药物分析的统计学知识

会计学1药物分析的统计学知识药物分析的统计学知识 一、误差理论一、误差理论第1页/共41页n n 任何测量都不能绝对准确。在一定条件下，测量结果只能接近真任何测量都不能绝对准确。在一定条件下，测量结果只能接近真实值，而不能达到真实值。因而我们在实际工作中就必须对实验实值，而不能达到真实值。因而我们在实际工作中就必须对实验结果的可靠性作出合理的判断并予以正确表达。结果的可靠性作出合理的判断并予以正确表达。第2页/共41页 （一）测量误差（一）测量误差（一）测量误差（一）测量误差n n 测量值和真实值之差称为测量误差。测测量值和真实值之差称为测量误差。测量误差是衡量测量值不准确性的一个指标，量误差是衡量测量值不准确性的一个指标，反映结果的准确性，误差越小，准确性越反映结果的准确性，误差越小，准确性越高。测量误差用两种方法表示，即绝对误高。测量误差用两种方法表示，即绝对误差和相对误差。差和相对误差。第3页/共41页 1 1、绝对误差、绝对误差 绝对误差是测量值与真实值之差。绝对误差是测量值与真实值之差。若以若以x x代表测量值，代表测量值，代表真实值，则绝对误代表真实值，则绝对误差差为：为：=x=x 绝对误差可以是正值，也可以是负绝对误差可以是正值，也可以是负值。且以测量值的单位为单位。测量值越接值。且以测量值的单位为单位。测量值越接近真实值，绝对误差越小；反之，越大。近真实值，绝对误差越小；反之，越大。第4页/共41页 2 2、相对误差、相对误差 相对误差是以真实值的大小为基础表示的相对误差是以真实值的大小为基础表示的误差值，没有单位。以下式表示：误差值，没有单位。以下式表示：通常以通常以%、或或1010-3-3表示。表示。第5页/共41页n n例如，我们对甲硝唑样品进行测定，测得的百分例如，我们对甲硝唑样品进行测定，测得的百分含量为含量为99.12%99.12%，而其真实含量（理论值）为，而其真实含量（理论值）为99.21%99.21%，那么，那么，n n为了反映误差在测量结果中所占的比例，分析工为了反映误差在测量结果中所占的比例，分析工作中常使用相对误差。作中常使用相对误差。第6页/共41页3 3、真实值、真实值n n真实值是个可以接近而不可达到的理论值。实际真实值是个可以接近而不可达到的理论值。实际上是有经验的人用最可靠的方法对试样进行多次上是有经验的人用最可靠的方法对试样进行多次测定所得的平均值。测定所得的平均值。第7页/共41页 4 4、系统误差、系统误差n n 误差根据性质，可以分为系统误差和偶然误差两大类。系统误差根据性质，可以分为系统误差和偶然误差两大类。系统误差也叫可定误差，他是由于某种确定的原因引起的，一般有固误差也叫可定误差，他是由于某种确定的原因引起的，一般有固定的方向（正或负）和大小，重复测定时重复出现。定的方向（正或负）和大小，重复测定时重复出现。n n 根据系统误差的来源，可分为方法误差、仪器或试剂误差及根据系统误差的来源，可分为方法误差、仪器或试剂误差及操作误差三种。操作误差三种。第8页/共41页 （1 1）方法误差）方法误差 由分析方法本身不完善或选用不当所造成的。由分析方法本身不完善或选用不当所造成的。为了知道某分析方法的误差，可用标准品作对照试验，为了知道某分析方法的误差，可用标准品作对照试验，以求得方法误差的大小。对分析方法误差较大的分析方以求得方法误差的大小。对分析方法误差较大的分析方法必须寻找新的方法加以改正。法必须寻找新的方法加以改正。（2 2）试剂误差）试剂误差 由于试剂不纯而造成的误差叫仪器误差。由于试剂不纯而造成的误差叫仪器误差。（1 1）可将这些仪器预先加以校正，并求出其校正值以克）可将这些仪器预先加以校正，并求出其校正值以克服这些误差。（服这些误差。（2 2）另一简便有效的办法是测定中始终使）另一简便有效的办法是测定中始终使用同一仪器，来抵消仪器误差。用同一仪器，来抵消仪器误差。（3 3）操作误差）操作误差 由于分析者操作不符合要求造成由于分析者操作不符合要求造成 的误差叫操的误差叫操作误差。操作误差可以通过作对照试验或者经过有经验作误差。操作误差可以通过作对照试验或者经过有经验的分析人员校正而减免。的分析人员校正而减免。在操作误差中，有一部分是属于偶然误差的范在操作误差中，有一部分是属于偶然误差的范畴。畴。第9页/共41页5 5、偶然误差、偶然误差 偶然误差也称不可定误差或随机误偶然误差也称不可定误差或随机误差，他是由偶然的原因所引起的。偶然误差差，他是由偶然的原因所引起的。偶然误差的大小和正负都不固定，正负偶然误差出现的大小和正负都不固定，正负偶然误差出现的概率大致相等，因此它们之间常能互相完的概率大致相等，因此它们之间常能互相完全或部分抵消。所以通过增加平行测定的次全或部分抵消。所以通过增加平行测定的次数，便可减免测定结果中的这种误差。数，便可减免测定结果中的这种误差。第10页/共41页（二）准确度与精密度（二）准确度与精密度 1 1、准确度、准确度 准确度是指测量值与真实值接近的准确度是指测量值与真实值接近的程度，也就是表示该法测量的正确性，系用程度，也就是表示该法测量的正确性，系用回收试验来衡量。测量值与真实值越接近，回收试验来衡量。测量值与真实值越接近，就越准确。准确度的大小用误差表示。误差就越准确。准确度的大小用误差表示。误差越大，准确度越低。越大，准确度越低。第11页/共41页2 2、精密度、精密度 精密度是指测得一组测量值彼此符合的程精密度是指测得一组测量值彼此符合的程度，他们越接近就越精密，可用误差、相对误差、相度，他们越接近就越精密，可用误差、相对误差、相对平均误差、标准差或相对标准差（变异系数）来衡对平均误差、标准差或相对标准差（变异系数）来衡量。量。由于真实值通常是不知道的，故在实际工由于真实值通常是不知道的，故在实际工作中经常用多次分析结果的算术平均值当作真实值，作中经常用多次分析结果的算术平均值当作真实值，并与各个测得的数值进行比较，这样得到的误差、相并与各个测得的数值进行比较，这样得到的误差、相对误差、相对平均误差分别称为偏差、相对偏差、相对误差、相对平均误差分别称为偏差、相对偏差、相对平均偏差。偏差表示分析测定的重复性对平均偏差。偏差表示分析测定的重复性 。第12页/共41页（1 1）偏差）偏差 偏差是指测量值与平均值之差。偏差偏差是指测量值与平均值之差。偏差越大，精密度越低。若令越大，精密度越低。若令 X X 代表一组平等测定代表一组平等测定值的平均值，则单个测量值值的平均值，则单个测量值xixi的偏差的偏差d d为：为：d d值有正有负。值有正有负。第13页/共41页 （2 2）平均偏差）平均偏差各单个偏差绝对值的平均值，称为平均偏差，即各单个偏差绝对值的平均值，称为平均偏差，即 式中，式中，n n表示测量次数。表示测量次数。应当注意，平均偏差都是正值。应当注意，平均偏差都是正值。第14页/共41页 （3 3）相对平均偏差）相对平均偏差 平均偏差与平均值之比称为相对平均偏差。平均偏差与平均值之比称为相对平均偏差。第15页/共41页（4 4）标准差）标准差 标准差是反映一组供试品测定值离散的统计指标。为了标准差是反映一组供试品测定值离散的统计指标。为了突出较大偏差存在的影响，常使用标准差表示精密度。即突出较大偏差存在的影响，常使用标准差表示精密度。即第16页/共41页第17页/共41页（5 5）相对标准差）相对标准差 相对标准差（相对标准差（RSDRSD）也称变异系数）也称变异系数（CVCV）。当两测定值单位不同，或单位相同）。当两测定值单位不同，或单位相同但平均值相差较大时，不能用标准差来比较但平均值相差较大时，不能用标准差来比较两组间变异大小，而要用相对标准差来比较。两组间变异大小，而要用相对标准差来比较。其计算公式如下：其计算公式如下：第18页/共41页第19页/共41页例例1 1 某标准溶液的五次标定结果为：某标准溶液的五次标定结果为：0.10220.1022、0.10290.1029、0.10250.1025、0.10200.1020、0.1027mol/L0.1027mol/L。计算平均值、平均。计算平均值、平均偏差、相对平均偏差、标准差及相对标准差。偏差、相对平均偏差、标准差及相对标准差。解：解：第20页/共41页 3 3、准确度与精密度、准确度与精密度的关系的关系n n 一组测量值的精密度高，其平均值的准确度一组测量值的精密度高，其平均值的准确度不一定就高，这是因为每个测量值中都包含一种恒定不一定就高，这是因为每个测量值中都包含一种恒定的系统误差，使测量值总是偏高或偏低。精密度低的的系统误差，使测量值总是偏高或偏低。精密度低的测量值，其准确度常常较低，即使他的平均值与真实测量值，其准确度常常较低，即使他的平均值与真实值很接近也是出于偶然，并不可取。只有精密度和准值很接近也是出于偶然，并不可取。只有精密度和准确度都高的测量值才最为可取，结果才准确。确度都高的测量值才最为可取，结果才准确。n n 测量值的准确度表示测量的正确性，测量值测量值的准确度表示测量的正确性，测量值的精密度表示测量的重现性。精密度是保证准确度的的精密度表示测量的重现性。精密度是保证准确度的先决条件，只有在消除了系统误差后，才可用精密度先决条件，只有在消除了系统误差后，才可用精密度同时表达准确度。同时表达准确度。第21页/共41页（三）提高分析准确度的方法（三）提高分析准确度的方法 要想得到准确的分析结果，必须设要想得到准确的分析结果，必须设法减免在分析过程中带来的各种误差。下面法减免在分析过程中带来的各种误差。下面简要介绍一些减免分析误差的几种主要方法。简要介绍一些减免分析误差的几种主要方法。第22页/共41页1 1 1 1、选择合适的分析方法、选择合适的分析方法、选择合适的分析方法、选择合适的分析方法 各种分析方法的准确度和灵敏度是不同的。例如，重量分各种分析方法的准确度和灵敏度是不同的。例如，重量分析和容量分析灵敏度虽不算高，但对于高含量组分的测定，能获得析和容量分析灵敏度虽不算高，但对于高含量组分的测定，能获得比较准确的结果，相对误差一般是千分之几。用比较准确的结果，相对误差一般是千分之几。用K2Cr2O7K2Cr2O7测定法测得测定法测得铁的含量为铁的含量为40.20%40.20%，若方法的相对误差为，若方法的相对误差为0.2%0.2%，则铁的含量范围是，则铁的含量范围是40.12%40.12%40.28%40.28%。这一试样如果用直接比色法测定，由于方法的相。这一试样如果用直接比色法测定，由于方法的相对误差约对误差约2%2%，故测得铁的含量范围将在，故测得铁的含量范围将在39.439.441.0%41.0%之间，误差显然之间，误差显然大得多。相反，对于低含量组分的测定，重量法和容量法的灵敏度大得多。相反，对于低含量组分的测定，重量法和容量法的灵敏度一般达不到要求，而仪器分析法的灵敏度较高，相对误差虽然较大，一般达不到要求，而仪器分析法的灵敏度较高，相对误差虽然较大，但用于低含量组分的测定，因允许有较大的相对误差，所以这时用但用于低含量组分的测定，因允许有较大的相对误差，所以这时用仪器分析法是比较合适的。仪器分析法是比较合适的。第23页/共41页 在选择分析方法时，除考虑方法的灵敏度外，还要考虑共存组分或杂质的干扰问题。总之，必须根据分析对象、样品情况及对分析结果的要求来选择合适的分析方法。第24页/共41页 2 2 2 2、减少测量误差、减少测量误差、减少测量误差、减少测量误差 为了保证分析结果的准确度，必须尽量减少各为了保证分析结果的准确度，必须尽量减少各步测量误差。在称量步骤中要设法减小称量误差。一般步测量误差。在称量步骤中要设法减小称量误差。一般分析天平的称量误差为分析天平的称量误差为0.0001g0.0001g，用减重法称量两次，用减重法称量两次，可能引入的最大误差是可能引入的最大误差是0.0002g0.0002g。为了使称量的相对误。为了使称量的相对误差小于差小于0.1%0.1%，取样量就不能小于，取样量就不能小于0.2g0.2g。在滴定步骤中要。在滴定步骤中要设法减小滴定管读数误差。一般滴定管读数可有设法减小滴定管读数误差。一般滴定管读数可有0.01ml0.01ml的误差，一次滴定需要读两次数，可能造成的的误差，一次滴定需要读两次数，可能造成的最大误差是最大误差是0.02ml0.02ml，为了使滴定的相对误差小于，为了使滴定的相对误差小于0.1%0.1%，消耗滴定液的体积就必须在，消耗滴定液的体积就必须在20ml20ml以上。以上。第25页/共41页 对测量准确度的要求，要与方法准确度的要求相适应。如对某比色法测定要求相对误差小于2%，则称取0.5g样品时，称量的绝对误差不大于0.01g(0.52%=0.01)即可，不一定都要求称准到0.0001g。第26页/共41页 3 3、增加平行测定次数、增加平行测定次数 在消除系统误差的前提下，增加平行测在消除系统误差的前提下，增加平行测定次数可以减小偶然误差。定次数可以减小偶然误差。第27页/共41页4 4、消除测量过程中的系统误差、消除测量过程中的系统误差（1 1）校准仪器）校准仪器 仪器不准确引起的系统误差可以通过仪器不准确引起的系统误差可以通过校准仪器来减小其影响。如对砝码、移液管和滴校准仪器来减小其影响。如对砝码、移液管和滴定管等进行校准。定管等进行校准。第28页/共41页 （2 2）做对照试验）做对照试验 对照试验是检验系统误差的有效方法。他对照试验是检验系统误差的有效方法。他是把含量已知的标准试样或纯物质当作样品，以所用是把含量已知的标准试样或纯物质当作样品，以所用方法进行定量分析，由分析结果与其已知含量的差值，方法进行定量分析，由分析结果与其已知含量的差值，便可得出分析的误差，用此误差值对测定结果加以校便可得出分析的误差，用此误差值对测定结果加以校正。正。用纯物质作样品进行对照试验不如用标准试用纯物质作样品进行对照试验不如用标准试样好，因为纯物质中不存在样品中的非被测成分，情样好，因为纯物质中不存在样品中的非被测成分，情况和实际不一致。况和实际不一致。第29页/共41页 （3 3）做回收试验）做回收试验 在没有标准试样又不宜用纯物质进行对照时，可以往在没有标准试样又不宜用纯物质进行对照时，可以往样品中加入已知量被测物质，用同法进行分析。由分析样品中加入已知量被测物质，用同法进行分析。由分析结果中被测组分的增大值与加入量之差，便能估计出分结果中被测组分的增大值与加入量之差，便能估计出分析的误差并对分析结果加以校正。析的误差并对分析结果加以校正。（4 4）做空白试验）做空白试验 在不加样品的情况下，以样品相同的方法、步骤进行在不加样品的情况下，以样品相同的方法、步骤进行分析，把所得结果作为空白值从样品分析结果中减去，分析，把所得结果作为空白值从样品分析结果中减去，这样可以消除由于试剂不纯或容量不符合要求所带进的这样可以消除由于试剂不纯或容量不符合要求所带进的误差。误差。第30页/共41页二、有效数字的处理二、有效数字的处理第31页/共41页（一）有效数字（一）有效数字 在科学试验中，对于任一物理量的测定，其准确度都是在科学试验中，对于任一物理量的测定，其准确度都是有一定限度的。测量值的记录，必须与测量的准确度相符合。在分有一定限度的。测量值的记录，必须与测量的准确度相符合。在分析工作中实际能测量到的数字就称为有效数字。在记录有效数字时，析工作中实际能测量到的数字就称为有效数字。在记录有效数字时，规定只允许数的末位欠准，而且只能上下差规定只允许数的末位欠准，而且只能上下差1 1。例如，用例如，用50ml50ml量筒量取量筒量取25ml25ml溶液，应记成溶液，应记成25ml25ml，取两位，取两位有效数字，因为末位上的有效数字，因为末位上的5 5已可能有已可能有1ml1ml的误差。使用的误差。使用25ml25ml移液管移液管量取量取25ml25ml溶液，应记成溶液，应记成25.00ml25.00ml，取四位有效数字，因为在小数点后，取四位有效数字，因为在小数点后第二位上的第二位上的0 0才可能有才可能有11，即，即0.01ml0.01ml的误差。在分析天平上称取的误差。在分析天平上称取0.2022g0.2022g物质，就是物质，就是0.20220.0001g0.20220.0001g。第32页/共41页n n因为有效数字需反映测量准确到什么程度，所以记录测量值时，一因为有效数字需反映测量准确到什么程度，所以记录测量值时，一般只保留一位可疑值，不可夸大。要明白，记录的位数超过恰当的般只保留一位可疑值，不可夸大。要明白，记录的位数超过恰当的有效数字的位数再多，也不能提高测量值的实际可靠性，反而给运有效数字的位数再多，也不能提高测量值的实际可靠性，反而给运算带来许多麻烦。算带来许多麻烦。n n常量分析一般要求四位有效数字以表明分析结果有千分之一的准确常量分析一般要求四位有效数字以表明分析结果有千分之一的准确度。使用四位对数表进行计算，可自然保证四位有效数字，使用计度。使用四位对数表进行计算，可自然保证四位有效数字，使用计算器时，在计算过程中可能保留了过多的位数，但最后结果仍应记算器时，在计算过程中可能保留了过多的位数，但最后结果仍应记成适当位数以正确表达应有的准确度。成适当位数以正确表达应有的准确度。n n从从0 0到到9 9这十个数字中，只有这十个数字中，只有0 0既可以是有效数字，也可以是只作定位既可以是有效数字，也可以是只作定位用的无效数字，其余都是有效数字。例如，在数据用的无效数字，其余都是有效数字。例如，在数据0.05060g0.05060g中，中，5 5后后面的两个面的两个0 0都是有效数字，而都是有效数字，而5 5前面的两个前面的两个0 0则都不是，它们只表明这则都不是，它们只表明这个重量小于十分之一克，所以，个重量小于十分之一克，所以，0.05060g0.05060g是四位有效数字。是四位有效数字。第33页/共41页n n很小的数，用很小的数，用0 0定位不便，可以用定位不便，可以用1010的方次表示。例如，的方次表示。例如，0.0506g0.0506g可写成可写成5.060105.06010-2-2g g，仍然是四位有效数字。习惯上小，仍然是四位有效数字。习惯上小数点前只留一位整数。很大的数也采用这种表示方法。例如，数点前只留一位整数。很大的数也采用这种表示方法。例如，2500L2500L，若有三位有效数字表示，则写成，若有三位有效数字表示，则写成2.50102.50103 3L L。n n变换单位时，有效数字的位数不变。例如，变换单位时，有效数字的位数不变。例如，10.00ml10.00ml应写成应写成0.01000L0.01000L；10.5L10.5L应写成应写成1.05101.05104 4mlml。n n首位为首位为8 8或或9 9的数据，有效数字可多计一位。例如，的数据，有效数字可多计一位。例如，86g86g可以认为可以认为是三位有效数字。是三位有效数字。n npHpH、lgKlgK等对数数值，其有效数字的位数仅取决于小数部分数字等对数数值，其有效数字的位数仅取决于小数部分数字的位数，因为整数部分只代表原值的方次。例如，的位数，因为整数部分只代表原值的方次。例如，pH=8.02pH=8.02的的有效数字应为两位。有效数字应为两位。第34页/共41页（二）数字修约规则（二）数字修约规则 在数据处理过程，各测量值的有效在数据处理过程，各测量值的有效数字位数可能不同，在运算时，按一定规则数字位数可能不同，在运算时，按一定规则舍弃多余的尾数，不但可以节省时间，而且舍弃多余的尾数，不但可以节省时间，而且可以避免数字尾数过长所引起的计算误差。可以避免数字尾数过长所引起的计算误差。按运算法则确定有效位数后，舍弃多余的尾按运算法则确定有效位数后，舍弃多余的尾数，称为数字修约。数，称为数字修约。第35页/共41页其基本原则如下：其基本原则如下：（1 1）四舍六入五成双（或尾留双）在过去，人们习惯沿用）四舍六入五成双（或尾留双）在过去，人们习惯沿用“四舍五入四舍五入”、见五就入，它必然会引入明显的舍入误差，使修约后的数值偏高。、见五就入，它必然会引入明显的舍入误差，使修约后的数值偏高。“四舍六入五成双四舍六入五成双”规则是逢五有舍、有入，使由五的舍入引起的误差规则是逢五有舍、有入，使由五的舍入引起的误差可以自相抵消。可以自相抵消。该规则规定：测量值中被修约的那个数等于或小于该规则规定：测量值中被修约的那个数等于或小于4 4时舍弃，等时舍弃，等于或大于于或大于6 6时，进位。等于时，进位。等于5 5时（时（5 5后无数）；若进位后测量值的末位数后无数）；若进位后测量值的末位数成偶数，则进位；进位后，成奇数，则舍弃。若成偶数，则进位；进位后，成奇数，则舍弃。若5 5后还有数，说明修约后还有数，说明修约数比数比5 5大，宜进位。大，宜进位。将测量值修约为三位数：将测量值修约为三位数：2.01492.0149写写2.012.01，5.23865.2386写写5.245.24，3.1250013.125001写写3.133.13，1.7551.755写写1.761.76，4.1054.105写写4.104.10，2.1252.125写写2.122.12。第36页/共41页（2 2）只允许对原测量值一次修约至所需位数，不能分次）只允许对原测量值一次修约至所需位数，不能分次修约。修约。例如将例如将2.154912.15491修约为三位数，不能先修约成修约为三位数，不能先修约成2.1552.155再修成中再修成中2.162.16，只能为，只能为2.152.15。（3 3）运算过程中，为了减少舍入误差，可多保留一位有）运算过程中，为了减少舍入误差，可多保留一位有效数字（不修约），在算出结果后，再按运算法则，将效数字（不修约），在算出结果后，再按运算法则，将结果修约至应有的有效数字位数。特别在运算步骤长、结果修约至应有的有效数字位数。特别在运算步骤长、涉及数据多的情况下，尤其需要。涉及数据多的情况下，尤其需要。第37页/共41页（4 4）在修约标准偏差值或其他表示不确定度时、修约的）在修约标准偏差值或其他表示不确定度时、修约的结果应使准确度的估计值变得更差一些。结果应使准确度的估计值变得更差一些。例如，例如，S=0.213S=0.213，若取两位有效数字，宜修约为，若取两位有效数字，宜修约为0.220.22，取一位为，取一位为0.30.3。在作统计检验时，在作统计检验时，S S值等应多留值等应多留1-21-2位数字参加运位数字参加运算，计算所得的统计量可多保留算，计算所得的统计量可多保留1 1位数字与临界值比较，位数字与临界值比较，以避免因数字修约而造成第一类或第二类错误。以避免因数字修约而造成第一类或第二类错误。第38页/共41页（三）运算法则（三）运算法则 在计算分析结果时，每个测量值的误差都要传递到结果中去。在计算分析结果时，每个测量值的误差都要传递到结果中去。必须根据误差传递规律，按照有效数字运算法则，合理取舍，才不致影必须根据误差传递规律，按照有效数字运算法则，合理取舍，才不致影响结果准确度的表达。响结果准确度的表达。在做数学运算时，有效数字的处理，加减法与乘除法不同。做在做数学运算时，有效数字的处理，加减法与乘除法不同。做加减法是各数值绝对误差的传递，所以结果的绝对误差必须与各数中绝加减法是各数值绝对误差的传递，所以结果的绝对误差必须与各数中绝对误差最大的那个相当。通常为了便于计算，可按照小数点后位数最少对误差最大的那个相当。通常为了便于计算，可按照小数点后位数最少的那个数保留其他各数的位数，然后再相加减。如下面三式：的那个数保留其他各数的位数，然后再相加减。如下面三式：0.5362 10.00510.5362 10.0051 0.0014 1.9724 4.2598 0.0014 1.9724 4.2598 +0.25 +0.25 +0.0003+0.0003 -4.2595 -4.2595 0.79 11.9778 0.0003 0.79 11.9778 0.0003第39页/共41页n n在第一式中，三个数的绝对误差不同，结果的有效数字位数只由绝在第一式中，三个数的绝对误差不同，结果的有效数字位数只由绝对误差最大的第三个数决定，即两位。第二第三两式中各数的绝对对误差最大的第三个数决定，即两位。第二第三两式中各数的绝对误差都一样，故确定结果有效数字的位数很简单。不过也要看到，误差都一样，故确定结果有效数字的位数很简单。不过也要看到，第二式中的第三个数只有一位有效数字，而结果有六位，第三式中第二式中的第三个数只有一位有效数字，而结果有六位，第三式中的两个数都有五位有效数字，而结果只有一位。以第一式为例，可的两个数都有五位有效数字，而结果只有一位。以第一式为例，可先把三个数修约成先把三个数修约成0.540.54、0.000.00及及0.250.25，然后再相加。，然后再相加。n n在乘除法中，因是各数值相对误差的传递，所以结果的相对误差必在乘除法中，因是各数值相对误差的传递，所以结果的相对误差必须与各数中相对误差最大的那个相当。通常为了便于计算，可按照须与各数中相对误差最大的那个相当。通常为了便于计算，可按照有效数字位数最少的那个数保留其他各数的位数，然后再相乘除。有效数字位数最少的那个数保留其他各数的位数，然后再相乘除。例如，在例如，在0.129.6782340.129.678234的运算中，可先写成的运算中，可先写成0.129.70.129.7，然后相乘。，然后相乘。正确的结果是正确的结果是1.21.2，不是，不是1.1641.164。第40页/共41页