高考数学二轮复习 第1部分 知识专题突破 专题限时集训11 附加题部分-人教版高三数学试题

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专题限时集训(十一)附加题部分(对应学生用书第107页)(限时:120分钟)1(本小题满分10分)(2017江苏省盐城市高考数学二模)在平面直角坐标系xOy中,直线l:(t为参数),与曲线C:(k为参数)交于A,B两点,求线段AB的长解法一:直线l的参数方程化为普通方程得4x3y4,将曲线C的参数方程化为普通方程得y24x.4分联立方程组解得或所以A(4,4),B.所以AB.10分法二:将曲线C的参数方程化为普通方程得y24x.直线l的参数方程代入抛物线C的方程得24,即4t215t250,8分所以t1t2,t1t2.所以AB|t1t2|.10分2(本小题满分10分)(2017江苏省无锡市高考数学一模)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为2,22cos2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程解(1)224,所以x2y24;因为22cos2,2分所以222,所以x2y22x2y20.6分(2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为xy1.8分化为极坐标方程为cos sin 1,即sin.10分3(本小题满分10分)(苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州)2017届高三上学期期中)设nN*,f (n)3n7n2.(1)求f (1),f (2),f (3)的值;(2)证明:对任意正整数n,f (n)是8的倍数解(1)代入求出f (1)8,f (2)56,f (3)368.2分(2)证明:当n1时,f (1)8是8的倍数,命题成立假设当nk时命题成立,即f (k)3k7k2是8的倍数,那么当nk1时,f (k1)3k17k123(3k7k2)4(7k1), 6分因为7k1是偶数,所以4(7k1)是8的倍数,又由归纳假设知3(3k7k2)是8的倍数,所以f (k1)是8的倍数,所以当nk1时,命题也成立根据知命题对任意nN*成立.10分4(本小题满分10分)利用二项式定理证明:当nN*时,32n28n9能被64整除解32n28n99n18n9(81)n18n98n1C8nC8n1C82C818n982(8n1C8n2C8n3C),6分而8n1C8n2C8n3CN*,所以32n28n9能被64整除.10分5(本小题满分10分)(2017江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知a,b,c为正实数,求证:abc. 【导学号:56394086】证明a,b,c为正实数,a2b,b2c,c2a,4分将上面三个式子相加得:abc2a2b2c,abc.10分6(本小题满分10分)(四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测)已知函数f (x)|x1|x|a.(1)若不等式f (x)0的解集为空集,求实数a的取值范围;(2)若方程f (x)x有三个不同的解,求实数a的取值范围解(1)令g(x)|x1|x|,则f (x)0的解集为空集g(x)a的解集为空集g(x)a恒成立,g(x)|x1|x|,作出函数g(x)的图象,由图可知,函数g(x)的最大值为g(x)max1,所以a1,即a1.5分综上,实数a的取值范围为(,1)(2)在同一坐标系内作出函数g(x)|x1|x|图象和yx的图象如图所示,由题意可知,把函数yg(x)的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位)与yx的图象始终有3个交点,从而1a0.10分7(本小题满分10分)(2017江苏省淮安市高考数学二模)如图119,已知ABC内接于O,连接AO并延长交O于点D,ACBADC.求证:ADBC2ACCD.图119证明ACBADC,AD是O的直径,AD垂直平分BC,设垂足为E(图略),ACBEDC,ACDCED,ACDCED,6分,ADBCACCD,ADBC2ACCD.10分8(本小题满分10分)(2017江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)如图1110,直线DE切圆O于点D,直线EO交圆O于A,B两点,DCOB于点C,且DE2BE,求证:2OC3BC.图1110证明连接OD,设圆的半径为R,BEx,则ODR,DE2BE2x,RtODE中,DCOB,OD2OCOE,R2OC(Rx),4分直线DE切圆O于点D,DE2BEAE,4x2x(2Rx),x,8分代入,解得OC,BCOBOC,2OC3BC.10分9(本小题满分10分)(2017江苏省泰州市高考数学一模)已知向量是矩阵A的属于特征值1的一个特征向量在平面直角坐标系xOy中,点P(1,1)在矩阵A对应的变换作用下变为P(3,3),求矩阵A.解设A,因为向量是矩阵A的属于特征值1的一个特征向量,所以(1).所以6分因为点P(1,1)在矩阵A对应的变换作用下变为P(3,3),所以.所以8分解得a1,b2,c2,d1,所以A.10分10(本小题满分10分)(江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试)已知为矩阵A属于的一个特征向量,求实数a,的值及A2.解由条件可知,解得a2.6分因此A,所以A2.10分11(本小题满分10分)(2017江苏省淮安市高考数学二模)某乐队参加一户外音乐节,准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱(1)求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率;(2)假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a(a为常数),演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a,求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望. 【导学号:56394087】解(1)设“该乐队至少演唱1首原创新曲”的事件为A,则P(A)1P()1.4分(2)由题意可得:X5a,6a,7a,8a.P(X5a),P(X6a),6分P(X7a),P(X8a).X5a6a7a8aPE(X)5a6a7a8aa.10分12(本小题满分10分)(江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试)在公园游园活动中有这样一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球和2个黑球,乙箱子里装有1个白球和2个黑球,这些球除颜色外完全相同;每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱)(1)求在一次游戏中摸出3个白球的概率;(2)在两次游戏中,记获奖次数为X,求X的数学期望解(1)记“在一次游戏中摸出i个白球”为事件Ai(i0,1,2,3)则P(A3).故在一次游戏中摸出3个白球的概率为.4分(2)获奖的概率为P(A2A3)P(A2)P(A3).X的所有可能取值为0,1,2.P(X0),P(X1)C,P(X2).8分X的分布列为X012P故X的数学期望E(X)012.10分(或:XB,E(X)2,同样给分)13(本小题满分10分)(2017江苏省泰州市高考数学一模)如图1111,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,P为棱C1D1的中点,Q为棱BB1上的点,且BQBB1(0)图1111(1)若,求AP与AQ所成角的余弦值;(2)若直线AA1与平面APQ所成的角为45,求实数的值解以,为正交基底,建立如图所示空间直角坐标系Axyz.(1)因为(1,2,2),(2,0,1),所以cos,.所以AP与AQ所成角的余弦值为.4分(2)由题意可知,(0,0,2),(2,0,2)设平面APQ的法向量为n(x,y,z),则即令z2,则x2,y2.所以n(2,2,2).7分又因为直线AA1与平面APQ所成角为45,所以|cosn,|,可得5240,又因为0,所以.10分14(本小题满分10分)(苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州)2017届高三上学期期中)如图1112,在四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,ABCBAD90,ADAP4,ABBC2,M为PC的中点. 图1112(1)求异面直线AP,BM所成角的余弦值;(2)点N在线段AD上,且AN,若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为,求的值解(1)因为PA平面ABCD,且AB,AD平面ABCD,所以PAAB,PAAD,又因为BAD90,所以PA,AB,AD两两互相垂直分别以AB,AD,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系(图略),则由AD2AB2BC4,PA4可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,0,4),又因为M为PC的中点,所以M(1,1,2)所以(1,1,2),(0,0,4),所以cos, 所以异面直线AP,BM所成角的余弦值为.6分(2)因为AN,所以N(0,0)(04),则(1,1,2),(0,2,0),(2,0,4),设平面PBC的法向量为m(x,y,z),则即令x2,解得y0,z1,所以m(2,0,1)是平面PBC的一个法向量.8分因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为,所以|cos,m|,解得10,4,所以的值为1.10分15(本小题满分10分)(江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试)已知抛物线C的方程为y22px(p0),点R(1,2)在抛物线C上图1113(1)求抛物线C的方程;(2)过点Q(1,1)作直线交抛物线C于不同于R的两点A,B.若直线AR,BR分别交直线l:y2x2于M,N两点,求线段MN最小时直线AB的方程解(1)将R(1,2)代入抛物线中,可得p2,所以抛物线方程为y24x.2分(2)设AB所在直线方程为xm(y1)1(m0),A(x1,y1),B(x2,y2),与抛物线联立得:y24my4(m1)0,所以y1y24m,y1y24(m1)设AR:yk1(x1)2,由得xM,而k1,可得xM,同理xN.6分所以|MN|xMxN|2,令m1t(t0),则mt1,所以|MN|xMxN|2, 此时m1,AB所在直线方程为xy20.10分16(本小题满分10分)(2017江苏省泰州市高考数学一模)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线x22py(p0)上的点M(m,1)到焦点F的距离为2,(1)求抛物线的方程;(2)如图1114,点E是抛物线上异于原点的点,抛物线在点E处的切线与x轴相交于点P,直线PF与抛物线相交于A,B两点,求EAB面积的最小值 【导学号:56394088】图1114解(1)抛物线x22py(p0)的准线方程为y,因为M(m,1),由抛物线定义,知MF1,所以12,即p2,所以抛物线的方程为x24y.2分(2)因为yx2,所以yx.设点E,t0,则抛物线在点E处的切线方程为yt(xt)令y0,则x,即点P.因为P,F(0,1),所以直线PF的方程为y,即2xtyt0.则点E到直线PF的距离为d.4分联立方程消元,得t2y2(2t216)yt20.因为(2t216)24t464(t24)0,所以y1,y2,所以ABy11y21y1y222.6分所以EAB的面积为S.不妨设g(x)(x0),则g(x)(2x24)因为x(0,)时,g(x)0,所以g(x)在(0,)上单调递减;x(,)上,g(x)0,所以g(x)在(,)上单调递增所以当x时,g(x)min6.所以EAB的面积的最小值为3.10分
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