第五章 定积分

第五章 定积分v第一节 定积分的概念v第二节 微积分基本定理v第三节 定积分的换元法与积分法v第四节 广义积分第一节 定积分的概念v一 引例v二 定积分的概念v三 定积分的几何意义v四 定积分的性质一.引例1.曲边梯形的面积（1）分割：任取分点,把底边a,b分成n个小区间 小区间长度记为：（2）取近似值：在每个小区间 上任取一点 ，以 为高、为底，则得小长条面积 的近似值（如右上图所示）。（3）求和：把n个小矩形面积相加就得到曲边梯形面积A的近似值（4）取极限：当小区间长度中的最大值 趋向于零时，和式 的极限就是曲边梯形面积A的精确值，即2.变速直线运动物体的路程设物体运动的速度为v(t)，求该物体从时刻到通过的路程。如果是匀速运动，则路程S=v(-)；若是变速运动，路程就不能用初等方法求得了；解决这个问题的思路和步骤与求曲边梯形面积类似；(1)分割 任取分点 把 分成n个小段，每小段长为：（2）取近似 把每小段 上的运动视为匀速，任取时刻 ，作乘积 ，显然这小段时间所走路程 可近似表示为：（3）求和 把n个小段时间上的路程相加，就得到总路程S的近似值，即：（4）取极限 当 时，上述总和的极限就是S的精确值，即：二、定积分的概念v定义:设函数 在区间 上有定义,任取分点 ,分为n个小区间 。记 在每个小区间 上任取一点 ，作乘积 的和式 ，如果 时上述极限存在（即这个极限与 的分割及点 的取法均无关），则称此极限值为函数 在区间 上的定积分，记为：v v其中称 为被积函数，为被积式，为积分变量，为积分区间，a,b分别称为积分下限和积分上限。补充:(1)当ab时,v v (2)当a=b时,三.定积分的几何意义v当 时,定积分在几何上表示曲线 在区间 上方的曲边梯形的面积(图5-2)v当 时,定积分表示曲线 在区间 下方的曲边梯形面积的负值(图5-3),即v当 在区间 上有正有负时,若规定位于轴上方的面积为正,下方为负,则定积分 表示这几个曲边梯形面积的代数和,如图5-4所示四.定积分的性质v性质1 被积式的常数因子可以提到积分号前面,即v性质2 两个函数代数和的积分等于这两个函数积分的代数和,即v v性质3 若点C将区间 分成两个小区间 和 ,则v性质4 如果在区间 上,与 总满足条件 ,则v性质5 如果函数 在区间 上有最大值M和最小值m,则v性质6 如果函数 在区间 上连续，则在区间 上至少存在一点 ，使得结论：v1.在对称区间上：v练习：1）v2）v3）v4）v5）v6）v答案：1).0 2).0 3).0 4).6 5).0 6).5.2 微积分基本定理一、变上限的定积分 二、微积分基本定理v定理1 如果函数 在区间 上连续，则函数v 在区间 上可导，且v即变上限的定积分对积分上限x的导数等于被积函数在积分上 限 x处的值.v三、牛顿-莱布尼茨公式v定理2：设函数 在闭区间 上连续，是 的一个原函数，则练习v v v v 练习答案v v v v 课堂练习v 解：原式=解：原式=v设 求v解：当 时，v 当 时，v v设 连续，且 ，求v解：令 则 v v已知变上限积分函数 求解：令x=a,则则 v已知v解：5.3 定积分的换元法与分部积分法一、定积分的换元积分法一般地，定积分换元法 可叙述如下：设f(x)在a,b上连续，而x=(t)满足下列条件：（1）在 上有连续导数，（2），且当t在 上变化时，的值在 a,b 上变化，则有换元公式 从左向右使用公式，相当于不定积分的第二换元法，从右向左使用相当于不定积分的第一换元积分法。在使用定积分换元积分公式时，要特别注意 用 在进行代换的同时，积分上、下限应同时换成新变量t的积分上、下限.例1、解：原式例2、解：原式v例3、解：令 则 原式二、定积分的分部积分法 利用不定积分的分部积分公式和牛顿一莱布尼茨公式可得到定积分的分部积分公式，即设函数 与 在区间上具有连续导数，则 练习：1、求 2、求 3、如果 是连续，并且 计算：=_ 4、设函数 在0、1上连续，令 则 _ 5、设 为-a,a上连续函数，则 _ 练习答案1、解：原式2、解：原式3、24、D5、D5.4 广义积分一、无穷区间上的广义积分 定义1 设函数 在区间a,+)内连续，取ba,如果极限 存在，则此极限叫做函数 在无穷区间 a,+）内的广义积分，记作 ,即这时也称广义积分 收敛。如果上述极限不存在，则称 发散。类似地，可定义在(-,b上的广义积分为 在(-,+)上的广义积分为 其中c为任意实数，当右端两个广义积分都收敛时，广义积分 才是收敛的，否则是发散的。二、无界函数的广义积分定义2 设函数 在（a,b上连续，而 ,取 如果极限 存在，则称此极限为函数 在区间(a,b上的广义积分，即 这时，称广义积分 收敛。如果上述极限不存在，则称该广义积分发散。类似地，可以定义函数 在a,b)上的右端点处或在(a,b)内的某一点c处无界的广义积分如下：例1、解：原式例2、解：原式 极限不存在 广义积分 发散例3、解：原式例4、判断广义积分 的收敛性 解：极限不存在 广义积分 发散练习1、2、3、5、4、6、练习答案1、3、解：原式 解：原式2、4、解：原式 解：原式5、解：原式 极限不存在 广义积分 发散6、解：原式 极限不存在 广义积分 发散