第十章能量法

一、外力功与应变能一、外力功与应变能 1、外力功、外力功W荷载在其作用点位移上所作的功。荷载在其作用点位移上所作的功。(1)常力作功常力作功W=F FA FB W=M MM(2)静载静载(变力变力)作功作功 静载静载是指从零开始逐渐地、缓慢地加载到弹性体上的是指从零开始逐渐地、缓慢地加载到弹性体上的荷载，荷载，静载作功属于变力作功静载作功属于变力作功。弹性固体的应变能弹性固体的应变能材料力学材料力学 1中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 F Fd F对于一般弹性体对于一般弹性体F 图下方面积图下方面积对于线性弹性体，即位移与力对于线性弹性体，即位移与力成正比的弹性体成正比的弹性体FD FF为广义力，为广义力，为广义位移。为广义位移。2、应变能、应变能Ve e弹性体因变形而储存的能量，称为应变能。弹性体因变形而储存的能量，称为应变能。由能量守恒定律，储存在弹性体内的应变能由能量守恒定律，储存在弹性体内的应变能Ve e在数值上在数值上等于外力所作的功等于外力所作的功W。（。（忽略能量损失）忽略能量损失）即即 Ve e=W材料力学材料力学 2中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 二、线弹性体的应变能二、线弹性体的应变能1、轴向拉压、轴向拉压FN为变量时为变量时lFFF l lF材料力学材料力学 3中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 2、扭转、扭转T为变量时为变量时Mej jMej jMe材料力学材料力学 4中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 3、平面弯曲、平面弯曲横力弯曲时忽略剪力对应变能的影响横力弯曲时忽略剪力对应变能的影响，如矩形截面，当，如矩形截面，当l/b=10时，剪力的应变能只占弯矩应变能的时，剪力的应变能只占弯矩应变能的3。纯弯曲时纯弯曲时横力弯曲横力弯曲M(x)为变量为变量MdxMd 应变能应变能Ve e是是内力（内力（FN、T、M）的二次函数，应变能一般不符合叠加的二次函数，应变能一般不符合叠加原理。但若几种荷载只在本身的变形上作功，而在其它荷载引起的变形原理。但若几种荷载只在本身的变形上作功，而在其它荷载引起的变形上不作功，则应变能可以叠加。上不作功，则应变能可以叠加。材料力学材料力学 5中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 第十章第十章 能量法能量法10.1 10.1 概概 述述二、外力功与应变能二、外力功与应变能1、外力功、外力功W荷载在其作用点位移上所作的功，属于荷载在其作用点位移上所作的功，属于变力作功变力作功。F从零逐渐增加到最终值，从零逐渐增加到最终值，变形亦缓慢增加最终值。变形亦缓慢增加最终值。F 一、能量法一、能量法 利用能量原理解决力学问题的方法。可用来求变形、利用能量原理解决力学问题的方法。可用来求变形、静不定、动荷载、稳定等问题。静不定、动荷载、稳定等问题。弹性体因荷载引起变形而储存的能量。弹性体因荷载引起变形而储存的能量。2、应变能、应变能材料力学材料力学 6中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 图示对称结构，各杆抗拉刚度图示对称结构，各杆抗拉刚度EA均相等。均相等。1、由平衡方程，通过功能原理导出变形由平衡方程，通过功能原理导出变形几何方程；几何方程；2、由平衡方程结合功能原理由平衡方程结合功能原理求出各杆内力。求出各杆内力。FABCDl解：由于对称，解：由于对称，A点的位移等于点的位移等于杆的变形杆的变形 l3。由功能原理有由功能原理有 （1）由平衡方程和对称条件有由平衡方程和对称条件有 F1=F2，l1=l2 （2）2F1cosa a+F3=F （3）（2）、（）、（3）代入（）代入（1）得）得 l3cosa a=l1变形几何方程变形几何方程 l1 l3（1）考虑物理方程得）考虑物理方程得（2）、（）、（3）代入上式并化简得）代入上式并化简得F3cos2a a=F1几何方程和物几何方程和物理方程的联立理方程的联立材料力学材料力学 7中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 三、功能原理三、功能原理条条 件：（件：（1）弹性体（线弹性或非线弹性体）弹性体（线弹性或非线弹性体）（2）静荷载）静荷载 可忽略弹性体变形过程中的能量损失。可忽略弹性体变形过程中的能量损失。原原 理：外力功全部转化成弹性体的应变能。理：外力功全部转化成弹性体的应变能。Ve e=WlFBA已知已知EI=常数，用功能原理计算常数，用功能原理计算A点的挠度。点的挠度。解：解：建立坐标系建立坐标系x列弯矩方程列弯矩方程 M=Fx （0 x l ）求外力功求外力功W 和应变能和应变能Ve e只能求力作用点与力相对应的位移，其只能求力作用点与力相对应的位移，其它位移的求解有待进一步研究功能原理。它位移的求解有待进一步研究功能原理。材料力学材料力学 8中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 Fi 为集中力，为集中力，i为该力作用点沿力方向的线位移；为该力作用点沿力方向的线位移；Fi若为力偶，若为力偶，则则 i为该力偶作用面内沿力偶转向的角位移为该力偶作用面内沿力偶转向的角位移(转角转角)。10.2 10.2 互等定理互等定理Fi 广义力广义力(集中力或力偶集中力或力偶)i 与力与力Fi对应的广义位移对应的广义位移(线位移或角位移线位移或角位移)一、外力功的计算一、外力功的计算对于一般弹性体对于一般弹性体F 图下方面积图下方面积对于线性弹性体，即位移与力成正比的弹性体对于线性弹性体，即位移与力成正比的弹性体F为广义力，为广义力，为广义位移。为广义位移。F F F F材料力学材料力学 9中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 外力功的数值与加载顺序无关，只与荷载与位移的最外力功的数值与加载顺序无关，只与荷载与位移的最终数值有关。加载顺序：终数值有关。加载顺序：F1，F2，Fi，F2，F1，Fj，加载顺序不同，外力功不变。加载顺序不同，外力功不变。二、外力功与变形能的特点二、外力功与变形能的特点如果外力功和变形能与加载顺序有关，会出现什么结果？如果外力功和变形能与加载顺序有关，会出现什么结果？按一种顺序加载，按另一种顺序卸载，能量还能守恒么？按一种顺序加载，按另一种顺序卸载，能量还能守恒么？反证法！反证法！先加先加F1后加后加F2F1F1F2F2先加先加F2后加后加F1不同加载次序外力功均相同，若按比例同时加载，不同加载次序外力功均相同，若按比例同时加载，外力同时达到最终值，即外力同时达到最终值，即比例加载比例加载，外力功不变。，外力功不变。材料力学材料力学 10中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 即即 1=d d11F1+d d12F2+d d1iFi+d d1nFn i=d di1F1+d di2F2+d diiFi+d dinFn其中其中d dij 是与荷载无关的常数。是与荷载无关的常数。注意：各荷载和注意：各荷载和位移都是加载完位移都是加载完后的最终值，所后的最终值，所以是常数。以是常数。三、克拉贝依隆（三、克拉贝依隆（Clapeyron)原理原理 线弹性体线弹性体上，作用有荷载上，作用有荷载F1,F2,Fi,Fn，与外力方向，与外力方向相对应的位移为相对应的位移为 1,2,i,n。由。由线弹性体线弹性体的叠加原理，的叠加原理，各位移是荷载的线性函数。各位移是荷载的线性函数。设各外荷载按相同的比例设各外荷载按相同的比例l l，从零开始缓慢增加到最终，从零开始缓慢增加到最终值。即值。即加载过程中加载过程中任一时刻各荷载的大小为：任一时刻各荷载的大小为：F1*=l lF1,F2*=l lF2,Fi*=l lFi,Fn*=l lFn 其中其中l l 从从0缓慢增加到缓慢增加到1，说明加载完毕。，说明加载完毕。材料力学材料力学 11中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 注意：带星号上标注意：带星号上标的荷载和位移都是的荷载和位移都是加载过程的某个值，加载过程的某个值，所以是变量，随着所以是变量，随着l l的变化而变化。的变化而变化。加载过程中，任一时刻的位移为：加载过程中，任一时刻的位移为：1*=d d11F1*+d d12F2*+d d1iFi*+d d1nFn*=ll1 i*=d di 1F1*+d di2F2*+d diiFi*+d dinFn*=lli 设各外荷载有一增量，于是位移亦有一增量。荷载设各外荷载有一增量，于是位移亦有一增量。荷载在位移增量上所作的元功为：在位移增量上所作的元功为：dW=F1*d 1*+Fi*d i*+Fn*d n*=l lF1d(ll1)+l lFid(lli)+l lFnd(l(ln)=(F1 1+Fi i+Fn n)l)ldl l外力作的总功为外力作的总功为材料力学材料力学 12中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 线弹性体线弹性体的外力功或变形能等于每一外力与其对应的外力功或变形能等于每一外力与其对应位移乘积之半的总和。位移乘积之半的总和。F1 1F2Fi 2 iFj j图示挠曲线为所有力共同作用下的挠曲线，各点位移都图示挠曲线为所有力共同作用下的挠曲线，各点位移都不是单个力引起的，是不是单个力引起的，是所有力共同作用下的位移所有力共同作用下的位移。1既既有有F1的作用，也有的作用，也有F2 和和 Fi、Fj的作用。所以的作用。所以Clapeyron原理不符合叠加原理。原理不符合叠加原理。材料力学材料力学 13中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 注注 意意1、Clapeyron原理只适用于原理只适用于线弹性线弹性，小变形体；，小变形体；2、i 尽管是尽管是Fi 作用点的位移，但它不只是作用点的位移，但它不只是Fi 一个力引起的，而是一个力引起的，而是 所有力共同作用的结果，即它是所有力共同作用的结果，即它是 i 点实际的点实际的总位移总位移；3、i 是是Fi 对应的位移，对应的位移，Fi为集中力，为集中力，i则为线位移，则为线位移，Fi若为集中力若为集中力 偶，偶，i则为角位移；则为角位移；4、Fi i 为正时，表明为正时，表明Fi作正功，作正功，i 与与Fi 方向方向(或转向或转向)相同；为负则相同；为负则 表示表示 i 与与Fi 方向方向(或转向或转向)相反。相反。dxMFNT组合变形组合变形根据根据Clapeyron原理，微段原理，微段dx上上整个杆件的应变能为整个杆件的应变能为材料力学材料力学 14中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 位移位移 位移位移 的第一个下标表示某点处的位移，的第一个下标表示某点处的位移，命名命名 第二个下标表示由那点的力引起的位移。第二个下标表示由那点的力引起的位移。ii和和 ij第一个下标第一个下标i表示表示i点的位移，第二个下标点的位移，第二个下标i和和j分别表分别表示是由示是由i点和点和j点的力引起的位移，点的力引起的位移，ji和和 jj亦可以类推得到。亦可以类推得到。四、四、(线弹性体线弹性体)功的互等定功的互等定理理Fii iij jiFji ijj jj 外力功的数值与加载顺序无关，只与荷载与位移的最外力功的数值与加载顺序无关，只与荷载与位移的最终数值有关。因此按不同顺序加载，得到相同的外力功。终数值有关。因此按不同顺序加载，得到相同的外力功。材料力学材料力学 15中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 先加先加Fi后加后加FjjFii ii ji外力功为外力功为 外力功外力功W 与加载顺序无关，改变加载顺序可得到与加载顺序无关，改变加载顺序可得到相同的外力功。相同的外力功。iiFi ij ji iFiO jFjOFj jjFj ij jj材料力学材料力学 16中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 先加先加FjjFji ij jj外力功为外力功为后加后加Fi先加先加Fi 后加后加Fj外力功为外力功为 iFiO jFjOFj jj ij iiFi jiFi ii ji材料力学材料力学 17中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 Clapeyron原理原理外力功和变形能不符合叠加原理外力功和变形能不符合叠加原理材料力学材料力学 18中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 线弹性体线弹性体上甲力在乙力引起的位移上作的功，等于乙力在上甲力在乙力引起的位移上作的功，等于乙力在甲力引起的位移上作的功。一般地，甲力引起的位移上作的功。一般地，第一组力在第二组力第一组力在第二组力引起的相应位移上所作的功，等于第二组力在第一组力引引起的相应位移上所作的功，等于第二组力在第一组力引起的相应位移上所作的功。起的相应位移上所作的功。线弹性体功的互等定理线弹性体功的互等定理注：力系、位移均为广义的注：力系、位移均为广义的Fii iij jiFji ijj jj材料力学材料力学 19中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 解：设第一组力为解：设第一组力为F，梁上各点的挠度为，梁上各点的挠度为w(x)，挠曲线与原轴线围成的面积挠曲线与原轴线围成的面积为为Aw。第二组力均布荷载第二组力均布荷载q作用时，它在梁跨中引起的挠度为作用时，它在梁跨中引起的挠度为wC。由功的互等定理由功的互等定理图示抗弯刚度为图示抗弯刚度为EI的简支梁承受均布荷载的简支梁承受均布荷载q时，其跨中挠度时，其跨中挠度wC=5ql4/384EI。用功的互等定理求该梁承受跨中荷载用功的互等定理求该梁承受跨中荷载F时，梁挠曲线与原轴线所围成的面积。时，梁挠曲线与原轴线所围成的面积。qABlCwCFABl/2Cl/2xdxw(x)Aw材料力学材料力学 20中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 图示线弹性静不定结构由于铰链图示线弹性静不定结构由于铰链A的装配误差，使的装配误差，使A，B两点分别有位移两点分别有位移d dA 和和d dB。在结构。在结构A点的新位置点的新位置(无装配应力位置无装配应力位置)重新安装铰链后，重新安装铰链后，在在B点点作用一向下的荷载作用一向下的荷载 F，求此时铰链，求此时铰链A的约束力。的约束力。ABd dAd dBFABFAFA1解：第一种情况下，解：第一种情况下，A处的约束力为处的约束力为FA1，第二种情况下，第二种情况下，A处的约束力为处的约束力为FA。由功的互等定理有由功的互等定理有材料力学材料力学 21中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 装有尾顶针的工件可简化为静不定梁，利用功的互等定理求装有尾顶针的工件可简化为静不定梁，利用功的互等定理求C处的约束力。处的约束力。ABCFal解：工件解除解：工件解除C处的约束简化为悬处的约束简化为悬臂梁，臂梁，F、FC作为第一组力。悬臂作为第一组力。悬臂梁在梁在C处加单位力处加单位力1作为第二组力。作为第二组力。FCABC1alwBwC第一组力在第二组力引起的位移上所作的功等于第一组力在第二组力引起的位移上所作的功等于第二组力在第一组第二组力在第一组力引起的位移上所作的功，显然第二组力在第一组力引起的位移上所力引起的位移上所作的功，显然第二组力在第一组力引起的位移上所作的功为零（作的功为零（C为铰支位移为零）为铰支位移为零）。悬臂梁在单位力作用下，分悬臂梁在单位力作用下，分别求别求C、B处的挠度。处的挠度。得得材料力学材料力学 22中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 轴承中的球形滚珠，直径为轴承中的球形滚珠，直径为d，沿直径两端作用一对大，沿直径两端作用一对大小相等，方向相反的集中力小相等，方向相反的集中力F。材料的弹性模量。材料的弹性模量E和泊和泊松比松比n n已知，用功的互等定理求滚珠的体积改变。已知，用功的互等定理求滚珠的体积改变。FFq解：设球形滚珠外表作用均匀的法向压力解：设球形滚珠外表作用均匀的法向压力q。由功的互等定理，有由功的互等定理，有球形滚珠外表作用均匀的法向压力球形滚珠外表作用均匀的法向压力q时，其内部时，其内部任意一点的应力状态相同，均承受三向等值压缩，任意一点的应力状态相同，均承受三向等值压缩，即即s s1=s s2=s s3=q。根据广义胡克定理有。根据广义胡克定理有所以所以材料力学材料力学 23中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 若若 Fi=Fj=F则则 i j=j i 线弹性体上作用在线弹性体上作用在 j 处的一个力引起处的一个力引起 i 处的位移，处的位移，等于它作用在等于它作用在 i 处引起处引起 j 处的位移。处的位移。功的互功的互等定理等定理lbhFFlbhFF图示杆件在中央受一对大小相等，方向相反的力作用，材料处于线图示杆件在中央受一对大小相等，方向相反的力作用，材料处于线弹性状态，求杆件的伸长弹性状态，求杆件的伸长 l。解：沿杆件轴线加相同的一对力解：沿杆件轴线加相同的一对力下图中下图中五、五、(线弹性体线弹性体)位移互等定位移互等定理理材料力学材料力学 24中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 力力F作用在作用在 j点点Fi ij jjjFi ii jij力力F作用在作用在 i点点 i j=j i位移互等定理位移互等定理单位力单位力1作用在作用在 j点点1id dijd djjj1id diid djij单位力单位力1作用在作用在 i点点位移互等定理位移互等定理 单位力单位力若若 F=1(无量纲无量纲)称为称为单位力单位力d d i j=d d j i位移互等定理位移互等定理 作用在作用在j 处的处的单位力单位力引起引起 i 处的位移，等于作用在处的位移，等于作用在 i 处的处的单位单位力力引起引起 j 处的位移。处的位移。材料力学材料力学 25中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 d dBA注意：注意：(功、位移功、位移)互等定理只适用于线弹性小变形体。互等定理只适用于线弹性小变形体。d dABAB1llAB1ll ACAB1l/2Cl/2wCAAB1l/2Cl/2材料力学材料力学 26中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 关于互等定理关于互等定理?=?ABMl BAABMl AB BA=AB位移互等位移互等ABMlwiAiABFl AiiFwiA=M Ai功的互等功的互等?=?材料力学材料力学 27中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 讨讨论论 悬臂梁受力如图示。现用百分表测量梁在各处的悬臂梁受力如图示。现用百分表测量梁在各处的挠度，请设计一实验方案。挠度，请设计一实验方案。移动百分表？移动百分表？固定百分表？固定百分表？百分表固定在百分表固定在B处，移动荷载。处，移动荷载。关于互等定理关于互等定理ABFabC百分表百分表材料力学材料力学 28中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 Wc显然显然 余功余功 Wc=Wc (F)余能余能 Vc =Vc (F)F 图上方面积图上方面积10.3 10.3 余能定理与卡氏定理余能定理与卡氏定理定义与外力功及应变定义与外力功及应变能互补的余功及余能能互补的余功及余能余功和余能均为余功和余能均为广义荷载的函数广义荷载的函数F WF dF*二、余能定理二、余能定理 设任意弹性体设任意弹性体(可以是非线性弹性体可以是非线性弹性体)上作用有广义荷载上作用有广义荷载 F1，F2，Fi，与力作用处对应广义位移为与力作用处对应广义位移为 1，2，i，无刚性位移。无刚性位移。一、余功及余能一、余功及余能Complementary Energy材料力学材料力学 29中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 如果此时只有广义荷载如果此时只有广义荷载 Fi 有一个增量有一个增量dFi，其余不变。，其余不变。则余功增量为则余功增量为 dWc=i dFi 1 2 i jF1F2FiFj余能余能 Vc=Vc(F1，F2 Fi )是广义荷载的函数。是广义荷载的函数。余能增量为余能增量为dWc=dVc 余能（余能（Crotti-Engesser）定理）定理 弹性体弹性体(线性和非线性线性和非线性)某荷载作用点处的位移，等于弹某荷载作用点处的位移，等于弹性体的余能对该荷载的一阶偏导数。性体的余能对该荷载的一阶偏导数。材料力学材料力学 30中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 解：解：应力分析应力分析（平面假设仍然存在）（平面假设仍然存在）非线弹性材料制成的矩形截面悬臂非线弹性材料制成的矩形截面悬臂梁受力如图，已知应力应变关系为梁受力如图，已知应力应变关系为 ，用，用余能定理求余能定理求B处的挠度。处的挠度。FABlbyzhCxs se e0材料力学材料力学 31中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 余能与位移计算余能与位移计算byzhCFABls se e0余能密度为余能密度为代入上式得代入上式得材料力学材料力学 32中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 若求得若求得 i为正，表明位移方向为正，表明位移方向(或转向或转向)和力和力Fi 的方的方向向(或转向或转向)一致，反之，则相反。一致，反之，则相反。线弹性体线弹性体某外力作用点处沿力作用方向的位移等于某外力作用点处沿力作用方向的位移等于结构的应变能对该力的偏导数。结构的应变能对该力的偏导数。对线弹性体对线弹性体 Ve e=Vc三、卡氏第二定理三、卡氏第二定理 FVe eVc意大利工程师意大利工程师 阿尔伯托阿尔伯托卡斯提格里安诺卡斯提格里安诺 (Alberto Castigliano，18471884)卡氏第二定理只适用于线弹性小变形体。卡氏第二定理只适用于线弹性小变形体。卡氏第一定理卡氏第一定理(较少应用较少应用)：材料力学材料力学 33中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 图示结构，已知斜杆图示结构，已知斜杆AB长为长为l1，其抗拉刚度为，其抗拉刚度为E1A1，水平杆水平杆AC长为长为l2，其抗拉刚度为，其抗拉刚度为E2A2，求节点求节点A的铅直位移。的铅直位移。300ABCFAF30300 0FN1FN2解：计算各杆件的轴力，受力如图。解：计算各杆件的轴力，受力如图。几何法求几何法求A点的铅直及水平位移点的铅直及水平位移杆伸长杆伸长杆缩短杆缩短 l2 l1AA300卡氏定理求卡氏定理求A点的铅直位移点的铅直位移材料力学材料力学 34中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 应用卡氏定理注应用卡氏定理注 意事项意事项1、所求位移处、所求位移处必须必须要有与位移对应的要有与位移对应的广义力作用广义力作用；2、所求位移处广义力必须与其它荷载所求位移处广义力必须与其它荷载F1，F2，Fi，要要 用不同的符号加以区别用不同的符号加以区别；3、静定结构的支座约束力要表示为所有各外荷载的函数。、静定结构的支座约束力要表示为所有各外荷载的函数。4、若构件不同的两点、若构件不同的两点i和和j处的两个荷载符号处的两个荷载符号F相同，则令相同，则令i处处 F=Fi，j处处F=Fj；若只求若只求某点处某点处位移，位移，该点处荷载在求约束力前该点处荷载在求约束力前必须必须与其它各处荷载用不同的符号区别！其它点处的荷载符与其它各处荷载用不同的符号区别！其它点处的荷载符号可以相同！号可以相同！材料力学材料力学 35中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 5、若所求位移处无外荷载作用，、若所求位移处无外荷载作用，则人为附加一个与所求位则人为附加一个与所求位 移对应的广义荷载移对应的广义荷载，计算系统在原荷载和附加荷载共同，计算系统在原荷载和附加荷载共同 作用下的内力，作用下的内力，内力对附加载荷求完偏导数后，再令附内力对附加载荷求完偏导数后，再令附 加荷载为零加荷载为零，即可求得该处的位移。，即可求得该处的位移。对线弹性杆系结构对线弹性杆系结构（对线弹性结构）卡氏定理的应用（对线弹性结构）卡氏定理的应用计算荷载作用点的位移计算荷载作用点的位移(线位移或角位移线位移或角位移)；计算无荷载作用点的位移，此时需在所求点沿所求方向加一虚力，计算无荷载作用点的位移，此时需在所求点沿所求方向加一虚力，求完导后再令虚力为零；求完导后再令虚力为零；计算两点相对位移，可在此两点分别加一等值反向共线力，求完导计算两点相对位移，可在此两点分别加一等值反向共线力，求完导 后再令其为零。后再令其为零。材料力学材料力学 36中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 由卡氏定理由卡氏定理轴线为水平面内四分之一圆周的曲杆如图所示，在自由端轴线为水平面内四分之一圆周的曲杆如图所示，在自由端B作用竖直作用竖直荷载荷载F。设。设EI和和GIp已知，用卡氏定理求截面已知，用卡氏定理求截面B在竖直方向的位移。在竖直方向的位移。FABORR解：在俯视图中截面解：在俯视图中截面Om上的弯矩和上的弯矩和 扭矩分别为：扭矩分别为：OAB d mn RR四分之一圆截面曲杆变形属于弯扭组合变形。四分之一圆截面曲杆变形属于弯扭组合变形。注意微段为注意微段为Rd 材料力学材料力学 37中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 解：解：(1)求求A点挠度，建立图示坐标。点挠度，建立图示坐标。梁的弯矩方程为梁的弯矩方程为 M=Fx （0 xl）线弹性材料悬臂梁受力如图，已知线弹性材料悬臂梁受力如图，已知荷载荷载F，刚度，刚度EI及及l。用。用卡氏定理求卡氏定理求(1)加力点加力点B处的挠度；处的挠度；(2)梁中点梁中点C处的挠度。处的挠度。FABCl/2l/2x(2)求梁中点求梁中点(非加载点非加载点)C处处的挠度的挠度在在C处施加与所求处施加与所求挠度方向相同的力挠度方向相同的力F1 ,弯矩方程为弯矩方程为F1BC段：段：M1=Fx (0 xl/2)CA段：段：(l/2 xl)材料力学材料力学 38中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 FABCl/2l/2F1xF1=0说明说明:结果为正，表明结果为正，表明C点位移方向与虚力点位移方向与虚力F1一致，向下。一致，向下。虚力虚力F1应在弯矩求完偏导以后再令其为零。应在弯矩求完偏导以后再令其为零。虚力的符号应与其它力的符号有所区别，否则会得出错误的结果。虚力的符号应与其它力的符号有所区别，否则会得出错误的结果。若若CA段：段：(0 x l/2)材料力学材料力学 39中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 解：从梁左右两端分别建立不同的坐标，解：从梁左右两端分别建立不同的坐标，写出两段弯矩，进而求系统的变形能。写出两段弯矩，进而求系统的变形能。由卡氏定理，系统的变形能对力的偏导数等于由卡氏定理，系统的变形能对力的偏导数等于C截面的挠度。截面的挠度。抗弯刚度为抗弯刚度为EI的梁，的梁，B端弹簧刚度为端弹簧刚度为k，用卡氏定理求力用卡氏定理求力F作用点的挠度。作用点的挠度。AkFCBl/32l/3xx1必须注意：系统的变形能不仅有梁的变形能，必须注意：系统的变形能不仅有梁的变形能，还包括弹簧的变形能。还包括弹簧的变形能。弹簧的变形能为弹簧弹簧的变形能为弹簧的势能，即弹簧回到零势点弹性力所作的功。的势能，即弹簧回到零势点弹性力所作的功。为弹簧的初变形为弹簧的初变形其中第二项为其中第二项为B支座的沉降引起支座的沉降引起C点的挠度。点的挠度。材料力学材料力学 40中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 解：建立图示坐标，求解：建立图示坐标，求B处挠度时，处挠度时，令令B处集中力处集中力qa=F，其它不变。，其它不变。弯矩弯矩 M(x)=Fxqx2/2qa2弯矩对弯矩对F 的偏导数为的偏导数为x。求。求完偏导后，再用完偏导后，再用qa 代回代回F。已知图示悬臂梁的已知图示悬臂梁的EI，用卡氏定理求用卡氏定理求B端的挠度和转角。端的挠度和转角。qqa2qaaABx求求B处转角时，令处转角时，令B处集中力偶处集中力偶 qa2=M1，其它不变。，其它不变。弯矩弯矩 M(x)=qaxqx2/2M1弯矩对弯矩对M1 的偏导数为的偏导数为1。求。求完偏导后，再用完偏导后，再用qa2 代代回回M1。()材料力学材料力学 41中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 用几何法求解需作变形图，借助几何关系求位移。本题求铅直用几何法求解需作变形图，借助几何关系求位移。本题求铅直位移，直接用卡氏定理求解较简，若求水平位移用卡氏定理较麻烦，位移，直接用卡氏定理求解较简，若求水平位移用卡氏定理较麻烦，可用莫尔定理求解较方便。可用莫尔定理求解较方便。解：由平衡方程求得两杆的轴力分别为解：由平衡方程求得两杆的轴力分别为对对F求偏导求偏导图示结构图示结构两杆材料相同，两杆材料相同，F=35kN，弹性模量，弹性模量E=210GPa，两杆直径，两杆直径分别为分别为d1=12mm，d2=15mm，求求A点的垂直位移。点的垂直位移。B4503001m A0.8mFC材料力学材料力学 42中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 解：解：在截面在截面B处附加力偶矩处附加力偶矩M1并求并求 支座约束力支座约束力FA。列外伸梁各段的弯矩方程及其列外伸梁各段的弯矩方程及其 对附加力偶矩附加力偶矩M1的偏的偏导数数 AB段段 求截面求截面B的转角的转角 根据卡氏定理，截面根据卡氏定理，截面B的转角为的转角为 ABCFM1x1x2CB段段 FA车床主轴如图所示，其抗弯刚度车床主轴如图所示，其抗弯刚度EI可视为常量。求在荷载可视为常量。求在荷载F作用作用下截面下截面B的转角。的转角。a4aABCF材料力学材料力学 43中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 AB段段 CB段段 另解另解：按叠加原理，外伸梁可转化为简支梁按叠加原理，外伸梁可转化为简支梁在在B处受力偶处受力偶MB=Fa作用，由卡氏定理有作用，由卡氏定理有a4aABCFMB4aAB等等 价价x材料力学材料力学 44中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 x1解：解：求支座约束力，令求支座约束力，令D点的荷载点的荷载 为为F1，这时支座约束力为，这时支座约束力为 F1=列出外伸梁各段的弯矩方程列出外伸梁各段的弯矩方程 及其对及其对F1的偏导数的偏导数AC段段CB段段DB段段计算计算D点挠度点挠度外伸梁受两个大小均为外伸梁受两个大小均为F的集中力作用，梁的的集中力作用，梁的EI及及a已知，求已知，求D的挠度。的挠度。AFaBCDaaFFAFBx2x3材料力学材料力学 45中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 解：解：在中间铰在中间铰B两侧虚设一对外力偶两侧虚设一对外力偶MB虚假力偶后各约虚假力偶后各约束力如图所示。束力如图所示。AB段弯矩方程段弯矩方程CB段弯矩方程段弯矩方程弯曲刚度为弯曲刚度为EI的线弹性静定组合梁的线弹性静定组合梁 ABC，在，在 AB段上受均布荷载段上受均布荷载q作用。作用。用卡氏定理求梁中间铰用卡氏定理求梁中间铰B两侧截面的相对转角。两侧截面的相对转角。BllACqMBMBx1x2由由卡氏定理得卡氏定理得材料力学材料力学 46中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 结果为正，说明相对转角结果为正，说明相对转角 B B的转向与图中虚加外力偶的转向与图中虚加外力偶MB的转向一致。的转向一致。显然，计算悬臂梁的转角和挠度会比计算组合梁更简单。显然，计算悬臂梁的转角和挠度会比计算组合梁更简单。按照叠加原理，相对转角按照叠加原理，相对转角 B等于受等于受均布荷载的悬臂梁均布荷载的悬臂梁B处的转角及处的转角及B处处的挠度引起的的挠度引起的BC转角的和。转角的和。BllACqwB材料力学材料力学 47中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 解：解：计算计算张开位移，集中力作用下任意张开位移，集中力作用下任意j j角处的角处的 弯矩为弯矩为求相对转角求相对转角，虚加一对力偶虚加一对力偶M1。弯曲刚度弯曲刚度为为 EI 的等截面线弹性开口圆环的等截面线弹性开口圆环受一对集中力受一对集中力F作用，用卡氏定理求圆环作用，用卡氏定理求圆环受力处的张开位移受力处的张开位移 和相对转角和相对转角 。FFROR(1-cosj j)j jFFROM1M1R(1-cosj j)j j材料力学材料力学 48中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 讨讨 论论若只要求若只要求 2，如何处理，如何处理?第一步令第一步令2处的处的F=F2，再求支座约束力，然后建立弯矩，再求支座约束力，然后建立弯矩方程。弯矩方程对方程。弯矩方程对F2求完偏导后，可以将求完偏导后，可以将F2写成写成F。第。第二步利用卡氏定理由变形能对二步利用卡氏定理由变形能对F2求偏导得到求偏导得到 2。说明下图中说明下图中 的含义的含义 1FF 2F1 3123材料力学材料力学 49中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 若仅求若仅求 1 1或或 2 2又如何计算？又如何计算？先计算先计算A、B支座约束力；支座约束力；再令再令C 处处F=FC ，或，或D处处F=FD；分段列弯矩方程并对分段列弯矩方程并对FC或或FD求偏导；求偏导；由卡氏定理求由卡氏定理求 1 1或或 2 2。方方法法一一 1ABCFFFFD 2先令先令C 处处F=FC ，或，或D处处F=FD；再计算再计算A、B支座约束力；支座约束力；分段列弯矩方程并对分段列弯矩方程并对FC或或FD求偏导；求偏导；由卡氏定理求由卡氏定理求 1 1或或 2 2。方方法法二二特别是对于对称特别是对于对称结构承受对称荷结构承受对称荷载时尤为注意！载时尤为注意！材料力学材料力学 50中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 解：解：求支座约束力求支座约束力 由图可知，由图可知，A、D点点的荷载同为的荷载同为F，为便于区分，令，为便于区分，令A点荷载为点荷载为F1，D点荷载为点荷载为F2，这时支座约束力为，这时支座约束力为 图示刚架的抗弯刚度为图示刚架的抗弯刚度为EI，用卡氏定理求，用卡氏定理求A点点的水平位移。的水平位移。(计算中略去轴力和剪力的影响计算中略去轴力和剪力的影响)FFlABCDEG列出刚架各段的弯矩方程及其对列出刚架各段的弯矩方程及其对F1的偏导数。由于是求的偏导数。由于是求A点的水平位移，点的水平位移，则应该对该位移方向的力则应该对该位移方向的力F1求偏导数。求偏导数。F2F1lABCDEGqFEFGxFGy材料力学材料力学 51中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 ED段段DC段段CB段段AB段段x1x2x3x4GA段段计算计算A点水平位移点水平位移 注意求完导后，可令注意求完导后，可令F1=F2=F。根据卡氏定理。根据卡氏定理A点水平位移为点水平位移为 F2F1lABCDEGqFEFGxFGy材料力学材料力学 52中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 所求位移处荷载要在求支所求位移处荷载要在求支座约束力前与其它荷载区分！座约束力前与其它荷载区分！所求位移处若无荷载作用要所求位移处若无荷载作用要人为附加一个荷载，弯矩求人为附加一个荷载，弯矩求完偏导后再令附加荷载为零！完偏导后再令附加荷载为零！卡氏定理计算卡氏定理计算位移的不便之处？位移的不便之处？如何消除消除不便之处？如何消除消除不便之处？对线弹性对线弹性杆系结构杆系结构以以弯矩为例，探讨弯矩对某广义力求偏导数的含义。弯矩为例，探讨弯矩对某广义力求偏导数的含义。材料力学材料力学 53中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 线弹性小变形情况下，内力符合叠加原理，弯矩线弹性小变形情况下，内力符合叠加原理，弯矩M(x)是是所有荷载共同作用下所有荷载共同作用下的弯矩方程。的弯矩方程。M(x)=M(F1，F2，Fi，Fn)=M1(x)+Mi(x)+Mn(x)其中其中Mi(x)是是Fi 单独作用于结构时引起的弯矩方程，该单独作用于结构时引起的弯矩方程，该方方程只是力程只是力Fi的函数，与其它力无关。的函数，与其它力无关。即即其中其中 是是Fi=1时，即时，即i处单处单独作用一个单位力独作用一个单位力时引起的弯矩时引起的弯矩于是于是令令所以所以材料力学材料力学 54中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 是所求位移处是所求位移处单独作用单独作用一个与一个与位移位移对应的单位力对应的单位力时引起的弯矩时引起的弯矩若若K 处无荷载作用，处无荷载作用，附加一个荷载附加一个荷载FK，附加荷载后的弯矩附加荷载后的弯矩Fk=0莫尔莫尔积分积分即无论所求位移处是否有荷载，只要在原结构即无论所求位移处是否有荷载，只要在原结构单独单独加一个加一个与所求位移与所求位移对应的单位力对应的单位力，单位力作用下求得的内力方程，单位力作用下求得的内力方程便是原所有荷载作用下的内力方程对广义力的偏导数。便是原所有荷载作用下的内力方程对广义力的偏导数。材料力学材料力学 55中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 虚位移虚位移一、虚位移一、虚位移 约束允许的约束允许的(满足约束条件满足约束条件)；满足连续条件的；满足连续条件的；在平衡位置上增加的在平衡位置上增加的(不是唯一的不是唯一的)任意微小位移。任意微小位移。真实位移真实位移AB10.4 10.4 虚功原理虚功原理(1)可以是与真实位移有关的位移，也可以与真实位移无关；可以是与真实位移有关的位移，也可以与真实位移无关；(2)可以是真实位移的增量；可以是真实位移的增量；材料力学材料力学 56中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 w1(x)可作为集中力作用下的虚位移，可作为集中力作用下的虚位移，w2(x)也可作为分布荷载作用下的虚位移。也可作为分布荷载作用下的虚位移。w1(x)w2(x)总之，虚位移是指有可能发生的无限小位移总之，虚位移是指有可能发生的无限小位移,它与荷载它与荷载无必然关系。因此，它不是唯一的。无必然关系。因此，它不是唯一的。虚位移过程中，物体原有外力和内力保持不变。虚位移过程中，物体原有外力和内力保持不变。“虚位移虚位移”一词，用以区别物体自身原有外力引一词，用以区别物体自身原有外力引 起的真实起的真实位移。位移。(3)可以是另外一个与之相关系统的真实位移。可以是另外一个与之相关系统的真实位移。材料力学材料力学 57中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 式中式中 i是与是与Fi对应的虚位移。对应的虚位移。二、虚功二、虚功W力在虚位移上所作的功。力在虚位移上所作的功。一般计算虚功是在一个平衡力系上给一个虚位移，一般计算虚功是在一个平衡力系上给一个虚位移，这时各力作虚功是常力作功，因此这时各力作虚功是常力作功，因此三、虚变形能三、虚变形能Ve e*弹性体在虚位移过程中增加的变形能。其数值等于弹性体在虚位移过程中增加的变形能。其数值等于内力虚功内力虚功材料力学材料力学 58中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 FNFNMMdxdxT四、变形体虚功原理四、变形体虚功原理 处于平衡状态的变形体在虚位移中，外力所作的虚处于平衡状态的变形体在虚位移中，外力所作的虚功等于弹性体的虚变形能。功等于弹性体的虚变形能。材料力学材料力学 59中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 变形体虚功原理变形体虚功原理（1）虚功原理与材料性能无关）虚功原理与材料性能无关 适用线弹性、非线弹性材料；适用线弹性、非线弹性材料；（2）不要求结构位移与力呈线性关系）不要求结构位移与力呈线性关系 也适用位移与力呈非线性的结构。也适用位移与力呈非线性的结构。以梁为例以梁为例F1FiF2材料力学材料力学 60中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 以梁为例证明功的互等定理以梁为例证明功的互等定理第一组力第一组力第二组力第二组力第二组力引起的变形第二组力引起的变形作为第一组力的虚位移作为第一组力的虚位移第一组力引起的变形第一组力引起的变形作为第二组力的虚位移作为第二组力的虚位移由虚功原理由虚功原理材料力学材料力学 61中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 FNFNMMdxdxT得到功的互等定理。得到功的互等定理。材料力学材料力学 62中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 原荷载作用下的实际位移状态原荷载作用下的实际位移状态 作为单位力作用下的虚位移作为单位力作用下的虚位移10.5 10.5 单位荷载法与莫尔积分单位荷载法与莫尔积分一、单位荷载法一、单位荷载法1、用途：计算任意点处的、用途：计算任意点处的(广义广义)位移位移2、方法：利用虚功原理、方法：利用虚功原理 第一步第一步 在原结构上构造一虚力状态在原结构上构造一虚力状态（1）去掉结构全部荷载；）去掉结构全部荷载；（2）在结构所求位移处施加一个对应的）在结构所求位移处施加一个对应的(无量纲无量纲)单位力；单位力；（3）计算结构只在此单位力作用下各截面的内力）计算结构只在此单位力作用下各截面的内力F1原问题原问题实际位移实际位移A F2FiBKA1BK虚位移虚位移材料力学材料力学 63中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 第二步第二步 取结构原荷载作用下的实际位移状态作为虚力取结构原荷载作用下的实际位移状态作为虚力 状态的虚位移。状态的虚位移。原荷载作用下的实际位移状态原荷载作用下的实际位移状态 作为单位力作用下的虚位移作为单位力作用下的虚位移A1BK 原结构只作用单位力时，原结构只作用单位力时，其相应的内力为其相应的内力为 。由由虚功原理虚功原理外力虚功等于内外力虚功等于内力虚功引起的虚变形能，即力虚功引起的虚变形能，即单位力引起的虚内力；单位力引起的虚内力；d(l)，d，dj j 真实荷载引起的微段变形；真实荷载引起的微段变形；适用：线性、非线性结构。适用：线性、非线性结构。材料力学材料力学 64中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 非线弹性材料制成的矩形截面悬臂非线弹性材料制成的矩形截面悬臂梁受力如图，已知应力应变关系为梁受力如图，已知应力应变关系为 ，用，用虚功原理求虚功原理求B处的挠度。处的挠度。FABlbyzhCxs se e0解：解：真实荷载引起的变形真实荷载引起的变形（平面假设仍然存在）（平面假设仍然存在）材料力学材料力学 65中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 虚功原理计算位移虚功原理计算位移虚功方程为虚功方程为FABlx1ABlwB真实挠曲线真实挠曲线原荷载作用下的真实挠曲线作为单位力作用下的虚位移。原荷载作用下的真实挠曲线作为单位力作用下的虚位移。wB虚位移虚位移材料力学材料力学 66中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 对线弹性结构，取微段对线弹性结构，取微段dx计算计算图中图中 FN，M，T为为真实荷载引起的内力真实荷载引起的内力二、莫尔积分（二、莫尔积分（Mohr 1874）FNFNMMdxdxTdxMFNT组合变形组合变形材料力学材料力学 67中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 将真实荷载引起的变形代入上式，得将真实荷载引起的变形代入上式，得Mohr定理，式中积分称为定理，式中积分称为Mohr积分。积分。计算计算Mohr积分步骤：积分步骤：1、计算原结构在真实荷载作用下的内力方程、计算原结构在真实荷载作用下的内力方程 FN，M，T；2、计算原结构、计算原结构只在沿所求位移方向加只在沿所求位移方向加(广义广义)单位力单位力作用下作用下 的内力方程的内力方程 ；虚功原理虚功原理必须保证：必须保证：“分段一致，分段一致，坐标一致，坐标一致，内力正负规定一致内力正负规定一致”。特别注意：计算原荷载和单位荷载内力方程特别注意：计算原荷载和单位荷载内力方程FN，M，T 和和FN，M，T 时时材料力学材料力学 68中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 计算计算Mohr积分步骤：积分步骤：3、计算、计算Mohr 积分积分(遍及全部杆件，刚架略遍及全部杆件，刚架略FN，FS)；4、结果为正，位移方向与单位力相同，负则相反。、结果为正，位移方向与单位力相同，负则相反。计算计算A，B 两点之间的相对位移，在两点之间的相对位移，在A，B 两点分别两点分别加一对共线反向单位力加一对共线反向单位力ABq(x)AB11材料力学材料力学 69中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 加单位力并求单位力引起的弯矩方程加单位力并求单位力引起的弯矩方程求求 AB（沿荷载方向分开沿荷载方向分开）M=FRsinj j （0j j2p p）解：解：荷载引起的荷载引起的j j 角处的弯矩方程角处的弯矩方程FFBA已知带有缺口的圆环已知带有缺口的圆环EI=常数常数求求A，B 之间的相对线位移。之间的相对线位移。Rj j11BARj jM=Rsinj j （0j j2p p）材料力学材料力学 70中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 解：解：原结构在原结构在C处加单位荷载。处加单位荷载。求求C处挠度处挠度对称结构承受对称外力时，对称轴处对称位移不等于零。对称结构承受对称外力时，对称轴处对称位移不等于零。求图示抗弯刚度为求图示抗弯刚度为EI的等截面直梁的等截面直梁C点的挠度和转角。点的挠度和转角。qABCaaABCaa1原荷载和单位荷载在确保原荷载和单位荷载在确保三个一致三个一致的前提下的前提下分别计算弯矩，分别计算弯矩，由于结构和荷载都对称，仅考虑一半。由于结构和荷载都对称，仅考虑一半。xx材料力学材料力学 71中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 求求C处转角，原结构加单位力偶，分两段建立坐标系。处转角，原结构加单位力偶，分两段建立坐标系。对称结构承受对称外力时，对称轴处反对称位移等于零。对称结构承受对称外力时，对称轴处反对称位移等于零。qABCaaABCaa1x1x1x2x2材料力学材料力学 72中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 解解：原结构加单位荷载原结构加单位荷载求内力求内力拐杆如图，拐杆如图，A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，已知处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，已知E=210GPa，G=0.4E，求求B点的垂直位移。点的垂直位移。510 20300F=60NBx500Cx1A3001Bx500Cx1A求变形求变形材料力学材料力学 73中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 解：解：计算计算A点的竖直位移点的竖直位移在在A点加一竖直方向的单位力，分点加一竖直方向的单位力，分两段建立坐标，分别列出原荷载和两段建立坐标，分别列出原荷载和单位荷载下各段的弯矩方程。单位荷载下各段的弯矩方程。AB段段用莫用莫尔尔定理求定理求wA如如图所示所示刚架架EI已知，已知，AB段受均布荷段受均布荷载q作用。作用。求求A点的点的竖直位移直位移wA和截面和截面B的的转角角 B。aABCqax11ABCx2BC段段材料力学材料力学 74中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 用莫用莫尔尔定理求定理求 B在在B截面加一单位力偶，截面加一单位力偶，列出各段的弯矩方程列出各段的弯矩方程计算计算B截面的转角截面的转角 BaABCqax11ABCx2AB段段BC段段材料力学材料力学 75中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 弯曲刚度弯曲刚度为为EI的等截面线弹性圆环的等截面线弹性圆环,横截面横截面A、B间存间存在夹角为在夹角为 的微小缝隙。若要使的微小缝隙。若要使A、B两截面密合，两截面密合，应在应在横截面横截面A、B上加怎样的荷载上加怎样的荷载?RO A BFRO ABFM M解：同时加上一对力解：同时加上一对力F和一对力偶和一对力偶M，如图所示。，如图所示。用单位力法计算用单位力法计算 AB和和 AB。j jj jRO AB1 1材料力学材料力学 76中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 1RO AB1j jFRO ABFM Mj j确定确定F和和M。材料力学材料力学 77中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 求桁架在外力作用下的内力和求桁架在外力作用下的内力和 单位荷载作用下的内力单位荷载作用下的内力 解：解：施加单位荷载施加单位荷载图示桁架各杆图示桁架各杆EA相同，节点相同，节点B承受集中力承受集中力F 和和2F作用，求杆作用，求杆BC的转角。的转角。Cl2FBADlFClBADl00AC000lADF1/lFlCD2F-1/l-2FlAB00FlBC长度长度杆名杆名表表 桁架杆件内力桁架杆件内力 单位荷载法求杆单位荷载法求杆BC的转角的转角材料力学材料力学 78中南大学土木工程学院中南大学土木工程学院 解：解：将外力偶将外力偶Me用矢量表示，俯视图用矢量表示，俯视图 见右图。考虑圆弧见右图。考虑圆弧Bm，因为力偶只，因为力偶只 能和力偶平衡，所以截面能和力偶平衡，所以截面Om上的内上的内 力一定是向上的力偶，且力一定是向上的力偶，且M=Me。水平面内水平面内1/4圆形小曲率曲杆圆形小曲率曲杆A端固定，端固定，B端有作用面和曲杆横截面重合端有作用面和曲杆横截面重合的外力偶的外力偶Me作