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专题限时集训(十一)附加题部分(对应学生用书第107页)(限时：120分钟)1(本小题满分10分)(2017江苏省盐城市高考数学二模)在平面直角坐标系xOy中，直线l：(t为参数)，与曲线C：(k为参数)交于A，B两点，求线段AB的长解法一：直线l的参数方程化为普通方程得4x3y4，将曲线C的参数方程化为普通方程得y24x.4分联立方程组解得或所以A(4,4)，B.所以AB.10分法二：将曲线C的参数方程化为普通方程得y24x.直线l的参数方程代入抛物线C的方程得24，即4t215t250，8分所以t1t2，t1t2.所以AB|t1t2|.10分2(本小题满分10分)(2017江苏省无锡市高考数学一模)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为2，22cos2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程解(1)224，所以x2y24；因为22cos2，2分所以222，所以x2y22x2y20.6分(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为xy1.8分化为极坐标方程为cos sin 1，即sin.10分3(本小题满分10分)(苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州)2017届高三上学期期中)设nN*，f (n)3n7n2.(1)求f (1)，f (2)，f (3)的值；(2)证明：对任意正整数n，f (n)是8的倍数解(1)代入求出f (1)8，f (2)56，f (3)368.2分(2)证明：当n1时，f (1)8是8的倍数，命题成立假设当nk时命题成立，即f (k)3k7k2是8的倍数，那么当nk1时，f (k1)3k17k123(3k7k2)4(7k1)， 6分因为7k1是偶数，所以4(7k1)是8的倍数，又由归纳假设知3(3k7k2)是8的倍数，所以f (k1)是8的倍数，所以当nk1时，命题也成立根据知命题对任意nN*成立.10分4(本小题满分10分)利用二项式定理证明：当nN*时，32n28n9能被64整除解32n28n99n18n9(81)n18n98n1C8nC8n1C82C818n982(8n1C8n2C8n3C)，6分而8n1C8n2C8n3CN*，所以32n28n9能被64整除.10分5(本小题满分10分)(2017江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知a，b，c为正实数，求证：abc. 【导学号：56394086】证明a，b，c为正实数，a2b，b2c，c2a，4分将上面三个式子相加得：abc2a2b2c，abc.10分6(本小题满分10分)(四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测)已知函数f (x)|x1|x|a.(1)若不等式f (x)0的解集为空集，求实数a的取值范围；(2)若方程f (x)x有三个不同的解，求实数a的取值范围解(1)令g(x)|x1|x|，则f (x)0的解集为空集g(x)a的解集为空集g(x)a恒成立，g(x)|x1|x|，作出函数g(x)的图象，由图可知，函数g(x)的最大值为g(x)max1，所以a1，即a1.5分综上，实数a的取值范围为(，1)(2)在同一坐标系内作出函数g(x)|x1|x|图象和yx的图象如图所示，由题意可知，把函数yg(x)的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位)与yx的图象始终有3个交点，从而1a0.10分7(本小题满分10分)(2017江苏省淮安市高考数学二模)如图119，已知ABC内接于O，连接AO并延长交O于点D，ACBADC.求证：ADBC2ACCD.图119证明ACBADC，AD是O的直径，AD垂直平分BC，设垂足为E(图略)，ACBEDC，ACDCED，ACDCED，6分，ADBCACCD，ADBC2ACCD.10分8(本小题满分10分)(2017江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)如图1110，直线DE切圆O于点D，直线EO交圆O于A，B两点，DCOB于点C，且DE2BE，求证：2OC3BC.图1110证明连接OD，设圆的半径为R，BEx，则ODR，DE2BE2x，RtODE中，DCOB，OD2OCOE，R2OC(Rx)，4分直线DE切圆O于点D，DE2BEAE，4x2x(2Rx)，x，8分代入，解得OC，BCOBOC，2OC3BC.10分9(本小题满分10分)(2017江苏省泰州市高考数学一模)已知向量是矩阵A的属于特征值1的一个特征向量在平面直角坐标系xOy中，点P(1,1)在矩阵A对应的变换作用下变为P(3,3)，求矩阵A.解设A，因为向量是矩阵A的属于特征值1的一个特征向量，所以(1).所以6分因为点P(1,1)在矩阵A对应的变换作用下变为P(3,3)，所以.所以8分解得a1，b2，c2，d1，所以A.10分10(本小题满分10分)(江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试)已知为矩阵A属于的一个特征向量，求实数a，的值及A2.解由条件可知，解得a2.6分因此A，所以A2.10分11(本小题满分10分)(2017江苏省淮安市高考数学二模)某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱(1)求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；(2)假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a(a为常数)，演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a，求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望. 【导学号：56394087】解(1)设“该乐队至少演唱1首原创新曲”的事件为A，则P(A)1P()1.4分(2)由题意可得：X5a,6a,7a,8a.P(X5a)，P(X6a)，6分P(X7a)，P(X8a).X5a6a7a8aPE(X)5a6a7a8aa.10分12(本小题满分10分)(江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试)在公园游园活动中有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球和2个黑球，乙箱子里装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同；每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱)(1)求在一次游戏中摸出3个白球的概率；(2)在两次游戏中，记获奖次数为X，求X的数学期望解(1)记“在一次游戏中摸出i个白球”为事件Ai(i0,1,2,3)则P(A3).故在一次游戏中摸出3个白球的概率为.4分(2)获奖的概率为P(A2A3)P(A2)P(A3).X的所有可能取值为0,1,2.P(X0)，P(X1)C，P(X2).8分X的分布列为X012P故X的数学期望E(X)012.10分(或：XB，E(X)2，同样给分)13(本小题满分10分)(2017江苏省泰州市高考数学一模)如图1111，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为棱C1D1的中点，Q为棱BB1上的点，且BQBB1(0)图1111(1)若，求AP与AQ所成角的余弦值；(2)若直线AA1与平面APQ所成的角为45，求实数的值解以，为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系Axyz.(1)因为(1,2,2)，(2,0,1)，所以cos，.所以AP与AQ所成角的余弦值为.4分(2)由题意可知，(0,0,2)，(2,0,2)设平面APQ的法向量为n(x，y，z)，则即令z2，则x2，y2.所以n(2，2，2).7分又因为直线AA1与平面APQ所成角为45，所以|cosn，|，可得5240，又因为0，所以.10分14(本小题满分10分)(苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州)2017届高三上学期期中)如图1112，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABCBAD90，ADAP4，ABBC2，M为PC的中点. 图1112(1)求异面直线AP，BM所成角的余弦值；(2)点N在线段AD上，且AN，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求的值解(1)因为PA平面ABCD，且AB，AD平面ABCD，所以PAAB，PAAD，又因为BAD90，所以PA，AB，AD两两互相垂直分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则由AD2AB2BC4，PA4可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,4,0)，P(0,0,4)，又因为M为PC的中点，所以M(1,1,2)所以(1,1,2)，(0,0,4)，所以cos， 所以异面直线AP，BM所成角的余弦值为.6分(2)因为AN，所以N(0，0)(04)，则(1，1，2)，(0,2,0)，(2,0，4)，设平面PBC的法向量为m(x，y，z)，则即令x2，解得y0，z1，所以m(2,0,1)是平面PBC的一个法向量.8分因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，所以|cos，m|，解得10,4，所以的值为1.10分15(本小题满分10分)(江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试)已知抛物线C的方程为y22px(p0)，点R(1,2)在抛物线C上图1113(1)求抛物线C的方程；(2)过点Q(1,1)作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B.若直线AR，BR分别交直线l：y2x2于M，N两点，求线段MN最小时直线AB的方程解(1)将R(1,2)代入抛物线中，可得p2，所以抛物线方程为y24x.2分(2)设AB所在直线方程为xm(y1)1(m0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，与抛物线联立得：y24my4(m1)0，所以y1y24m，y1y24(m1)设AR：yk1(x1)2，由得xM，而k1，可得xM，同理xN.6分所以|MN|xMxN|2，令m1t(t0)，则mt1，所以|MN|xMxN|2， 此时m1，AB所在直线方程为xy20.10分16(本小题满分10分)(2017江苏省泰州市高考数学一模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x22py(p0)上的点M(m,1)到焦点F的距离为2，(1)求抛物线的方程；(2)如图1114，点E是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E处的切线与x轴相交于点P，直线PF与抛物线相交于A，B两点，求EAB面积的最小值 【导学号：56394088】图1114解(1)抛物线x22py(p0)的准线方程为y，因为M(m,1)，由抛物线定义，知MF1，所以12，即p2，所以抛物线的方程为x24y.2分(2)因为yx2，所以yx.设点E，t0，则抛物线在点E处的切线方程为yt(xt)令y0，则x，即点P.因为P，F(0,1)，所以直线PF的方程为y，即2xtyt0.则点E到直线PF的距离为d.4分联立方程消元，得t2y2(2t216)yt20.因为(2t216)24t464(t24)0，所以y1，y2，所以ABy11y21y1y222.6分所以EAB的面积为S.不妨设g(x)(x0)，则g(x)(2x24)因为x(0，)时，g(x)0，所以g(x)在(0，)上单调递减；x(，)上，g(x)0，所以g(x)在(，)上单调递增所以当x时，g(x)min6.所以EAB的面积的最小值为3.10分
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