吴赣昌编 概率论与数理统计 第1章

吴赣昌编吴赣昌编 概率论与数理概率论与数理统计统计 第第1 1章章概率统计是研究什么的客观世界中发生的现象客观世界中发生的现象 v确定性的在一定条件下必然发生的现象v随机性的在一定条件下，具有多种可能的结果，但事先又不能预知确切的结果1)拋掷一枚硬币，其结果可能是图案面朝上(数字面朝上)，也可能是图案面朝下(数字面朝下)，并且在拋掷之前无法预知拋掷的结果。2)足球比赛，其结果可能是胜、平、负，但在比赛之前无法预知其结果。3)投掷一个骰子，其结果有6种，即可能出现1,2,3,4,5,6点，但每次投掷之前是无法预知投掷的结果的。4)股市的变化。说明：随机现象是广泛存在的。v一个射手在一次射击中可能击中目标，也可能未击中目标，但在一个短时间内，每天的命中率却是稳定的。v同一门炮在同样发射条件下射出的许多炮弹其落点不一样。虽然落点不同，但形成一个椭圆-落点分布。v命中率的稳定性与落点分布的稳定性都说明随机现象中蕴含着某种确定的规律。这种规律只有在大量的试验和观察中才能呈现出来，这种规律性叫做统计规律性。概率统计研究和揭示随机现象统计规律性的学科 应用范围广泛。例如：气象预报、水文预报、地震预报、产品质量检验、产品的可靠性评估、寿命预测、生物统计、卫生统计、保险、金融等各领域。经典的数学理论如微积分学、微分方程等都是研究确定性现象的有力的数学工具。例例1 1：外语考试卷子中有外语考试卷子中有5 5道题，每道题列出三种可能的答案，道题，每道题列出三种可能的答案，其中仅有一个答案正确，如果让一个没有学过这种外语的人其中仅有一个答案正确，如果让一个没有学过这种外语的人来答卷，问他能答对至少来答卷，问他能答对至少4 4题的概率是多少？题的概率是多少？例例2 2：有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的酒各有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的酒各4 4杯，如果杯，如果从中挑从中挑4 4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是成功一次。某人声杯，能将甲种酒全部挑出来，算是成功一次。某人声称他通过品尝能区分两种酒，他连续试验称他通过品尝能区分两种酒，他连续试验1010次，成功次，成功3 3次，试次，试推断他是猜对的，还是他确有区分的能力。推断他是猜对的，还是他确有区分的能力。例例3 3：某商场计划于某商场计划于5 5月月1 1日在户外搞一次促销活动，统计资料日在户外搞一次促销活动，统计资料表明，如果在商场内搞促销活动，可获得经济效益表明，如果在商场内搞促销活动，可获得经济效益3 3万元；在万元；在商场外搞促销活动，如果不遇到雨天可获得经济效益商场外搞促销活动，如果不遇到雨天可获得经济效益1212万元，万元，遇到雨天则会带来经济损失遇到雨天则会带来经济损失5 5万元，若前一天的天气预报称当万元，若前一天的天气预报称当日有雨的可能性日有雨的可能性 为为40%40%，则商场应如何选取促销方式？，则商场应如何选取促销方式？第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率v随机事件随机事件及其运算及其运算v频率与频率与概率概率v古典概型和几何概型古典概型和几何概型v条件概率条件概率v事件的独立性事件的独立性 1.1随机试验、样本空间、随机事件随机试验、样本空间、随机事件一、随机试验（简称一、随机试验（简称“试验试验”）试验试验：一个盒子中有一个盒子中有10个完全相同的白球，搅匀后任意摸出个完全相同的白球，搅匀后任意摸出一球一球试验试验：一个盒子中有一个盒子中有10个大小完全相同的球，个大小完全相同的球，5个白色，个白色，5个个黑色，搅匀后任意摸出一球黑色，搅匀后任意摸出一球 随机试验的特点(p2)(1)试验可以在相同条件下大量重复进行；(2)每次试验的可能结果不止一个，并且事先可以知道试验所有可能的结果可观察性；(3)进行一次试验之前不能确定出现的是哪个结果，但若进行大量重复试验的话，其可能结果的出现又有一定的统计规律性。满足上述特点的试验称为随机试验随机试验，一般记为E。E1：拋掷一枚质地均匀的硬币，观察正面和反面出现的情况；E2：掷一颗质地均匀的骰子，观察其出现的点数；E3：记录某网站一分钟内受到的点击次数；E4：从某品牌的电视机中任取一台，观察其使用寿命。随机试验的例子二、样本空间二、样本空间(p2)1、样本空间：由随机试验的一切可能的结果由随机试验的一切可能的结果组成的一个组成的一个集合集合称为试验E样本空间，记为S或；2、样本点：试验的每一个可能的结果试验的每一个可能的结果（或样本空间的元素）称为一个样本点，记为 。三、随机事件三、随机事件例例1.11.1 将一颗骰子连掷两次，依次记录所得点数，则所有可能出现的结果即该试验的样本空间是：1、随机事件、随机事件(p3)随机试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件。通常用大写字母A、B、C表示。任何事件均可表示为样本空间的某个子集任何事件均可表示为样本空间的某个子集.称事件事件A发生生当且仅当试验的结果是子集A中的元素出现。特殊地，当一个事件仅包含S的一个样本点时，称该事件为基本事件基本事件(或简单事件)。2、两个特殊事件、两个特殊事件 必然事件必然事件S S包含所有的样本点，是S自身的子集，每次试验它总是发生的，称为必然事件。不可能事件不可能事件 空集不包含任何样本点，它是S的子集，每次试验总是不发生，称为不可能事件。v课堂练习：从通常的一副52张扑克牌中抽取一张，在下列情况下描述样本空间：(1)不考虑牌的花色；(2)考虑牌的花色。解解：(1)如果不考虑整套牌的花色，样本空间包含可由牌点A，二点，十点，J，Q，K组成，即可表示为=1,2,13。(2)如果考虑整套牌，样本空间包含S，H，D，C的A，一直到S，H，D，C的K。如果用1,2,3,4分别表示黑、红、方、草，则黑桃J可写成(1,11)，样本空间有52个样本点：四、事件之间的关系四、事件之间的关系（熟练掌握熟练掌握）例例1.2 1.2 袋中装有2只白球和1只黑球。从袋中依次任意地摸出2只球。设球是编号的：白球为1号、2号，黑球为3号。(i,j)表示第一次摸得i号球，第二次摸得j号球的基本事件，则这一试验的样本空间为：S=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)而且可得到下列随机事件A=(3,1),(3,2)=第一次摸得黑球；B=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3)=第一次摸得白球；C=(1,2),(2,1)=两次都摸得白球；D=(1,3),(2,3)=第一次摸得白球，第二次摸得黑球；G=(1,2),(2,1)=没有摸到黑球。设试验E的样本空间为S，A,B,Ak(k=1,2,)为事件1.事件的包含与相等事件的包含与相等(p4)“A发生必导致B发生”，即A中的样本点一定属于B，记为AB，也称A是B的子事件。A与B两个事件相等：AB AB且BA。2.2.和事件和事件和事件和事件(p4)（4）：“事件事件事件事件A与与与与B至少有一个发生至少有一个发生至少有一个发生至少有一个发生”，记作，记作，记作，记作A B2n个事件个事件A1,A2,An至少有一个发生，记作至少有一个发生，记作2”可列个事件可列个事件A1,A2,An 至少有一个发生，记作至少有一个发生，记作3.积事件积事件(p4):A与与B同时发生，记作同时发生，记作 ABAB3n个事件个事件A1,A2,An同时发生，记作同时发生，记作3”可列个事件可列个事件A1,A2,An,同时发生，记作同时发生，记作4.差事件差事件(p4)：AB称为称为A与与B的差事件的差事件,表示事件表示事件A发生而发生而B不不发生，它是由属于发生，它是由属于A而不属于而不属于B的样本点所构成的事件。的样本点所构成的事件。5.互互斥的事件斥的事件(p4)：AB=,指事件指事件A与与B不能同时发不能同时发生。又称生。又称A与与B互不相容互不相容。6.互逆的互逆的事件事件(p4)AB ,且且AB 对立事件必为互不相容事件；对立事件必为互不相容事件；互不相容事件未必为对立事件。互不相容事件未必为对立事件。五、事件的运算五、事件的运算(p5)1、交换律：、交换律：ABBA，ABBA2、结合律结合律：(AB)CA(BC)，(AB)CA(BC)3、分配律分配律：(AB)C(AC)(BC)，(AB)C(AC)(BC)4、对偶对偶(De Morgan)律律：5、差积转换律差积转换律例1.4 试求事件“甲种产品滞销，且乙种产品畅销”的对立事件。解 设A表示事件“甲种产品畅销”，B表示事件“乙种产品畅销”，则由题意，事件“甲种产品滞销，且乙种产品畅销”表示为：1.2 频率与概率频率与概率v1.频率定义 1.设在相同条件下，进行了n次试验，若随机事件在n次试验中发生了 次，则此比值：称为事件A在n次试验中发生的频率，记作 ，即 =频率具有如下的性质频率具有如下的性质(1)对任一事件对任一事件A，0 fn(A)1；(2)对必然事件对必然事件S，fn(S)1；而而 fn()=0(3)可加性：若事件可加性：若事件A、B互不相容，即互不相容，即AB，则则 fn(AB)fn(A)fn(B)。事件A发生的频率表示A发生的频繁程度，频率越大，事件A发生得越频繁，即在一次试验中发生的可能性越大。历史上曾有人做过试验，著名的统计学家摩根、蒲丰和皮尔逊进行了大量的抛掷均匀硬币的试验，试图证明出现正反面的机会均等。实验者实验者 n nH fn(H)De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069K.Pearson 12000 6019 0.5016K.Pearson 24000 12012 0.5005二、概率二、概率从直观上来看，事件从直观上来看，事件A A的概率是指事件的概率是指事件A A发发生的可能性生的可能性P（A A）应具有何种性质？应具有何种性质？抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？掷一颗骰子，出现掷一颗骰子，出现6 6点的概率为多少？点的概率为多少？出现单数点的概率为多少？出现单数点的概率为多少？向目标射击，命中目标的概率有多大？向目标射击，命中目标的概率有多大？1、概率的统计定义、概率的统计定义设随机事件A在n次重复试验中发生的次数为nA，若当试验次数n很大时，频率nA/n稳定稳定地在某一数值p的附近摆动，且随着试验次数n的增加，其摆动的幅度越来越小，则称数p为随机事件A的概率概率，记为P(A)=p。由定义，显然有0P(A)1,P(S)=1，P()=0。设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一个事件A，赋予一个实数P(A)与之对应，如果集合函数P()具有如下性质：非负性非负性：对任意一个事件A，均有P(A)0；完备性完备性：P(S)=1；可可列列可可性性质质：若A1，A2，An，是两两互不相容的事件序列，即AiAj=(ij,i,j=1,2,)，有P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An)+则称P(A)为事件A的概率。2、概率的公理化定义（、概率的公理化定义（P.8）3、概率的性质、概率的性质 (P.9-10)不可能事件的概率为零，即P()=0；概率具有有有限限可可加加性性，即若事件A1，A2，An两两互不相容，则必有P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An)设A，B是两个事件，则P(A-B)=P(A)-P(AB)特 别 地，若 AB，则 AB=B，有 P(A-B)=P(A)-P(B)，且P(A)P(B)，此性质称为单调不减性单调不减性。例例1.51.5 某人外出旅游两天，据天气预报，第一天降水概率为0.6，第二天为0.3，两天都降水的概率为0.1，试求：(1)“第一天下雨而第二天不下雨”的概率P(B)，(2)“第一天不下雨而第二天下雨”的概率P(C)，(3)“至少有一天下雨”的概率P(D)，(4)“两天都不下雨”的概率P(E)，(5)“至少有一天不下雨”的概率P(F)。（2）1.3 古典概型与几何概型古典概型与几何概型一、古典概型的定义一、古典概型的定义(p.11)设随机设随机实验实验E满足下列条件满足下列条件1.有限性：试验的样本空间只有有限个可能的结果，即有限性：试验的样本空间只有有限个可能的结果，即2.等可能性：每个样本点的发生是等可能的，即等可能性：每个样本点的发生是等可能的，即则称此试验则称此试验E为古典概型，也叫为古典概型，也叫等可能等可能概型。概型。设事件A中所含样本点个数为N(A)，以N(S)记样本空间S中样本点总数，则有P(A)具有如下性质：(1)0 P(A)1；(2)P(S)1；P()=0；(3)AB，则P(AB)P(A)P(B)。例例1.61.6 有三个子女的家庭有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率设每个孩子是男是女的概率相等相等,则至少有一个男孩的概率是多少则至少有一个男孩的概率是多少?例1.7 在盒子里有10个相同的球，分别标上号码1，2，10。从中任取一球，求此球的号码为偶数的概率。解 设m表示所取的球的号码为m(m=1,2,10)，则试验的样本空间为S=1,2,10，因此基本事件总数n=10。又设A表示“所取的球号码为偶数”这一事件，则A=2,4,6,8,10，所以A中含有k=5个样本点，故 复习：排列与组合的基本概念复习：排列与组合的基本概念二、古典概型的基本类型举例v古典概率的计算关键在于计算基本事件总数和所求事件包含的基本事件数。1、抽球问题、抽球问题 例1.8 设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红球一白球的概率。解 设A取到一红球一白球例1.9 某箱中装有m+n个球，其中m个白球，n个黑球。(1)从中任意抽取r+s个球，试求所取的球中恰好有r个白球和s个黑球的概率；解 试验E：从m+n球中取出r+s个，每r+s个球构成E的一个基本事件，不同的基本事件总数为(2)从中任意接连取出k+1(k+1m+n)个球，如果每一个球取出后不还原，试求最后取出的球是白球的概率。解 试验E：从m+n球中接连地不放回地取出k+1个球每k+1个排好的球构成E的一个基本事件，不同的基本事件总数为所以最后所取的球是白球的概率为例1.11 设有n个颜色互不相同的球，每个球都以概率1/N落在N(nN)个盒子中的每一个盒子里，且每个盒子能容纳的球数是没有限制的，试求下列事件的概率：A=某指定的一个盒子中没有球B=某指定的n个盒子中各有一个球C=恰有n个盒子中各有一个球D=某指定的一个盒子中恰有m个球(mn)解 把n个球随机地分配到N个盒子中去(nN),总共有Nn种放法。即基本事件总数为Nn。事件B：指定的n个盒子中，每个盒子中各放一球，共有n!种放法，因此 3.分组问题分组问题例1.12 30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：（1）每组有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率。三、几何概型v样本空间为一线段、平面区域或空间立体的等可能随机试验的概率模型v（1）设样本空间S是直线上的某个线段,它的长度为l(S),A是S的一个子集，则落在A中的概率为：P(A)=l(A)/l(S)。v（2）设样本空间S是平面上的某个区域,它的面积为u(S),则落在A中的概率为：P(A)=u(A)/u(S)。v（3）设样本空间S是空间上的某个立体,它的体积为v(S),则落在A中的概率为：P(A)=v(A)/v(S)。例 甲乙两人相约在7点到8点之间在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就离开。如果每个人可在指定的任一小时内任意时刻到达，试计算二人能够会面的概率。解：根据题意，这是一个几何概型问题，于是 袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球十人依次从袋中各取一球(不放回不放回)，问，问第一个人取得红球的概率是多少？第一个人取得红球的概率是多少？第第二二 个人取得红球的概率是多少？个人取得红球的概率是多少？1.4 条件概率条件概率若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是多少？例1.14 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回。(1)已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率；(2)求第二次取到红球的概率；(3)求两次均取到红球的概率。S=AB可以验证，条件概率P(|A)符合概率所需满足的三条基本性质：非 负 性：对 任 意 一 个 事 件 B，均 有0P(B|A)1；完备性：P(S|A)=1；可列可加性：若B1，B2，Bn，两两互不相容，则有条件概率也满足概率的基本性质（P.18)v条件概率的一般计算方法：v(1)根据A发生以后的情况直接计算A发生的条件下，B发生的条件概率。“缩减样本空间”v(2)先计算P(A)，P(AB)，再用公式例1.15 一盒中混有100只新、旧乒乓球，各有红、白两色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。红白新4030旧2010设A-从盒中随机取到一只红球。B-从盒中随机取到一只新球。例例1.16 1.16 设某人从一副扑克中设某人从一副扑克中(52(52张张)任取任取1313张，设张，设A为为“至少有一张红桃至少有一张红桃”，B为为“恰有恰有2 2张红桃张红桃”，C为为“恰有恰有5 5张方块张方块”，求条件概率，求条件概率P(B|A)，P(B|C)解 二、概率的二、概率的乘法公式乘法公式(p.20)设设A、B、C为随机事件，为随机事件，P(A)0，则有乘法公式则有乘法公式P(AB)P(A)P(B|A)当当P(AB)0时，上时，上式还可推广到三个事件的情形：式还可推广到三个事件的情形：P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB)例例1.181.18 甲、乙、丙三人参加面试抽签，每人的试题通甲、乙、丙三人参加面试抽签，每人的试题通过不放回抽签的方式确定。假设被抽的过不放回抽签的方式确定。假设被抽的1010个试题中有个试题中有4 4个难题签，按甲、乙、丙次序抽签，试求甲抽到难个难题签，按甲、乙、丙次序抽签，试求甲抽到难题签，甲和乙都抽到难题签，甲没抽到难题签而乙抽题签，甲和乙都抽到难题签，甲没抽到难题签而乙抽到难题签，甲、乙、丙都抽到难题签的概率。到难题签，甲、乙、丙都抽到难题签的概率。解 设A、B、C分别表示甲、乙、丙抽到难题签的事件 例例1.191.19 盒中有盒中有3 3个红球，个红球，2 2个白球，每次从袋中任取一个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球色相同的球，若从盒中连续取球4 4次次,试求第试求第1 1、2 2次取次取得白球、第得白球、第3 3、4 4次取得红球的概率。（）次取得红球的概率。（）三、全概率公式与贝叶斯公式三、全概率公式与贝叶斯公式v在概率论中，我们经常利用已知的简单事件的概率，推算出未知的复杂事件的概率。为此，常须把一个复杂事件分解为若干个互不相容的简单事件的和，再由简单事件的概率求得最后结果。设S是试验E的样本空间，A1,A2,An是试验E的一组事件，若A1,A2,An满足如下两个条件：（1）A1A2An=S，（2）A1,A2,An两两互不相容则称事件组A1,A2,An组成样本空间的一个划分；若是样本空间的一个划分，则在每次试验中，事件A1,A2,An必有且仅有一个发生。A2A1AnB定理1.1 设试验E的样本空间为S，B为E的事件。设事件组A1,A2,An组成样本空间S的一个划分，且设 P(Ak)0,(k=1,2,n),则 此公式称为全概率公式全概率公式。2、全概率公式(P.21)（将计算一个复杂事件的概率问题转化为在不同情况下（将计算一个复杂事件的概率问题转化为在不同情况下或不同原因下发生的简单事件的概率的求和问题）或不同原因下发生的简单事件的概率的求和问题）例1.20 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2、1、3，试求市场上该品牌产品的次品率。我们把事件我们把事件B看作某一过程的结果看作某一过程的结果，则我们可用全概率公式计算结果发生的概率则我们可用全概率公式计算结果发生的概率全概率公式的使用：全概率公式的使用：根据历史资料，每一原因发生的概率已知，根据历史资料，每一原因发生的概率已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，例例1.21 1.21 某工厂生产的产品以某工厂生产的产品以100100件为一批，假定每一批产品中的件为一批，假定每一批产品中的次品最多不超过次品最多不超过4 4件，且具有如下的概率：件，且具有如下的概率：一批产品中的次品数一批产品中的次品数 0 0 1 2 3 4 1 2 3 4概概 率率0.1 0.2 0.4 0.2 0.10.1 0.2 0.4 0.2 0.1现进行抽样检验，从每批中随机抽取现进行抽样检验，从每批中随机抽取1010件来检验，若发现其中有件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格。求一批产品通过检验的概率。次品，则认为该批产品不合格。求一批产品通过检验的概率。3、贝叶斯公式(Bayes)定理1.2 设试验E的样本空间为S，B为E的事件。事件组A1,A2,An组成样本空间S的一个划分，且P(Ak)0,(k=1,2,n),及P(B)0，则BayesBayes公式的使用公式的使用我们把事件我们把事件B看作某一过程的结果，看作某一过程的结果，而且每一原因对结果的影响程度已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，如果已知事件如果已知事件B已经发生，要求此时是已经发生，要求此时是由第由第 i 个原个原因引起的概率因引起的概率，则用，则用Bayes公式公式例例1.21中，顾客买到的一批合格品中，含次品数为中，顾客买到的一批合格品中，含次品数为0的概率是多少？的概率是多少？例例1.24 1.24 根据以往的临床记录，某种诊断是否患有癌症的检根据以往的临床记录，某种诊断是否患有癌症的检查有如下效果。若以查有如下效果。若以A表示事件表示事件“试验反应为阳性试验反应为阳性”，以，以C表示事件表示事件“被检查者确实患有癌症被检查者确实患有癌症”，则有，则有例例1.251.25数数字字通通讯讯过过程程中中，信信源源发发射射0 0、1 1两两种种状状态态信信号号，其其中中发发0 0的的概概率率为为0.550.55，发发1 1的的概概率率为为0.450.45。由由于于信信道道中中存存在在干干扰扰，在在发发0 0的的时时候候，接接收收端端分分别别以以概概率率0.90.9、0.050.05和和0.050.05接接收收为为0 0、1 1和和“不不清清”。在在发发1 1的的时时候候，接接收收端端分分别别以以概概率率0.850.85、0.050.05和和0.10.1接接收收为为1 1、0 0和和“不不清清”。现现接接收收端端接接收收到到一一个个“1”“1”的信号。问发端发的是的信号。问发端发的是0 0的概率是多少的概率是多少?)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P)AB(P+0.067条件概率 条件概率条件概率 小小 结结缩减样本空间 定义式 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式例例1.261.26 袋中有袋中有a只红球，只红球，b只白球只白球b00，现从此袋中取现从此袋中取两次球，每次各取一只球，分有放回和无放回两种两次球，每次各取一只球，分有放回和无放回两种情况，记情况，记A表示事件表示事件“第一次所取的球是红色的球第一次所取的球是红色的球”，B表示事件表示事件“第二次所取的球是红色的球第二次所取的球是红色的球”。求第一次取到是红球的概率；第二次取到红球的概率；求第一次取到是红球的概率；第二次取到红球的概率；在第一次取到红球的条件下，第二次仍取到红球的在第一次取到红球的条件下，第二次仍取到红球的概率。概率。1.5 事件的独立性事件的独立性v设A、B是随机试验E的两个事件，若P(A)0，则可定义P(B|A)，即A发生条件下的B发生的概率。v一般地，P(B)P(B|A)，即事件A发生对事件B发生的概率是有影响的。定义定义（P.24)设A、B是两个事件，若满足等式P(AB)P(A)P(B)则称事件A与事件B是相互独立的事件。性质性质 以下四件事等价：(1)事件A、B相互独立；定义定义(p24)若三个事件A、B、C同时满足下面四个等式：一般地，设A1，A2，An是n个事件个事件，若下面个等式同时成立：性质性质1:若事件若事件A A1 1，A A2 2，A An n(n1)(n1)相互独立，则其中任意相互独立，则其中任意k(kk(k n)n)个事件也相互独立个事件也相互独立。性质性质2:若事件若事件A A1 1，A A2 2，A An n(n1)(n1)相互独立，则将相互独立，则将A A1 1，A A2 2，A An n中任意中任意m(m(1 1 m m n)n)个事件换成它们的个事件换成它们的对立对立事件，事件，所得的所得的n n个事件仍相互独立个事件仍相互独立。注：注：通常事件的相互独立性是根据实际意义判断的。通常事件的相互独立性是根据实际意义判断的。注：互不相容事件，互逆事件，相互独立事件的异同注：互不相容事件，互逆事件，相互独立事件的异同 A、B互不相容表示互不相容表示A、B不能同时发生不能同时发生 A、B互逆表示互逆表示A、B不能同时发生且不能同时不发生不能同时发生且不能同时不发生 A、B相互独立表示两事件中一事件发生与否不影响另一相互独立表示两事件中一事件发生与否不影响另一事件的发生与否事件的发生与否事件独立性的应用举例事件独立性的应用举例1、加法公式的加法公式的简化简化：若事件A1，A2，An相互独立,则 2、乘法公式的乘法公式的简化简化：若事件A1，A2，An相互独立,则 例1.27 甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.9与0.8，求在一次射击中(每人各射一次)目标被击中的概率。解 设A，B分别表示甲、乙射中目标的事件，C表示目标被击中的事件，则P(A)=0.9，P(B)=0.8P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.9+0.8-0.90.8=0.98例1.28 设某种高射炮每次击中飞机的概率为0.2，问至少需要多少这种高炮同时独立发射(每门射一次)，才能使击中飞机的概率达到95%以上。第一章内容概要第一章内容概要一、事件及关系和运算一、事件及关系和运算随机试验、样本空间、事件的定义随机试验、样本空间、事件的定义事件之间的关系（包含，相等，和，积，互斥，对立）事件之间的关系（包含，相等，和，积，互斥，对立）关系运算律关系运算律二、概率的定义和性质二、概率的定义和性质统计定义、公理化定义（非负性，完备性，可列可加性）统计定义、公理化定义（非负性，完备性，可列可加性）性质（有限可加性、事件差、单调性、可补性、加法公式）性质（有限可加性、事件差、单调性、可补性、加法公式）三、概率的计算三、概率的计算古典概型：古典概型：条件概率：条件概率：全概率公式：全概率公式：贝叶斯公式：贝叶斯公式：四、独立性四、独立性事件的独立性：事件的独立性：P(AB)=P(A)P(B)v补充题：玻璃杯成箱出售，每箱玻璃杯成箱出售，每箱2020只，各箱次品数为只，各箱次品数为0 0，1 1，2 2只的概率分别为只的概率分别为0.80.8，0.10.1，0.10.1。一顾客欲买下一箱。一顾客欲买下一箱玻璃杯，售货员随机取出一箱，顾客开箱后取玻璃杯，售货员随机取出一箱，顾客开箱后取4 4只进只进行检查，若无次品则购买，否则退回，求：行检查，若无次品则购买，否则退回，求：(1).(1).顾客买下该箱玻璃杯的概率，顾客买下该箱玻璃杯的概率，(2)(2)顾客买下的一箱中，确实没有次品的概率。顾客买下的一箱中，确实没有次品的概率。