正态分布 课件.ppt

2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页2.4 正 态 分 布 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页 X 0 1P 1-p p 1 1 1nnC p q 0n nnC p q0 0 nnC p q k k n knC p q X 0 1 k nP 0 nM N MnNC CC 1 1nM N MnNC CC k n kM N MnNC CC 0nM N MnNC CC X 0 1 k nP 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页 复 习 与 思 考1.由 函 数 及 直 线 围 成 的 曲 边 梯 形 的 面 积 S=_； ( )ba f x dx xyO a b( ) , , 0y f x x a x b y 2. 在 我 班 同 学 身 高 频 率 分 布 直 方 图 中 区 间 （ a,b） 对 应 的 图 形 的 面 积 表 示_， 在 频 率 分 布 直 方 图 中 ，所 有 小 矩 形 的 面 积 的 和为 _1 身 高 在 区 间 (a,b) 内 取 值 的 频 率 a b 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.39 25.4225.47 25.35 25.41 25.43 25.44 25.48 25.45 25.4325.46 25.40 25.51 25.45 25.40 25.39 25.41 25.3625.38 25.31 25.43 25.40 25.38 25.37 25.4425.33 25.46 25.40 25.49 25.34 25.42 25.50 25.3725.35 25.32 25.45 25.40 25.43 25.54 25.3925.45 25.43 25.40 25.43 25.44 25.41 25.53 25.3725.38 25.24 25.44 25.40 25.36 25.42 25.39 25.4625.38 25.35 25.31 25.34 25.40 25.36 25.41 25.3225.38 25.42 25.40 25.33 25.37 25.41 25.49 25.3525.47 25.34 25.30 25.39 25.36 25.46 25.29 25.4025.37 25.33 25.40 25.35 25.41 25.37 25.47 25.3925.42 25.47 25.38 25.39 某 钢 铁 加 工 厂 生 产 内 径 为 25.40mm的 钢 管 ,为 了检 验 产 品 的 质 量 ,从 一 批 产 品 中 任 取 100件 检 测 ,测得 它 们 的 实 际 尺 寸 如 下 :(一 )创 设 情 境 1 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页 列 出 频 率 分 布 表 分 组 频 数 频 率 累 积 频 率 频 率 /组 距25.23525.265 1 0.01 0.01 0.000925.26525.295 2 0.02 0.03 0.001825.29525.325 5 0.05 0.08 0.004525. 32525.355 12 0.12 0.20 0.010925.35525.385 18 0.18 0.38 0.016425.38525.415 25 0.25 0.63 0.022725.41525.445 16 0.16 0.79 0.014525.44525.475 13 0.13 0.92 0.011825.47525.505 4 0.04 0.96 0.003625.50525.535 2 0.02 0.98 0.0018 25.53525.565 2 0.02 1.00 0.0018合 计 100 1.00 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页100件 产 品 尺 寸 的 频 率 分 布 直 方 图25.235 25.295 25.355 25.415 25.475 25.535 产 品 内 径 尺 寸 /mm频 率组 距 25.265 25.325 25.385 25.445 25.505 25.565o2468 频 率 分 布 直 方 图 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页 xy0 频 数组 距 200件 产 品 尺 寸 的 频 率 分 布 直 方 图 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页 产 品 内 径 尺 寸 /mm频 率组 距o2468 样 本 容 量 增 大 时 频 率 分 布 直 方 图正态曲线 可 以 看 出 ,当 样 本 容 量 无 限 大 ,分 组 的 组 距无 限 缩 小 时 ,这 个 频 率 直 方 图 上 面 的 折 线 就 会 无限 接 近 于 一 条 光 滑 曲 线 -正 态 曲 线 . 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页 引 入 正 态 分 布 在 统 计 学 中 是 很 重 要 的 分 布 。 我 们 知道 ， 离 散 型 随 机 变 量 最 多 取 可 列 个 不 同 值 ， 它 等 于某 一 特 定 实 数 的 概 率 可 能 大 于 0， 人 们 感 兴 趣 的 是它 取 某 些 特 定 值 的 概 率 ， 即 感 兴 趣 的 是 其 分 布 列 ；连 续 型 随 机 变 量 可 能 取 某 个 区 间 上 的 任 何 值 ， 它 等于 任 何 一 个 实 数 的 概 率 都 为 0， 所 以 通 常 感 兴 趣 的是 它 落 在 某 个 区 间 的 概 率 。 离 散 型 随 机 变 量 的 概 率分 布 规 律 用 分 布 列 描 述 ， 而 连 续 型 随 机 变 量 的 概 率分 布 规 律 用 密 度 函 数 （ 曲 线 ） 描 述 。 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页 14.2 图., .,. 14.2? 的 某 一 球 槽 内最 后 掉 入 高 尔 顿 板 下 方与 层 层 小 木 块 碰 撞 程 中小 球 在 下 落 过通 道 口 落 下 上 方 的让 一 个 小 球 从 高 尔 顿 板前 面 挡 有 一 块 玻 璃隙 作 为 通 道 空小 木 块 之 间 留 有 适 当 的木 块 形 小柱互 平 行 但 相 互 错 开 的 圆 排 相在 一 块 木 板 上 钉 上 若 干图 板 示 意所 示 的 就 是 一 块 高 尔 顿图你 见 过 高 尔 顿 板 吗 ?. , ,. ,球 槽 的 个 数 多 少 球 掉 入 各槽 的 堆 积 高 度 反 映 了 小各 个 球会 越 来 越 高 堆 积 的 高 度 也越 来 越 多数 就各 个 球 槽 内 的 小 球 的 个 掉 入随 着 试 验 次 数 的 增 加重 复 进 行 高 尔 顿 板 试 验中 第 几 号 球 槽就 可 以 考 察 到 底 是 落 在如 果 把 球 槽 编 号 演 示 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页 .34.2, 图线会 越 来 越 像 一 条 钟 形 曲 这 个 频 率 直 方 图 的 形 状随 着 重 复 次 数 的 增 加 :)(下列函数的图象或近似地这条曲线就是 ,x,e21x 222 x, ., x.0 ,简称图象为的我们称为参数和其中实数正态分布密度曲线正态曲线34.2 图O x y 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页 x yo 44.2 图 dxxbXaP b,aX. X,1 X, , ba , 的 概 率 为落 在 区 间个 随 机 变 量 是 一则接 触 时 的 坐 标次 与 高 尔 顿 板 底 部球 第 表 示 落 下 的 小用宽 度 其 刻 度 单 位 为 球 槽 的轴 底 部 建 立 一 个 水 平 坐 标并 沿 其中 最 下 边 的 球 槽如 果 去 掉 高 尔 顿 板 试 验 .b,aX), 44.2(x ,x0,b0,a, 的 概 率 的 近 似 值落 在 区 间就 是分 的 面 积 中 阴 影 部图面 积轴 所 围 成 的 平 面 图 形 的及 轴 的 垂 线的 两 条和 点过 点即 由 正 态 曲 线 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页 .,NX ,X.,N , ).ondistributinormal(X ,dxxbXaP X,ba, 22 ba ,为则记服从正态分布如果随机变量记作因此正态分布常确定和态分布完全由参数正的分布为则称满足随机变量如果对于任何实数一般地 正态分布 ., ; ,计可以用样本标准差去估小的特征数动大是衡量随机变量总体波用样本均值去估计可以平的特征数是反映随机变量取值水参数 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页221(1) ( ) , ( , )2 xx e x 2( 1)81(2) ( ) , ( , )2 2 xx e x 例 1 给 出 下 列 两 个 正 态 总 体 的 函 数 表 达 式 ， 请 找 出其 均 值 m和 标 准 差 s 说 明 ： 当 m0 , s 1时 ， X 服 从 标 准 正 态 分 布记 为 XN (0 , 1) m0 , s 1m1 , s 2变 式 训 练 1若 一 个 正 态 分 布 的 密 度 函 数 是 一 个 偶 函 数 且 该 函 数 与 y轴 交 于 点 ， 求 该 函 数 的 解 析 式 。 1(0, )4 2 2321( ) , ( , )4 2 xx e x 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页 例 2、 下 列 函 数 是 正 态 密 度 函 数 的 是 （ ） A. B. C. D. 22( )21( ) , , ( 0)2 xf x e ms m s ss 都 是 实 数222( ) 2 xf x e 2( 1)41( ) 2 2 xf x e 221( ) 2 xf x e B 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页 ., X 1, , ., , 布所 以 它 近 似 服 从 正 态 分果 撞 的 结是 众 多 随 机 碰底 部 接 触 时 的 坐 标 次 与 高 尔 顿 板因 此 小 球 第向 左 或 向 右 下 落 球 随 机 地每 次 碰 撞 的 结 果 使 得 小木 板 碰 撞 多 小小 球 下 落 过 程 中 要 与 众验 中尔 顿 板 试 例 如 高态 分 布它 就 服 从 或 近 似 服 从 正之 和 然 因 素 作 用 结 果次 的 偶不 相 干 的 、 不 分 主 多 的 、 互一 个 随 机 变 量 如 果 是 众经 验 表 明 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页 在 实 际 遇 到 的 许 多 随 机 现 象 都 服 从 或 近 似 服 从 正 态 分 布 ：在生产中， 在 正 常 生 产 条 件 下 各 种 产 品 的 质 量 指 标 ； 在测量中， 测 量 结 果 ； 在生物学中， 同 一 群 体 的 某 一 特 征 ； ； 在气象中， 某 地 每 年 七 月 份 的 平 均 气 温 、 平 均 湿 度 以 及 降 雨 量 等 ， 水 文 中 的 水 位 ； 总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。正态分布在概率和统计中占有重要地位。 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页 正 态 曲 线 的 特 点 正 态 曲 线 .gsp xyO（ 1） 曲 线 在 x轴 的 上 方 ， 与 x轴 不 相 交 .（ 2） 曲 线 是 单 峰 的 ,它 关 于 直 线 x=m对 称 .（ 4） 曲 线 与 x轴 之 间 的 面 积 为 1（ 3） 曲 线 在 x=处 达 到 峰 值 (最 高 点 ) 1 2 x=m曲 线 的 位 置 、 对 称 性 、 最 高 点 、 与 x轴 围 成 的 面 积 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页 0.5 1 2O =-1 0 1O 正 态 曲 线 的 特 点（ 6） 当 一 定 时 ， 曲 线 的 形 状 由 确 定 .越 大 ， 曲 线 越 “ 矮 胖 ” ， 表 示 总 体 的 分 布 越 分 散 ；越 小 ， 曲 线 越 “ 瘦 高 ” ， 表 示 总 体 的 分 布 越 集 中 . 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页例 3 关 于 正 态 曲 线 性 质 的 叙 述 ：(1)曲 线 关 于 直 线 x =m 对 称 ， 整 条 曲 线 在 x轴 的 上 方 ；(2)曲 线 对 应 的 正 态 总 体 概 率 密 度 函 数 是 偶 函 数 ；(3)曲 线 在 x 处 处 于 最 高 点 ， 由 这 一 点 向 左 右 两 侧 延伸 时 ， 曲 线 逐 渐 降 低 ；(4)曲 线 的 对 称 位 置 由 确 定 ， 曲 线 的 形 状 由 确 定 ， 越 大 ， 曲 线 越 “ 矮 胖 ” ， 反 之 ， 曲 线 越 “ 瘦 高 ” . 上 述 叙 述 中 ， 正 确 的 有 . 例 题 探 究(1) (3) (4) 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页 课 堂 练 习 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页 正 态 总 体 的 函 数 表 示 式当 = 0， =1时 2 22 )(21)( sms xexf ),( x 2221)( xexf 标 准 正 态 总 体 的 函 数 表 示 式 ),( x 0 1 2-1-2 x y-3 3=0 =1标 准 正 态 曲 线 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页 21,0( s（ ， （ ， +）（ 1） 当 = 时 ,函 数 值 为 最 大 .(3) 的 图 象 关 于 对 称 .（ 2） 的 值 域 为 （ 4） 当 时 为 增 函 数 .当 时 为 减 函 数 .)(xf )(xf xxx )(xf )(xf 0 1 2-1-2 xy-3 3=0 =1标 准 正 态 曲 线 正 态 总 体 的 函 数 表 示 式 2 22 )(21)( sms xexf ),( x=x 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页 例 3、 标 准 正 态 总 体 的 函 数 为（ 1） 证 明 f(x)是 偶 函 数 ；（ 2） 求 f(x)的 最 大 值 ；（ 3） 利 用 指 数 函 数 的 性 质 说 明 f(x)的 增 减 性 。221( ) , ( , ).2 xf x e x 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页特别有周围概率越大集中在即的概率越大落在区间越小这说明的减少而变大该面积随着 而言和对于固定的中阴影部分的面积为图.X,a,a( X,. ,a,64.2 ,6826.0XP ,9544.02X2P ,9974.03X3P a a64.2 图表示上述结果可用图74.2 2 4 674.2 图%26.68 %44.95 %74.99 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页 .,0026.0 .3,3 , 可 能 发 生况 在 一 次 试 验 中 几 乎 不 通 常 认 为 这 种 情值 的 概 率 只 有 而 在 此 区 间 以 外 取之 内 区 间正 态 总 体 几 乎 总 取 值 于可 以 看 到 .3,)3 ,3(X,N ,2 原 则并 简 称 之 为之 间 的 值 只 取的 随 机 变 量布 通 常 认 为 服 从 于 正 态 分在 实 际 应 用 中 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页 例 4.在 某 次 数 学 考 试 中 ,考 生 的 成 绩 X服 从 正 态分 布 X N(90,100).(1)求 考 试 成 绩 X位 于 区 间(70,110)上 的 概 率 是 多 少 ?(2)若 此 次 考 试 共 有2000名 考 生 ,试 估 计 考 试 成 绩 在 (80,100)间 的考 生 大 约 有 多 少 人 ?解 :依 题 意 ,X N(90,100), 90, 10.m s (70 110)P X ( 2 2 ) 0.9544.P Xm s m s (80 100)P X ( ) 0.6826.P Xm s m s 即 考 试 成 绩 在 (80,100)间 的 概 率 为 0.6826.考 试 成 绩 在 (80,100)间 的 考 生 大 约 有 2000 0.6826 1365. 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页2、 已 知 XN (0,1)， 则 X在 区 间 内 取 值 的 概 率等 于 （ ）A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228( , 2) D 0.50.95443、 若 已 知 正 态 总 体 落 在 区 间 的 概 率 为 0.5， 则相 应 的 正 态 曲 线 在 x= 时 达 到 最 高 点 。(0.3, )0.34、 已 知 正 态 总 体 的 数 据 落 在 （ -3,-1） 里 的 概 率 和 落在 （ 3,5） 里 的 概 率 相 等 ， 那 么 这 个 正 态 总 体 的 数 学期 望 是 。1练 习1、 设 离 散 型 随 机 变 量 XN(0,1),则 = , = .( 0)P X ( 2 2)P X 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页5、 如 图 ， 为 某 地 成 年 男 性体 重 的 正 态 曲 线 图 ， 请 写 出其 正 态 分 布 密 度 函 数 ， 并 求P（ |X-72|20） . ( , )x xy110 2 72(kg) 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页 6. 已 知 一 次 考 试 共 有 60名 同 学 参 加 ， 考 生 的成 绩 X ， 据 此 估 计 ， 大 约 应 有 57人 的 分数 在 下 列 哪 个 区 间 内 ？ （ ）A. (90,110 B. (95,125 C. (100,120 D.(105,1152(100,5 ) A 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页 例 5、 已 知 ， 且 ， 则 等 于 ( ) A.0.1 B. 0.2 C. 0.3 D.0.42 (0, )n s ( 2 0) 0.4P ( 2)P A例 6、 某 年 级 的 一 次 信 息 技 术 测 验 成 绩 近 似 的 服 从 正态 分 布 ， 如 果 规 定 低 于 60分 为 不 及 格 ，求 ：（ 1） 成 绩 不 及 格 的 人 数 占 多 少 ？（ 2） 成 绩 在 8090内 的 学 生 占 多 少 ？ 2(70,10 )N 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页例 7.若 X N(5,1),求 P(6X7).(课 本 P75 B： 2)解 :因 为 X N(5,1), 5, 1.m s 又 因 为 正 态 密 度 曲 线 关 于 直 线 x=5 对 称 ,1(5 7) (3 7)2P x P x 1 0.9544 0.4772,2 1(5 6) (4 6)2P x P x 1 0.6826 0.3413,2 (6 7) (5 7) (5 6)P x P x P x 0.4772 0.3413 0.1359. 1 (5 2 1 5 2 1)2 P x 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页 【 1】 某 校 高 三 男 生 共 1000人 ， 他 们 的 身高 X(cm)近 似 服 从 正 态 分 布 ,则身 高 在 180cm以 上 的 男 生 人 数 大 约 是 （ B ）A.683 B.159 C.46 D.317 (176,16)N xyo 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页【 3】 某 年 级 的 一 次 信 息 技 术 测 验 成 绩 近 似 的 服 从 正态 分 布 ， 如 果 规 定 低 于 60分 为 不 及 格 ，求 ：（ 1） 成 绩 不 及 格 的 人 数 占 多 少 ？（ 2） 成 绩 在 8090内 的 学 生 占 多 少 ？2(70,10 )N 15.87%13.59% 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页 xyo 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页请 同 学 们 想 一 想 ， 实 际 生 活 中 具 有 这种 特 点 的 随 机 变 量 还 有 那 些 呢 ？ 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页 人 的 身 高 高 低 不 等 ， 但 中 等 身 材 的 占 大多 数 ， 特 高 和 特 矮 的 只 是 少 数 ， 而 且 较高 和 较 矮 的 人 数 大 致 相 近 ， 这 从 一 个 方面 反 映 了 服 从 正 态 分 布 的 随 机 变 量 的 特点 。 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页 除 了 我 们 在 前 面 遇 到 过 的 年 降 雨 量 和身 高 外 ,在 正 常 条 件 下 各 种 产 品 的 质 量 指 标 ，如 零 件 的 尺 寸 ； 纤 维 的 强 度 和 张 力 ； 农 作物 的 产 量 ， 小 麦 的 穗 长 、 株 高 ； 测 量 误 差 ，射 击 目 标 的 水 平 或 垂 直 偏 差 ； 信 号 噪 声 等等 ， 都 服 从 或 近 似 服 从 正 态 分 布 . 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页 正 态 分 布 在 十 九 世 纪 前叶 由 高 斯 加 以 推 广 ,所 以 通 常称 为 高 斯 分 布 . 正 态 分 布 是 应 用 最 广 泛的 一 种 连 续 型 分 布 . 德 莫 佛 最早 发 现 了 二 项 概 率 的 一 个 近似 公 式 ,这 一 公 式 被 认 为 是 正态 分 布 的 首 次 露 面 . 2.4正 态 分 布 (选 修 2-3) 主 页