通项公式的求法

会计学1通项公式的求法通项公式的求法数列的通项公式数列的通项公式:是一个数列的第是一个数列的第n项项（即（即an）与项数）与项数n之间的之间的函数函数关系关系注：注：有的数列没有通项公式，有的数列没有通项公式，如：如：3，e，6；有的数列有的数列有多个通项公式有多个通项公式,如：如：下面谈一谈数列通项公式的常用求法：下面谈一谈数列通项公式的常用求法：第1页/共23页一、观察法（又叫猜想法，不完全归纳法）：一、观察法（又叫猜想法，不完全归纳法）：观察数列中各项与其序号间的关系，分解各观察数列中各项与其序号间的关系，分解各项中的变化部分与不变部分，再探索各项中项中的变化部分与不变部分，再探索各项中变化部分与序号间的关系，从而归纳出构成变化部分与序号间的关系，从而归纳出构成规律写出通项公式规律写出通项公式解：变形为：1011，1021，1031，1041，通项公式为：例1：数列9，99，999，9999，第2页/共23页练习练习.求数列求数列3，5，9，17，33，通项公式通项公式解：变形为：解：变形为：21+1，22+1，23+1，24+1，25+1，通项公式为：通项公式为：可见联想与转化是由已知认识未知的可见联想与转化是由已知认识未知的两种有效的思维方法。两种有效的思维方法。注意：用不完全归纳法，只从数列的有限项注意：用不完全归纳法，只从数列的有限项来归纳数列所有项的通项公式是不一定可靠来归纳数列所有项的通项公式是不一定可靠的，如的，如2，4，8，。可归纳成。可归纳成或或 者者两个不同的数列（两个不同的数列（便不同）便不同）第3页/共23页（1 1）若）若f(n)f(n)为常数为常数,即：即：a an+1n+1-a-an n=d,=d,此时数列为等差数列，则此时数列为等差数列，则a an n=a=a1 1+(n-1)d+(n-1)d（2 2）若）若f(n)f(n)为为n n的函数时，用累加的函数时，用累加法法.方法如下：方法如下：由由 a an+1n+1=a=an n+f(n)+f(n)得：得：当当n1n1时，有时，有 a an n=a=an-1n-1+f(n-1)+f(n-1)a an-1 n-1=a=an-2n-2+f(n-2)+f(n-2)a a3 3=a=a2 2 +f(2)+f(2)a a2 2 =a=a1 1 +f(1)+f(1)所以各式相加得所以各式相加得所以各式相加得所以各式相加得a a a an n n n-a-a-a-a1 1 1 1=f(n-1)+f(n-2)+=f(n-1)+f(n-2)+=f(n-1)+f(n-2)+=f(n-1)+f(n-2)+f(2)+f(1)+f(2)+f(1)+f(2)+f(1)+f(2)+f(1).一般地，对于型如一般地，对于型如 an+1=an+f(n)的通项公式，的通项公式，只要只要f(n)能进行求和，则宜采用此方法求解。能进行求和，则宜采用此方法求解。二二.叠加法叠加法(也称累加法）也称累加法）第4页/共23页即即当所给数列每依次相邻两项之间的差组成当所给数列每依次相邻两项之间的差组成等差或等比数列等差或等比数列时时,就可用累加法进行消元就可用累加法进行消元例2，求数列：1，3，6，10，15，21，的通项公式an解：两边相加得：第5页/共23页练习练习:已知数列已知数列an中中,a1=1,an+1-an=2n-n,求数列求数列an的通项公式。的通项公式。解：an -an-1=2n-1-(n-1)an-1-an-2=2n-2-(n-2)a3-a2 =22 -2 a2 -a1 =21 -1各式相加得，an=a1+(2n-1+2n-2+22+21)-(n-1)+(n-2)+2+1 =1+(2n-2)-n(n-1)/2 =2n-n(n-1)/2 1当n=1时，a1=2-0-1=1,故，an=2n _n(n-1)/2-1第6页/共23页已知已知,a a1 1=a=a，a an+1n+1=a=an n+f(n),+f(n),其中其中f(n)f(n)可以可以是关于是关于n n的一次函数、二次函数、的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项指数函数、分式函数，求通项.若若f(n)f(n)是关于是关于n n的一次函数，累加的一次函数，累加后可转化为等差数列求和后可转化为等差数列求和;若若f(n)f(n)是关于是关于n n的二次函数，累加的二次函数，累加后可分组求和后可分组求和;若若f(n)f(n)是关于是关于n n的指数函数，累加的指数函数，累加后可转化为等比数列求和后可转化为等比数列求和;若若f(n)f(n)是关于是关于n n的分式函数，累加的分式函数，累加后可裂项求后可裂项求和。和。和。和。备 注：第7页/共23页（1 1）当）当f(n)f(n)为常数为常数,即：即：（其中（其中q q是不为是不为0 0的数）的数）,此时此时,数列为等比数列，数列为等比数列，a an n=a=a1 1q qn-1n-1.（2 2）当）当f(n)f(n)为为n n的函数时的函数时,用累乘法用累乘法.由由 得得n1 n1 时，时，三三.叠乘法叠乘法对于型如：对于型如：a an+1n+1=f(n)=f(n)a an n 类的通项公式，当类的通项公式，当f(1)f(1)f(2)f(2)f(n)f(n)的值可以求得时，宜采用此方的值可以求得时，宜采用此方法。法。(也称累乘法、累积法）也称累乘法、累积法）当一个数列每依次相邻两项之商构成一个等比数列时，就可用累积法进行消元.第8页/共23页本题是关于本题是关于a an n和和a an+1n+1的二次齐次式，可以通过的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到因式分解（一般情况时用求根公式）得到a an n与与a an+1n+1的更为明显的关系式，从而求出的更为明显的关系式，从而求出.第9页/共23页四、四、Sn法法已知数列的前已知数列的前n项和公式，求通项公式的项和公式，求通项公式的基本方法是：基本方法是：注意：要先分注意：要先分n=1和和n1两种情况分别进行两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。运算，然后验证能否统一。第11页/共23页例例4已知下列两数列已知下列两数列的前的前n项和项和sn的公的公式，求式，求的通项公式。的通项公式。（1）（2）解：（1），当 时 由于 也适合于此等式 （2），当 时 由于 不适合于此等式 第12页/共23页第13页/共23页（1 1）若）若c=1c=1时，数列时，数列anan为等差数列为等差数列;（2 2）若）若d=0d=0时，数列时，数列anan为等比数列为等比数列;（3 3）若）若c c1 1且且d d0 0时，数列时，数列anan为线性递推数列，为线性递推数列，其通项可通过构造辅助数列来求其通项可通过构造辅助数列来求.方法方法1 1：待定系数法：待定系数法 设设a an+1n+1+m=c(a+m=c(an n+m),+m),得得a an+1n+1=c a=c an n+(c-1)m,+(c-1)m,与题设与题设a an+1n+1=c a=c an n+d,+d,比较系数得比较系数得:(c-1)m=d,:(c-1)m=d,所以有：所以有：m=d/(c-1)m=d/(c-1)因此数列因此数列 构成以构成以 为首项，以为首项，以c c为公比的等比数列，为公比的等比数列，五五.辅助数列法辅助数列法这种方法类似于换元法这种方法类似于换元法,主要用于形如主要用于形如a an+1n+1=ca=can n+d+d(c(c0,a0,a1 1=a)=a)的已知递推关系式求通项公式。的已知递推关系式求通项公式。（构造法或待定系数法）（构造法或待定系数法）第14页/共23页.第15页/共23页例例5.5.已知数列已知数列aan n 中，中，a a1 1=3,a=3,an+1n+1=2a=2an n+3,+3,求数列的通项公式求数列的通项公式解法解法1 1：由由a an+1n+1=2a=2an n+3+3得得 a an+1n+1+3=2+3=2（a an n+3+3）所以所以aan n+3+3是以是以a a1 1+3+3为首项，以为首项，以2 2为公比的等为公比的等比数列，所以比数列，所以:a:an n+3=+3=（a a1 1+3+3）2 2n-1n-1故故a an n=6=62 2n-1n-1-3-3解法解法2 2：因为因为a an+1n+1=2a=2an n+3+3，所以，所以n1n1时，时，a an n=2a=2an-1n-1+3+3，两式相减，得：，两式相减，得：a an+1 n+1-a-an n=2(a=2(an n-a-an-1n-1).).故故aan n-a-an-1n-1 是以是以a a2 2-a-a1 1=6=6为首项，以为首项，以2 2为公比的等比数列为公比的等比数列.a an n-a-an-1n-1=(a=(a2 2-a-a1 1)2 2n-1n-1=62=62n-1n-1,a an n=(a=(an n-a-an-1n-1)+(a)+(an-1n-1-a-an-2n-2)+)+(a+(a2 2-a-a1 1)+a)+a1 1 =6(2=6(2n-1n-1-1)+3=3(2-1)+3=3(2n-1n-1-1)-1)第17页/共23页第18页/共23页 六、待定系数法：六、待定系数法：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列项和公式为某一多项式，一般地，若数列为等差数列：则为等差数列：则，或是或是（b、为常数），、为常数），若数列若数列为为等比数列，则等比数列，则，或或。第19页/共23页例6已知数列 的前n项和为 ，若 为等差数列，求p与 。解：为等差数列 第20页/共23页例例.已知数列已知数列aan n 中，中，a a1 1=1,=1,a an+1n+1-3a-3an+1n+1a an n-a-an n=0,=0,求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式.第21页/共23页第22页/共23页