工程力学：第10章 能量方法

第十章 能量方法2024/2/201材料力学弹性体在外力作用下发生变形时，载荷作用点也产生位移。外力在弹性体在外力作用下发生变形时，载荷作用点也产生位移。外力在相应的位移上作了功。外力的功转化成为积蓄在弹性体内的相应的位移上作了功。外力的功转化成为积蓄在弹性体内的变形能变形能（或称为（或称为应变能应变能,Strain energy）。）。牛顿力学牛顿力学(矢量力学）矢量力学）拉格郎日力学拉格郎日力学（能量原理）（能量原理）力学的三个基本原理力学的三个基本原理1，力的平衡关系，力的平衡关系2，变形几何协调关系，变形几何协调关系3，力与变形的关系，力与变形的关系能量原理能量原理能量极值原理能量极值原理直接法直接法微分方程微分方程代数方程代数方程 10.1 概述概述2024/2/202材料力学一、轴向拉伸或压缩一、轴向拉伸或压缩PLLoBLPA式中式中 轴力，轴力，A 截面面积截面面积 10.2 应变能的计算公式及其特征应变能的计算公式及其特征2024/2/203材料力学由拉压杆件组成的杆系的变形能：由拉压杆件组成的杆系的变形能：P12345受力复杂杆受力复杂杆(轴力沿杆的轴线变化轴力沿杆的轴线变化)的变形能的变形能qLxdx应变能密度（单位体积内的应变能）应变能密度（单位体积内的应变能）2024/2/204材料力学2 2、圆截面杆的扭转、圆截面杆的扭转TLToBTA圆截面杆的变形能圆截面杆的变形能式中式中 T 圆杆横截面上的扭矩；圆杆横截面上的扭矩；圆杆横截面对圆心的极惯性矩。圆杆横截面对圆心的极惯性矩。2024/2/205材料力学受力复杂的圆截面杆受力复杂的圆截面杆(扭矩沿杆的轴线为变量扭矩沿杆的轴线为变量)xdxLtAB2024/2/206材料力学3 3、平面弯曲、平面弯曲纯弯曲梁的变形能：纯弯曲梁的变形能：式中式中 M梁横截面上的弯矩；梁横截面上的弯矩；I梁横截面对中性轴的惯性矩梁横截面对中性轴的惯性矩LMMoBAM2024/2/207材料力学横力弯曲梁横力弯曲梁(弯矩沿梁的轴线为变量弯矩沿梁的轴线为变量)的变形能的变形能PM=PaACBaa2024/2/208材料力学式中式中一般实心截面的细长梁一般实心截面的细长梁:剪切变形能远小于其弯曲变形能，通常忽剪切变形能远小于其弯曲变形能，通常忽略不计。略不计。k 由截面的几何形状决定由截面的几何形状决定:矩形截面矩形截面:k=1.2,圆截面圆截面:k=10/9,圆环形截面圆环形截面:k=2。4 4、剪切、剪切横力弯曲梁上的剪切应变能横力弯曲梁上的剪切应变能2024/2/209材料力学L产生组合变形时的应变能产生组合变形时的应变能注意：注意：应变能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理在应变能计应变能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理在应变能计算中不能使用；算中不能使用；弹性应变能与加载的次序无关。弹性应变能与加载的次序无关。2024/2/2010材料力学例例10-1 计算图示梁的应变能。计算图示梁的应变能。AMBEIC2l/3l/3解：解：方法方法1：利用功能原理：利用功能原理（1）首先求出外力偶作用处）首先求出外力偶作用处C截面的转角截面的转角（2）由功能原理，则外力偶作的功等于梁的变形能）由功能原理，则外力偶作的功等于梁的变形能2024/2/2011材料力学（2）求弯曲应变能）求弯曲应变能方法方法2：利用应变能公式：利用应变能公式AMBEICx2x1M/lM/l（1）梁的弯矩方程）梁的弯矩方程2024/2/2012材料力学 10.3 应变能的普遍表达式应变能的普遍表达式PoB A 基本变形下变形能的一般表达式：基本变形下变形能的一般表达式：式中式中P广义力广义力(力或力偶力或力偶)；广义位移广义位移(线位移或角位移线位移或角位移)且且 P=C。弹性体的变形能决定于外力和位移的最终值，与加载的过程无关。弹性体的变形能决定于外力和位移的最终值，与加载的过程无关。2024/2/2013材料力学应变能的普遍表达式应变能的普遍表达式(克拉贝依隆原理克拉贝依隆原理)线弹性材料线弹性材料2024/2/2014材料力学 广义力，力或力偶，或一对力，或一对力偶。广义力，力或力偶，或一对力，或一对力偶。特别注意点：特别注意点：在所有力共同作用下与广义力在所有力共同作用下与广义力 相对应的沿着力的相对应的沿着力的方向的广义位移。方向的广义位移。关于应变能计算的讨论：关于应变能计算的讨论：1、以上计算公式仅适用于线弹性材料在小变形下的应变、以上计算公式仅适用于线弹性材料在小变形下的应变能的计算。能的计算。2、应变能可以通过外力功计算，也可以通过杆件微段上、应变能可以通过外力功计算，也可以通过杆件微段上的内力功等于微段的应变能，然后积分求得整个杆件上的内力功等于微段的应变能，然后积分求得整个杆件上的应变能。的应变能。2024/2/2015材料力学3应变能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理在应变能应变能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理在应变能4计算中不能使用。只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移计算中不能使用。只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移5上不做功时，才可应用。上不做功时，才可应用。4 应变能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关，在杆系结构中，应变能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关，在杆系结构中，各杆可独立选取坐标系。各杆可独立选取坐标系。2024/2/2016材料力学 10.4 功的互等定理和位移互等定理功的互等定理和位移互等定理位移的第一个下标表示点的位置，第二个下标表示产生此位移的力位移的第一个下标表示点的位置，第二个下标表示产生此位移的力1，在梁上先作用，在梁上先作用F1，再作用再作用F2，2，在梁上先作用，在梁上先作用F2，再作用再作用F1，由于由于V=W1W2所以所以 F112F221（1）（2）1121F1（2）（1）1222F2（1）（2）1122F1F212（1）（2）1122F121F22024/2/2017材料力学上式表示，上式表示，F1（或第一组广义力）在由或第一组广义力）在由F2（或第二组广义力）所或第二组广义力）所引起的位移上做的功，等于引起的位移上做的功，等于F2（或第二组广义力）在由或第二组广义力）在由F1（或第或第一组广义力）所引起的位移上做的功。这就是一组广义力）所引起的位移上做的功。这就是功的互等定理功的互等定理如果进一步假设如果进一步假设F1F2，那么得到那么得到 上式可以叙述为，一个力作用于点（上式可以叙述为，一个力作用于点（2）时在点（）时在点（1）引起的位移，）引起的位移，等于同一个力作用于点（等于同一个力作用于点（1）时在点（）时在点（2）引起的位移。这也就是）引起的位移。这也就是位移互等定理。位移互等定理。F112F2212024/2/2018材料力学 表示位移，则有表示位移，则有 若令若令（即为单位力），且此时用（即为单位力），且此时用由于由于1、2两截面是任意的，故上述关系可写为以下一般形式两截面是任意的，故上述关系可写为以下一般形式 即即j处作用的单位力在处作用的单位力在i处产生的位移，等于处产生的位移，等于i处作用的单位力在处作用的单位力在j处产生的位移。处产生的位移。上述互等定理中的力和位移泛指广义力和广义位移上述互等定理中的力和位移泛指广义力和广义位移 2024/2/2019材料力学设在某弹性体上作用有外力设在某弹性体上作用有外力，在支承约束下，在支承约束下在相应的力在相应的力 方向产生的位移为方向产生的位移为，(i=1,2,n)。可以证明：可以证明：10.5 卡氏定理卡氏定理2024/2/2020材料力学 应用卡氏定理求出应用卡氏定理求出 为正时，表示该广义位移与其相应的广义力作为正时，表示该广义位移与其相应的广义力作用的方向一致；若为负值，则表示方向相反。用的方向一致；若为负值，则表示方向相反。注意：只有当弹性系统为线性，即其位移与载荷成线性关注意：只有当弹性系统为线性，即其位移与载荷成线性关系时，才能应用卡氏定理。系时，才能应用卡氏定理。2024/2/2021材料力学证明：证明：总应变能为：总应变能为：考虑两种不同的加载次序。考虑两种不同的加载次序。(1)先加先加 ，此时弹性体的变形能为，此时弹性体的变形能为V：然后给广义力然后给广义力Fi加一个增量加一个增量dFi，则有则有2024/2/2022材料力学先加先加dFi，然后再加各广义力，然后再加各广义力F1,F2,Fn系统应变能为系统应变能为材料服从虎克定律，小变形线弹性应变能与加载次序无关材料服从虎克定律，小变形线弹性应变能与加载次序无关 略去二阶微量略去二阶微量 2024/2/2023材料力学卡氏定理的特殊形式卡氏定理的特殊形式(1)轴向拉伸或压缩杆轴向拉伸或压缩杆(2)扭转圆杆扭转圆杆(3)平面弯曲梁平面弯曲梁(4)组合变形杆件组合变形杆件2024/2/2024材料力学(5)简单桁架结构简单桁架结构计算结构某处的位移时，该处应有与所求位移相应的外力计算结构某处的位移时，该处应有与所求位移相应的外力作用，如果这种外力不存在，可在该处附加虚设的外力作用，如果这种外力不存在，可在该处附加虚设的外力 ，从而仍然可以采用卡氏定理求解。从而仍然可以采用卡氏定理求解。2024/2/2025材料力学CFABl/2l/2例例10-2 试用卡氏定理求简支梁中点挠度。试用卡氏定理求简支梁中点挠度。解：由于对于中点的对称性，只需解：由于对于中点的对称性，只需考虑考虑AC段的应变能。段的应变能。根据卡氏定理，根据卡氏定理，C点挠度为点挠度为2024/2/2026材料力学xyALq 例例10-3 试用卡氏定理求图示悬臂梁端点试用卡氏定理求图示悬臂梁端点A的挠度和转角。的挠度和转角。FfAqMfAq解：为了求解：为了求A点挠度和转角，设点挠度和转角，设有虚拟力有虚拟力Ff 和力偶矩和力偶矩Mf 作用。作用。最后令虚拟力为零。最后令虚拟力为零。答案的负号表示位移与答案的负号表示位移与虚拟力方向相反。虚拟力方向相反。2024/2/2027材料力学 例例10-4 图示桁架各杆的材料相，截面面积相等，在载荷图示桁架各杆的材料相，截面面积相等，在载荷P作用作用下，试求节点下，试求节点B与与D间的相对位移。间的相对位移。解：在解：在B、D连线方向作用一对虚加力连线方向作用一对虚加力Ff 桁架在载荷桁架在载荷P与一对虚加力与一对虚加力Ff 共同作用下共同作用下 2024/2/2028材料力学用卡氏定理求用卡氏定理求B点沿点沿BD方向的位移方向的位移 令上式中的令上式中的Ff为零为零 方向为方向为B向向D靠近靠近2024/2/2029材料力学一、虚功原理一、虚功原理1 1、刚体、刚体虚位移虚位移 满足约束条件的假想的任意微小位移。满足约束条件的假想的任意微小位移。虚位移原理虚位移原理 作用于刚体上的力对于任何虚位移所作的总功等作用于刚体上的力对于任何虚位移所作的总功等于零（平衡的必要和充分条件）。于零（平衡的必要和充分条件）。10.6 虚功原理及单位载荷法虚功原理及单位载荷法2024/2/2030材料力学材料力学2 2、可变形固体、可变形固体 满足约束条件和变形连续条件的假想的任意微小位移。满足约束条件和变形连续条件的假想的任意微小位移。外力作用下，物体产生变形的同时产生内力外力作用下，物体产生变形的同时产生内力虚位移虚位移 虚位移原理虚位移原理外力和内力对于虚位移所作的总虚功等于零外力和内力对于虚位移所作的总虚功等于零（平衡的充要条件），即（平衡的充要条件），即We（外力虚功）外力虚功）Wi（内力虚功）内力虚功）02024/2/2031材料力学材料力学3 3、梁的虚位移原理梁的虚位移原理 图图a所示的位移为由载荷产生所示的位移为由载荷产生的实际位移，简称的实际位移，简称实位移实位移。载荷。载荷对于其相应位移上所作的功为实对于其相应位移上所作的功为实功。图功。图b所示的位移为梁的虚位移，所示的位移为梁的虚位移，它是满足约束条件和变形连续条它是满足约束条件和变形连续条件的假想的任意微小位移，与梁件的假想的任意微小位移，与梁上的载荷及其内力完全无关。上的载荷及其内力完全无关。(a)x 实际位移实际挠曲线lxdxy(b)x 虚位移虚设挠曲线lxdxy2024/2/2032材料力学材料力学 梁上广义力 的作用点沿其作用方向的虚位移分别为 外力对于虚位移所作的总虚功为外力对于虚位移所作的总虚功为 (a)外力虚功外力虚功(b)x 虚位移虚设挠曲线lxdxy(b)内力虚功内力虚功 取梁的取梁的dx微段进行分析。图微段进行分析。图c为微段的原始位置，其上面各力均由为微段的原始位置，其上面各力均由载荷产生，它们为梁的内力，也是微段的外力。载荷产生，它们为梁的内力，也是微段的外力。2024/2/2033材料力学材料力学（图d 的实线）由于梁的虚位移，使微段位移至图由于梁的虚位移，使微段位移至图d d 所示位置。微段的虚位移可分为两部所示位置。微段的虚位移可分为两部分：分：暂不计微段的变形，由于梁的其它部分的变形，而引暂不计微段的变形，由于梁的其它部分的变形，而引起的微段的虚位移，微段由起的微段的虚位移，微段由abcd 位置移至位置移至 。一为刚性体位移一为刚性体位移。(d)(b)x 虚位移虚设挠曲线lxdxyQQ+dQ2024/2/2034材料力学材料力学 由于微段本身的虚变形而引起的位移，使微段由 移到 （图d的虚线）。变形虚位移包括由弯曲和剪切产生的两部分，如图(e)和图(f)所示。二为变形虚位移二为变形虚位移。(d)(b)x 虚位移虚设挠曲线lxdxyQQ+dQ2024/2/2035材料力学材料力学(b)由由刚刚体虚位移原理可知，所有外力体虚位移原理可知，所有外力对对于微段的于微段的刚刚体虚位移所作的体虚位移所作的总总虚功等于零。虚功等于零。M、对于变形虚位移（图e,f），所做的虚功为2024/2/2036材料力学材料力学(b)式为微段的外力虚功式为微段的外力虚功dWe(M、Q 对微段来讲是外力），设对微段来讲是外力），设微段的内力虚功为微段的内力虚功为dWi。由变形固体的虚位移原理，即由变形固体的虚位移原理，即 (c)梁的总内力虚功为梁的总内力虚功为 (d)将将(a),(da),(d)式代入，得梁的式代入，得梁的虚功原理表达式虚功原理表达式为为即2024/2/2037材料力学材料力学 组合变形时，杆横截面上的内力一般有弯矩M，剪力Q，轴力N及扭矩T。与轴力相应的虚变形位移为沿轴力方向的线位移dd，与扭矩相应的虚变形位移为扭转角 d。仿照梁的虚位移原理，可得组合变形时的虚位移原理表达式为 4 4、组合变形的虚位移原理组合变形的虚位移原理 由于以上分析中没有涉及材料的物理性质，式适用于弹性体和非弹性体问题。2024/2/2038材料力学材料力学 (1)因为由载荷引起的位移，满足约束条件和变形连续条件，且为微小位移，满足可变形固体的虚位移条件。因此，可以把由载荷引起的实际位移D，作为虚位移。由载荷引起的微段的变形d,dl,dd,d 作为变形虚位移。即以实际位移作为虚位移，实际变形作为变形虚位移。以实际位移作为虚位移，实际变形作为变形虚位移。(2)若要确定在载荷作用下杆件上某一截面沿某一指定方向的实际位移D，可在该处施加一个相应的单位力，并以此作为单位载荷。即以虚设单位以虚设单位力作为载荷力作为载荷。由单位力引起的内力记为 。二、单位载荷法二、单位载荷法2024/2/2039材料力学材料力学（3）单位力所做的外力虚功为 We=1D单位力法的虚功原理表达式为单位力法的虚功原理表达式为该式适用于弹性体和非弹性体问题。该式适用于弹性体和非弹性体问题。单位力在杆件上产生的内力做的虚功为单位力在杆件上产生的内力做的虚功为2024/2/2040材料力学材料力学 以抗弯为主的杆件，轴力和剪力影响可以不计以抗弯为主的杆件，轴力和剪力影响可以不计 只有轴力的杆件只有轴力的杆件 对有对有n根杆的杆系根杆的杆系受扭杆件某一截面的扭受扭杆件某一截面的扭转转角角以上诸式称为以上诸式称为莫尔定理莫尔定理，式中积分称为莫尔积分，式中积分称为莫尔积分.2024/2/2041材料力学 若材料是线弹性的若材料是线弹性的 虚功原理表示为虚功原理表示为以上诸式只适用于线弹性体以上诸式只适用于线弹性体2024/2/2042材料力学 在在C 截面处施加单位力（图截面处施加单位力（图 b），），由载荷及单位力引起的弯矩方程分由载荷及单位力引起的弯矩方程分别为别为 (0 x l)(a)例例 10-5 梁的弯曲刚度为梁的弯曲刚度为EI，不计剪力对位移的影响。试用不计剪力对位移的影响。试用单位载单位载荷法荷法求求 。(0 x l/2)(b)解：解：1.求2024/2/2043材料力学材料力学因为 均关于C 截面对称的，故C 截面的挠度为（和单位力方向一致）（和单位力方向一致）（）2024/2/2044材料力学材料力学A截面处的转角为截面处的转角为（）（和单位力偶的转向相反）（和单位力偶的转向相反）在在 A 截面处加单位力偶（图截面处加单位力偶（图c），），单位力偶引起的弯矩方单位力偶引起的弯矩方程为程为(0 x l)(c)2.求2024/2/2045材料力学材料力学 例例10-6 平面刚架如图所示。刚架各部分截面相同，试求截面平面刚架如图所示。刚架各部分截面相同，试求截面A的转角。的转角。3l4lABCDP解：各杆的弯矩方程为解：各杆的弯矩方程为 设梁上设梁上A处单独作用一单位力偶处单独作用一单位力偶 ABCDPx1x3x2ABCD1x1x3x22024/2/2046材料力学转角的方向与单位力偶方向相同。转角的方向与单位力偶方向相同。2024/2/2047材料力学