的分块雅可比矩阵在位置上对称，但构的分块雅可比矩阵在位置上对称，但由于由于 ，所以雅可比矩阵所以雅可比矩阵不是对称阵不是对称阵。修正方程式的这些特点决定了牛顿法修正方程式的这些特点决定了牛顿法潮流程序特点，在设计算法时应重点考潮流程序特点，在设计算法时应重点考虑。虑。牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法 (4)和节点导纳矩阵具有相同稀疏结构的分块雅可比矩阵（三）修正方程式的处理和求解（三）修正方程式的处理和求解 有效地处理修正方程式是提高牛顿法潮流程有效地处理修正方程式是提高牛顿法潮流程序计算速度并降低内存需求量的关键。序计算速度并降低内存需求量的关键。结合修正方程式的求解，目前实用的牛顿结合修正方程式的求解，目前实用的牛顿法潮流程序的程序特点主要有以下三个方面，法潮流程序的程序特点主要有以下三个方面，这些程序特点对牛顿法潮流程序性能的提高起这些程序特点对牛顿法潮流程序性能的提高起着决定性的作用。着决定性的作用。1 1 对于稀疏矩阵，在计算机中只储存其非对于稀疏矩阵，在计算机中只储存其非零元素，且只有非零元素才参加运算。零元素，且只有非零元素才参加运算。牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法（三）修正方程式的处理和求解 牛顿-拉夫逊法 2 2 修正方程式的求解过程，采用对包修正方程式的求解过程，采用对包括修正方程常数项的增广矩阵以括修正方程常数项的增广矩阵以按行消按行消去的方式去的方式进行消元运算。由于消元运算进行消元运算。由于消元运算按行进按行进行，因此可以边形成增广矩阵，行，因此可以边形成增广矩阵，边进行消元运算，边进行消元运算，边存储边存储结果结果，即每形，即每形成增广矩阵的一行，便马上进行消元，成增广矩阵的一行，便马上进行消元，并且消元结束后便随即将结果送内存存并且消元结束后便随即将结果送内存存储。储。牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法 2 修正方程式的求解过程，采用对包括修正方程常数项的增 3 3 节点编号优化节点编号优化。经过消元运算得到。经过消元运算得到的上三角矩阵一般仍为稀疏矩阵，但由的上三角矩阵一般仍为稀疏矩阵，但由于消元过程中有新的非零元素注入，使于消元过程中有新的非零元素注入，使得它的稀疏度比原雅可比矩阵有所降低。得它的稀疏度比原雅可比矩阵有所降低。分析表明，新增非零元素的多少和消元分析表明，新增非零元素的多少和消元的顺序或节点编号有关。的顺序或节点编号有关。牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法 3 节点编号优化。经过消元运算得到的上三角矩阵一般仍为 节点编号优化的作用即在于找到一种节点编号优化的作用即在于找到一种网络节点的重新编号方案，使得按此构网络节点的重新编号方案，使得按此构成的节点导纳矩阵以及和它相应的雅可成的节点导纳矩阵以及和它相应的雅可比矩阵在高斯消元或三角分解过程中新比矩阵在高斯消元或三角分解过程中新增的非零元素数目能尽量减少。增的非零元素数目能尽量减少。牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法 节点编号优化的作用即在于找到一种网络节点的重新编号方案，节点编号优化通常有三种方法：节点编号优化通常有三种方法：(1)(1)静态法静态法按各节点静态连接支路数按各节点静态连接支路数的多少顺序编号。由少到多编号；的多少顺序编号。由少到多编号；(2)(2)半动态法半动态法一按各节点动态连接支路一按各节点动态连接支路数的多少顺序编号；数的多少顺序编号；(3)(3)动态法动态法一按各节点动态增加支路数一按各节点动态增加支路数的多少顺序编号。的多少顺序编号。消去节点后出现新支路数最少的节点。消去节点后出现新支路数最少的节点。牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法 节点编号优化通常有三种方法：牛顿-拉夫逊法 三种节点编号优化方法中动态法效果三种节点编号优化方法中动态法效果最好，但优化本身所需计算量也最多，最好，但优化本身所需计算量也最多，而静态法则反之。对于牛顿法潮流计算而静态法则反之。对于牛顿法潮流计算来说，一般认为，采用半动态法似乎是来说，一般认为，采用半动态法似乎是较好的选择。较好的选择。牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法 三种节点编号优化方法中动态法效果最好，但优化本身所需计算牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法牛顿-拉夫逊法（四）牛顿潮流算法的特点（四）牛顿潮流算法的特点 1 1）其优点是收敛速度快，若其优点是收敛速度快，若初值初值较好，较好，算法将具有平方收敛特性，一般迭代算法将具有平方收敛特性，一般迭代4 45 5次便可以收敛到非常精确的解，而且其迭次便可以收敛到非常精确的解，而且其迭代次数与所计算网络的规模基本无关。代次数与所计算网络的规模基本无关。2 2）牛顿法也具有良好的收敛可靠性，对牛顿法也具有良好的收敛可靠性，对于对高斯于对高斯-塞德尔法呈病态的系统，牛顿塞德尔法呈病态的系统，牛顿法均能可靠地敛。法均能可靠地敛。牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法（四）牛顿潮流算法的特点牛顿-拉夫逊法 3）初初值值对对牛牛顿顿法法的的收收敛敛性性影影响响很很大大。解解决决的的办办法法可可以以先先用用高高斯斯-塞塞德德尔尔法法迭迭代代1 12 2次次，以以此此迭迭代代结结果果作作为为牛牛顿顿法法的的初初值值。也也可可以以先先用用直直流流法法潮潮流流求求解解一一次次求求得得一一个个较较好好的的角角度度初初值值，然然后后转转入入牛牛顿顿法迭代。法迭代。牛顿牛顿-拉夫逊法拉夫逊法 3）初值对牛顿法的收敛性影响很大。解决的办法可以 三三 P-Q P-Q分解法分解法 随着电力系统规模的日益扩大以及在线随着电力系统规模的日益扩大以及在线计算的要求，为了改进牛顿法在内存占计算的要求，为了改进牛顿法在内存占用量及计算速度方面的不足，人们开始用量及计算速度方面的不足，人们开始注意到电力系统有功及无功潮流间仅存注意到电力系统有功及无功潮流间仅存在较弱联系的这一特性，于是产生了一在较弱联系的这一特性，于是产生了一类具有有功、无功解耦迭代计算特点的类具有有功、无功解耦迭代计算特点的算法。算法。三潮流计算的几种基本方法三潮流计算的几种基本方法 三 P-Q分解法三潮流计算的几种基本方法 在在7070年代提出的年代提出的P-QP-Q分解法是在广泛的分解法是在广泛的数值试验基础上挑选出来的最为成功的数值试验基础上挑选出来的最为成功的一个算法，它无论在内存占用量以及计一个算法，它无论在内存占用量以及计算速度方面，都比牛顿法有较大的改进，算速度方面，都比牛顿法有较大的改进，从而成为当前国内外最优先使用的算法。从而成为当前国内外最优先使用的算法。P-Q分解法分解法 在70年代提出的P-Q分解法是在广泛的数值试验基础上挑选（一）（一）P-Q分解法原理分解法原理 由于交流高压电网中输电线路等元件的由于交流高压电网中输电线路等元件的 ，因此，因此有功功率的变化主要决定于电压相有功功率的变化主要决定于电压相位角的变化，而无功功率的变化则主要决位角的变化，而无功功率的变化则主要决定于电压模值的变化。这个特性反映在牛定于电压模值的变化。这个特性反映在牛顿修正方程式的元素上，是顿修正方程式的元素上，是N N及及M M二个子块二个子块元素的数值相对于元素的数值相对于H H、L二个子块的元素要二个子块的元素要小得多。小得多。P-Q分解法分解法（一）P-Q分解法原理P-Q分解法 简化的第一步，将简化的第一步，将N N、M略去不计，得略去不计，得到如下巳经解耦的方程组到如下巳经解耦的方程组 (1-55)(1-55)(1-56)(1-56)这一简化将原来这一简化将原来 阶的方程组分阶的方程组分解为两个分别为解为两个分别为 阶和阶和 阶的较阶的较小的方程组，显著地节省了内存需求量小的方程组，显著地节省了内存需求量和解题时间。但和解题时间。但H H和和L L的元素仍然是节点的元素仍然是节点电压的函数且不对称。电压的函数且不对称。P-Q分解法分解法 简化的第一步，将N、M略去不计，得到如下巳经解耦的方程组 进一步并且是很关键的简化基于在实际进一步并且是很关键的简化基于在实际的高压电力系统中，下列的假设一般都的高压电力系统中，下列的假设一般都能成立。能成立。(1)(1)线路两端的相角差不大线路两端的相角差不大(小于小于 )，而且，而且 ，可以认为，可以认为 (1-(1-57)57)(2)(2)与节点无功功率对应的导纳与节点无功功率对应的导纳通常远小于节点的自导纳通常远小于节点的自导纳 ，即，即 (1-(1-58)58)P-Q分解法分解法 进一步并且是很关键的简化基于在实际的高压电力系统中，下列 计及上两式后，计及上两式后，H H及及L L各元素表示式可简各元素表示式可简化为化为 (l-59)(l-59)(1-60)(1-60)于是于是H H和和L L可表示成可表示成 (1-61)(1-61)(l-62)(l-62)式中：式中：U U是由各节点电压模值组成的对角是由各节点电压模值组成的对角阵。由于阵。由于PVPV节点的存在，节点的存在，的阶数的阶数不同，分别为不同，分别为 阶和阶和 阶。阶。P-Q分解法分解法 计及上两式后，H及L各元素表示式可简化为 P-Q分解法分解法P-Q分解法P-Q分解法分解法P-QP-Q分解法的修正方程式分解法的修正方程式P-Q分解法P-Q分解法的修正方程式 将式将式(1-61)(1-61)和式和式(1-62)(1-62)代入式代入式(1-55)(1-55)和和式式(1-56)(1-56)，得，得 (l-63)(l-63)(1-64)(1-64)这两式中的系数矩阵这两式中的系数矩阵 由节点导纳由节点导纳矩阵的虚部所组成，从而是一个常数且矩阵的虚部所组成，从而是一个常数且对称的矩阵。对称的矩阵。P-Q分解法分解法 将式(1-61)和式(1-62)代入式(1-55)和式(为加速收敛，目前通用的为加速收敛，目前通用的P-QP-Q分解法又分解法又对对 的构成作了进一步修改。的构成作了进一步修改。(l)(l)在形成在形成 时略去那些主要影响无功时略去那些主要影响无功功率和电压模值，而对有功功率及电压功率和电压模值，而对有功功率及电压角度影响很小的因素。这些因素包括角度影响很小的因素。这些因素包括:输电线路的充电电容输电线路的充电电容以及以及变压器非标准变压器非标准变比。变比。P-Q分解法分解法 为加速收敛，目前通用的P-Q分解法又对 的构成作 (2)(2)为减少在迭代过程中无功功率及节点为减少在迭代过程中无功功率及节点电压模值对有功迭代的影响，将式电压模值对有功迭代的影响，将式(1-(1-63)63)右端右端U U的各元素均置为标么值的各元素均置为标么值1.01.0，即令即令U U为单位阵。为单位阵。(3(3）在计算在计算 时，时，略去串联元件的电阻略去串联元件的电阻。P-Q分解法分解法 P-Q分解法 于是，目前通用的于是，目前通用的P-QP-Q分解法的修正方分解法的修正方程式可写成程式可写成 (l-65)(l-65)(l-66)(l-66)与与 不仅阶数不同，而且其相应元素不仅阶数不同，而且其相应元素的构成也不相同，具体计算公式为：的构成也不相同，具体计算公式为：P-Q分解法分解法 于是，目前通用的P-Q分解法的修正方程式可写成P-Q分解 ：为节点导纳矩阵元素：为节点导纳矩阵元素P-Q分解法分解法 ：为网络元件阻抗：为网络元件阻抗：为节点导纳矩阵元素P-Q分解法：为网络元件阻抗 （二）（二）P-Q P-Q分解法的特点：分解法的特点：(1(1）用解两个阶数几乎减半的方程组（用解两个阶数几乎减半的方程组（阶和阶和 阶）代替牛顿法的解一个阶）代替牛顿法的解一个 阶方程组，显著地减少了内存需求量及阶方程组，显著地减少了内存需求量及计算量。图计算量。图1-3 1-3 牛顿法和牛顿法和P-QP-Q分解法的分解法的典型收敛特性典型收敛特性P-Q分解法分解法（二）P-Q分解法的特点：P-Q分解法图图1-3 1-3 牛顿法和牛顿法和P-QP-Q分解法的典型收敛特性分解法的典型收敛特性NRNR牛顿法；牛顿法；FDLFFDLFP-QP-Q分解法分解法 P-Q分解法分解法图1-3 牛顿法和P-Q分解法的典型收敛特性P-Q分解法 (2 (2）牛顿法每次迭代都要重新形成雅可牛顿法每次迭代都要重新形成雅可比矩阵并进行三角分解，而比矩阵并进行三角分解，而P-QP-Q分解法分解法的系数矩阵的系数矩阵 和和 是常数阵，因此只需是常数阵，因此只需形成一次并进行三角分解组成因子表，形成一次并进行三角分解组成因子表，在迭代过程可以反复应用，显著缩短了在迭代过程可以反复应用，显著缩短了每次迭代所需的时间。每次迭代所需的时间。P-Q分解法分解法 (2）牛顿法每次迭代都要重新形成雅可比矩阵并进行三角分解 (）雅可比矩阵雅可比矩阵 不对称，而不对称，而 和和 都是对称阵，为此只要形成并贮存因子都是对称阵，为此只要形成并贮存因子表的上三角或下三角部分，减少了三角表的上三角或下三角部分，减少了三角分解的计算量并节约了内存。分解的计算量并节约了内存。由于上述原因，由于上述原因，P-QP-Q分解法所需的内存分解法所需的内存量约为牛顿法的量约为牛顿法的60%60%，而每次迭代所需时，而每次迭代所需时间约为牛顿法的间约为牛顿法的1/51/5。P-Q分解法分解法 (）雅可比矩阵 不对称，而 和P-Q分解法P-Q分解法分解法P-Q分解法（三）元件（三）元件 大比值病态问题大比值病态问题 从牛顿法到从牛顿法到P-QP-Q分解法的演化是在元件分解法的演化是在元件 以及线路两端相角差较小等简化基以及线路两端相角差较小等简化基础上进行的，因此当系统存在不符合这础上进行的，因此当系统存在不符合这些假设的因素时，就会出现迭代次数增些假设的因素时，就会出现迭代次数增加甚至不收敛的情况。加甚至不收敛的情况。P-Q分解法分解法（三）元件 大比值病态问题P-Q分解法 这其中以出现元件大这其中以出现元件大 比值的情景最比值的情景最多，如低电压网络，某些电缆线路，三多，如低电压网络，某些电缆线路，三绕组变压器的等值电路以及通过某些等绕组变压器的等值电路以及通过某些等值方法所得到的等值网络等均会出现大值方法所得到的等值网络等均会出现大部分或个别支路部分或个别支路 比值偏高的问题。比值偏高的问题。大大 比值病态问题已成为比值病态问题已成为P-QP-Q分解法分解法应用中的一个最大障碍。应用中的一个最大障碍。P-Q分解法分解法 这其中以出现元件大 比值的情景最多，如低电压网络，解决这个问题的途径主要有以下两种。解决这个问题的途径主要有以下两种。对大对大 比值支路的参数加以补偿比值支路的参数加以补偿 对算法加以改进对算法加以改进 1 1 对大对大 比值支路的参数加以补偿比值支路的参数加以补偿 对大对大 比值支路的参数加以补偿，又比值支路的参数加以补偿，又分成分成串联补偿法串联补偿法及及并联补偿法并联补偿法两种。两种。P-Q分解法分解法 解决这个问题的途径主要有以下两种。P-Q分解法 (1)(1)串联补偿法串联补偿法 这种方法的原理这种方法的原理见见图图1-61-6，其中，其中 为增为增加的虚构节点，加的虚构节点，为新增的补偿电容。为新增的补偿电容。数值的选择应满足数值的选择应满足 支路支路 的条件。的条件。P-Q分解法分解法 (1)串联补偿法P-Q分解法图图1-6 1-6 对大对大R/XR/X比值支路的串联补偿比值支路的串联补偿(a)(a)原支路；原支路；(b)(b)补偿后的支路补偿后的支路 P-Q分解法分解法图1-6 对大R/X比值支路的串联补偿P-Q分解法 这种方法的缺点是如果原来支路的这种方法的缺点是如果原来支路的 比值非常大，从而使比值非常大，从而使 的值选得过大时，的值选得过大时，新增节点新增节点 的电压值有可能偏离节点的电压值有可能偏离节点 及及 的电压很多，这种不正常的电压将的电压很多，这种不正常的电压将导致潮流计算收敛缓慢，甚至不收敛。导致潮流计算收敛缓慢，甚至不收敛。P-Q分解法分解法 这种方法的缺点是如果原来支路的 比值非常大，从而使 (2)(2)并联补偿法。并联补偿法。如图如图1-71-7所示，经过补偿的所示，经过补偿的 支路的支路的等值导纳为等值导纳为 仍等于原来仍等于原来 支路的导纳值。支路的导纳值。并联补偿新增节点并联补偿新增节点 的电压的电压 不论不论 的的取值大小都介于取值大小都介于 支路两端电压之间，支路两端电压之间，不会产生病态的电压现象。不会产生病态的电压现象。P-Q分解法分解法 (2)并联补偿法。P-Q分解法图图1-7 1-7 对大对大R/XR/X比值支路的井联补偿比值支路的井联补偿(a)(a)原支路；原支路；(b)(b)补偿后支路补偿后支路 P-Q分解法分解法图1-7 对大R/X比值支路的井联补偿P-Q分解法 2 2 对算法加以改进对算法加以改进 为了克服为了克服P-QP-Q分解法在处理大分解法在处理大 比值问比值问题上的缺陷，许多研究工作立足于对原题上的缺陷，许多研究工作立足于对原有算法加以改进，希望能找到一种方法，有算法加以改进，希望能找到一种方法，既能保待既能保待P-QP-Q分解法的基本优点，又能分解法的基本优点，又能克服大克服大 比值问题带来的收敛困难。比值问题带来的收敛困难。P-Q分解法分解法 2 对算法加以改进P-Q分解法 提出的这一类算法中，基本上保留了提出的这一类算法中，基本上保留了原来原来P-QP-Q分解法的框架，但对修正方程分解法的框架，但对修正方程式及其系数矩阵的构成作出各种不同的式及其系数矩阵的构成作出各种不同的修改。修改。P-Q分解法分解法 提出的这一类算法中，基本上保留了原来P-Q分解法的框架 下面介绍下面介绍一种较常用一种较常用的方法。前面提到，的方法。前面提到，在构成在构成 的元素时不计串联元件的电阻，的元素时不计串联元件的电阻，仅用其电抗值（仅用其电抗值（），而在形成），而在形成 的元素的元素时则仍用精确的电纳值时则仍用精确的电纳值()()，称之为，称之为 方案。与此相对应，组成方案。与此相对应，组成P-QP-Q分解法还分解法还可以有可以有 、和和 方案。在不同的试方案。在不同的试验网络上进行的大量计算实践表明，处理验网络上进行的大量计算实践表明，处理大大 比值问题上的能力以方案比值问题上的能力以方案 最差，最差，方案稍好，方案稍好，方案最好。方案最好。P-Q分解法分解法 下面介绍一种较常用的方法。前面提到，在构成 的元素时 方案采用的是严格的方案采用的是严格的 ,交替迭代方案，这也是该算法和现在通交替迭代方案，这也是该算法和现在通行的行的 方案的标准型方案的标准型P-QP-Q分解法的第二分解法的第二个差别。新算法若仍采用老的迭代方案，个差别。新算法若仍采用老的迭代方案，将会出现周期性的使功率偏差不再下降将会出现周期性的使功率偏差不再下降的的 ,，循环迭代过程。循环迭代过程。P-Q分解法分解法 方案采用的是严格的 ,P-Q分解法 为解决大为解决大 比值病态问题，参数补偿比值病态问题，参数补偿和改进算法这两种途径各有利弊。使用补和改进算法这两种途径各有利弊。使用补偿法要增加一个节点，当网络中大偿法要增加一个节点，当网络中大 比比值的元件数目很多时将使计算网络的节点值的元件数目很多时将使计算网络的节点数增加很多。采用改进算法不存在这个问数增加很多。采用改进算法不存在这个问题。但目前已提出的一些改进算法并不能题。但目前已提出的一些改进算法并不能完全免除对元件完全免除对元件 比值的敏感性。当某比值的敏感性。当某个元件的比值特别高时，算法所需的迭代个元件的比值特别高时，算法所需的迭代次数仍将急剧上升或甚至发散。次数仍将急剧上升或甚至发散。P-Q分解法分解法 为解决大 比值病态问题，参数补偿和 牛顿法求解潮流采用的是逐次线性化方牛顿法求解潮流采用的是逐次线性化方法。法。2020世纪世纪7070年代后期，人们开始考虑采年代后期，人们开始考虑采用更精确的数学模型，将泰勒级数的高阶用更精确的数学模型，将泰勒级数的高阶项考虑进来，以提高算法的收敛性能及计项考虑进来，以提高算法的收敛性能及计算速度，于是便产生了一类称之为保留非算速度，于是便产生了一类称之为保留非线性的潮流算法。因为其中大部分算法主线性的潮流算法。因为其中大部分算法主要包括了泰勒级数的前三项即取到泰勒级要包括了泰勒级数的前三项即取到泰勒级数的二阶项，所以也称为二阶潮流算法。数的二阶项，所以也称为二阶潮流算法。四保留非线性潮流算法四保留非线性潮流算法 牛顿法求解潮流采用的是逐次线性化方法。20世纪70年代 这种想法的第一个尝试是在极坐标形式这种想法的第一个尝试是在极坐标形式的牛顿法修正方程式中增加了泰勒级数的的牛顿法修正方程式中增加了泰勒级数的二阶项，所得算法对收敛性能略有改善，二阶项，所得算法对收敛性能略有改善，但计算速度无显著提高。后来，人们根据但计算速度无显著提高。后来，人们根据直角坐标形式的潮流方程是一个二次代数直角坐标形式的潮流方程是一个二次代数方程组的这一特点，提出了采用直角坐标方程组的这一特点，提出了采用直角坐标的保留非线性快速潮流算法，在速度上比的保留非线性快速潮流算法，在速度上比牛顿法有较大提高，引起了广泛重视。牛顿法有较大提高，引起了广泛重视。四保留非线性潮流算法四保留非线性潮流算法 这种想法的第一个尝试是在极坐标形式的牛顿法修正方程式中 此后又出现了一些计入非线性的其它此后又出现了一些计入非线性的其它潮流算法。这些算法除了作为常规的潮潮流算法。这些算法除了作为常规的潮流计算工具之外，在状态估计、最优潮流计算工具之外，在状态估计、最优潮流等其它计算中流等其它计算中也也得到应用。得到应用。以下介绍两种保留非线性的快速潮流算以下介绍两种保留非线性的快速潮流算法。法。四保留非线性潮流算法四保留非线性潮流算法 此后又出现了一些计入非线性的其它潮流算法。这些算法除了 一一 保留非线性快速潮流算法保留非线性快速潮流算法 （一）数学模型（一）数学模型 采用直角坐标形式的潮流方程为：采用直角坐标形式的潮流方程为：(1-68)(1-68)是一个不含一次项的二次代数方程组。是一个不含一次项的二次代数方程组。四保留非线性潮流算法四保留非线性潮流算法 一 保留非线性快速潮流算法四保留非线性潮流算法 对对这这样样的的方方程程组组用用泰泰勒勒级级数数展展开开，只只要要取取三三项项就就能能够够得得到到一一个个没没有有截截断断误误差差的的精精确确展展开开式式。因因此此从从理理论论上上，若若能能从从这这个个展展开开式式设设法法求求得得变变量量的的修修正正量量，并并用用它它对对初初值值加加以以修修正正，则则只只要要一一步步就就可可求求得方程组的解。得方程组的解。四保留非线性潮流算法四保留非线性潮流算法 对这样的方程组用泰勒级数展开，只要取三项就能够得到一个 为推导方便，将上述潮流方程写成更普为推导方便，将上述潮流方程写成更普遍的齐次二次方程的形式。这里先定义：遍的齐次二次方程的形式。这里先定义：n n维未知变量向量维未知变量向量 n n维函数向量维函数向量 n n维函数给定值向量维函数给定值向量 四保留非线性潮流算法四保留非线性潮流算法 为推导方便，将上述潮流方程写成更普遍的齐次二次方程的形式 一一个个具具有有n n个个变变量量的的齐齐次次二二次次代代数数方方程程式的普遍形式为式的普遍形式为 四保留非线性潮流算法四保留非线性潮流算法(1-69)(1-69)一个具有n个变量的齐次二次代数方程式的普遍形式为 四于是潮流方程组可以写成如下的矩阵形式：于是潮流方程组可以写成如下的矩阵形式：(1-70)(1-70)或或 (1-71)(1-71)四保留非线性潮流算法四保留非线性潮流算法于是潮流方程组可以写成如下的矩阵形式：四保留非线性潮流算法 式式(1-70)(1-70)中，系数矩阵为：中，系数矩阵为：(1-72)(1-72)四保留非线性潮流算法四保留非线性潮流算法 式(1-70)中，系数矩阵为：四保留非线性潮流算法 （二）泰勒级数展开式（二）泰勒级数展开式 对式对式(1-69)(1-69)在初值附近展开，可得到在初值附近展开，可得到没没有截断误差有截断误差的精确展开式为：的精确展开式为：(1-73)(1-73)即即 (1-74)(1-74)四保留非线性潮流算法四保留非线性潮流算法（二）泰勒级数展开式四保留非线性潮流算法 式中：式中：为修正量向量。为修正量向量。为雅可比矩阵。为雅可比矩阵。四保留非线性潮流算法四保留非线性潮流算法 式中：四保留非线性潮流算法 是一个常数矩阵，其阶数很高，但高度是一个常数矩阵，其阶数很高，但高度稀疏。稀疏。四保留非线性潮流算法四保留非线性潮流算法 是一个常数矩阵，其阶数很高，但高度稀疏。四保留非线性式式(1-74)的的第第三三项项相相当当复复杂杂，研研究究表表明明可可以进一步将式以进一步将式(1-74)改写成改写成 (1-77)(1-77)现证明如下。现证明如下。将将 写成写成 ，于是，于是 (1-78)(1-78)四保留非线性潮流算法四保留非线性潮流算法式(1-74)的第三项相当复杂，研究表明可以进一步将式(1-将将(1-78)式代入式式代入式(1-701-70)，则在，则在 附近，附近，式式(1-70)(1-70)可以写成下面的形式可以写成下面的形式 (1-(1-79)79)四保留非线性潮流算法四保留非线性潮流算法 将(1-78)式代入式(1-70)，则在 附近，式(式式(1-79)(1-79)和式和式(1-74)(1-74)应该完全等价。应该完全等价。分析式分析式(1-79)(1-79)中的第一项，根据式中的第一项，根据式(1-(1-70)70)，它是，它是 ,和式和式(1-74)(1-74)的第一项的第一项相同。相同。四保留非线性潮流算法四保留非线性潮流算法 式(1-79)和式(1-74)应该完全等价。四保留非线 式式(1-74)(1-74)的第二项是向量函数的第二项是向量函数 在在处的全微分处的全微分 (1-(1-80)80)四保留非线性潮流算法四保留非线性潮流算法 式(1-74)的第二项是向量函数 在四保留非线性潮 式式(1-701-70)右端变量列向量中任一元素的右端变量列向量中任一元素的全微分为全微分为:四保留非线性潮流算法四保留非线性潮流算法 式(1-70)右端变量列向量中任一元素的全微分为:四 根据式根据式(1-70),(1-70),在在 处的全微分也可表处的全微分也可表示为示为 (1-81)(1-81)此式是式此式是式(1-79)(1-79)的第二和第三项之和。的第二和第三项之和。所以式所以式(1-79)(1-79)的第二项加上第三项就和式的第二项加上第三项就和式(1-741-74)的第二项相等。的第二项相等。四保留非线性潮流算法四保留非线性潮流算法 根据式(1-70),在 处的全微分也可表示为四保 再看式再看式(1-791-79)的第四项。根据式的第四项。根据式(1-(1-70)70)，它可以写成，它可以写成 的形式，就必然和的形式，就必然和式式(1-741-74)的第三项相等。因此泰勒级数展的第三项相等。因此泰勒级数展开式的第三项可以写成和第一项相同的函开式的第三项可以写成和第一项相同的函数式，仅变量不同，以数式，仅变量不同，以 取代取代 而已。而已。式式(1-77)(1-77)促成了本算法的突破，因为促成了本算法的突破，因为可以非常方便地计算二阶项。可以非常方便地计算二阶项。该式是一个很重要的关系式，今后在研该式是一个很重要的关系式，今后在研究其它算法时将多次引用。究其它算法时将多次引用。四保留非线性潮流算法四保留非线性潮流算法 再看式(1-79)的第四项。根据式(1-70)，它可 （三）数值计算迭代公式（三）数值计算迭代公式 式式(1-771-77)是以是以 为变量的二次代数方程为变量的二次代数方程组，从一定的初值组，从一定的初值 出发，求解满足出发，求解满足该式的该式的 仍然要采用迭代的方法。式仍然要采用迭代的方法。式(1-77)(1-77)可改写成可改写成 (1-82)(1-82)于是算法的具体迭代公式为：于是算法的具体迭代公式为：(1-83)(1-83)四保留非线性潮流算法四保留非线性潮流算法 （三）数值计算迭代公式四保留非线性潮流算法式中：为迭代次数；式中：为迭代次数；按按 估计而得。估计而得。进行第一次迭代时，进行第一次迭代时，令，令 ,同牛顿法的第一次迭代计算完全相同。同牛顿法的第一次迭代计算完全相同。算法的收敛判据为算法的收敛判据为 (1-84)(1-84)也可以采用也可以采用 (1-85)(1-85)作为收敛判据作为收敛判据。式式(1-85)(1-85)是比式是比式(1-84)(1-84)更合理