第十三章_经典功率谱估计

数字信号数字信号处理理电气信息工程学院蔡超峰引言引言对各各态遍遍历随机信号随机信号 X(n)，自相关函数和功率，自相关函数和功率谱密度均可用密度均可用时间平均来定平均来定义：维纳-辛辛钦定理：定理：第十三章第十三章 经典功率谱估计经典功率谱估计1.周期周期图法（直接法）法（直接法）2.间接法接法3.直接法和直接法和间接法的关系接法的关系4.直接法和直接法和间接法估接法估计的的质量、量、5.直接法的改直接法的改进6.经典功率典功率谱估估计总结7.短短时傅里叶傅里叶变换1.周期周期图法（直接法）法（直接法）周周期期图法法是是把把随随机机信信号号 X(n)的的 N 点点观察察数数据据 xN(n)视为一一能能量量有有限限信信号号，直直接接取取 xN(n)的的 DTFT 得得到到 XN(ej)，然然后后再再取取其其幅幅值的平方，并除以的平方，并除以 N，作，作为对真真实功率功率谱 P(ej)的估的估计：表表示示用用周周期期图法法估估计出出的的功功率率谱。因因为功功率率谱密密度度直直接接由由傅傅里里叶叶变换得得到到，所所以以周周期期图法法又又称称直直接接法法。自自从从 1965 年年 FFT 出出现后后，该方方法法就就成成了了谱估估计中中的的一一个个常常用用方方法法。将将 在在单位位圆上等上等间隔取隔取值，得，得由由于于 XN(k)可可以以用用 FFT 快快速速计算算，所所以以可可以以方方便便地地求求出出 。1.周期周期图法（直接法）法（直接法）比比较以下两种以下两种计算方法：算方法：易知，直接法包含了下述假易知，直接法包含了下述假设及步及步骤：把把平平稳随随机机信信号号 X(n)视为各各态遍遍历的的，用用其其一一个个样本本 x(n)来来代代替替 X(n)，并并且且仅利利用用 x(n)的的 N 个个观察察值 xN(n)来来估估计功功率率谱P(ej)。从从记录到一个到一个连续信号信号 x(t)到估到估计出出 ，还包括了包括了对 x(t)的离散化、必要的的离散化、必要的预处理（如除去均理（如除去均值和和趋势项、滤波等）。波等）。1.周期周期图法（直接法）法（直接法）一个一个实际的例子（的例子（fs=250Hz）：）：2.间接法接法间接法的理接法的理论基基础是是维纳-辛辛钦定理。定理。1958年年Blackman和和Tukey给出了出了这一方法的具体一方法的具体实现，即先由，即先由 xN(n)估估计出自相关函数，出自相关函数，然后求自相关函数的傅里叶然后求自相关函数的傅里叶变换得到的功率得到的功率谱，记之之为 ，并以此作，并以此作为对 P(ej)的估的估计，即，即因因为这种种方方法法求求出出的的功功率率谱是是通通过自自相相关关函函数数间接接得得到到的的，所所以以称称为间接接法法，又又称称自自相相关关法法或或BT法法。当当 M 较小小时，上上式式计算量不是很大，因此算量不是很大，因此该方法是方法是 FFT 问世之前常用的世之前常用的谱估估计方法。方法。与与维纳-辛辛钦定理相比定理相比较：2.间接法接法如果如果 X(n)是各是各态遍遍历随机信号，随机信号，x(n)是其一个是其一个样本函数，本函数，则自自相关函数可定相关函数可定义如下：如下：实际中的信号大多是因果信号，所以上式可以表示中的信号大多是因果信号，所以上式可以表示为：本章所涉及的都是自相关函数，因此将本章所涉及的都是自相关函数，因此将 rx(m)简写写为 r(m)。如。如果果观察察值的个数的个数为有限有限值，则求求 r(m)的一种方法的一种方法为：由于由于x(n)只有只有N个个观察察值，因此，因此对于每一个固定的延于每一个固定的延迟 m，可以，可以2.间接法接法利用的数据只有利用的数据只有 N-1-|m|个，且在个，且在 0N-1 的范的范围内，内，xN(n)=x(n)，所以，所以实际计算算时，上式，上式变为：的的长度度为 2N-1，它是以，它是以 m=0 为偶偶对称的。称的。由偏差的定由偏差的定义可知：可知：2.间接法接法可以看出：可以看出：对于一个固定的延于一个固定的延迟|m|，当，当 N时，因此，因此 是是对 r(m)的的渐进无偏估无偏估计；对于一个固定的于一个固定的 N，只有当，只有当|m|N时，的均的均值才接近于才接近于真真值r(m)，即当，即当|m|越接近于越接近于 N 时，估，估计的偏差越大；的偏差越大；的均的均值是真是真值 r(m)和一三角窗函数和一三角窗函数的乘的乘积，w(m)的的长度是度是 2N-1。该窗函数窗函数对r(m)加加权，致使，致使 产生了偏差。生了偏差。2.间接法接法三角窗三角窗w(m)：当我当我们对一个信号做自然截短一个信号做自然截短时，就不可避免地，就不可避免地对该数据施加数据施加了一个矩形窗，由此矩形窗就了一个矩形窗，由此矩形窗就产生了加在自相关函数上的三角生了加在自相关函数上的三角窗，窗，该三角窗影响自相关函数的估三角窗影响自相关函数的估计质量。量。2.间接法接法由方差的定由方差的定义可知：可知：当当 N 时，又因，又因为 ，所以，所以，对固固定的延定的延迟|m|，是是 r(m)的的渐进一致估一致估计。2.间接法接法计算算 时，如果，如果 N 和和 m 都比都比较大，大，则需要的乘法次数很多。需要的乘法次数很多。可以利用可以利用FFT实现对 的快速的快速计算。算。上式也可以写上式也可以写为：求求 的离散的离散时间傅里叶傅里叶变换，得：，得：2.间接法接法把把 xN(n)补 N 个零，得个零，得 x2N(n)，即：，即：记 x2N(n)的傅里叶的傅里叶变换为 X2N(ej)，则有有其中其中 X2N(ej)为有限有限长信号信号 x2N(n)的能量的能量谱，除以，除以 N 以后即以后即为功率功率谱。这说明自相关函数的估明自相关函数的估计值 和和 x2N(n)的功率的功率谱是是一一对傅里叶傅里叶变换。2.间接法接法利用利用FFT计算自相关函数的步算自相关函数的步骤：对 xN(n)补 N 个零，得个零，得 x2N(n)，对 x2N(n)做做 DFT 得得 X2N(k)，k=0,1,2N-1；求求 X2N(k)的幅平方，然后除以的幅平方，然后除以N，得，得 ；对 做逆做逆变换，得，得 。将将 中中 的部分向右平移的部分向右平移 2N点后形成的序列即点后形成的序列即为 。3.直接法和直接法和间接法的关系接法的关系直接法：直接法：间接法：接法：其中自相关函数其中自相关函数 与与 x2N(n)的功率的功率谱是一是一对傅里叶傅里叶变换：因此有因此有令令M=N-13.直接法和直接法和间接法的关系接法的关系由由此此可可知知，直直接接法法可可以以看看作作是是间接接法法的的一一个个特特例例，即即当当间接接法法中中使使用用的的自自相相关关函函数数的的最最大大延延迟 M=N-1 时，二二者者是是相相等等的的。前前面已面已经指出：指出：这就就意意味味着着，当当 M 较大大，特特别是是接接近近于于 N-1 时，对 r(m)的的估估计偏偏差差变大大，此此时估估计出出的的功功率率谱的的质量量也也必必然然下下降降。因因此此，在使用在使用间接法接法时，都是取，都是取MN-1，很，很显然此然此时令令MN-1，这意意味味着着对最最大大长度度为 2N-1 的的自自相相关关函函数数 的的截短，亦即施加了一个窗函数，截短，亦即施加了一个窗函数，记之之为 v(m)，得：，得：3.直接法和直接法和间接法的关系接法的关系 的的均均值等等于于真真实的的自自相相关关函函数数 r(m)乘乘以以三三角角窗窗 w(m)，这是是第第一一次次加加窗窗。该三三角角窗窗是是由由数数据据截截短短而而产生生的的，其其宽度度为 2N-1。v(m)是是对自自相相关关函函数数 r(m)的的第第二二次次加加窗窗，宽度度为 2M-1，MN-1。因因为 v(m)的的宽度度远小小于于 w(m)，所所以以 v(m)的的频谱V(ej)主主瓣瓣的的宽度度远大大于于 w(m)的的频谱 W(ej)主主瓣瓣的的宽度度。这时，对 r(m)施施加加 v(m)的的作作用用等等效效于于在在频域域做做 和和V(ej)的的卷卷积，这样就起到了就起到了对周期周期图平滑的作用。平滑的作用。直接法和直接法和间接法往往接法往往结合起来使用，步合起来使用，步骤如下：如下：对 xN(n)补N 个零，求个零，求 ；做做 的傅里叶逆的傅里叶逆变换得得 ，这时|m|M=N-1；对 加窗函数加窗函数 v(m)，这时|m|MN-1，得，得 ；求求 的傅里叶的傅里叶变换即可得到即可得到 。3.直接法和直接法和间接法的关系接法的关系直接法和直接法和间接法的关系可接法的关系可归纳如下：如下：x(n)截短截短乘矩形窗乘矩形窗d0(n)求求线性性相关函数相关函数DFTIDFTxN(n)3.直接法和直接法和间接法的关系接法的关系一个一个实际的例子（的例子（fs=250Hz）：）：直接法直接法间接法接法M=1004.直接法和直接法和间接法估接法估计的的质量量当当 M=N-1 时，直接法和，直接法和间接法估接法估计出的出的结果果 和和 是是相同的，因此可以把相同的，因此可以把这两个估两个估计方法的方法的质量一起量一起讨论。为了了书写的方便，下面把写的方便，下面把 和和 都都简写写为 。由偏差的定由偏差的定义可知：可知：其中其中4.直接法和直接法和间接法估接法估计的的质量量三角窗三角窗w(n)是由矩形窗是由矩形窗 d0(n)做自相关得到的。做自相关得到的。记 W(ej)和和D0(ej)分分别是是 w(n)和和 d0(n)的傅里叶的傅里叶变换，则有：有：因此有：因此有：当当 时，d0(n)趋于无限于无限宽，W(ej)和和 D0(ej)都都趋于于 函数，函数，这时因此，因此，对于固定的数据于固定的数据长度度 N，是有偏估是有偏估计。当。当 时，它的期望它的期望值等于真等于真值P(ej)，所以它又是，所以它又是渐进无偏的。无偏的。4.直接法和直接法和间接法估接法估计的的质量量由由协方差的定方差的定义可知：可知：当当=1=2时，依据，依据4.直接法和直接法和间接法估接法估计的的质量量可以得到估可以得到估计的方差的方差为：当当 时，上式右，上式右边第一第一项趋近于零，第二近于零，第二项趋近于近于 。由此可知，。由此可知，是真是真实功率功率谱 P(ej)的的渐进无偏估无偏估计，但却，但却不是一致估不是一致估计。不管。不管 N 如何如何选取，估取，估计值的方差的方差总大于等于估大于等于估计值均均值的平方。的平方。我我们知道，知道，是是 r(m)的一致估的一致估计，但把，但把 做傅里叶做傅里叶变换得得到的功率到的功率谱 却不是却不是 P(ej)的一致估的一致估计，所以功率，所以功率谱的估的估计要比相关函数的估要比相关函数的估计复复杂的多。的多。如果如果选择一个好的窗函数，使其一个好的窗函数，使其频谱在主瓣以外的部分基本在主瓣以外的部分基本为零（零（这样的窗函数是不存在的），如左下的窗函数是不存在的），如左下图所示，其中所示，其中B1是主是主瓣的瓣的宽度。如果限定度。如果限定B1/2(-B1/2)，则有有 D0(-)D0(+)=0,如右下如右下图所示。所示。很很显然，此然，此时估估计的方差的方差为：4.直接法和直接法和间接法估接法估计的的质量量D0()0 0 D0(+)D0(-)如果限定如果限定 1 和和 2 在在 0 B1，如，如下下图所示。所示。此此时估估计的的协方差方差为：可可见 在在1和和 2上是不相关的，因此上是不相关的，因此 呈呈现较大的起伏。大的起伏。4.直接法和直接法和间接法估接法估计的的质量量 0 0 D0(1-)D0(-2)D0(2+)D0(1-)1-2 2 1 4.直接法和直接法和间接法估接法估计的的质量量回回忆平平稳随机信号随机信号 X(n)的自相关函数和功率的自相关函数和功率谱的定的定义：通常求不出集通常求不出集总平均意平均意义下的自相关函数和功率下的自相关函数和功率谱，因而假定，因而假定X(n)是各是各态遍遍历的，取其一个的，取其一个样本本 x(n)，于是有，于是有:尽管自相关函数可以用尽管自相关函数可以用时间平均来代替集平均来代替集总平均，但功率平均，但功率谱必必须保留集保留集总平均。平均。这是因是因为对随机随机过程程 X(n)的每一次的每一次实现 x(n)，其傅里叶，其傅里叶变换仍然是一个随机仍然是一个随机过程，在每一个程，在每一个频率率处，它都，它都是一个随机是一个随机变量，因此集量，因此集总平均是必平均是必须的。的。这也也说明，明，P(ej)并并不具不具备各各态遍遍历性。性。4.直接法和直接法和间接法估接法估计的的质量量对功率功率谱的估的估计：既无求均既无求均值运算，也无求极限运算，它只能看作是运算，也无求极限运算，它只能看作是对真真实功率功率谱 P(ej)做均做均值运算运算时的一个的一个样本。缺少了本。缺少了统计平均，当然也平均，当然也就就产生了生了较大的方差。大的方差。根据根据也可以看出来，由也可以看出来，由单个个样本本 x(n)估估计出的功率出的功率谱不会收不会收敛到真到真实功率功率谱。4.直接法和直接法和间接法估接法估计的的质量量 的的频率分辨率是指率分辨率是指 保持真保持真实功率功率谱 P(ej)中两个靠的中两个靠的很近的很近的谱峰仍被分辨出来的能力。决定峰仍被分辨出来的能力。决定 分辨率的主要因素分辨率的主要因素是所使用的数据的是所使用的数据的长度，也即数据窗度，也即数据窗 d0(n)的的宽度。若数据的度。若数据的长度度为 tp，采，采样频率率为 fs，采，采样后的点数后的点数为 N，即，即 tp=N/fs，那么，那么，估估计谱 的分辨率正比于的分辨率正比于 fs/N 或或 2/N。长度度为 N 的各种窗的各种窗函数，其主瓣函数，其主瓣宽度度为 2k/N，所以的分辨率也正比于，所以的分辨率也正比于 2k/N。若若P(ej)中有两个相距中有两个相距为 BW 的的谱峰，峰，为了要区分他了要区分他们，则要求要求这样，数据的，数据的长度度 N 应该满足：足：为了保了保证 的分辨率，希望的分辨率，希望 N 要大。但增大要大。但增大 N 时，又使，又使起伏加起伏加剧。4.直接法和直接法和间接法估接法估计的的质量量当当 MN-1 时，直接法和，直接法和间接法估接法估计出的出的结果果 和和 不不相等，相等，是是对 的平滑。此的平滑。此时：p 间接法也是一种有偏估接法也是一种有偏估计。由于在。由于在 上施加了一个上施加了一个较短的短的窗口，使得窗口，使得间接法估接法估计的偏差大于直接法，但方差小于直接法。的偏差大于直接法，但方差小于直接法。p 谱的平滑（方差的减小）是以的平滑（方差的减小）是以频率分辨率率分辨率为代价的。代价的。由于由于V(ej)的主瓣比的主瓣比W(ej)的主瓣的主瓣宽，因而致使其分辨率下降。，因而致使其分辨率下降。4.直接法和直接法和间接法估接法估计的的质量量p对 ，在，在 0 B1 时，和和 是不相关的，是不相关的，这时主瓣的主瓣的宽度度B1=4/N。对，,也可也可认为在上述在上述频率范率范围内，当内，当|2-1|B1时，和和 是不相关的。不是不相关的。不过此此时的的 B1=4 /M，因，因为MN-1，所以，所以 B1 增大。因此增大。因此临近近频率上的估率上的估计值变得得较为相关。从相关。从这一角度也可以解一角度也可以解释 对 平滑的原因。平滑的原因。5.直接法估直接法估计的改的改进直接法的估直接法的估计结果果 性能不好。当数据性能不好。当数据长度度N太大太大时，谱线起伏加起伏加剧，N 太小太小时，谱的分辨率又不好。因此需要改的分辨率又不好。因此需要改进。这里所里所说的改的改进，主要是改，主要是改进其方差特性。其方差特性。p 间接法是接法是对直接法的一种改直接法的一种改进，又称，又称为周期周期图的平滑。的平滑。p 对直接法直接法进行改行改进的另外一种方法是所的另外一种方法是所谓的平均法，其指的平均法，其指导思想是把思想是把长度度为 N 的数据的数据 xN(n)分成分成 L 段，分段，分别求每一段的功求每一段的功率率谱，然后加以平均，以达到减小方差的目的。几种主要的改，然后加以平均，以达到减小方差的目的。几种主要的改进方法：方法：Bartlett 法法Welch 法法Nuttall 法法5.直接法估直接法估计的改的改进由概率由概率论可知，可知，对具有相同均具有相同均值 和方差和方差 2 的独立随机的独立随机变量量X1,X2,XL,新随机新随机变量量 X=（X1+X2+XL）/L 的均的均值也是也是，但方差，但方差为2/L。此即。此即 Bartlett 法的指法的指导思想。思想。将数据分成将数据分成 L 段，每段的段，每段的长度都是度都是 M，即，即 N=LM，第，第 i 段数据段数据为：然后分然后分别计算每一段的功率算每一段的功率谱：求平均，得到平均周期求平均，得到平均周期图：的均的均值为：式中式中 D1(ej)是矩形窗是矩形窗d1(n)的的频谱，W1(ej)是是 d1(n)做自相关所做自相关所得到的三角窗得到的三角窗 w1(n)的的频谱，w1(n)的的长度是度是 2M-1。因。因为W1(ej)主瓣的主瓣的宽度度远大于大于W(ej)，所以平均后偏差增大，分辨率下降。，所以平均后偏差增大，分辨率下降。M 的的选择主要取决于所需的分辨率。因主要取决于所需的分辨率。因为 W1(ej)的主瓣的主瓣宽度是度是4/M，若，若 P(ej)中有两个相距中有两个相距为 BW 的的谱峰，峰，为了要分辨它了要分辨它们，需要需要 4/M4/BW。如果数据。如果数据长度度 N 已确定，根据已确定，根据所需的所需的 M，L 也就自然被确定。如果也就自然被确定。如果 N 可以可以变化，化，则应根据方根据方差的要求确定差的要求确定 L，然后再确定要，然后再确定要记录的数据的数据长度度 N。M5.直接法估直接法估计的改的改进5.直接法估直接法估计的改的改进Welch 法是法是对 Bartlett 法的改法的改进。改。改进之一是在之一是在对 xN(n)分段分段时，允允许每一段的数据有部分的交叠。例如，若每一段数据重合一每一段的数据有部分的交叠。例如，若每一段数据重合一半，半，这时的段数：的段数：式中式中 M 仍然是每段的仍然是每段的长度。度。改改进之二是，每一段的数据窗口可以不是矩形窗，例如之二是，每一段的数据窗口可以不是矩形窗，例如汉宁窗宁窗或或汉明窗，明窗，记之之为 d2(n)。按按Bartlett 法求每一段的功率法求每一段的功率谱，记之之为 ，即，即其中其中 U 是是归一化因子，使用它是一化因子，使用它是为了保了保证所得到的功率所得到的功率谱是是渐进无偏估无偏估计。5.直接法估直接法估计的改的改进如果如果 d2(n)是一矩形窗，是一矩形窗，则平均后的功率平均后的功率谱为：其均其均值为：记 D2(ej)是是 d2(n)的的频谱，及，及则有：有：（证明明过程略）程略）5.直接法估直接法估计的改的改进Welch 法中各段允法中各段允许交叠，因而段数增大，交叠，因而段数增大，这样方差就可以得方差就可以得到更大程度地改善。但是数据的交叠减小了每一段数据的不相到更大程度地改善。但是数据的交叠减小了每一段数据的不相关性，使方差的减小不会达到理想的程度。关性，使方差的减小不会达到理想的程度。Welch 法允法允许分段分段时交叠，交叠，这样就增加了段数，当然也就增加就增加了段数，当然也就增加了做了做 FFT的次数，如果采用的数据窗非矩形窗，的次数，如果采用的数据窗非矩形窗，这又大大增加又大大增加了做乘法的次数，因此了做乘法的次数，因此 Welch 法的法的计算量算量较大。大。Nuttall 等人提出的算法步等人提出的算法步骤如下：如下：与与Bartlett 法相同，即法相同，即对 xN(n)自然分段（加矩形窗），且自然分段（加矩形窗），且不交叠，求得平均后的功率不交叠，求得平均后的功率谱 。由由 做反做反变换，得到，得到 对应的自相关函数的自相关函数 ，其最大其最大宽度是度是 2M-1，M=N/L。5.直接法估直接法估计的改的改进此步如同此步如同间接法，接法，对 加延加延迟窗窗w2(m)，w2(m)的最大的最大单边宽度度为M1，这样得到得到 ，即：，即：由由 做正做正变换得到得到对 x(n)功率功率谱的估的估计：很很显然，然，该方法是把方法是把间接法和接法和间接法接法结合了起来，同合了起来，同时也把平也把平滑和平均也滑和平均也结合了起来。合了起来。这样就保持了平滑和平均减小方差的就保持了平滑和平均减小方差的优点，同点，同时计算量也小于算量也小于 Welch 法。法。5.直接法的改直接法的改进上述三种改上述三种改进方法可以方法可以归纳为：x(n)截短截短乘矩形窗乘矩形窗d0(n)不交叠分段不交叠分段d1(n)为矩形窗矩形窗求平均求平均功率功率谱交叠交叠分段分段对每一段加每一段加权，d2(n)可以不是矩形窗可以不是矩形窗平均平均做逆做逆变换加加权w2(n)正正变换BartlettWelchNuttall5.直接法的改直接法的改进仍然考仍然考虑前面的例子：前面的例子：Bartlett,M=100Welch,M=100Welch,M=250M1=506.经典功率典功率谱估估计方法方法总结不不论是是直直接接法法、间接接法法还是是直直接接法法的的改改进方方法法，都都可可以以利利用用FFT 实现快快速速计算算，且且物物理理概概念念明明确确，仍仍是是目目前前较常常用用的的谱估估计方法。方法。谱的分辨率的分辨率较低，它正比于低，它正比于2/N，N 是所使用数据的是所使用数据的长度。度。由由于于窗窗函函数数的的影影响响不不可可避避免免，使使得得功功率率谱P(ej)在在窗窗口口主主瓣瓣内内的的功功率率向向边瓣瓣部部分分泄泄露露，降降低低了了分分辨辨率率。较大大的的边瓣瓣有有可可能能掩掩盖盖P(ej)中中较弱的成分，或是弱的成分，或是产生假的峰生假的峰值。方方差差性性能能不不好好，不不是是P(ej)的的一一致致估估计，且且 N 增增大大时谱线起起伏伏加加剧。周周期期图的的平平滑滑和和平平均均与与窗窗函函数数的的使使用用密密不不可可分分。平平滑滑和和平平均均主主要要是是用用来来改改善善周周期期图的的方方差差性性能能，但但往往往往又又减减小小了了分分辨辨率率和和增大了偏差。增大了偏差。7.短短时傅里叶傅里叶变换对于于平平稳信信号号，前前述述的的经典典功功率率谱估估计都都是是建建立立在在传统的的傅傅里里叶叶变换的的基基础之之上上。其其实，傅傅里里叶叶变换在在信信号号的的分分析析中中自自身身就就存在着不足。存在着不足。回回忆福利叶福利叶变换的表达式：的表达式：显然然，如如果果我我们想想知知道道在在某某一一个个特特定定时间所所对应的的频率率是是多多少少，或或对某某一一个个特特定定频率率所所对应的的时间是是多多少少，那那么么傅傅里里叶叶变换则无无能能为力力。傅傅里里叶叶变换的的这一一缺缺点点对统计特特征征随随时间变化化的的非非平平稳随机信号来随机信号来说，使用起来更加困，使用起来更加困难。7.短短时傅里叶傅里叶变换设信号信号 x(n)由三个不同由三个不同频率的正弦首尾相接所率的正弦首尾相接所组成，即成，即其波形和幅其波形和幅频特性分特性分别为：123nx(n)07.短短时傅里叶傅里叶变换短短时傅傅里里叶叶变换（short-time Fourier transform,STFT）于于 1946 年由年由 Gabor 提出，其定提出，其定义为：上式中窗函数上式中窗函数 w()的作用可以从不同的角度来解的作用可以从不同的角度来解释：当当窗窗函函数数 w()沿沿着着 t 轴移移动时，相相当当于于不不断断地地截截取取一一小小段段又又一小段的信号，然后一小段的信号，然后对每一小段的信号做傅里叶每一小段的信号做傅里叶变换。尽尽管管信信号号 x(t)是是非非平平稳的的，但但将将它它分分成成许多多小小段段后后，我我们可可以以假假定定它它的的每每一一小小段段是是平平稳的的，窗窗函函数数 w()的的作作用用是是尽尽可可能能地保地保证所截取的每一小段都是平所截取的每一小段都是平稳的。的。窗窗函函数数的的宽度度越越小小，时域域分分辨辨率率越越好好，局局部部平平稳性性的的假假设越越成立。成立。显然，与然，与CFT相比，相比，STFT可以得到更多的可以得到更多的时域信息。域信息。7.短短时傅里叶傅里叶变换设离离散散信信号号 x(n)长度度为 L，窗窗函函数数 w(n)宽度度为 M，则离离散散 STFT定定义为：上上式式中中 N 的的大大小小决决定定了了窗窗函函数数沿沿时间轴移移动的的间距距。N 越越小小，m 的取的取值越多，得到的越多，得到的时-频曲曲线就越密集。就越密集。可以从两个方面可以从两个方面对上述公式上述公式进行理解：行理解：p当当 m 固固定定不不变时，STFT 是是序序列列 x(n)w(n-mN)的的离离散散傅傅里里叶叶变换，此，此时 STFT与离散傅里叶与离散傅里叶变换具有相同的性具有相同的性质。p当当 k 固固定定时，STFT是是时间 m 的的函函数数，此此时窗窗口口的的作作用用相相当当于一个于一个滤波器。波器。7.短短时傅里叶傅里叶变换设采采样间隔隔为 Ts，窗窗函函数数的的宽度度为 M，则时间分分辨辨率率和和频率率分辨率分分辨率分别定定义为：由由此此可可见，若若 M 较大大，则时间分分辨辨率率低低，但但频率率分分辨辨率率高高，可可以以看看到到频率率的的快快变化化；若若 M 较小小，则时间分分辨辨率率高高，但但频率率分分辨辨率率低低，看看不不到到频率率的的快快变化化。时间分分辨辨率率和和频率率分分辨辨率率相互矛盾的。相互矛盾的。窗窗函函数数的的宽度度固固定定时，矩矩形形窗窗主主瓣瓣宽度度最最窄窄，因因此此频率率分分辨辨率率高高，但但旁旁瓣瓣衰衰减减大大，频谱泄泄露露现象象严重重；汉宁宁窗窗主主瓣瓣宽度度较宽，因此因此频率分辨率不高，但旁瓣衰减小，率分辨率不高，但旁瓣衰减小，频谱泄露泄露现象得到遏制。象得到遏制。7.短短时傅里叶傅里叶变换计算信号算信号 x(n)的的STFT。1231230频率率时间nx(n)7.短短时傅里叶傅里叶变换一一般般说来来，高高频信信号号持持续时间短短，低低频信信号号持持续时间长，因因此此希希望望能能够对低低频信信号号采采用用大大时间窗窗进行行分分析析，对高高频信信号号采采用用小小时间窗窗进行行分分析析。STFT 中中窗窗函函数数的的大大小小和和形形状状固固定定，因因此此其其时间分辨率和分辨率和频率分辨率也固定。率分辨率也固定。这就限制了就限制了STFT的的应用。用。小小波波变换继承承了了STFT的的思思想想，但但其其窗窗口口大大小小和和形形状状都都可可以以改改变，是是一一种种时间窗窗和和频率率窗窗都都可可以以改改变的的时频分分析析方方法法，即即在在低低频部部分分具具有有较高高的的频率率分分辨辨率率和和较低低的的时间分分辨辨率率，在在高高频部部分具有分具有较高的高的时间分辨率和分辨率和较低的低的频率分辨率。率分辨率。