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4-1 4-1 功功一 功和功率 功是度量能量转换的基本物理量，它描写了力功是度量能量转换的基本物理量，它描写了力对空间积累作用。对空间积累作用。功的定义：力在位移方向上的力在位移方向上的投影与位移大小的投影与位移大小的乘积。乘积。FFra1.恒力的功恒力的功即功等于力和位移的点积。即功等于力和位移的点积。元功：元功：2.变力的功变力的功=FcosdWdra=.F dr质点由质点由a点沿曲线运动到点沿曲线运动到b点的过程中，变力所作的功点的过程中，变力所作的功。功：功：结论：合力对质点所作的功等于每个分力对质点合力对质点所作的功等于每个分力对质点作功之代数和作功之代数和 。在直角坐标系中在直角坐标系中 功是标量。只有大小，没有方向。功是标量。只有大小，没有方向。功不仅和力的大小、方向、始末位置有功不仅和力的大小、方向、始末位置有关，还和具体路径有关，即功是过程量。关，还和具体路径有关，即功是过程量。注意：注意：注意：注意：功的几何意义：功的几何意义：功在数值上等于示功图功在数值上等于示功图曲线下的面积。曲线下的面积。F(x)x0示功图示功图dxF12xx功和参考系有关，具有相对性。功和参考系有关，具有相对性。功和参考系有关，具有相对性。功和参考系有关，具有相对性。举例 以车厢为参考系，摩擦力不做功。以地面为以车厢为参考系，摩擦力不做功。以地面为以车厢为参考系，摩擦力不做功。以地面为以车厢为参考系，摩擦力不做功。以地面为参考系，摩擦力做功。一般情况下，通常约定参考系，摩擦力做功。一般情况下，通常约定参考系，摩擦力做功。一般情况下，通常约定参考系，摩擦力做功。一般情况下，通常约定以地面为参考系以地面为参考系以地面为参考系以地面为参考系。加加速速运运动动一对相互作用力的功与参考系无关。一对相互作用力的功与参考系无关。一对相互作用力的功与参考系无关。一对相互作用力的功与参考系无关。m汽车相对地面的位移为汽车相对地面的位移为物块相对车的位移为物块相对车的位移为以地面为参考系：以地面为参考系：以汽车为参考系以汽车为参考系以汽车为参考系以汽车为参考系物块相对地面的位移为物块相对地面的位移为则这一对力的功为则这一对力的功为功率是反映作功快慢程度的物理量。功率是反映作功快慢程度的物理量。功率：单位时间内所作的功。单位时间内所作的功。单位时间内所作的功。单位时间内所作的功。平均功率：瞬时功率：瓦特（W）=（J/s）例例 设作用在质量为设作用在质量为2kg的质点上的力是的质点上的力是 N。当质点从原点移动到位矢为当质点从原点移动到位矢为 m处时，此力所作处时，此力所作的功有多大？它与路径有无关系？的功有多大？它与路径有无关系？解：解：例例例例、设作用在质量为设作用在质量为2kg的物体上的力的物体上的力F=6t N。如。如果物体由静止出发沿直线运动，在头果物体由静止出发沿直线运动，在头2（s）内这力作内这力作了多少功？了多少功？解：两边积分：两边积分：dmgTmdrFL 例例 有一单摆，用一水平力作用于有一单摆，用一水平力作用于m使其缓慢上升。当使其缓慢上升。当由由0增大到增大到0时，求时，求:此力的功。此力的功。解：解：例例 一球形容器落入水中，其刚接触水面时，一球形容器落入水中，其刚接触水面时，其速度为其速度为 。设此容器在水中所受的浮力与重力相。设此容器在水中所受的浮力与重力相等，水的阻力为等，水的阻力为 f=-kv,求阻力所做的功。求阻力所做的功。解解：如图，取坐标如图，取坐标 Ox 向向下为正。由功的定义，水的下为正。由功的定义，水的阻力做的功为阻力做的功为由题意：由题意：（1）即即代入（代入（1）得）得 合外力的功合外力的功初动能初动能末动能末动能定义动能定义动能：合外力的功等于其动能的增量，难道这只是巧合？合外力的功等于其动能的增量，难道这只是巧合？4-2 动能定理 动能：单位：（J）设质点设质点m在力的作用下沿曲线从在力的作用下沿曲线从a点移动到点移动到b点点元功：元功：1质点动能定理质点动能定理总功：质点的动能定理：合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。功与动能的联系功与动能的联系：它们的单位和量纲相同；：它们的单位和量纲相同；功是能量变化的量度；都是标量。功是能量变化的量度；都是标量。功与动能的区别功与动能的区别：动能是状态量：动能是状态量v 的单值函的单值函数，所以是状态量；功总是和一定过程相联数，所以是状态量；功总是和一定过程相联系，是过程量。系，是过程量。动能定理由牛顿第二定律导出，动能定理由牛顿第二定律导出，只只适用于惯适用于惯性参考系性参考系，并且功和动能与参考系有关。但，并且功和动能与参考系有关。但不同惯性系，动能定理的形式相同。不同惯性系，动能定理的形式相同。注意：注意：2质点系的动能定理质点系的动能定理 i i i一个由一个由n个质点组成的质点系，考察第个质点组成的质点系，考察第i个质点。个质点。质点的动能定理：质点的动能定理：对系统内所有质点求和对系统内所有质点求和？合内力的功是否为零？合内力的功是否为零？质点系动能的增量等于作用于系统的所有外力和质点系动能的增量等于作用于系统的所有外力和内力作功之代数和。内力作功之代数和。质点系的动能定理：内力做功可以改变系统的总动能。内力做功可以改变系统的总动能。值得注意：0例例例例 已知质量已知质量m=1.0Kg的物体连在的物体连在1m长的绳子一端长的绳子一端。从从 0=30处静止下落静止下落.求求10时时,小球的速率小球的速率v解解:小球在任意时刻受重力小球在任意时刻受重力P P与拉力与拉力T T.PT 外力作功外力作功dr 且且 cos =sin,ds=-ld 代代积分上下限积分上下限由由动能定理动能定理因为因为 v0=0代入数据代入数据 l=1m,0=30,=10所以所以 v=1.53m/s4-3 保守力与非保守力 势能（1）重力的功）重力的功质量为质量为m m的物体在重力作用的物体在重力作用下下,沿沿abab,重力对物体作力为重力对物体作力为重力做功仅取决于质点的始、末位置重力做功仅取决于质点的始、末位置z za a和和z zb b，与质点经过的具体路径无关。，与质点经过的具体路径无关。（2）万有引力作功万有引力作功 设质量为设质量为M的质点固的质点固定，另一质量为定，另一质量为m的质点的质点在在M 的引力场中从的引力场中从a a点运点运动到动到b b点。点。万有引力作功只与质点的始、末位置有关，而与万有引力作功只与质点的始、末位置有关，而与具体路径无关。具体路径无关。cMab（3）弹性力的功）弹性力的功x2box1mxamFx由胡克定律：由胡克定律：弹性力作功只与弹簧的起始和终了位置有关，弹性力作功只与弹簧的起始和终了位置有关，而与弹性变形的过程无关。而与弹性变形的过程无关。保守力的特点：保守力的特点：保守力的特点：保守力的特点：保守力沿任何闭合路径作功等于零。保守力沿任何闭合路径作功等于零。保守力：保守力：保守力：保守力：作功与路径无关，只与始末位置有关的力。作功与路径无关，只与始末位置有关的力。根据保守力做功的特点，可以引入只和位根据保守力做功的特点，可以引入只和位置有关的物理量置有关的物理量-势能势能与保守力相对的称为与保守力相对的称为耗散力耗散力，如摩擦力。，如摩擦力。势能势能势能势能由由保守力作功保守力作功:重力的功重力的功:万有引力的功：万有引力的功：弹性力的功：弹性力的功：重力势能重力势能引力势能引力势能弹性势能弹性势能E EP P为物体的势能为物体的势能,三种势能为：三种势能为：设空间设空间2处为势能的零点，则处为势能的零点，则1处的势能为：处的势能为：结论：结论：空间某点的势能空间某点的势能Ep在数值上等于质点从该点在数值上等于质点从该点移动到势能零点时保守力做的功。移动到势能零点时保守力做的功。可写可写为统一的一般形式为统一的一般形式保守力做功在数值上等于系统势能的减少。保守力做功在数值上等于系统势能的减少。保守力做功在数值上等于系统势能的减少。保守力做功在数值上等于系统势能的减少。说明：说明：说明：说明：（1 1）势能是一个系统的属性。）势能是一个系统的属性。势能的大小只有相对的意义，相对势能的大小只有相对的意义，相对势能的大小只有相对的意义，相对势能的大小只有相对的意义，相对于势能的零点而言。于势能的零点而言。于势能的零点而言。于势能的零点而言。（3 3）（4 4）势能的零点可以任意选取。）势能的零点可以任意选取。重力势能：重力势能：重力势能：重力势能：（地面（地面（h h=0=0）为势能零点）为势能零点）弹性势能：弹性势能：弹性势能：弹性势能：（弹簧自由端为势能零点）（弹簧自由端为势能零点）引力势能：引力势能：引力势能：引力势能：（无限远处为势能零点）（无限远处为势能零点）（2）势能是位置的单值函数。）势能是位置的单值函数。（5）引入势能的一个重要目的是为了简）引入势能的一个重要目的是为了简化保守力做功的计算。化保守力做功的计算。保守力与势能的积分关系：保守力与势能的微分关系：因为：因为：因为：因为：4-5 由由势能求保守力势能求保守力所以：所以：保守力的矢量式：保守力沿各坐标方向的分量，在数值上等于系保守力沿各坐标方向的分量，在数值上等于系统的势能沿相应方向的空间变化率的负值，其统的势能沿相应方向的空间变化率的负值，其方向方向指向势能降低的方向指向势能降低的方向。结论：4-6 机械能守恒定律质点系的动能定理：质点系的动能定理：其中其中机械能质点系机械能的增量等于所有外力和所有非保守内质点系机械能的增量等于所有外力和所有非保守内力所作功的代数和。力所作功的代数和。质点系的功能原理如果如果，当系统只当系统只有有保守内力作功时，质点系的总机保守内力作功时，质点系的总机械能保持不变。械能保持不变。机械能守恒定律 注意：1、机械能守恒的条件：作用于质点系的外力和非保机械能守恒的条件：作用于质点系的外力和非保守内力不作功守内力不作功 （W外外+W非保内非保内=0 ）或）或 只有保守只有保守内力作功。内力作功。2、机械能守恒：系统的总机械能不变。而质点系机械能守恒：系统的总机械能不变。而质点系 内的动能和势能都不是不变的，二者之间的转换内的动能和势能都不是不变的，二者之间的转换 是通过系统内的保守力作功来实现的。是通过系统内的保守力作功来实现的。4 4、机械能守恒定律只适用于惯性系，不适合于非机械能守恒定律只适用于惯性系，不适合于非 =惯性系。惯性系。5 5、在某一惯性系中机械能守恒，但在另一惯性系在某一惯性系中机械能守恒，但在另一惯性系=中机械能不一定守恒。这是因为外力的功与参中机械能不一定守恒。这是因为外力的功与参=考系的选择有关。对一个参考系外力功为零，考系的选择有关。对一个参考系外力功为零，=但在另一参考系中外力功也许不为零。但在另一参考系中外力功也许不为零。3 3、要区分功、能两种概念，功是能量变化的量度，能、要区分功、能两种概念，功是能量变化的量度，能是物体具有的作功本领。能是状态量，功是过程量。是物体具有的作功本领。能是状态量，功是过程量。例：例：链条总长为链条总长为 L，质量为质量为 m，初始时刻如图悬挂，链条初始时刻如图悬挂，链条与桌面间的摩擦系数为与桌面间的摩擦系数为 ，链条由静止开始运动，求：，链条由静止开始运动，求：（1）、链条离开桌边时，摩擦力作的功？）、链条离开桌边时，摩擦力作的功？（2）、这时候链条的速度？）、这时候链条的速度？Laa解解：当链条在桌面上的长度为当链条在桌面上的长度为x时，时，摩擦力摩擦力（1）、）、（2）、）、由功能原理由功能原理例例.传送带沿斜面向上运行速度为传送带沿斜面向上运行速度为v=1m/s，设物料无，设物料无初速地每秒钟落到传送带下端的质量为初速地每秒钟落到传送带下端的质量为M=50kg/s，并，并被输送到高度被输送到高度h=5m处，求配置的电动机所需功率。处，求配置的电动机所需功率。（忽略一切由于摩擦和碰撞造成的能量损失）（忽略一切由于摩擦和碰撞造成的能量损失）解：解：在在t 时间内，质量为时间内，质量为Mt 的物料落到皮带的物料落到皮带上，并获得速度上，并获得速度v。t内内系统动能的增量：系统动能的增量：重力做功：重力做功：电动机对系统做的功：电动机对系统做的功：由动能定理：由动能定理：例例例例 已知质量已知质量m=1.0Kg的物体和的物体和1m长绳子相连。长绳子相连。从从 0=30处静止下落静止下落.求求10时时,小球的速率小球的速率v。解：解：小球运动过程中，只有重力做小球运动过程中，只有重力做功，小球机械能守恒。功，小球机械能守恒。由机械能由机械能守恒：守恒：因为因为 v0=0代入数据代入数据 l=1m,0=30,=10所以所以 v=1.53m/s 0T drP4-8 碰撞两个或两个以上的物体在运动中两个或两个以上的物体在运动中发生极其短发生极其短暂的相互作用，使物体的运动状态发生急剧暂的相互作用，使物体的运动状态发生急剧变化，这一过程称为变化，这一过程称为碰撞碰撞。正碰（对心碰撞）：正碰（对心碰撞）：两球碰撞前后的速度在两球的两球碰撞前后的速度在两球的中心连线上。中心连线上。斜碰：斜碰：两球碰撞前的速度不在两球的中心连线上。两球碰撞前的速度不在两球的中心连线上。完全弹性完全弹性碰撞：碰撞：碰撞碰撞后物体后物体系统系统的机械能没有损失的机械能没有损失。非弹性碰撞非弹性碰撞：碰撞碰撞后物体后物体系统系统的机械能有损失的机械能有损失。完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞：碰撞碰撞后物体后物体系统系统的机械能有损失的机械能有损失，且且碰撞后碰撞后物体物体以同一速度运动以同一速度运动。碰撞过程的特点：碰撞过程的特点：1、各个物体的动量明显改变。、各个物体的动量明显改变。2、系统的总动量守恒。、系统的总动量守恒。1.完全弹性碰撞完全弹性碰撞(1)如果如果m1=m2，则，则v1=v20，v2=v10，即两物体在即两物体在碰撞时速度碰撞时速度发生了发生了交换交换。(2)如果如果v20=0,且且 m2 m1,则则v1=-v10,v2=0(3)如果如果v20=0,且且 m1 m2,则则v1=v10,v2=2v10分离速度等于接近速度分离速度等于接近速度2完全完全非非弹性碰撞弹性碰撞 由动量守恒定律由动量守恒定律完全非弹性碰撞中完全非弹性碰撞中动动能的损失能的损失 牛顿的牛顿的碰撞定律碰撞定律：在一维对心碰撞在一维对心碰撞中，中，碰撞碰撞后两物后两物体的分离速度体的分离速度 v2 2-v1 1 与与碰撞碰撞前两物体的接近速度前两物体的接近速度 v1010-v2020 成正比成正比，比值由两物体的材料比值由两物体的材料性质性质决定决定。3非非弹性碰撞弹性碰撞 e 为恢复系数为恢复系数 e=0，则则v2=v1，为，为完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞。e=1，则分离速度等于接近速度则分离速度等于接近速度，为，为完全弹性碰撞完全弹性碰撞。一般一般非弹性碰撞非弹性碰撞碰撞碰撞：0 e 1 例例 如图所示，用质量为如图所示，用质量为M的铁锤把质量为的铁锤把质量为m 的钉子敲的钉子敲入木板。设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度入木板。设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比。在铁锤敲打第一次时，能够把钉子敲入成正比。在铁锤敲打第一次时，能够把钉子敲入1cm深，若铁锤第二次敲钉子的速度情况与第一次完全相深，若铁锤第二次敲钉子的速度情况与第一次完全相同，问第二次能把钉子敲入多深？同，问第二次能把钉子敲入多深？解解解解设铁锤敲打钉子前的设铁锤敲打钉子前的速度为速度为v0，敲打后两者的共同速敲打后两者的共同速度为度为v。铁锤第一次敲打时，克服阻力做功，设钉子所受阻铁锤第一次敲打时，克服阻力做功，设钉子所受阻力为：力为：由动能定理，由动能定理，有：有：设铁锤第二次敲打时能敲入的深度为设铁锤第二次敲打时能敲入的深度为S，则有，则有化简后化简后第二次能敲入的深度为：第二次能敲入的深度为：例例 地面上竖直安放着一个劲度系数为地面上竖直安放着一个劲度系数为k 的弹簧，其顶的弹簧，其顶端连接一静止的质量端连接一静止的质量 M物体。有个质量为。有个质量为m 的物体，从的物体，从距离顶端为距离顶端为处自由落下，与处自由落下，与M 作完全非弹性碰撞。求作完全非弹性碰撞。求弹簧对地面的最大压力。弹簧对地面的最大压力。Mmh分析：分析：小球的运动分三个过程：小球的运动分三个过程：自由落体自由落体碰撞碰撞压缩弹簧压缩弹簧2ghv10=Mgk=x 0Mgk=x 0解解(1)m下落到与下落到与M碰前速度大小为碰前速度大小为(2)完全非弹性碰撞，设碰后共同速度为完全非弹性碰撞，设碰后共同速度为v0 x 0(3)设开始时弹簧的压缩量为设开始时弹簧的压缩量为BMmox h解得：解得：选选O点为零势能点，点为零势能点，从位置从位置0到最大位移到最大位移B 过程中机械能守恒，得：过程中机械能守恒，得：第二章第二章第二章第二章 动力学基本定律动力学基本定律动力学基本定律动力学基本定律1 1、牛顿定律牛顿定律牛顿定律牛顿定律2 2 2 2、动量守恒定律、动量守恒定律、动量守恒定律、动量守恒定律冲量：力对时间的累积效果冲量：力对时间的累积效果质点动量定理：质点动量定理：动量守恒定律：动量守恒定律：3 3 3 3、角动量守恒定律、角动量守恒定律、角动量守恒定律、角动量守恒定律角动量角动量角动量定理：角动量定理：角动量守恒定律角动量守恒定律 如果如果则则4 4、能量守恒定律、能量守恒定律、能量守恒定律、能量守恒定律功：力对空间的累积效果动能定理：动能定理：质点系的功能原理机械能守恒定律 如果如果，
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