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逆命题、逆定理 第2课时19.19.4 4 线段的垂直平分线线段的垂直平分线 江镇中学江镇中学 刘厢刘厢ABPA=PB命题命题：线段线段垂直平分线上垂直平分线上的点的点和这条线段两个端和这条线段两个端点点的距离相等。的距离相等。PMNC 动动手动动手：作线段作线段AB的垂直平分线的垂直平分线MN，垂足为垂足为C；在；在MN上任取一点上任取一点P，连结连结PA、PB；量一量量一量：PA、PB的长，的长，你能发现什么？你能发现什么？命题：线段命题：线段垂直平分线上的点垂直平分线上的点和这条线段两个和这条线段两个端端点点的的距离相等。距离相等。ABPMNC已知：如图已知：如图，直线，直线MN AB,垂足为垂足为点点C,且且AC=CB.点点P在在MN上上.求证：求证：PA=PB证明：证明：MNAB(已知）已知）PCA=PCB=90（垂直定义）（垂直定义）在在 PAC和和 PBC中，中，AC=BC （已知）（已知）PCA=PCB （已证）（已证）PC=PC （公共边）（公共边）PAC PBC（S.A.S）PA=PB（全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相等）性质定理：性质定理：线段线段垂直平分线上的点垂直平分线上的点和这条线和这条线段两个段两个端点端点的距离相等。的距离相等。ABPMNC点点P在线段在线段AB的垂直的垂直平分线上（已知）平分线上（已知）PA=PB（线段垂直平（线段垂直平分线上的点和这分线上的点和这 条线段条线段两个端点的距离相等）两个端点的距离相等）练习1在在ABC中，中，APB=90，线段，线段BP=CP，且线段，且线段AB=2cm,则线段则线段AC=APB=90,BP=CP（已知）（已知）2cm AB=AC（？）（？）（线段线段垂直平分线垂直平分线上的点到线段的两个端点距离上的点到线段的两个端点距离相等）相等）练习练习2 2如图如图 AB是是CD的垂直平分线，的垂直平分线，CD是是AB的垂直平分线，的垂直平分线，AB与与CD互相垂直平分，互相垂直平分，在图中，你能找到哪些相在图中，你能找到哪些相等的线段呢等的线段呢？AC=AD，BC=BDAC=BC，AD=BDAC=AD=BD=BC练习3已知：在等腰已知：在等腰ABC中，腰中，腰AB的垂直平分线的垂直平分线MN交交AC于于D，BC=8cm,BDC的周长是的周长是20cm，找一找与线段，找一找与线段AD相等的线段是什么？相等的线段是什么？你能求出你能求出AB的长吗？的长吗？N8cmMN 垂直平分AB（已知）AD=BD（？）BC=8cm,BDC的周长是20cmBD+DC=12cm又 AD=BD AD+DC=12cm 即AC=12 cm解：l华华 洲洲 路路 上海市政府为了推动城乡统筹发展，打造城乡上海市政府为了推动城乡统筹发展，打造城乡“一一体化体化”的交通格局，决定要实施村村通公交，现在公路的交通格局，决定要实施村村通公交，现在公路的同侧有两个村庄，要在公路上建一车站，请你规划一的同侧有两个村庄，要在公路上建一车站，请你规划一下，该车站建于何处才能使车站距两村的距离相等呢？下，该车站建于何处才能使车站距两村的距离相等呢？实际问题实际问题数学化数学化BA实际问题实际问题1在直线在直线l上求作一点上求作一点P，使，使PA=PB 如图，如果点如图，如果点P P、P P1 1、P P2 2 、P P3 3到线段到线段ABAB的两个端点的两个端点A A、B B的距离分别相等，请猜想点的距离分别相等，请猜想点P P、P P1 1 、P P2 2、P P3 3 在同一条直线上吗在同一条直线上吗?它们所在的这条直线它们所在的这条直线与与ABAB的位置关系怎样呢？的位置关系怎样呢？你能证明为什么这样你能证明为什么这样的一些点都在线段的一些点都在线段AB垂垂直平分线上吗？直平分线上吗？动动脑P1P2P3ABPC PA=PB(已知）已知）,PCAB（作图）（作图）PC平分平分AB（等腰三角形三线合一）（等腰三角形三线合一）即点即点P在在AB的垂直平分线上的垂直平分线上 同理可证点同理可证点P1、P2、P3也在也在AB的垂直平分线上的垂直平分线上定理：定理：和一条和一条线段两个端点线段两个端点距离相等的点，距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上PA=PB（已知）（已知）逆逆点点P在线段在线段AB的垂直平分线上（和一条线段两个端的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）已知：已知：PA=PB 求证：点求证：点P在在AB的垂直平分线上的垂直平分线上证明：证明：三、线段三、线段的垂直平分线的集合定义：的垂直平分线的集合定义：线段的垂直平分线可以看作是和线段两个线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合端点距离相等的所有点的集合二、逆定理：二、逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。条线段的垂直平分线上。一、性质定理：一、性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。端点的距离相等。和一条线段两个端点距离相等的和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上点，在这条线段的垂直平分线上PA=PB点点P在在线段线段AB的垂直平分线的垂直平分线上上线段垂直平分线上的点和这线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等条线段两个端点的距离相等圆可以看成是到圆心的距离等于半径的点的集合，圆可以看成是到圆心的距离等于半径的点的集合，线段的垂直平分线可不可以看成是点的集合呢？线段的垂直平分线可不可以看成是点的集合呢？例例 已知：如图，在已知：如图，在ABCABC中，中，ONON是是ABAB垂直平分线，垂直平分线，OA=OCOA=OC 求证：点求证：点O O在在BCBC的垂直平分线上的垂直平分线上证明：连结证明：连结OB ON是是AB的垂直平分线的垂直平分线（已知）（已知）OA=OB（线段垂直平分线上的线段垂直平分线上的点和线段两个端点距离相等）点和线段两个端点距离相等）OA=OC（已知）（已知）OB=OC（等量代换）（等量代换）点点O在在BC的垂直平分线上的垂直平分线上（和一条线段的两个端点距离相等的（和一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）点，在这条线段的垂直平分线上）OM是是AC的垂直平分线的垂直平分线 机场镇政府为了方便居民生活，计划在三个住机场镇政府为了方便居民生活，计划在三个住宅小区宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等呢？离相等呢？BAC思考题思考题BAC 求作一点求作一点P，使使它和已它和已ABC的三的三个顶点距离相等个顶点距离相等.实际问题实际问题数学化数学化P归纳归纳：三角形三边的垂直三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到平分线交于一点，这一点到三角形的三个顶点距离相等三角形的三个顶点距离相等找到三角形三个顶点距离相等找到三角形三个顶点距离相等的点的方法是找两边的垂直平分的点的方法是找两边的垂直平分线的交点线的交点1、从知识的角度来说你学会了什么？、从知识的角度来说你学会了什么？2、你觉得所学知识有哪些作用和价值？、你觉得所学知识有哪些作用和价值？一、性质定理：一、性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。两个端点的距离相等。二、逆定理：二、逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。在这条线段的垂直平分线上。三、线段三、线段的垂直平分线的集合定义：的垂直平分线的集合定义：线段的垂直平分线可以看作是和线段两个线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合端点距离相等的所有点的集合
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