第五章 第5讲 不等式的应用

考纲要求考纲研读1.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题2会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.近几年的高考试题增强了对密切联系生产和生活实际的应用性问题的考查力度主要有两种方式：(1)线性规划问题：求给定可行域的面积；求给定可行域的最优解；求目标函数中参数的范围(2)基本不等式的应用：一是侧重“正”、“定”、“等”条件的满足条件；二是用于求函数或数列的最值.第5讲不等式的应用1如果 a，bR，那么 a2b2_(当且仅当 ab 时取“”号)2ab2如果 a，b 是正数，那么ab2_(当且仅当 ab 时取“”号)3可以将两个字母的重要不等式推广：_.以上不等式从左至右分别为：调和平均数(记作 H)，几何平均数(记作 G)，算术平均数(记作 A)，平方平均数(记作 Q)，即HGAQ，各不等式中等号成立的条件都是 ab.4常用不等式还有：abbcca(1)a，b，cR，a2b2c2_(当且仅当 abc 时，取等号)1某债券市场常年发行三种债券，A 种面值为 1 000 元，一年到期本息和为 1 040 元；B 种贴水债券面值为 1 000 元，但买入价为 960 元，一年到期本息和为 1 000 元；C 种面值为 1 000 元，半年到期本息和为 1 020 元设这三种债券的年收益率分别为 a，b，c，则 a，b，c 的大小关系是()CAac 且 abCacbBabcDcab33建造一个容积为 8 m3，深为 2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为 180 元和 80 元，那么水池的最低总造价为_.2 0005一批货物随 17 列货车从 A 市以 v 千米/小时匀速直达 B 市，已知两地路线长 400 千米，为了安全两辆货车最小间距不得小于 千米，那么物资运到 B 市的时间关于货车速度的函数关系式应为_4已知函数 f(x)xax2(x2)的图象过点 A(3,7)，则此函数的最小值是_.6考点1利用不等式进行优化设计例1：设计一幅宣传画，要求画面面积 4 840 cm2，画面的上，下各留 8 cm 的空白，左右各留 5 cm 的空白怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张最小？利用不等式解实际问题时，首先要认真审题，分析题意，建立合理的不等式模型，最后通过基本不等式解题注意最常用的两种题型：积一定，和最小；和一定，积最大【互动探究】1某村计划建造一个室内面积为 800 m2 的矩形蔬菜温室在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道，沿前侧)D内墙保留 3 m 宽的空地则最大种植面积是(A218 m2B388 m2C468 m2D648 m2考点2 线性规划进行优化设计例2：央视为改版后的非常 61栏目播放两套宣传片其中宣传片甲播映时间为 3 分 30 秒，广告时间为 30 秒，收视观众为 60 万，宣传片乙播映时间为 1 分钟，广告时间为 1 分钟，收视观众为 20 万广告公司规定每周至少有 3.5 分钟广告，而电视台每周只能为该栏目宣传片提供不多于 16 分钟的节目时间电视台每周应播映两套宣传片各多少次，才能使得收视观众最多？解析：设电视台每周应播映宣传片甲x 次，宣传片乙y 次，4x2y16，总收视观众为z 万人则有如下条件：0.5xy3.5，x，yN.目标函数z60 x20y，作出满足条件的区域：如图D10.图D10由图解法可得：当x3，y2 时，zmax220.答：电视台每周应播映宣传片甲3 次，宣传片乙2 次才能使得收视观众最多利用线性规划研究实际问题的基本步骤是：应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数；用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解；还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解本题完全利用图象，对作图的准确性和精确度要求很高，在现实中很难做到，为了得到准确的答案，建议求出所有边界的交点代入检验【互动探究】4考点3 用基本不等式处理实际问题例3：(2011 年湖北3月模拟)某企业用49万元引进一条年产值 25 万元的生产线，为维护该生产线正常运转，第一年需要各种费用 6 万元，从第二年起，每年所需各种费用均比上一年增加 2万元(1)该生产线投产后第几年开始盈利(即投产以来总收入减去成本及各年所需费用之差为正值)?(2)该生产线生产若干年后，处理方案有两种：方案：年平均盈利达到最大值时，以 18 万元的价格卖出；方案：盈利总额达到最大值时，以 9 万元的价格卖出问：哪一种方案较为合算？请说明理由解题思路：根据题意建立函数模型，利用基本不等式求解当n7 时，年平均盈利最大若此时卖出，共获利671860(万元)方案：yn220n49(n10)251.当且仅当n10 时，即该生产线投产后第10 年盈利总额最大，若此时卖出，共获利51960(万元)两种方案获利相等，但方案所需的时间长，方案较合算【互动探究】3(2011 年北京)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备产品每天的仓储费用为 1 元为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A60 件B80 件C100 件D120 件答案：B易错、易混、易漏10利用基本不等式时忽略等号成立的条件例题：某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 162 平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图 551)，如果池四周围墙建造单价为 400 元/米，中间两道隔墙建造单价为 248元/米，池底建造单价为 80 元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计图 551(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过 16 米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价【失误与防范】利用均值不等式时要注意符号成立的条件及题目的限制条件数学应用问题，就是指用数学的方法将一个表面上非数学问题或非完全的数学问题转化成完全形式化的数学问题随着新课程标准的改革和素质教育的进一步推进，要求学生应用所学知识解决实际问题的趋势日益明显，近几年的高考试题增强了对密切联系生产和生活实际的应用性问题的考察力度而以不等式为模型的应用题是最常见的题型之一，有关统筹安排、最佳决策、最优化问题以及涉及最值等的实际问题，常常建立不等式模型求解应用基本不等式应遵循“一正”、“二定”、“三相等”三项基本原则，尤其等号能否成立最容易忽视，如果等号不能成立则考虑利用函数的单调性求解