（课标通用版）高考数学大一轮复习 坐标系与参数方程 第1讲 坐标系检测 文-人教版高三全册数学试题

第1讲 坐标系 基础题组练1在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C：x2y236变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标解：设圆x2y236上任一点为P(x，y)，伸缩变换后对应的点的坐标为P(x，y)，则所以4x29y236，即1.所以曲线C在伸缩变换后得椭圆1，其焦点坐标为(，0)2在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线C的极坐标方程为cos1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求点M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程解：(1)由cos1，得1，从而曲线C的直角坐标方程为xy1，即xy2.0时，2，所以M(2，0)时，所以N.(2)由(1)得点M的直角坐标为(2，0)，点N的直角坐标为.所以点P的直角坐标为，则点P的极坐标为，所以直线OP的极坐标方程为，(，)3在极坐标系中，圆C是以点C为圆心，2为半径的圆(1)求圆C的极坐标方程；(2)求圆C被直线l：(R)所截得的弦长解：法一：(1)设所求圆上任意一点M(，)，如图，在RtOAM中，OMA90，AOM2，|OA|4.因为cosAOM，所以|OM|OA|cosAOM，即4cos4cos，验证可知，极点O与A的极坐标也满足方程，故4cos 为所求(2)设l：(R)交圆C于点P，在RtOAP中，OPA90，易得AOP，所以|OP|OA|cosAOP2.法二：(1)圆C是将圆4cos 绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆，所以圆C的极坐标方程是4cos.(2)将代入圆C的极坐标方程4cos，得2，所以圆C被直线l：(R)所截得的弦长为2.4(2019南昌市第一次模拟测试卷)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线C的极坐标方程；(2)若直线l1，l2的极坐标方程分别为1(1R)，2(2R)，设直线l1，l2与曲线C的交点分别为O，M和O，N，求OMN的面积解：(1)由参数方程得普通方程为x2(y2)24，把代入x2(y2)24，得24sin 0.所以曲线C的极坐标方程为4sin .(2)由直线l1：1(1R)与曲线C的交点为O，M，得|OM|4sin2.由直线l2：2(2R)与曲线C的交点为O，N，得|ON|4sin2.易知MON，所以SOMN|OM|ON|222.综合题组练1(2019沈阳质量检测(一)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，曲线C2的直角坐标方程为x2(y2)24.以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为，0.(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)设A，B分别为射线l与曲线C1，C2除原点之外的交点，求|AB|的最大值解：(1)由曲线C1的参数方程(t为参数)，消去参数t得x2(y1)21，即x2y22y0，所以曲线C1的极坐标方程为2sin .由曲线C2的直角坐标方程x2(y2)24，得x2y24y0，所以曲线C2的极坐标方程为4sin .(2)联立得A(2sin ，)，所以|OA|2sin ，联立得B(4sin ，)，所以|OB|4sin ，所以|AB|OB|OA|2sin ，因为0，所以当时，|AB|有最大值，最大值为2.2(2019湖北八校联考)已知曲线C的极坐标方程为2，以极点为平面直角坐标系的原点O，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)A，B为曲线C上两点，若OAOB，求的值解：(1)由2得2cos292sin29，将xcos ，ysin 代入得到曲线C的直角坐标方程是y21.(2)因为2，所以sin2，由OAOB，设A(1，)，则点B的坐标可设为，所以sin2cos21.3(综合型)(2019河南名校联盟4月联考)在平面直角坐标系xOy中，圆C的直角坐标方程为x2(y1)21.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为(cos sin )5.(1)求圆C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；(2)在圆上找一点A，使它到直线l的距离最小，并求点A的极坐标解：(1)x2(y1)21即x2y22y0，因为x2y2，sin y，所以圆C的极坐标方程为22sin ，即2sin .(cos sin )5即cos sin 5，因为cos x，sin y，所以直线l的直角坐标方程为yx5.(2)曲线C：x2(y1)21是以C(0，1)为圆心，1为半径的圆设圆上点A(x0，y0)到直线l：yx5的距离最短，所以圆C在点A处的切线与直线l：yx5平行即直线CA与l的斜率的乘积等于1，即()1.因为点A在圆上，所以x(y01)21，联立可解得x0，y0或x0，y0.所以点A的坐标为或.又由于圆上点A到直线l：yx5的距离最小，所以点A的坐标为，点A的极径为 ，极角满足tan 且为第一象限角，则可取.所以点A的极坐标为.4(2018高考全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为yk|x|2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为22cos 30.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程解：(1)由xcos ，ysin 得C2的直角坐标方程为(x1)2y24.(2)由(1)知C2是圆心为A(1，0)，半径为2的圆由题设知，C1是过点B(0，2)且关于y轴对称的两条射线记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以2，故k或k0.经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点；当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以2，故k0或k.经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l2与C2没有公共点综上，所求C1的方程为y|x|2.